Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Hàm số y  sin x  Có tập xác định D   ;  Là hàm số lẻ;  Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 , sin x  k 2  sin x ;  Do hàm số y  sin x hàm tuần hồn với chu kỳ 2 nên ta cần khảo sát hàm số   đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn đoạn   ;   Khi vẽ đồ thị hàm số y  sin x đoạn   ;   ta nên để ý : Hàm số y  sin x hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số y  sin x đoạn  0;   Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số y  sin x đoạn  0;   Lấy đối xứng phần đồ thị qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y  sin x đoạn   ;   Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài 2 ,4 ,6 , ta tồn đồ thị hàm số y  sin x Đồ thị gọi đường hình sin Hàm số y  sin x đồng biến khoảng   3      ;  nghịch biến khoảng  ; 2  2    5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia Từ tính tuần hồn với chu kì 2 , hàm số y  sin x đồng biến khoảng   3      k 2     k2;  k2  nghịch biến khoảng   k 2 ; 2   2  Hàm số y  cos x  Có tập xác định D   ;  Là hàm số chẵn;  Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 ;  Do hàm số y  cosx hàm tuần hồn với chu kỳ 2 nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn đoạn   ;   Khi vẽ đồ thị hàm số y  cosx đoạn   ;   ta nên để ý : Hàm số y  cosx hàm số chẵn, đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số y  cosx đoạn  0;   Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số y  cosx đoạn  0;   Lấy đối xứng phần đồ thị qua trục Oy lập thành đồ thị hàm số y  cosx đoạn   ;   Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài 2,4,6, ta tồn đồ thị hàm số y  cosx Đồ thị gọi đường hình sin Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia 7π 3π 5π 2π 3π π π π π 3π 2π 5π 3π 7π 2     Hàm số y  cos x đồng biến khoảng  ; nghịch biến khoảng 0; Từ tính tuần hồn với chu kì 2 , hàm số y  sin x đồng biến khoảng    k2; k2  nghịch biến   khoảng k 2 ;   k 2 Hàm số y  tanx    k | k    ; 2   Có tập xác định D   \   Có tập giá trị  ;  Là hàm số lẻ;  Hàm số tuần hồn với chu kỳ  , tan x  k  tan x ;   Do hàm số y  tan x hàm tuần hồn với chu kỳ  nên ta cần khảo sát hàm số đoạn    ;   2 có độ dài  , chẳng hạn đoạn      ;  ta nên để ý : Hàm số y  tan x hàm 2  Khi vẽ đồ thị hàm số y  tan x đoạn   số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số   y  tan x đoạn  0;    Bảng biến thiên: π x π +∞ y=tanx     2 Đồ thị hàm số y  tan x  0; Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia    ;   2 Lấy đối xứng phần đồ thị qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y  tan x đoạn   Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài  ,2 ,3 , ta tồn đồ thị hàm số y  tan x 4π 7π 3π 5π 2π 3π π π π 2 π 3π 2π 5π 3π 7π 2    ;  Từ tính tuần hồn với chu kỳ  nên  2 Hàm số y  tan x đồng biến khoảng       hàm số y  tan x đồng biến khoảng    k;  k    Đồ thị hàm số y  tan x nhận đường thẳng x    k làm đường tiệm cận (đứng) Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia Hàm số y  cot x  Có tập xác định D   \ k | k    ;  Có tập giá trị  ;  Là hàm số lẻ;  Hàm số tuần hồn với chu kỳ  , cot x  k  cot x ;   Do hàm số y  cot x hàm tuần hồn với chu kỳ  nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài  , chẳng hạn đoạn  0;   Bảng biến thiên: π x π +∞ y=cotx -∞ Đồ thị hàm số y  cot x  0;   Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài ,2,3, ta tồn đồ thị hàm số y  cot x g( x ) = tan(x) 5π 2π 3π π π π 2 π 3π 2π 5π 2 8 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia   số y  cot x đồng biến khoảng  k ;   k  Hàm số y  cot x nghịch biến khoảng 0;  Từ tính tuần hồn với chu kỳ  nên hàm Đồ thị hàm số y  cot x nhận đường thẳng x  k làm đường tiệm cận (đứng) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số Phương pháp: Để tìm tập xác định hàm số ta cần lưu ý điểm sau  y  u  x  có nghĩa u  x  xác định u(x)   y  y  Hàm số y  s inx, y  cosx xác định  tập giá trị là: u(x) có nghĩa u  x  , v  x  xác định v(x)  v(x) u(x) v(x) có nghĩa u  x  , v  x  xác định v(x)  1  sin x  ;   cos x  Như vậy, y  s in  u  x   , y  cos  u  x   xác định u  x  xác định   k,k    y  tan u  x  có nghĩa u  x  xác định u  x    y  cot u  x  có nghĩa u  x  xác định u  x   k,k   I Các ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau :  5x  a) y  sin  ;  x2   b) y  cos  x ; c) y  sin x; d) y   sin x Giải  5x  a) Hàm số y  sin   xác định  x    x  1  x 1 Vậy D   \ 1 b) Hàm số y  cos x  xác định   x2   x   2  x  Vậy D  x   | 2  x  2 c) Hàm số y  sin x xác định  s inx   k2  x    k2, k   Vậy D  x   | k2  x    k2,k    d) Ta có: 1  s inx    s inx  Do đó, hàm só ln ln xác định hay D   Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:   a) y  tan  x   ; 6    b) y  cot  x   ; 3  c) y  sin x ; cos(x  ) d) y  tan x  Giải Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia    2  a) Hàm số y  tan  x   xác định  x    k  x   k,k   6   2  Vậy D   \   k,k    3      b) Hàm số y  cot  x   xác định  x   k  x    k,k   3      Vậy D   \   k,k      c) Hàm số y  sin x  3 xác định  cos  x      x     k  x   k,k   cos(x  ) 2  3  Vậy D   \   k,k    2  d) Hàm số y  xác định tan x   x  tan x     cos x  x     k ,k     k    Vậy D   \   k,  k; k    4  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: a) y  cos2x  ; cos x b) y  3cos2x sin3x cos3x Giải a) Hàm số y  cos2x   xác định  cosx   x   k,k   cos x   Vậy D   \   k,k    2  b) Hàm số y  3cos2x xác định  sin3x cos3x k sin3x cos3x   sin 6x   6x  k  x  ,k    k  Vậy D   \  ,k    6  Ví dụ Tìm m để hàm số s au xác định  : y  2m  3cos x Giải Hàm số cho xác định R 2m  3cos x   cosx  Bất đẳng thức với x  2m 2m m II Bài tập rèn luyện BT Tìm tập xác định hàm số sau: 10 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia a) y   cos2 x ; b) y   sin x  cos x Giải 2 a) Nhận thấy  cos x  nên  cos x  0, x   Vậy D   b) Hàm số y   sin x xác định   cos x   x    k2, k    cos x Vậy D   \   k2,k    BT Tìm tập xác định hàm số sau   a) y  tan  3x   ; 3   tan 2x  c)y   cot  3x   ; sin x  6  b)y  tan 6x  d)y  ; cot 3x tan 5x sin 4x  cos3x Giải    5   a) Hàm số y  tan  3x   xác định  3x    k  x   k ,k   18 3   5 k  Vậy D   \   ,k     18  b) Hàm số y  tan 6x  xác định cot 3x cos6x  cos6x  k   sin3x     sin12x   x  ,k   sin 6x  cot3x    k  Vậy D   \  ,k     12  c) Hàm số y   tan 2x   cot  3x   xác định sin x  6     x    k2    s inx  1  k   x   ,k   cos2x       k sin  3x      6   x   18       k  k Vậy D   \   k2,  ,   ; k    18   d) Hàm số y  tan 5x xác định sin 4x  cos3x 11 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia   k x     10  5x   k   cos5x        4x  3x  k2   sin 4x  cos3x cos    4x   cos3x 2       4x  3x  k2     k  k x  10  x  10      k2    7x   k2  x   ,k   14       x   k2 x   k2     k  k2   Vậy D   \   ,  ,  k2; k    10 14  3x BT Tìm m để hàm số sau xác định  : y  2sin x  m sin x  Giải Hàm số xác định R khi: 2sin2 x  m sin x   với t   1;1 Ta có:   m   TH 1:    m    2  m  2 Khi f  t   0, t (thỏa mãn)   m  2 TH 2:    m      m  2 Với m  2 f  t   2t  2t   o Ta thấy f  t   t  Ta thấy f  t   t    2t    1;1 (khơng thỏa mãn) Với m  2 f  t   2t  2t   o     2t    1;1 (khơng thỏa mãn)  m  2 TH 3:    m     tam thức f  t  có hai nghiệm phân biệt t1 ,t (giả  m  2 sử t1  t ) Ta có bảng xét dấu: t f(t) -∞ t1 + +∞ t2 - + Từ bảng xét dấu ta thấy: f  t   2t  mt   0, t   1,1  t1  t  12 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia Với t1   m  m  m2    m2   m    m  Với t  11   Vô nghiệm  m  4 m  m2   1  m    m     Vô nghiệm  m  3 Vậy giá trị m cần tìm 2  m  2 Dạng Xét tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ hàm số y  f(x) Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số; kiểm chứng D tập đối xứng qua số tức  x,x  D   x  D (1) Bước 2: Tính f(x) so sánh f(x) với f(x)  - Nếu f( x)  f(x) f(x) hàm số chẵn D (2) - Nếu f( x)   f(x) f(x) hàm số lẻ D (3) Chú ý: - Nếu điều kiện (1) khơng nghiệm f(x) hàm khơng chẵn khơng lẻ D; - Nếu điều kiện (2) v (3) khơng nghiệm đúng, f(x) hàm khơng chẵn khơng lẻ D Lúc đó, để kết luận f(x) hàm khơng chẵn khơng lẻ ta cần điểm x  D f(x )  f(x ) cho  f(x )   f(x ) I Các ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = sin2x; c) y  sin x b) y = tan x ; Giải a) TXĐ: D   Suy x  D   x  D Ta có: f  x   sin  2x    sin 2x   f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ    b) TXĐ: D   \   k,k    Suy x  D   x  D   Ta có: f   x   tan  x  tan x  f  x  Do hàm số cho hàm số chẵn c) TXĐ: D   Suy x  D   x  D Ta có: f   x   sin   x   sin x  f  x  Do hàm số cho hàm số chẵn Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx Giải 13 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia  k  a) TXĐ: D   \  ,k    Suy x  D   x  D 2  Ta có: f  x   tan   x   cot   x    tan x - cot x    tan x  cot x    f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ b) TXĐ: D   Suy x  D   x  D Ta có: f   x   sin   x  cos   x    sin x cos x   f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: b) y  sinx  cosx a) y = 2sinx + 3; Giải a) TXĐ: D   Suy x  D   x  D Ta có:        f     2sin     ; f    2sin      2   2 2     f     f     2 2 Nhận thấy  f      f         2  Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ b) TXĐ: D   Suy x  D   x  D   Ta có: y  sinx  cosx  sin  x   4          f     sin      0; f    sin      4  4 4 4 4     f     f     4 4 Nhận thấy  f      f         4  Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y  sin 2x  cos x ; b) y  cos3 x  sin3 x Giải a) TXĐ: D   Suy x  D   x  D Chọn x    D   D 4    x Ta có: f     sin  cos 2  3 b) TXĐ: D   \ k,k    Suy x  D   x  D 14 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia Ta có: f   x   cos3   x   sin3   x   cos3 x   sin3 x  cos3 x  sin3 x  f  x  Do hàm số cho hàm số lẻ Ví dụ Xác định tham số m để hàm số sau: y  f  x   3m sin 4x  cos2x hàm số chẵn Giải TXĐ: D   Suy x  D   x  D Ta có: f   x   3m sin  4x   cos  2x   3m sin 4x  cos2x Để hàm số cho hàm số chẵn thì: f   x   f  x  , x  D  3m sin 4x  cos2x  -3m sin 4x  cos2x, x  D  6m sin 4x   m  II Bài tập rèn luyện BT Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y  4x  cos5x ; b) y  x s inx  cot x Giải a) TXĐ: D   Suy x  D   x  D Ta có: f   x     x   cos  5x   4x  cos5x  f  x  Do hàm số cho hàm số chẵn b) TXĐ: D   \ k,k    Suy x  D   x  D Ta có:   f   x     x  sin   x   cot   x    x sin x  cot x   x sin x  cot x   f  x  Do hàm số cho hàm số chẵn BT Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y   3sin2 x ; x3 b) y  sin  x Giải a) TXĐ: D   \ 3 Ta có: x  3  D  x   D nên D khơng có tính đối xứng Do đó, hàm số cho khơng chẵn khơng lẻ b) TXĐ: D  1;   Ta có: x   D  x  3  D nên D khơng có tính đối xứng Do đó, hàm số cho khơ ng chẵn khơng lẻ BT Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y  s inx  cosx ; b) y  tan3x  cot 5x sin3x Giải a) TXĐ: D   \ 3 15 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia Ta có:      3  f     3sin     cos      2;  2  2      3  f    3sin    cos     2 2    2  Nhận thấy:  0;   3 Do đó, hàm số cho khơng chẵn khơng lẻ b) TXĐ: D   \ k,k    Suy x  D   x  D Ta có: f  x   tan  3x   cot  5x  sin  3x   tan  3x   cot  5x  sin  3x   f x Vậy hàm số cho hàm số chẵn BT Tìm tham số a,b để hàm số:  3a  1 s inx  b cos x, x  y  f x   hàm số lẻ asin x    2b  cos x, x  Giải TXĐ: D   \ k,k    Suy x  D   x  D  TH 1: Với x  f  x    3a  1 sin x  b cos x Và f  x   asin   x     2b  cos   x   asin x    2b  cos x Vì hàm số lẻ nên f  x    f  x  hay asin x    2b  cos x    3a  1 sin x  b cos x, x    2a  1 sin x    b  cos x  0, x   2a   a  Đẳng thức với x    3  b  b    TH 2: Với x  f  x   asin x    2b  cos x Và f  x    3a  1 sin   x   b cos   x     3a  1 sin x  b cos x Vì hàm số lẻ nên f  x    f  x  hay   3a  1 sin x  b cos x  asin x    2b  cos x  2a   a  Đẳng thức với x    3  b  b   Vậy hàm số cho lẻ a  ,b  Dạng Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp: Cho hàm số y  f(x) xác định tập D 16 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia  f(x)  M, x  D M  max f(x)   D x  D : f(x )  M  f(x)  m, x  D m  f(x)   D x  D : f(x )  m Lưu ý:  1  s inx  1;   cos x    sin x  1;  cos2 x    sin x  1;  cos x  I Các ví dụ mẫu Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:   a) y  2sin  x    ; 4  b) y  cos x   Giải a) Ta có:       1  sin  x     2  2sin  x     1  2sin  x     4 4 4    Hay 1  y  Suy ra:    Maxy  sin  x     x   k2,k   4    3 Miny  1 sin  x    1  x    k2,k   4  b) Ta có: 1  cos x    cos x     cos x     cos x   2  3  cos x    2  Hay 3  y  2  Suy Maxy  2  cos x   x  k2,k   Miny  3 cos x   x    k,k   Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a) y  sinx  cosx ; b) y  sin 2x  cos2x Giải   a) Ta có: y  sinx  cosx  sin  x      y  4  Suy ra:    Maxy  sin  x     x   k2,k   4    3 Miny   sin  x    1  x    k2,k   4   17 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia     b) Ta có: y  sin 2x  cos2x   sin 2x  cos2x   2sin  2x     6    Suy ra: 2  y  Do đó:      Maxy  sin  2x     2x    k2  x   k2,k   6       Miny  2 sin  2x    1  2x     k2  x    k2,k   6 6  Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a) y  cos2 x  2sin x  ; b) y  sin x  2cos2 x  Giải a) Ta có:  y  cos2 x  2sin x    sin x   2sin x  2   sin2 x  2sin x     sin x  1  Vì 1  s inx   2  sin x      sin x  1  2  4    sin x  1      sin x  1   Hay  y  Do đó: Maxy  sin x   x    k2,k   Miny  sin x  1  x     k2,k   Lưu ý: Nếu đặt t  sin x,t   1;1 Ta có (P): y  f  t    t  2t  xác định với t   1;1 , (P) có hồnh độ đỉnh t  đoạn  1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ t  1 hay sin x  1 đạt giá trị lớn t  hay sin x  b) Ta có    2cos x   cos x  cos x    cos x    Vì  cos x   2  cos x   1    cos x      cos x     1   y  1 y  sin x  2cos2 x    cos2 x 2 2 2 2 2 1 Do đó: Maxy  18 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia cos2 x   cos x   x    k,k   Miny  1 cos2 x   sin x   x  k,k   Lưu ý: Nếu đặt t  cos2 x,t   0;1 Ta có (P): y  f  t   t  4t  xác định với t   0;1 , (P) có hồnh độ đỉnh t    0;1 đoạn  0;1 hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ t  đạt giá trị lớn t  II Bài tập rèn luyện BT Tìm GTLN GTNN hàm số a) y  sin x  ; b) y  sin x  cos x  Bài Tìm GTLN GTNN hàm số   a)y   3sin  2x   ; 4  b)y   cos2 3x; c)y    sin 2x ; d)y   2sin x Bài Tìm GTLN GTNN hàm số a)y  cos2 x  cos2 2x; b)y  3s inx  cos x  c)y  2sin x  3sin 2x  cos2 x; c)y   4sin x  3cos x    4sin x  3cos x   Bài Cho hai số x,y thỏa mãn x2 y2   Tìm GTLN GTNN (nếu có) biểu thức P  x  2y  Dạng Chứng minh hàm số tuần hồn xác định chu kỳ {Tham khảo} Phương pháp Muốn chứng minh hàm số tuần hồn f(x) tuần hồn ta thực theo bước sau:  Xét hàm số y  f(x) , tập xác định D  Với x  D , ta có x  T0  D x  T0  D (1) Chỉ f(x  T0 )  f(x) (2) Vậy hàm số y  f(x) tuần hồn Chứng minh hàm tuần hồn với chu kỳ T0 Tiếp tục, ta chứng minh T0 chu kỳ hàm số tức chứng minh T0 số dương nhỏ thỏa (1) (2) Giả sử có T cho  T  T0 thỏa mãn tính chất (2)   mâu thuẫn với giả thiết  T  T0 Mâu thuẫn chứng tỏ T0 số dương nhỏ thỏa (2) Vậy hàm số tuần hồn với chu kỳ sở T0 Một số nhận xét: - Hàm số y  sin x,y  cos x tuần hồn chu kỳ 2 Từ y  sin  ax  b  ,y  cos  ax  b  có chu kỳ T0  2 a 19 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia - Hàm số y  tan x, y  cot x tuần hồn chu kỳ  Từ y  tan  ax  b  ,y  cot  ax  b  có chu kỳ  a T0  Chú ý: y  f1 (x) có chu kỳ T1 ; y  f2 (x) có chu kỳ T Thì hàm số y  f1 (x)  f2 (x) có chu kỳ T bội chung nhỏ T1 T2 Các dấu hiệu nhận biết hàm số khơng tuần hồn Hàm số y  f(x) khơng tuần hồn điều kiện sau vi phạm  Tập xác định hàm số tập hữu hạn  Tồn số a cho hàm số khơng xác định vớ i x  a x  a  Phương trình f(x)  k có vơ số nghiệm hữu hạn  Phương trình f(x)  k có vơ số nghiệm thứ tự  x m  x m 1  mà x m  x m 1  hay  I Các ví dụ mẫu Bài Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hồn với chu kỳ sở T0 a)f(x)  s inx, T0  2; b)f(x)  tan 2x, T0   Hướng dẫn: a) Ta có : f(x  2)  f(x), x   Giả sử có số thực dư ơng T  2 thỏa f(x  T)  f(x)  sin  x  T   s inx , x   (*) Cho x      VT(*)  sin   T   cos T  1; 2  VP(*)  sin  1  (*) khơng xảy với x   Vậy hàm số cho tuần hồn với chu kỳ T0  2  b) Ta có : f(x  )  f(x), x  D Giả sử có số thực dương T   thỏa f(x  T)  f(x)  tan  2x  2T   tan 2x , x  D (**) Cho x   VT(**)  tan 2T  0; VP(**)  B  (**) khơng xảy với x  D Vậy hàm số cho tuần hồn với ch u kỳ T0   II Bài tập rèn luyện BT Tìm chu kỳ hàm số: a/ y  sin 2x b/ y  cos d/ y  sin 2x  cos x g/ y  2sin x cos3x x c/ y  sin x 3x 2x  sin e/ y  tan x  cot 3x f/ y  cos h/ y  cos2 4x i/ y = tan(3x + 1) BT Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ sở (nếu có) hàm số sau a) f(x)  cos 3x x cos ; 2 b)y  cos x  cos( 3x);   c)f(x)  sin x ; d)y  tan x 20 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia Hướng dẫn   c) Hàm số f(x)  sin x khơng tuần hồn khoảng cách nghiệm (khơng điểm) liên tiếp dần tới  k  1   k    k  1   k  k   d) Hàm số f(x)  tan x khơng tuần hồn khoảng cách nghiệm (khơng điểm) liên tiếp dần tới   k  1 2  k    k   BT Cho hàm số y  f(x) y  g(x) hai hàm số tuần hồn với chu kỳ T1 ,T2 Chứng minh T1 T2 số hữu tỉ hàm số f(x)  g(x); f(x).g(x); f(x) g(x)  g(x)   hàm số tuần hồn Dạng Vẽ đồ thị hàm số lượng giác Phương pháp 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: - Tìm tập xác định D - Tìm chu kỳ T hàm số - Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) - Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T chọn:  T T  x   0, T0  x    ,   2 - Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ - Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh t iến theo véc tơ v  k.T0 i bên trái    phải song song với trục hồnh Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a c ách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hồnh a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hồnh a đơn vị a < b) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y  f(x  a) cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang phải trục hồnh a đơn vị a > tịnh tiến sang trái trục hồnh a đơn vị a < c) Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hồnh f(x), f(x)  d) Đồ thị y  f(x)   suy từ đồ thò y = f(x) cách giữ -f(x), f(x) < nguyên phần đồ thò y = f(x) phía trục hoành lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x) nằm phía trục hoành qua trục hoành Mối liên hệ đồ thị hàm số 21 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm luyện thi THPT Quốc Gia y=-f(x) Đối xứng qua Ox y=f(x+a) Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị Đối xứng qua Oy Đối xứng qua gốc O y=-f(-x) Tịnh tiến theo y=f(x+a)+b y=f(x) vec tơ v=(a;b) Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Đối xứng qua Ox y=f(-x) Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị y=f(x)+b  3  Ví dụ Hãy xác định giá trị x đoạn  ;  để hàm số y  tanx 2  a) Nhận giá trị 0; b) Nhận giá trị c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm Ví dụ Dựa vào đồ thị y  s inx , vẽ đồ thị hàm số y  s inx Ví dụ Chứng minh sin  x  k   sin 2x với số ngun k Từ vẽ đồ thị hàm số y  sin 2x Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số y  cosx , tìm giá trị x để cosx  Ví dụ Dựa vào đồ thị hàm số y  s inx , tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị âm Ví dụ Dựa vào đồ thị hàm số y  cosx , tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị dương 22 [...]... 2  k 2    khi k   BT 3 Cho hàm số y  f(x) và y  g(x) là hai hàm số tuần hồn với chu kỳ lần lượt là T1 ,T2 Chứng minh rằng nếu T1 T2 là số hữu tỉ thì các hàm số f(x)  g(x); f(x).g(x); f(x) g(x)  g(x)  0  là những hàm số tuần hồn Dạng 5 Vẽ đồ thị hàm số lượng giác Phương pháp 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: - Tìm tập xác định D - Tìm chu kỳ T 0 của hàm số - Xác định tính chẵn – lẻ (nếu... 1 sin3   x   cos3 x  1  sin3 x  cos3 x  1 sin3 x  f  x  Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ Ví dụ 5 Xác định tham số m để hàm số sau: y  f  x   3m sin 4x  cos2x là hàm số chẵn Giải TXĐ: D   Suy ra x  D   x  D Ta có: f   x   3m sin  4x   cos  2x   3m sin 4x  cos2x Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì: f   x   f  x  , x  D  3m sin 4x  cos2x  -3m sin 4x... asin x   3  2b  cos x  1 2a  1  0 a  Đẳng thức trên đúng với mọi x  0 khi   2 3  b  0 b  3  1 Vậy hàm số đã cho lẻ khi a  ,b  3 2 Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Phương pháp: Cho hàm số y  f(x) xác định trên tập D 16 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia  f(x)  M, x  D M  max f(x)... các hàm số sau: a) y  4x 2  cos5x ; b) y  x 2 s inx  cot x Giải a) TXĐ: D   Suy ra x  D   x  D 2 Ta có: f   x   4   x   cos  5x   4x 2  cos5x  f  x  Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn b) TXĐ: D   \ k,k    Suy ra x  D   x  D Ta có:  2  f   x     x  sin   x   cot   x    x 2 sin x  cot x   x 2 sin x  cot x   f  x  Do đó hàm số đã cho là hàm. ..  ;  để hàm số y  tanx 2  a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị bằng 1 c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm Ví dụ 2 Dựa vào đồ thị y  s inx , hãy vẽ đồ thị hàm số y  s inx Ví dụ 3 Chứng minh rằng sin 2  x  k   sin 2x với mọi số ngun k Từ đó vẽ đồ thị hàm số y  sin 2x 1 Ví dụ 4 Vẽ đồ thị hàm số y  cosx , tìm các giá trị của x để cosx  2 Ví dụ 5 Dựa vào đồ thị hàm số y  s inx... trong các điều kiện sau vi phạm  Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn  Tồn tại số a sao cho hàm số khơng xác định vớ i x  a hoặc x  a  Phương trình f(x)  k có vơ số nghiệm hữu hạn  Phương trình f(x)  k có vơ số nghiệm sắp thứ tự  x m  x m 1  mà x m  x m 1  0 hay  I Các ví dụ mẫu Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hồn với chu kỳ cơ sở T0 a)f(x)  s inx, T0... khơng chẵn khơng lẻ b) TXĐ: D   \ k,k    Suy ra x  D   x  D Ta có: f  x   tan  3x   cot  5x  sin  3x   tan  3x   cot  5x  sin  3x   f x Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn BT 4 Tìm tham số a,b để hàm số:  3a  1 s inx  b cos x, khi x  0 y  f x   là hàm số lẻ asin x   3  2b  cos x, khi x  0 Giải TXĐ: D   \ k,k    Suy ra x  D   x  D  TH 1:... a 19 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội - Huế SĐT: 01234332133 Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia - Hàm số y  tan x, y  cot x tuần hồn chu kỳ  Từ đó y  tan  ax  b  ,y  cot  ax  b  có chu kỳ  a T0  Chú ý: y  f1 (x) có chu kỳ T1 ; y  f2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số y  f1 (x)  f2 (x) có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 Các dấu hiệu nhận biết hàm số khơng tuần hồn Hàm số y... Cho hai số x,y thỏa mãn 2 x2 y2   1 Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của biểu thức 9 4 P  x  2y  1 Dạng 4 Chứng minh hàm số tuần hồn và xác định chu kỳ của nó {Tham khảo} Phương pháp Muốn chứng minh hàm số tuần hồn f(x) tuần hồn ta thực hiện theo các bước sau:  Xét hàm số y  f(x) , tập xác định là D  Với mọi x  D , ta có x  T0  D và x  T0  D (1) Chỉ ra f(x  T0 )  f(x) (2) Vậy hàm số y  f(x)...  f(x) tuần hồn Chứng minh hàm tuần hồn với chu kỳ T0 Tiếp tục, ta đi chứng minh T0 là chu kỳ của hàm số tức chứng minh T0 là số dương nhỏ nhất thỏa (1) và (2) Giả sử có T sao cho 0  T  T0 thỏa mãn tính chất (2)   mâu thuẫn với giả thiết 0  T  T0 Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhất thỏa (2) Vậy hàm số tuần hồn với chu kỳ cơ sở T0 Một số nhận xét: - Hàm số y  sin x,y  cos x tuần