Phương pháp giải toán Đại số ÔN TẬP LÍ THUYẾT Các công thức lũy thừa: an = a.a a 123 n thua so a = ∀a ≠ a− n = (am )n = (an ) m = am.n n an m a n a = ( a) = a m m n m n am an = am+ n a a an ( )n = b bn n k 10 = am− n a 11 12 (a.b)n = an b n n − a = nk a m n = m an = n m a  a, voi n = 2k + a =  a voi n = 2k  n Bảy đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A-B)2 = A2-2AB+B2 A2-B2 = (A+B)(A-B) (A+B)3= A3+3A2B+3AB2 +B3 (A+B)3= A3+B3 +3AB(A+B) (A-B)3= A3-3A2B+3AB2 -B3 (A-B)3= A3-B3 -3AB(A-B) A3+B3= (A+B)(A2-AB+B2) A3-B3= (A-B)(A2+AB+B2) (a1+a2+a3+ +an-1+an)2 = a12 + a22 + a32 + + a2n + 2a1a2 + 2a1a3 + + 2a1a n + 2a2a3 + a n −1a n an + bn =(a+b)(an-1 – an-2 b + an-3.b2+ + bn-1) ĐƠN THỨC-ĐA THỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số - Đơn thức: biểu thức gồm số, biến tích số biến: VD: 3; 3xy; … Bậc đơn thức tổng số mũ biến: VD: 3xy2z3: bậc Đơn thức đồng dạng: đơn thức giống phần biến khác hệ số Đa thức: tổng đơn thức, bậc đa thức bậc đơn thức cao DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN CỘNG TRỪ, NHÂN CHIA ĐA THỨC: PP: - Cộng, trừ đơn thức ta cộng hệ số giữ nguyên phần biến Cộng trừ đa thức ta cộng đơn thức đồng dạng với Nhân(chia) hai đơn thức ta nhân (chia) phần hệ số cho hệ số, biến cho biến Nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức Nhân hai đa thức: ta lấy hạng tử đa thức nhân với hạng tử đa thức Chia hai đa thức ta xắp xếp theo lũy thừa giảm dần rôi thực phép chia BÀI TẬP: NHÂN ĐA THỨC Bài 1: Thực phép tính sau: ( x –1)( x + x ) ( x + 3)( x + x – 5) (2 x − 1)(3x + 2)(3 – x ) a) b) ( x + 1)( x – x + 1) c) (2 x − x − 1).(5 x + 2) ( x − x + 3).( x − 4) e) d) f) Bài 2: Thực phép tính sau: −2 x y(2 x – 3y + 5yz) ( x – y )( x y − xy + y ) a) b) 2 x y.(3 xy – x + y) c) ( x – y )( x + xy + y ) (2 x + 3y ) a) e) c) d)  2  2  x + y ÷  x −    y÷  f) 2   x − y÷  3 (3 x – y)3 g) k) GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học ( x − 3y )( x + xy + y ) h) (2 x –1)(4 x + x + 1) ( x + y + z)( x + y – z) ( x − 3).( x + x + 9) i) (2 x + y ) (5 x – y ) f) b) 1  x+ ÷ 4  1   xy –1÷.( x – x – 6) 2  d) e) Bài 3: Thực phép tính cách sử dụng đẳng thức: 2 xy( x y – x + 10 y) l) (5 + x )3 m) Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số Bài 4: Cho a+b=S ab = P A = a + b2 Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: B = a + b3 C = a4 + b4 a) b) c) Bài 5: Cho a+b+c=0, Chứng minh M=N=P M=a(a+b)(a+c); N=b(b+a)(b+c); P=c(c+a)(c+b) Bài 6: Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 28 chữ số 1, chứng minh a.b-1 chia hết cho Bài 7: Số 350+1 có phải tích số tự nhiên liên tiếp không Bài 8:Thực phép tính: (−2)5 : (−2)3 (− y )7 : (− y )3 a) x12 : (− x10 ) b) (2 x ) : (2 x )3 c) (−3 x )5 : (−3 x )2 d) Bài 9: Thực phép tính: ( xy )4 : ( xy )2 e) f) ( x + 2)9 : ( x + 2)6 ( x + x + 4)5 : ( x + x + 4) b) (x-y)4: (x-y)3 a) 2( x + 1)3 : ( x + 1) 5( x − y)5 : ( x − y)2 6 xy : 3y x y : xy d) e) Bài 10: Thực phép tính: a) b) x y : xy3 d) g) 8x y : xy c) ( −4 x y ) : x y e) 3  2 x y :− x y ÷   c) xy3z4 : (−2 xz3 ) f) x y z :12 xy3 h) (2 x y )(3xy ) : x y i) (3a2 b)3 (ab3 )2 (2 xy )3 (3 x y)2 (a2 b2 )4 (2 x 3y )2 k) l) Bài 11:Thực phép tính: (2 x − x + x ) : x a) (3x − x + x ) : (−2 x ) b)   ( x – x y + xy ) :  − x ÷   ( −2 x + x – x ) : x c) 3( x − y)5 − 2( x − y )4 + 3( x − y)2  : 5( x − y)2 d) e) GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số Bài 12:Thực phép tính: 3 2 (3x y + x y − x y ) : x y a) b) (9 x y3 − 15 x y ) : x y − (2 − x y )y c) 3 3 5 3  a x + a x − ax ÷: ax 10 5  (6 x − xy ) : x + (2 x y + xy ) : xy − (2 x − 1) x d) e) (x2-xy):x + (6x2y5-9x3y4+15x4y3): x2y3 Bài 13: Thực phép tính: ( x –3 x ) : ( x –3) a) (2 x + x − 4) : ( x + 2) b) ( x – x –14) : ( x – 2) c) ( x − x + x − 3) : ( x − 3) d) ( x + x –12) : ( x – 2) e) (2 x − x + x –15) : (2 x – 5) f) (−3 x + x − x + 15) : (5 − x ) g) Bài 14: Thực phép tính: (− x + x − 26 x + 21) : (2 x − 3) h) (2 x − x + x − − x ) : ( x − 3) a) ( x + x + x + 1) : ( x + 1) b) (2 x + x – x + 3) : (2 x – x + 1) c) (8 x − x − 10 x + x − 5) : (3 x − x + 1) d) (− x + x − − x + x ) : ( x + x − 1) e) Bài 15: Thực phép tính: (5 x + xy − y ) : ( x + y ) a) ( x − x y + x y − xy ) : ( x + y ) b) (4 x + xy − y + x y − x y ) : (2 x + y − xy ) c) Bài 16: Thực phép tính: (2a3 + 7ab2 − 7a2 b − 2b3 ) : (2a − b) d) (2 x + y )2 : ( x + y ) − (9 x − 12 x − x ) : (−3 x ) − 3( x + 3) a) (13 x y − x + y − 13 x y − 13 xy ) : (2 y − x − xy ) b) Bài 17: Cho x,y nguyên: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số a) Cho 5x+y 19 Chứng minh A=4x-3y 19 b) Cho 4x+3y 13 Chứng minh rằng: B=7x+2y 13 Bài 18: a) Cho số lẻ lien tiếp, Chứng minh hiệu tích hai số cuối với tích hai số đầu chia hết cho 16 b) Cho số nguyên lien tiếp Hỏi tích số đầu với số cuối nhỏ tích hai số đơn vị? c) Cho số nguyên liên tiếp, giả sử tích số đầu với số thứ ba nhỏ tích số thứ hai số thứ tư 99 Tìm bốn số nguyên đó? Bài 19: Cho b+c=10 Chứng minh (10a+b)(10a+c)=100a(a+1) +bc Áp dụng: Tính 62.68; 43.47 Bài 20: ĐÁP SỐ Bài 1: a,( x2-1)(x2+2x)=x2(x2+2x)-1(x2+2x)=x4+2x3-x2-2x b, -6x3+17x2+5x-6 c, x3+6x2+4x-15 d, x3+1 e, 10x4+4x3-15x2-11x-2 f, x3-6x2+11x-12 Bài 2: a, -4x5y+6x3y2-10x3y2z b, x3y2-x2y+2xy-2x2y3+2xy2-4y2 c, x3y2-2x2y+4xy2 d, 2x3y2- x4y +x2y2 e, x3-y3 f, x4y-x2y-3xy-x3+2x+6 Bài 3: a, 4x2+12xy+9y2 b, 25x2-10xy+y2 c, 8x3+12x2y2+6xy4+y6 d, x4 - y2 e, x2+ x+ f, x6 - x4y + x2y2 - y3 g, 27x6-54x4y+36x2y2-8y3 h, x3-27y3 i, x6-27 k, x2+4y2-z2+4xy l, 8x3-1 m, 125+225x+135x2+27x3 Bài 4: a, a2+b2= (a2+2ab+b2)-2ab=(a+b)2-2ab=S2-2P b, a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=S(S2-2P-P)=S3-3PS ( thay a2+b2=S2-2P) c, a4+b4= a4+2a2b2+b4-2a2b2=(a2+b2)2-2a2b2=(S2-2P)2-2S2 Bài 5: Vì a+b+c=0 nên a+b=-c; a+c=-b; b+c=-a Ta có: M=a.(-c)(-b)=abc; N=b(-c)(-a)=abc; P=c(-b)(-a)=abc Vậy M=N=P Bài 6: a chia dư nên a=3m+1, b chia dư nên b=3n+1 Suy ra: a.b-2=(3m+1)(3n+1)-1=9mn+3n+3m+1-1=9mn+3n+3m chia hết cho đpcm Bài 7: số chia dư nên không tích số liên tiếp GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Phương pháp giải toán Đại số Bài 8: a, (-2)2=4 b, y4 c, -x2 d, x3 e, (-3x)3 f,( xy2)2=x2y4 Bài 9: a, (x+2)3 b, x-y c, (x2+2x+4)4 d, 6(x2+1)2 e, 6(x-y)3 Bài 10: a, 2xy b, 3xy c, 4x d, 5xy2 e, -2x2y2 f, -1/2y3z g, -3/2xy h, 3/4xyz i, 3xy Bài 11: a, 2x2-x+5 b, -3/2.x3+x2-1/2.x c, -x3+3/2-2x d, -2x2+4xy-6y2 e, 3/5.(x-y)3-2/5.(x-y)2+3/5 Bài 12: a, 3/2.x3+2xy-5/2.y2 b, a5+5/7.a2x-3/2.x2 c, y2-2x2y3 d, 7x+2y e, x-y+4y2-6xy+10x2 Bài 13: a, x2 b, 2(x-1) c, x3+2x2+4x+7 d, x2+1 e, x2+3x+6 f, x2+3 g, x2+3 h, 3x2+4x-7 Bài 14: Các em xắp xếp lại đa thức bị chia theo lũy thừa giảm dần thực phép chia dùng phương pháp phân tích thành nhân tử: a, 2x2+x+1 b, x2+1 c, x+3 d, x2-2x-5 e, 2x2-3x+4 Bài 15: Các em dùng phép chia phân tích đa thức thành nhân tử: a, 5x-y b, x2-xy c, 2x2+xy-y2 d, a2-3ab+2b2 Bài 16: a, 4(x+2y)-(-3x2+4x-1)-3x2-9=8y-8 b, 5x2-2xy+3y2 Bài 17: a, Vì 5x+y 19 nên 3(5x + y) 19 Ta có: 19x 19 nên 19x-3(5x+y) 19 hay 4x-3y 19 b, Ta có: 3B-2(4x+3y)=13x 13 mà 2(4x+3y) 13 nên 3B 13 Mà ƯC(3;13)=1 nên B 13 Bài 18: a, Gọi số lẻ 2n+1; 2n+3; 2n+5; 2n+7 Ta có: hiệu tích hai số cuối với tích hai số đầu là: (2n+7)(2n+5)-(2n+1)(2n+3)=(4n2+24n+35)-(4n2+8n+3)=16n+32 16 đpcm b, Gọi số nguyên liên tiếp n, n+1, n+2, n+3 Ta có: (n+1)(n+2)-n(n+3)=2 Vậy tích số đầu với số cuối nhỏ tích hai số đơn vị c, Tương tự câu c, ta có: (n+1)(n+3)-n(n+2)=99 suy 2n+3=99, n=48 Bài 19: Ta có: (10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc= 100a2+100a+bc=100a(a+1) +bc Áp dụng: 62.68=(10.6+2)(10.6+8)=100.6(6+1)+2.8=4200+16=4218; 43.47=(10.4+3)(10.4+7)=…… GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Phương pháp giải toán Đại số DẠNG : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: PP: - Ta rút gọn biểu thức, sau thay giá trị x vào biểu thức rút gọn - Chú ý toán có quy luật: để tính giá trị biểu thức x=a ta thường phân tích thừa số để suất tích (x-a) BÀI TẬP: Bài 1: Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: A = ( x − 2)( x + x + x + x + 16) a) với x =3 B = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + x − 1) b) với C = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + 1) c) x=2 với D = x (10 x − x − 2) − x (4 x − x − 1) d) x=2 x = −5 với HD: a, Thực phép nhân đa thức rút gọn ta được: A=x5-32 nên A(3)=35-32=211 Tương tự: b, B=x8-1 nên B(2)=255 c, C=x7+1 nên C(2)=129 d, D= x nên D(-5)=-5 Bài 2: Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: x = 2, y = − A = ( x − x y + xy − y )( x + y) a) với B = (a − b)(a + a3b + a2 b2 + ab3 + b ) b) a = 3, b = −2 với 2 2 2 C = ( x − xy + y )( x + y ) + x y − x y + xy với 1 x = − ,y = − 2 c) HD: Thực phép nhân đa thức rút gọn ta được: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số a, A=x4-y4 Thay x=2; y=-1/2 ta A=255/16 b, B=a5-b5 nên B=275 c, C=x4+2y4 nên C=3/16 Bài 3: Tính giá trị đa thức: P( x ) = x − 80 x + 80 x − 80 x + + 80 x + 15 a) với Q( x ) = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 b) với R( x ) = x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 c) với P(79) = 94 x = 79 HD: x=9 Q(9) = HD: x = 16 S ( x ) = x10 − 13 x + 13 x − 13 x + + 13 x − 13 x + 10 với d) x = 12 e) L(x)=x6-20x5-20x4-20x3-20x+3 với x=21 HD: a, P(x)=x7-79x6-x6+79x5+x5….+79x+x+15=x6(x-79)-x5(x-79)… -x(x-79)+x+15 P(79)=79+15=94 b, Q(x)=x14-9x13-x13+9x12+x12….-9x-x+10=x13(x-9) – x12(x-9)……+x(x-9) – x+10 Q(9)=-9+10=1 c, R(x)=x3(x-16)-x2(x-16)+x(x-16)-x+20 nên R(16)=-16+20=4 d, S(x)=x9(x-12)-x8(x-12)… +x(x-12) – x +10 nên S(12)= -12+10=-2 e, L(x)=x6-21x5+x5-21x4+x4…+x2-21x +x+3=x5(x-21)+x4(x-21)….+x(x-21)+x+3 nên L(21)=21+3=24 Bài 4: Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: A = x3 + 3x2 + 3x + B = x − 3x + x x = 19 a) với b) HD: a) A=(x+1)3+5 nên A(19)=(19+1)3+5=8005 b) B=(x3-3x2+3x-1)+1=(x-1)3+1 nên B(11)=(11-1)3+1=1001 Bài 5: Cho x+y=9 ; xy=14 Tính: a) x-y ; b) x +y ; với x = 11 c)x +y GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số HD: a, Đặt P=x-y suy P2=(x-y)2=x2+y2-2xy=(x2+2xy+y2)-4xy=(x+y)2-4xy=92-4.14=25 nên P= P=-5 b, x2+y2=(x2+2xy+y2)-2xy=(x+y)2-2xy=92-2.14=53 c, x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=9(53-14)= 351 Bài 6: Cho x>y>0; x-y=7; x.y=60 Không tính x,y tính giá trị biểu thức sau: A=x2-y2 B=x4-y4 HD: Ta có: (x+y)2=(x-y)2+4xy=72+4.60=289 nên x+y=17 x+y=-17 A=(x-y)(x+y) Với x-y=7 x+y=17 A=119 Với x-y=7 x+y=-17 A=-119 B=(x2-y2)( x2+y2) Ta có: x2+y2=(x+y)2-2xy=289-2.60=169 Với x2-y2=119 x2+y2=169 B=20111 Với x2-y2=-119 x2+y2=169 B=-20111 Bài 6: Tính giá trị: A= x3+9x2+27x+27 x=-103 B= x3-15x2+75x x=25 C= (x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1) x=-3 D=2(x3-y3)-3(x+y)2 với x-y=2 HD: A=(x+3)3 nên A(-103)=( -103+3)3=-1000000 B=x3-3.x2.5+3.x.52-53 +75=(x-5)3+75 nên B(25)=(25-5)3+75=8075 C=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=(x3+1)(x3-1)=x6-1 nên C(-3)=(-3)6-1=728 D=2(x-y)(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)=4(x2+xy+y2)-3(x2+2xy+y2)= x2-2xy+y2=(x-y)2=4 DẠNG 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM NGHIỆM ĐA THỨC: PP: - Dùng phân tích, đặt nhân tử chung đưa toán tìm x - Chú ý trị tuyệt đối, căn, dạng tích, dạng tổng bình phương, dạng phương trình - bậc 2, bậc nhẩm nghiệm dùng phương pháp tách Nghiệm nguyên đa thức ước số hạng tự Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên đa thức: f(x)=2x 4+7x3-2x2-13x+ phân tích đa thức thành nhân tử Hạng tử tự 6; Ư(6)=+ ±1; ±2; ±3; ±6 GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số Có:f(-1)=2-7-2+13+6=12 ≠ nên -1 nghiệm đa thức f(-2)=32-56-8+26+6=0 => -2 nghiệm đa thức f(-3)=162-189-18+39+6=0 nên -3 nghiệm đa thức f(1)=2+7-2-13+6=0 nên nghiệm đa thức f(2)=32+56-8-26+6=60 ≠ nên nghiệm đa thức f(3)=162+189-18-39+6=300 ≠ nên nghiệm đa thức Đa thức có nghiệm hữu tỷ mẫu số phải ước 2, Do 1,2,-1,-2 mẫu số nghiệm Nên −1 −3 ; ; ; 2 2 1 1 f( ) = + − − 13 + = 16 2 nghiệm đa thức Suy nghiệm đa thức Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm là: 1;-2;-3; *Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-2;x+2;x+3;x- =>f(x)= 2(x-1)(x+2)(x+3)(x- ) Ví dụ : Tìm nghiệm đa thức phân tích đa thức thành nhân tử: f(x)=x3-6x2+11x-6 Hạng tử tự do:6 ⇒ Ư(6)= ±1; ±2 ;+-3 ; ±6 f(1)=1-6+11-6=0 => nghiệm f(x) f(2)=8-24+22-6=0 => nghiệm f(x) f(3)=27-54+33-6=0 => nghiệm f(x) Vì đa thức f(x) có bậc nên có tối đa nghiệm, suy nghiệm 1,2,3 Theo định lý Bơdu ta có: f(x) chia hết cho x-1;x-2;x-3 ⇒ f(x)=x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3) BÀI TẬP: Tìm x GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 1 1 + > + a+b b+c a+b+c a+b+c Ta có: Tương tự, chứng minh BĐT lại = c+a+c+a c+a > 1 + ≥ x y x+y b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: 1 + ≥ = a + b − c b + c − a (a + b − c) + (b + c − a ) b Ta có: Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm Dạng 2: Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn · Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1+u2+…un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau:uk=ak=ak-1 Khi đó: S = (a1-a2)+(a2-a3)…an-an+1=a1-an+1 · Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1.u2….un Ta biến đổi số hạng uk thương hai số hạng liên tiếp nhau: ak ak +1 uk = Khi P = BÀI TẬP : Chứng minh với số tự nhiên a) 1 1 < + + + < n +1 n + n+n 1+ c) 2 + + + n n >1 1+ , ta có: ( ) 1 + + + > n +1 −1 n b) 1 1 + + + + = k +1 − k k k k + k +1 b) Ta có: c) Ta có: 1 1 < = − k k ( k − 1) k − k ) , với k = 1, 2, 3, …, n , với k = 2, 3, …, n 1 = − (k − 1).n k − k d) Ta có: , với k = 2, 3, …, n Dạng 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b ≥ 0, ta có: a+b ≥ ab Dấu "=" xảy ⇔ a = b Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y không đổi P = xy lớn ⇔ x = y + Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ ⇔ x = y Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b ≥ 0, ta có: a+b Dấu "=" xảy ⇔ a = b Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y không đổi P = xy lớn ⇔ x = y + Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ ⇔ x = y Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức sau: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc a) b) bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c ; với a, b, c > GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số c) d) ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a a b c + + ≥ b+c c+a a+b ; với a, b, c > ; với a, b, c > a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca HD: a) ⇒ đpcm bc ca abc2 ca ab a bc ab bc ab2c + ≥2 = 2c + ≥2 = 2a + ≥2 = 2b a b ab b c bc c a ac b) , , ⇒đpcm c) Vì ⇒ a + b ≥ ab nên ab ab ab ≤ = a + b ab Tương tự: ab bc ca ab + bc + ca a + b + c + + ≤ ≤ a+b b+c c+ a 2 d) VT = = bc bc ca ca ≤ ; ≤ b+c c+a (vì ab + bc + ca ≤ a + b + c  a   b   c  + 1÷+  + 1÷+  + ÷−   b+c  c+a   a+b  [ (a + b) + (b + c) + (c + a)]  + + ÷−  b+c c+a a+b ≥ −3 = 2 • Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b Khi đó, VT = a)  x  +  y y  z x  z y  ÷+  + ÷+  + ÷− 3 x x z y z  (2 + + − 3) = 2 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:  1 1 (a3 + b3 + c3 )  + + ÷ ≥ (a + b + c)2 a b c 3(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)(a2 + b2 + c ) b) ≥ 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ ( a + b + c)3 c) GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 ) Phương pháp giải toán Đại số HD: a) VT = Chú ý: b) ⇔  a b   b c3   c3 a  a2 + b2 + c2 +  + ÷+  + ÷+  + ÷ a   c b  a c   b a3 b3 + ≥ a2 b2 = 2ab b a Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ( a2 b + b2 a ) + ( b2 c + bc2 ) + ( c2 a + ca2 ) a3 + b3 ≥ ab(a + b) Chú ý: Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) c) Áp dụng b) ta có: 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c)2 Dễ chứng minh được: Cho a, b > Chứng minh 1 + ≥ a b a+b ⇒ đpcm (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:  1 1 1  + + ≥ 2 + + ÷ a b c  a+b b+c c+a a) ; với a, b, c > b)   1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ a+b b+c c+a  a + b + c a + b + c a + b + 2c  c) Cho a, b, c > thoả d) 1 + + =4 a b c Chứng minh: ; với a, b, c > 1 + + ≤1 a + b + c a + b + c a + b + 2c ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a ; với a, b, c > x + y + 4z = 12 e) Cho x, y, z > thoả Chứng minh: xy 8yz xz + + ≤6 x + y y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p−a p−b p−c a b c HD: (1) ⇔ 1 1 (a + b)  + ÷ ≥ a b Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 1 1 + ≥ ; + ≥ ; + ≥ a b a+b b c b+c c a c+a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) c) Áp dụng a) b) ta được:   1 1 1 + + ≥ 4 + + ÷ a b c  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  d) Theo (1): 11 1 ≤  + ÷ a+b 4a b ⇔ ab ≤ (a + b) a+b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a + b + c = 12 ⇒ đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a) + ( p − b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Cho a, b, c > Chứng minh 1 + + ≥ a b c a+b+c sau: a)  1  (a + b + c )  + + ÷ ≥ (a + b + c )  a+b b+c c+a 2 (1) Áp dụng chứng minh BĐT GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số b) Cho x, y, z > thoả x + y + z =1 c) Cho a, b, c > thoả Tìm GTLN biểu thức: P = a+b+c ≤1 P= a2 + 2bc d) Cho a, b, c > thoả a+b+c =1 Tìm GTNN biểu thức: + b2 + 2ac + c2 + 2ab Chứng minh: 2 a +b +c HD: Ta có: (1) ⇔  1 1 (a + b + c)  + + ÷ ≥ a b c a) Áp dụng (1) ta được: ⇒ VT ≥ Chú ý: x y z + + x +1 y +1 z +1 + 1 + + ≥ 30 ab bc ca Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si 1 + + ≥ a + b b + c c + a 2(a + b + c) 9(a2 + b2 + c2 ) 3(a2 + b2 + c ) = ≥ (a + b + c) 2(a + b + c) a+b+c 2 2 (a + b + c) ≤ 3(a + b + c ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= =  1  x + 1−1 y + 1−1 z + −1 3− + + + + ÷ x +1 y +1 z +1  x +1 y +1 z +1 Ta có: 1 9 + + ≥ = x +1 y +1 z +1 x + y + z + Suy ra: P ≤ 3− = 4 Chú ý: Bài toán tổng quát sau: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số Cho x, y, z > thoả biểu thức: P = x + y + z =1 k số dương cho trước Tìm GTLN x y z + + kx + ky + kz + c) Ta có: P ≥ 2 a + 2bc + b + 2ca + c + 2ab d) VT ≥ a2 + b2 + c = ≥ (a + b + c)2 ≥9 ab + bc + ca   1 + +  ÷+ 2 ab + bc + ca ab + bc + ca  ab + bc + ca a +b +c (a + b + c)2 Chú ý: + = + ≥ + = 30 ab + bc + ca 1 1 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = 3 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: a) b) x 18 x y= + ; x>0 y= + ; x >1 x x −1 c) 3x y= + ; x > −1 x +1 e) y= d) y= x + ; < x 2x −1 f) y= x3 + x2 ; x>0 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số g) y= h) x + 4x + ; x>0 x y = x2 + HD: a) Miny = x = c) Miny = 6− e) Miny = b) Miny = x = 5+5 x= −1 5− g) Miny = x = f) Miny = 30 + 3 ; x>0 x = x = 3 30 + 2 h) Miny = 5 x3 x = 3 d) Miny = x = 27 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) b) y = ( x + 3)(5 − x ); − ≤ x ≤ y = x (6 − x ); ≤ x ≤ c) e) y = ( x + 3)(5 − x ); − ≤ x ≤ y = (6 x + 3)(5 − x ); − ≤ x ≤ 2 HD: a) Maxy = 16 x = c) Maxy = x = 121 − d) y = (2 x + 5)(5 − x ); − f) y= x x +2 ≤ x≤5 ; x>0 b) Maxy = x = d) Maxy = x = 625 GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số e) Maxy = x = f) Maxy = x = ( ) 2 + x ≥ 2x 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình dạng ax + b < (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ ), a, b hai số cho, a ¹ 0, đgl bất phương trình bậc ẩn Hai qui tắc biến đổi bất phương trình · Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử · Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương – Đổi chiều bất phương trình số âm BÀI TẬP: Giải bất phương trình sau: a) 3(2 x − 3) ≥ 4(2 − x ) + 13 c) e) x − − (3x+9) ≤ 8x − − (2 x − 1) d) x + 17 − 3(2 x + 3) ≤ 10( x + 2) f) 4(2 − x ) − (5 − x ) > 11 − x HD: a) b) x ≥3 b) x≥− c) 17( x + 5) + 41x ≥ −15( x + 4) − 2(3 − x ) − 1,5( x − 4) < − x x≥− d) Giải bất phương trình sau: a) 2x −1 x + < b) c) d) 3( x + 1) x −1 2+ ≤ 3− GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học 83 x≥− 73 e) x 18 5( x − 1) 2( x + 1) −1 ≥ 3x + x+2 −1 ≤ +x Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số e) HD: a) f) 1 x− 2x − x− 5− 3 x + ( x + 1) e) x− x< Giải bất phương trình sau: a)  8x  8x − <  + ÷   c) e) f) c) e) 14 x> 19 f) x< 5( x − 1) − x (7 − x ) < x x (1,5 x + 1) (2 − x )2 x − ≥ −2 d) 10 x< b) 2x + d) x + x −1 x + + ≤ −1 x ≤ −5 (2 x − 1)2 (3 − x )2 < ( x − 2)2 3( x − 1)2 x + + < 10 HD: a) x− e) x> f) x≤2 2x + 1 > 3x − 5x x x −3> − 6 x + 2x x > − + 15 15 HD: a) x tuỳ ý d) x≤ Giải bất phương trình sau: a) (2 x + 3)(2 x − 1) > x ( x + 2) c) x − 22 − x − x 5x + + > −x− 4 b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Với giá trị x thì: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số a) Giá trị biểu thức b) Giá trị biểu thức − 3( x + 1) không nhỏ giá trị biểu thức x+2 − x +1 c) Giá trị biểu thức lớn giá trị biểu thức HD: a) 14 x≤ b) 1− x x− x < −2 c) không lớn giá trị biểu thức ( x + 1) − d) Giá trị biểu thức x+3 2( x − 3) − ( x − 3) nhỏ giá trị biểu thức x≤ d) x + 2002 2003 2004 2005 b) c) d) x −1 x − x − x − x − x − + + < + + 99 97 95 98 96 94 x-1987 x − 1988 x − 1989 x − 1990 + > + 2002 2003 2004 2005 x +1 x + x + x + x + x + + + < + + 99 97 95 98 96 94 HD: a) x > 15 b) x > 100 c) x>-15 d) x>-100 a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5, HD: a) 31 b) 301 ( x −1 chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x+3 chia hết cho 5, 8, 10) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa giá trị tuyệt đối a a ≥ a = −a a < Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối · Dạng |A|=B Cách 1: Cách 2: · Dạng |A|=|B| Thì A=B A=-B · Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối – Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ – Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định – Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho BÀI TẬP: a) d) Giải phương trình sau: b) −4 x = x + e) 2x − 6x − = −x + HD: a)  2 S = − ;   3 b) S = { 0} c) − x = − 3x f) − 5x = − 5x c) 9 S=  7 d) S =∅ x − = 5x − x + x −1 x + − = + e)  19  S=   20  1  S=  8 GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 f) Phương pháp giải toán Đại số 1  S=  8 Giải phương trình sau: a) x2 − 2x = x b) c) d) 2 x + 4x − = x − HD: a) d) S = { 0;1;3} −2 x + = e) 5x − x + HD: a) S = { 2} = x −3 S = { 2} b)   S = − ;4    c) x − 6x + x +3 x − 36 f) x −6 =2 −2 x + x − = 4− x 2x + x + 5x + c) e)  13  S = −   2 d) x + 3x + 3  S =  ;3 5  = x+4 f) S = { 4} S = { −4} Giải phương trình sau: d) d) S = { −3;1} b) 3x − = x −2 − 2x x − 4x + a)  1 S = 1;   4 c) 3x − x + = − x + 5x − Giải phương trình sau: a) b) x − x + = −2 x + b) 2x + = x −1 e) 2 x + x − 10 = x + HD: a) S = { −2;0} b) c) − 5x = 3x + f) x −3 +4 = 1  S= ;  8  c) 1  S =  ;1 11   1 S = 1;   2 GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học d) + 4x − 7x − = x − 3x = x +  9 S = − ;1;   5 e) S = { 1;5} Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 f) Phương pháp giải toán Đại số  1 S = 1;   2 a) d) Giải phương trình sau: b) x + − 5x − = e) x +1 − x −1 = x HD: a) S =∅ b) c) S = { 4} x − x + −1 = 2x + − x + x − = 2≤ x≤3 d) 1 3 S= ;  2  c) f) e) x −2 + x −3 =1 x −1 + x + =  1 S = −   2 f) S=∅ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Giải bất phương trình sau: a) x − ≥ x+12 d) x +1 x + x+3 + ≥ 1− HD: a) x ≤ −10 b) x − c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học 4(2 − x ) − (5 − x ) > 11 − x Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải toán Đại số d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: HD: a) c) 1987 − x 1988 − x 27 + x 28 + x + + + >4 15 16 1999 2000  1  1 + + + + + +  ÷x ≥ 10.110  1.11 2.12 100.110  1.101 2.102 HD: a) c) a) d) { −3; −2; −1} Giải bất phương trình sau: a) x − x − 15 x − 2005 x − 1995 + < + 2005 1995 15 b) b) { 1;2} 2(3 − x ) − 1,5( x − 4) < − x x > 2010 x ≥ 10 Trừ vế cho Biến đổi b) x < 1972 Trừ vế cho , 1 1  1 1  = =  −  − ÷ ÷ k (100 + k ) 100  k 100 + k  k (k + 10) 10  k k + 10  Giải phương trình sau: b) x − − 5x = e) − 4x 4x − + =9 4x − HD: a) 5 S=  3  b) c) x − = 2x − f) 7x − 9x + = − 7x 5x +  14  S = 4;   3 c) S = { 1;19} GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Dạy trước chương trình cho học sinh du học d)  15  S = − ;   4 x − 11 − x = x − x + 15 2x2 − 9x − e) = 3x −  2 S = − ;   7 f) S = { 3} Nhận dạy kèm học sinh L6-L12