http://NGUYEN THANH TUAN.vn DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) n( n + 1) d) 1+n2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) n( n + 3) (n + 1)(n + 2) h) g) i) n( n +1)(n + 2) Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 http://NGUYEN THANH TUAN.vn http://NGUYEN THANH TUAN.vn Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 http://NGUYEN THANH TUAN.vn http://NGUYEN THANH TUAN.vn Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 10: Tính: A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+ +972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tính: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 http://NGUYEN THANH TUAN.vn http://NGUYEN THANH TUAN.vn Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+ +972+992)+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.10098.99+(12+22+32+ +992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+ +993-1003 Hướng dẫn: http://NGUYEN THANH TUAN.vn http://NGUYEN THANH TUAN.vn Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I TỈ LỆ THỨC Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c = (hoặc a : b = c : d) b d Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ Tính chất: Tính chất 1: Nếu a c = ad = bc b d Tính chất 2: Nếu ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức sau: a c = , b d a b = , c d d c = b a , d b = c a Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức lại II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ a c a c a+c a−c = suy ra: = = = b d b d b+d b−d -Tính chất mở rộng cho dãy tỉ số nhau: a c e a c e a+b+c a −b+c = = = = = = = suy ra: b d f b d f b+d + f b−d + f (giả thiết tỉ số có nghĩa) * Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c = = ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, 5 Ta viết a : b : c = : : http://NGUYEN THANH TUAN.vn http://NGUYEN THANH TUAN.vn B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết x y = x + y = 20 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k , suy ra: x = 2k , y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = Do đó: x = 2.4 = y = 3.4 = 12 KL: x = , y = 12 Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau): Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 20 = = = =4 2+3 Do đó: x =4⇒ x =8 y = ⇒ y = 12 KL: x = , y = 12 Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết x y 2y = ⇒x= 3 mà x + y = 20 ⇒ Do đó: x = 2y + y = 20 ⇒ y = 60 ⇒ y = 12 2.12 =8 http://NGUYEN THANH TUAN.vn http://NGUYEN THANH TUAN.vn KL: x = , y = 12 Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: x y y z = , = x − y + z = Giải: Từ giả thiết: x y x y = ⇒ = 12 (1) y z y z = ⇒ = 12 20 (2) Từ (1) (2) suy ra: x y z = = 12 20 (*) Ta có: x y z 2x 3y z 2x − 3y + z = = = = = = = =3 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 Do đó: x = ⇒ x = 27 y = ⇒ y = 36 12 z = ⇒ z = 60 20 KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt x y z = = =k 12 20 VD1) Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z = ⇒y= 5 x y 3y = ⇒x= = 4 mà x − y + z = ⇒ Suy ra: y = 3.60 = 36 , 3z = 9z 20 9z 3z z − + z = ⇒ = 60 ⇒ z = 60 20 10 x= 9.60 = 27 20 http://NGUYEN THANH TUAN.vn ( sau giải cách http://NGUYEN THANH TUAN.vn KL: x = 27 , y = 36 , z = 60 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: x y = x y = 40 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k , suy x = 2k , y = 5k Theo giả thiết: x y = 40 ⇒ 2k 5k = 40 ⇒ 10k = 40 ⇒ k = ⇒ k = ±2 + Với k = ta có: x = 2.2 = y = 5.2 = 10 + Với k = −2 ta có: x = 2.(−2) = −4 y = 5.(−2) = −10 KL: x = , y = 10 x = −4 , y = −10 Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Hiển nhiên x ≠ Nhân hai vế x y x xy 40 = = = =8 với x ta được: 5 ⇒ x = 16 ⇒ x = ±4 + Với x = ta có + Với x = −4 ta có y 4.5 = ⇒y= = 10 −4 y − 4.5 = ⇒y= = −10 KL: x = , y = 10 x = −4 , y = −10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách ví dụ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x y z = = x + y − z = 28 10 21 c) 2x 3y 4z = = x + y + z = 49 http://NGUYEN THANH TUAN.vn b) d) x y y z = , = x + y − z = 124 x y = xy = 54 http://NGUYEN THANH TUAN.vn e) x x y = x − y = y z f) y + z + = z + x + = x + y − = x + y + z Bài 2: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x y z = = x + y − z = 28 10 21 c) 2x 3y 4z = = x + y + z = 49 d) e) x y = x − y = f) y + z + = z + x + = x + y − = x + y + z b) x y y z = , = x + y − z = 124 x y = xy = 54 x y z Bài 3: Tìm số x, y, z biết rằng: a) 3x = y , y = z x − y + z = 32 b) x −1 y − z − = = c) x = y = z x + y − z = 95 d) x y z = = xyz = 810 e) y + z +1 z + x + x + y − = = = x y z x+ y+z x + y − z = 50 f) 10 x = y x − y = −28 Bài 4: Tìm số x, y, z biết rằng: a) 3x = y , y = z x − y + z = 32 b) x −1 y − z − = = c) x = y = z x + y − z = 95 d) x y z = = xyz = 810 e) y + z +1 z + x + x + y − = = = x y z x+ y+z f) 10 x = y x − y = −28 Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x Bài 7: Cho a + b + c + d ≠ http://NGUYEN THANH TUAN.vn x + y − z = 50 a b c d = = = b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c http://NGUYEN THANH TUAN.vn Tìm giá trị của: A = Giải: a+b b+c c+d d +a + + + c+d a+d a+b b+c a b c d a +b +c +d = = = = = ( b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3(a + b + c + d ) Vì a + b + c + d ≠ ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8: Tìm số x; y; z biết rằng: x a) y = 5x – 2y = 87; b) x y = 2x – y = 34; 19 21 2x + 3y − 2x + 3y − = = c) 6x b) x y3 z3 = = x2 + y2 + z2 = 14 64 216 Bài 9: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30 Bài 10: Tìm số x, y, z biết : a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = - 15 b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, : x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3 Bài 11 Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai lần tổng a b ? Giai Rút được: a = - 3b, từ suy : a = - 2,25; b = 0,75 Bài 12: Cho ba tỉ số nhau: số ? a b c , , b +c c +a a +b Biết a+b+c ≠ Tìm giá trị tỉ Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó? Bài 14: Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = 2 chúng lập thành tỉ lệ thức 2 Giải:  ab ( ab − 2cd ) + c d   ab ( ab − ) + 2(ab + 1)  = http://NGUYEN THANH TUAN.vn 10 http://NGUYEN THANH TUAN.vn BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỷ lệ 15 Cạnh huyền 51 cm Tính độ dài cạnh góc vuông ? HD: Giả sử tam giác ABC vuông A =>AB=8k AC=15k Ta có AB + AC = (8k ) + (15) = 512 => 289k = 2601 => k = Vậy AB= 8.3= 24 m AC=15.3= 45 m BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH,trên lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E cho HE=AD Đường vuông góc AH D cắt AC F Chứng minh EB vuông góc E F ? HD: A D B F H C E Vì AD=HE=>AH=DE Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được: BF = AB + A F = ( BH + AH ) + ( AD + DF ) BF = HB + DE + HE + DF = ( BH + HE ) + ( DE + DF ) = BE + E F Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông E=> EB vuông góc E F BÀI 17: Một tre cao m Bị gãy ngang thân Ngọn chạm đất cáh gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc mét ? HD : B = C x? A http://NGUYEN THANH TUAN.vn = D 69 http://NGUYEN THANH TUAN.vn Gọi AB chiều cao tre Điểm gãy C Ngọn cham đất cách gốc m điểm C CB=CD Tam giác vuông ACD có : AC + AD = CD x + = (9 − x) => x = 4met BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(5;4); B(2;3) C(6;1) Tính góc tam giác ABC ? HD x A(5;4) B(2;3) C(6;1) x O Ta có : AB = (5 − 2) + (4 − 3) = 10(1) 2 AC = (5 − 6) + (4 − 1) = 10(2) BC = (6 − 2) + (1 − 3) == 20 Từ (1) (2) => tam giác ABC cân AB + AC = BC = 20 => ∆ABCvuong Vậy góc A =90 độ góc B = góc C= 45 độ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦTAM GIÁC VUÔNG BÀI 19: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM phân giác a/ Chứng minh tam giác ABC cân b/ Cho AB=37; AM =35 Tính BC ? HD: (H.1) A A F H (H.1) B http://NGUYEN THANH TUAN.vn D K M C 70 (H.2) B E C http://NGUYEN THANH TUAN.vn a/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC Chứng minh ∆HAM = ∆KAM (ch + gn) => MH = MKA ∆HMB = ∆KMC (ch + cgv) => Bˆ = Cˆ => ∆ABCcantaiA b/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC =>BM= AB − AM = 12 => BC = 24 BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao a/ Chứng minh tam giác ? b/ Cho biết đường cao có độ dài a Tính độ dài cạnh tam giác đó? HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao là: AD=BE=C F a/ Ta chứng minh ∆FBC = ∆ECB(ch + cgv) => Bˆ = Cˆ ; => Cˆ = Aˆ => ∆ABCdeu b/ Gọi độ dài cạnh x.Xét tam giac ADC vuông D có AC = AD + CD => x = a : BÀI 21: Cho tam giác ABC cân  Â=80 độ Gọi O điểm nằm tam goác cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ Chứng minh tam giác COA cân.? M M A A O O B C B (H.1) C ( H.2) HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ Vẽ thêm tam giác BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)  góc MCA=60-50=10 độ  ∆AMB = ∆AMC (CCC ) => AMˆ B = AMˆ C = 60 : = 30  ∆OBC = ∆AMC ( gcg ) => CO = CA => ∆COAcan http://NGUYEN THANH TUAN.vn 71 http://NGUYEN THANH TUAN.vn BÀI 22: Cho tam giác ABC cân A góc Â= 100 độ.Goi O điểm nằm tia phân giác góc C cho góc CBO=30 độ Tính góc CAO ? HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác BCM9M,A nửa mặt phẳng bờ BC) Chứng minh tương tự 19=> ∆COAcantaiC => ACˆ O = 40 : = 20 Suy ra: CAˆO = (180 - 20) : = 80 Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC Kẻ đường vuông góc AB B vuông góc AC C hai đường nầy cắt D a/ Chứng minh AD phân giác góc A ? b/ So sánh AD & CD ? HD: (H1) A A ( Hình 2) B D C B E M N C D (xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> Aˆ1 = Aˆ Suy AD phân giác góc  b/ Suy AD=CD ( cạnh tương ứng) BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D điểm thuộc AB E môt điểm thuộc AC cho AD=AE Từ D E hạ đường vuông góc với BC Chứng minh BM=CN ? HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C Suy tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN BÀI 25: Cho góc xÔy O x lấy điểm A Trên O y lấy điểm B Gọi M trung điểm AB Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF vuông góc với tia OM Chứng minh AE=BF ? HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF x (Ch+gn)=>AE=BF http://NGUYEN THANH TUAN.vn 72 http://NGUYEN THANH TUAN.vn A E M F O y BÀI 26: Cho tam giác ABC tia phân giác góc B,góc C cắt O Kẻ OE,O F,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC a/ Chứng minh OE = O F=O b/ Tia AO cắt BC D Chứng minh góc BOD=góc góc COG HD: A E F O 2 B G D C ∆BOß = ∆BOG(ch + gn) => OF = OG (1) a/ Chưng minh: ∆COG = ∆COE(ch + gn) => OE = OG(2) T u (1) & (2) => OE = OF= OG 2 b/ ∆AOE = ∆AO F => Aˆ = Aˆ = Aˆ ;Bˆ = Bˆ = Bˆ & Cˆ1 = Cˆ = Cˆ Suy Aˆ1 + Bˆ + C = 180 : = 90 (1) Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> Bˆ1 + BOˆ G = 90 (2) http://NGUYEN THANH TUAN.vn 73 http://NGUYEN THANH TUAN.vn Từ (1) và(2) => Aˆ1 + Cˆ = BOˆ G (3)  Từ (3) (4)=> BOˆ G = COˆ D BOG = GOˆ D = COˆ D + GOˆ D, BOˆ D = COˆ G BIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Bài 1:Tính giá trị biểu thức : A = x2 + 4xy – 3y3 với x = 5; y = 4x − 4y + Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị biểu thức : B = x + y − y + x ( x ≠ - 3y ; y ≠ 3x) Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau : x ( x + y )( x − y )( x + y )( x + y ) với x = y = x 16 + y 16 a) A = b) B = 2m2 – 3m + với m = c) C = 2a2 – 3ab + b2 với a = b = Bài 4: Xác định giá trị biến để biểu thức sau có nghĩa : ax + by + c xy − y 6x + x − Bài 5: Tính giá trị biểu thức : N= 2x − a) x +1 x2 − b) x −1 x2 +1 c) Bài : Tìm giá trị biến để : a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị Bài : Tính giá trị biểu thức sau : 5x + y A= 10 x − y với với x = b) B = x2 – 12x + có giá trị x y = Bài 8: Cho x, y, z ≠ x – y – z = Tính giá trị biểu thức z  x  y  B = 1 − 1 − 1 +   x  y  z Bài 9: a) Tìm GTNN biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - ) – 10 b) Tìm GTLN biểu thức sau : D = Bài 10: Cho biểu thức E = ( x − 3) + 5− x Tìm giá trị nguyên x để : x−2 a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ Bài 11: Tìm GTNN biểu thức sau : http://NGUYEN THANH TUAN.vn 74 http://NGUYEN THANH TUAN.vn a) (x – 3)2+ b) (2x + 1)4 – c) (x2 – 16)2 + y − - Bài 12: Tìm GTNN biểu thức :A = x − + x − 10 Bài 13: Tìm giá trị nguyên x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên : A= 10 x + 15 5x + Bài 14: Cho f(x) = ax + b a, b ∈ Z Chứng minh đồng thời có f(17) = 71 f(12) = 35 Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c Chứng minh số nguyên a, b, c làm cho f(x) = x = 1998 f(x) = x = 2000 Bài 16: Chứng minh biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + nhận giá trị dương với giá trị x Bài 17: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : B = x − − x + với x ≤ 11 Bài 18: Chứng minh đẳng thức sau : a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2 d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau : a) A = ( 15x + 2y) - [ ( x + 3) − ( x + y ) ] b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) - [13x + ( y − 5) ] Bài 21: Đặt thừa số chung để viết tổng sau thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2 d) x2+ 5x + Bài 22: Chứng tỏ : a) Biểu thức x2 + x + luôn có giá trị dương với giá trị x b) Biểu thức – 2x2 + 3x – không nhận giá trị dương với giá trị x Bài 23*: Tìm x, y số hữu tỷ biết rằng: x a) x + = x b) x + = c) x + = y − x (n∈ N) Bài 24: Tìm x, y số nguyên biết: a) y = x+2 x −1 b*) y = d) (x-2) 25n + + y- 2= 2x − x +1 ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG http://NGUYEN THANH TUAN.vn 75 http://NGUYEN THANH TUAN.vn Bài tập Bài 1: Cộng trừ đơn thức : a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2) c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an Bài 2: Thực phép tính sau : a) x x 3x + + 2   c)  ac  c2 3  b) 3ab ac – 2a.abc - a bc 2 a (c.c)2 + ac2.ac - a2c2 Bài 3: Cho đơn thức A = x2y B = xy2 Chứng tỏ x,y ∈ Z x + y chia hết cho 13 A + B chia hết cho 13 Bài 4: Cho biểu thức : P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n ∈ N) Với giá trị a P > Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k ∈ N) Với giá trị x k Q < Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = ( n ∈ N; n ≠ 0) Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 x+ x + z = Chứng tỏ A + B + C = xyz Bài 8: Tìm đơn thức đồng dạng với đơn thức sau: x y ;−3 x y;4 x ;5; ax y ; x y Bài9: Tính tổng : a) 5 y z − y z + y z b) axy − bxy + xy Bài10: Rút gọn biểu thức sau : http://NGUYEN THANH TUAN.vn 76 http://NGUYEN THANH TUAN.vn a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ + 2n +2 – 2n + + 2n c)90.10k – 10k+2 + 10k+1 d) 2,5.5n – 10 + 5n – 6.5n- Nâng cao Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a ≠ 0; b ≠ 0) Tìm GTNN M Bài : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 Chứng tỏ : Ax2 + Bx + C = Bài 3: Chứngminh với n ∈ N* a) 8.2n + 2n+1 có tận chữ số không b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25 c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300 Bài 4: Cho A = ( - 3x5y3)4 B = ( 2x2z4)5 Tìm x,y,z biết A + B = Bài 5: Rút gọn: a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + , N = 5a2 + a , P = a2 – b) 2y – x - { x − y − [ y + 3x − ( y − x ) ]} với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2 c) 5x – - x − Bài 6: Tìm x,biết : a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6 b) ( 2  1  1  1  x + ) –  x −  -  x + 1 =  x +  -  x −  3  6  3  3  Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) cho : abc + bca + cab = 666 Bài 8: Có số tự nhiên abc mà tổng abc + bca + cab số phương không ? Bài9 : Tính tổng : a) (- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5) b) (2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2) c) (15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2) 3 x d) (4x2+x2y -5y3)+( x − xy − x y )+( + 10 y )+ ( y − 15 xy − x y − 10 x ) Bài 10: Rút gọn biểu thức sau http://NGUYEN THANH TUAN.vn 77 http://NGUYEN THANH TUAN.vn a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z) ( c / ( 5,7 x ) ( b / x + 6x + y − 2x − 5x + y ) ( ) y − 3,1xy + y − 6,9 xy − 2,3x y + y 3 ) d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x M= e) − 2x  x −  5x  x  + x − − −  −  5 5 5 6 Bài 11: Tìm x biết: a) x +2x+3x+4x+… + 100x = -213 b) 1 1 x− = x− e) x − x − x − x − x − 10 x − 11 + + = + + 10 11 12 g) x − = 13 c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 h) x − + x − = − − f) d) x +1 x − = x + 32 x + 23 x + 38 x + 27 + = + 11 12 13 14 −1 i) 3x − + = + x − k) x + + x − =3 m) (2x-1)2 – =20 n) ( x+2)2 = 1 − p) ( x-1)3 = (x- 1) q*) (x-1)x+2 = (x-1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y số tự nhiên Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG I/ MỤC TIÊU: http://NGUYEN THANH TUAN.vn 78 http://NGUYEN THANH TUAN.vn 1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh số phương số tính chất có liên quan số phương pháp giải toán dựa vào số phương 2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ áp dụng tính chất để nhận biết số phương giảimột số dạng toán có liên quan 3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính xác vận dụng vào thực tế II/ LÝ THUYẾT: 1.Định nghĩa: Số phương số bình phương số tự nhiên Ví dụ: = 9;15 = 225 Các số 9; 225 bình phương số tự nhiên : 3; 15 gọi số phương Một số tính chất: a) Số phương tận : 0; 1; 4; 5; 6; tận 2; 3; 7; b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục Thật ,giả sử M = a5 = (10a + 5) = 100a + 100a + 25 Vì chữ số hàng chục 100a 100a số nên chữ số hàng chục số M c) Một số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Thật vậy, giả sử số phương N=a2 có chữ số tận chữ số hàng đơn vị số a Giả sử hai chữ số tận số a b4 (nếu b6 chứng minh tương tự ), Khi b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16 Vì chữ số hàng chục số 100b2 80b số chẵn nên chữ số hàng chục N số lẻ d) Khi phân tích thừa số nguyên tố ,số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Thật ,giả sử A = m2 =ax by.cz …trong a,b,c ,…là số nguyên tố khác nhau,còn x,y,z…là số nguyên tố dương , A = m2 = (ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z… Từ tính chất suy -Số phương chia hết cho chia hết cho -Số phương chia hết cho chia hết cho -Số phương chia hết cho chia hết cho 25 -Số phương chia hết cho chia hết cho 16 3/ Nhận biết số phương: 4/ Hằng đẳng thức vận dụng: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) Các ví dụ: Ví dụ Chứng minh : http://NGUYEN THANH TUAN.vn 79 http://NGUYEN THANH TUAN.vn a) Một số phương viết dạng 4n+2 họăc 4n +3 (n∈N); b) Một số phương viết dạng 3n+2(n∈N) Giải a) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (k∈N), (2k)2 = 4k2 số chia hết cho số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (k∈N) , Khi (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 số chia cho dư Như số phương chia hết cho chia cho dư , viết đựơc dạng 4n+2 4n+3(n∈N) b) Một số tự nhiên viết dạng 3k 3k ± (k∈ N) bình phương có dạng(3k)2 =9k2 số chia hết cho ,hoặc có dạng (3k ± 1)2= 9k2 ± 6k +1 số chia cho dư 1.Như số phương viết dạng 3n+2(n∈N) Ví dụ 2: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương Giải Cách Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho là: 1, 3, 5, ,9 tổng chúng :1+3+5+7+9=25 =52 số phương Cách Nếu số phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận số a số chẵn, a 2 nên a2 4 Theo dấu hiệu chia hết cho chữ số tận số Mchỉ 16,36,56,76,96.Từ ,ta có : 1+3+5+7+9=25=52là số phương Ví dụ3: Tìm số tự nhiên n có chữ số, biết số 2n+1 3n+1 đồng thời số phương Trả lời n số tự nhiên có chữ số nên 10 ≤ n < 100, 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 số phương lẻ nên 2n+1 nhận giá trị :25; 49; 81; 121; 169 Từ n nhận giá trị 12, 24, 40, 60,84 Khi số 3n+1 nhận giá trị : 37; 73; 121; 181; 253 Trong số có số 121=112 số phương Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm n=40 Ví dụ 4: http://NGUYEN THANH TUAN.vn 80 http://NGUYEN THANH TUAN.vn Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 số phương Giải Vì p tích n số nguyên tố nên p chia hết cho p không chia hết cho (1) a) Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m∈N) Vì p số chẵn nên p+1 số lẻ , m2 số lẻ ,vì m số lẻ Đặt m=2k+1 (k∈N) Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ , suy p+1= 4k2+ 4k+ p=4k(k+1) số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1) Vậy p+1 không số phương b)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho Do p-1 = 3k+2 không số phương Vậy p tích n số nguyên tố p-1 p+1 không số phương III/ BÀI TẬP: BÀI TẬP BÀI GIẢI Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết Nếu mệnh đề (1) từ (2) suy n + 20 mệnh đề sau có có số tận 2; Từ mệnh đề (3) suy n – mệnh đề mệnh đề 69 có chữ số tận Một số sai: phương chữ số tận 1/ n có chữ số tận Như (1) (2) (3) sai, trái 2/ n + 20 số giã thiết Vậy mệnh đề (1) sai mệnh đề (2) phương (3) 3/ n – 69 số Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b ∈ N a > b) phương => a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1 a + b = 89 suy a = 45 Vậy n = 452 –  a−b =1 Do đó:  Bài 2: Cho N tổng số phương Chứng minh rằng: a/ 2N tổng số phương b/ N2 tổng số phương Bài 3: Cho A, B, C, D số phương Chứng minh rằng:(A + B)(C + D) tổng số phương Bài 4: Cho số nguyên x, y, z cho: x = y + z Chứng minh rằng: 2(xy + xz – yz) tổng http://NGUYEN THANH TUAN.vn 20 = 2005 Gọi N = a2 + b2 (a, b ∈ N) a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab = (a + b)2 + (a – b)2 tổng số phương b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 + b2+ 4a2b2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2 Theo toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2; Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) = = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) tổng số phương Vì x = y + z => x – y – z = => (x – y – z)2 = => x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = => 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2 81 http://NGUYEN THANH TUAN.vn số phương Bài 5: Cho a, b, c, d số nguyên thoả mãn: a – b = c + d Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 tổng số phương Từ a – b = c + d => a – b – c – d = => 2a(a – b – c – d) = Nên ta suy ra: a2 + b2 + c2 + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(a – b – c – d) = (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2 Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + = = (n2 + n + 1)2 n2 + n số chẵn n2 + n + số lẻ Suy (n2 + n + 1)2 số phương lẻ a/ Từ toán ta suy ra: an+1 = + + + + (n + 1) Bài 6: Cho số phương liên tiếp Chứng minh tổng số cộng với tích chúng số phương lẻ Bài 7: Cho an = + + + + n (1 + n)n (1 + n + 1)(n + 1) a/ Tính an+1 b/ an + an+1 = + = 2 b/ Chứng minh an + an+1 (n + 1)(n + n + 2) số phương = = (n + 1)2 C MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Cho số tự nhiên A B số A gồm có 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số Chứng minh : A+B +1 số phương Bài Tìm số tự nhiên có chữ số, biết hiệu bình phương số số viết hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Bài3 Tìm số phương có chữ số , biết chữ số hàng trăm , hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị số tự nhiên liên tiếp tăng dần Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, người ta lập tất số có chữ số , số gồm chữ số khác Hỏi số lập có số chia hết cho 11 không ? Có số số phương không? Bài Người ta viết liên tiếp số : 1, 2, 3,…, 1994 thành hàng ngang theo thứ tự tuỳ ý Hỏi số tạo thành theo cách viết số phương không? http://NGUYEN THANH TUAN.vn 82 http://NGUYEN THANH TUAN.vn http://NGUYEN THANH TUAN.vn 83