ễN TP KIN THC TON A I S S HU T - CC PHẫP TON V S HU T A - Kin thc cn nh : S hu t l s vit c di dng phõn s a vi a, b Z ; b Tp hp s hu t b kớ hiu l Q Vi hai s hu t bt kỡ ta luụn cú : x = y hoc x < y hoc x > y * so sỏnh hai s hu t ta cú th vit chỳng di dng phõn s ri so sỏnh S hu t dng l s hu t ln hn ; s hu t õm l s h t nh hn ; S khụng l hu t dng cng khụng l hu t õm 3.* cng hay tr hai s hu t x , y ta cú th vit chỳng di dng hai phõn s cú cựng mt mu dng ri ỏp dng quy tc cng , tr phõn s * Phộp cng ( tr ) cỏc s hu t cú cỏc tớnh cht ca phộp cng ( tr ) cỏc phõn s * Trong hp Q cng cú cỏc tng i s c ỏp dng cỏc phộp bin i nh cỏc tng i s Z * Khi chuyn mt s hng t v ny sang v ca mt ng thc , ta phi i du s hng ú * nhõn , chia hai s hu t x , y ta vit chỳng di dng phõn s ri ỏp dng quy tc nhõn chia phõn s Phộp nhõn s hu t cú cỏc tớnh cht : giao hoỏn , kt hp , nhõn vi s ,nhõn vi s nghch o , tớnh cht phõn phi phộp nhõn vi phộp cụng * Thng ca phộp chia s hu t x cho s hu t y ( y ) gi l t s ca x v y ; x kớ hiu y hay x : y * Giỏ tr tuyt i ca s hu t x , kớ hiu | x | l khong cỏch t im x n gc O trờn trc s x( x 0) | x |= x( x < 0) * Ly tha : Cho n l s t nhiờn khỏc , x l s hu t bt kỡ , Ly tha bc n ca x kớ hiu xn l tớch ca n tha s x ; x n = x.x.x x ( x Q; n N ) xn c gi l n thửứa soỏ ly tha , x l c s , n l s m * Khi n = , n = ta quy c : x1 = x ; x0 = ( x ) a * Khi s hu t x = (a, b Z , b 0) b * Cỏc phộp tớnh v ly tha : - Nhõn : xn xm = xm+n n an a ta cú : = n b b - Chia : xn : xm = xm - n ( x 0, m n ) - Ly tha ca ly tha : ( xm)n = xm.n - Ly tha ca mt tớch : ( x y )n = xn.yn n x xn - Ly tha ca mt thng : = n ( y 0) y y 8.* T l thc : T l thc l ng thc ca hai t s a c = hay a : b = c : d ; Cỏc s b d a, b, c, d c gi l cỏc s hng ca t l thc , a v d gi l ngoi t ( s hng ngoi ) , b v c gi l trung t ( s hng ) * Tớnh cht ca t l thc : - Nu a c = a.d = b.c b d a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a a c e a c e a+c+e ac+e - T dóy t s bng b = d = f b = d = f = b + d + f = b d + f - Nu a.d = b.c v a, b, c, d thỡ ta cú cỏc t l thc - Khi cú dóy t s a b c = = , ta núi cỏc s a , b , c t l vi cỏc s , , S vụ t : l s c vit di dng s thp phõn vụ hn khụng tun hon Tp hp s vụ t kớ hiu l I 10 Khỏi nim v cn bc hai : * Cn bc hai ca mt s a khụng õm l s x cho x2 = a ; S dng a cú hai cn bc hai l a v a * S hu t v s vụ t c gi chung l s thc Tp hp s thc kớ hiu l R So sỏnh cỏc s thc nh so sỏnh cỏc s hu t vit di dng s thp phõn Trc s biu din cỏc s thc nờn c gi l trc s thc B -Bi : Thc hin cỏc phộp tớnh ( bng cỏch hp lý nu cú th ) : a) 5 16 + + 0,5 + 27 23 27 23 3 5 b) 27 51 + 19 ; ; d) 35 : 45 : ; 1 c ) 25. + 2. 5 + e) Tỡm x bit : a) +x= ; b) + x = ; c) x + = e) | x | = 3,5 ; f ) | x | = - 2,7 ; g) | x | + 0,73 = 1 1 ; d) x + + = 5 h) 52.73.112.x + 52.72.11 = i) (3.5 + 5.7) x + ( 3.5 + 5.7) + (3.5 + 5.7) = ; k) 52.73.112.x - 52.72.114 = ; l ) x+ = 5 + +1 2.6 a) A = 1 Tớnh b) B = Tỡm s nguyờn n bit : a) 5-1 25n = 125 ; b) 3-1 3n + 6.3n -1 = 7.36 ; 3: 5 + 3 c) 25 < 5n : < 625 ; d ) < 27 n < 310 Tỡm x cỏc t l thc : a) x : ( - 3,7) = (-2,5) : 0,25 ; : (0,06) 12 a c T t l thc = hóy suy cỏc t l thc : b d a+b c+d ab cd = = a) ; b) ; b d b d a+b c+d a c = = c) ; d) a c a+b c+d b) : x = Mt ming t hỡnh ch nht cú chu vi l 90m v t s gia hai cnh l Tớnh din tớch ca mnh Ba lp 7A , 7B , 7C cú 117 bn i trng cõy Bit rng s cõy mi bn hc sinh lp 7A , 7B, 7C trng c theo th t l 2, 3, cõy v s cõy mi lp trng c bng Hi mi lp cú bao nhiờu hc sinh i trng cõy Ba tm vi cú chiu di tng cng 145m Nu ct tm th nht i i ; tm th hai 1 , tm th ba i chiu di mi tm thỡ chiu di cũn li ca ba tm vi bng nau Tớnh chiu di mi tm vi trc ct 10 Tỡm hai s x , y bit : a) x y = v x2y2 = 2 b) 4x = 7y v x2 + y2 = 260 2012 11 Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc : a) A = | x | +2013 12 Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc : a) C = b) B = | x | +2012 2013 13 Tỡm cỏc s nguyờn n cho cỏc biu thc sau l s nguyờn : a) P = 3n + n | n | +1 b) Q = | n | | x | +2012 2013 10 b) D = | x | +10 HM S V TH A-Kin thc cn nh : T l thun :* Nu i lng y liờn h vi i lng x theo cụng thc y = k.x ( vi k l hng s khỏc ) thỡ ta núi y t l thun vi x theo h s t l k ( ú x cng t l thun vi y theo h s t l ) k * Nu hai i lng t l thun vi thỡ : + T s gia hai giỏ tr tng ng ca hai i lng t l thun luụn luụn khụng i ( bng h s t l ) + T s ga hai giỏ tr bt kỡ ca i lng ny bng t s hai giỏ tr tng ng ca i lng a x T l nghch : * Nu i lng y liờn h vi i lng x theo cụng thc y = hay x.y = a ( Vi a l mt hng s khỏc ) thỡ ta núi y t l nghch vi x theo h s t l a Khi ú x cng t l nghch vi y * Nu hai i lng t l nghch thỡ : + Tớch ca mt giỏ tr bt kỡ ca i lng ny vi giỏ tr tng ng ca i lng l mt hng s ( = a) + T s hai giỏ tr bt kỡ ca i lng ny bng nghch o ca t s hai giỏ tr tng ng ca i lng Hm s : Nu i lng y ph thuc vo i lng x thay i cho : Vi mi giỏ tr ca x ta luụn xỏc nh c ch mt giỏ tr tng ng ca y thỡ y c gi l hm s ca x v x gi l bin s Mt phng ta : Trờn mt phng , hai trc s Ox , Oy vuụng gúc vi v ct ti gc ca mi trc s lp thnh h trc ta Oxy Cỏc trc Ox , Oy gi l cỏc trc ta Trc ngang Ox l trc honh , Trc ng Oy gi l trc tung Giao im O gi l gc ta * Trờn mt phng ta mi im M xỏc nh mt cp s ( x0 , y0 ) Ngc li mi cp s ( x0 , y0 ) xỏc nh mt im M Cp s ( x0 , y0 ) gi l ta ca im M ; x0 l honh , y0 l tung ca M im M cú ta ( x0 , y0 ) kớ hiu l M( x0 , y0 ) th hm s y = ax(a 0) l mt ng thng i qua gc ta B -Bi : Hai nhụm v chỡ cú lng bng Hi no cú th tớch ln hn v ln hn bao nhiờu ln bit rng lng riờng ca nhụml 2,7(g/cm3) v ca chỡ l 11,3(g/cm3) 2 Mt ụ tụ i t A n B vi tc 48(km/h) Lỳc v xe i quóng ng BA vi tc 42(km/h) Bit thi gian c i ln v l gi 30 phỳt Tớnh thi gian lỳc i , thi gian lỳc v v chiu di quóng ng AB i I cú 10 cụng nhõn , mi ngi lm 18 ngy o p c 648 m3 t Hi cụng nhõn i II , mi ngi lm 25 ngy o p c bao nhiờu m3 t ( Bit rng nng sut mi cụng nhõn nh ) lm xong mt cụng vic gi cn 12 cụng nhõn Nu s cụng nhõn tng thờm ngi thỡ thi gian hon thnh cụng vic gim c my gi ( Bit rng nng sut mi cụng nhõn nh ) Hai ụ tụ hnh cựng mt lỳc t hai a im A v B Xe th nht i t A n B mt gi , xe th hai i t B v A mt gi n ch gp , xe th hai i c quóng ng di hn quóng ng xe th nht ó i l 27 km Tớnh quóng ng AB V trờn cựng mt h trc ta th cỏc hm s : a) y = x ; b) y = - x ; c ) y = x; d) y = x Cho hm s y = - 3x2 + Nhng im no cỏc im sau õy thuc th hm s trờn : A( -2 ; - 7) ; B( -3 ; ) C ( ;4 ) 3 THNG Kấ ( Hc sinh t ụn ) BIU THC I S A- Kin thc cn nh : 1.* Mt biu thc i s cú th cha cỏc ch , cỏc s Cỏc ch cú th nhn nhng giỏ tr bng s tựy ý ca mt hp s no ú gi l bin s ( gi tt l bin ) Khi thc hin cỏc phộp toỏn trờn cỏc ch , ta cú th ỏp dng cỏc tớnh cht ca phộp toỏn tng t nh trờn cỏc s * tớnh giỏ tr ca mt biu thc i s ti cỏc giỏ tr cho trc ca cỏc bin , ta cú th thay cỏc giỏ tr cho trc ú vo biu thc ri thc hin cỏc phộp tớnh n thc : n thc l mt biu thc i s ch gm mt tớch cỏc s vi cỏc bin * n thc thu gn l n thc gm tớch ca h s vi cỏc bin ó c nõng lờn thnh ly tha vi s m nguyờn dng Mt s hoc mt ch cng l mt n thc thu gn * Bc ca n thc cú h s khỏc l tng s m ca tt c cỏc bin cú n thc ú * Nhõn hai n thc : Ta nhõn cỏc h s vi v nhõn cỏc phn bin vi Trong phộp nhõn cỏc ch ta cú th s dung tớnh cht giao hoỏn , kt hp tng t nh trờn cỏc s *n thc ng dng: l cỏc n thc cú h s khỏc v cú cựng phn bin Mi s thc c coi l TD *Cng , tr n thc ng dng : cng, ( tr ) cỏc n thc ng dng , ta cng ( hay tr ) cỏc h s vi v gi nguyờn phn bin a thc l tng ca cỏc n thc Mi n thc tng gi l mt hng t ca a thc * Thu gn a thc l thc hin cng (tr) cỏc n thc ng dng cú a thc * Bc ca a thc l bc ca hng t cú bc cao nht dng thu gn ca a thc ú * Cng hai a thc : Ta thc hin th t cỏc bc sau : + Vit liờn tip cỏc s hng ca hai a thc ú cựng vi du ca chỳng + Thu gn cỏc n thc ng dng ( Nu cú ) * Tr hai a thc : Ta thc hin ln lt cỏc bc sau : + Vit cỏc s hng ca a thc th nht cựng vi du ca chỳng + Vit tip cỏc s hng ca a thc th hai vi du ngc li + Thu gn cỏc n thc ng dng nu cú * a thc mt bin : l mt a thc ch cha mt bin Vớ d : A(x) = 3x + Ta cú th sp xp a thc mt bin ( ó thu gn ) theo ly tha gim ( hoc tng ) ca bin * H s ( a thc ó thu gn ) l h s tng ng theo s m ca bin H s cao nht l h s ca hng t cú bc cao nht H s t l h s ca bin bc * Cng v tr a thc mt bin : Ta cú th thc hin theo mt hai cỏch : + Cỏch : Tng t nh cng , tr a thc ó hc +Cỏch : Sp xp chỳng theo ly tha gim (tng) ca bin v t phộp tớnh nh trng hp cng v tr cỏc s (Lu ý t cỏc n thc ng dng cựng mt ct ) * Nghim ca a thc mt bin : l giỏ tr ca bin lm cho a thc cú giỏ tr bng ( Nu ti x = a , a thc P(x) cú giỏ tr bng thỡ ta núi x = a l mt nghim ca a thc ú Mt a thc ( khỏc a thc ) cú th cú mt , hai , hoc khụng cú nghim no S nghim ca mt a thc ( khỏc a thc ) khụng vt quỏ bc ca nú B -Bi : Tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau ti x = -1 , y = , z = - a) A = (4x2 xy + z2) (x2 yz) ; b) B = 3xyz 2z x2 +1 2 c) C = x y z : y2 +1 2x y 2.Thu gn cỏc n thc ri tỡm h s ca nú : ( a l hng s ) a) x y . 7 xy y 12 2 b) x y . . xyz 10 c) x y z x y z .axyz 1 3.Cho a thc : f(x) = 9x x + 3x 3x + x x 3x x + 27 + 3x 3 a) Thu gn a thc trờn b) Tớnh f(3) ; f(-3) Cho hai a thc : F(x) = 6x5 + 5x3 17x4 11x +15x2 + G(x) = - 5x4 + 6x3 + x5 + x2 5x + Tớnh F(x) + G(x) v F(x) G(x) Cho a thc : f(x) = 2x6 + 3x2 + 5x3 2x2 + 4x4 x3 +1 4x3 x4 a) Thu gn a thc f(x) b) Tớnh f(-1) ; f(1) c) Chng t rng a thc f(x) khụng cú nghim Tớnh giỏ tr biu thc : A = 3x2 3xy + 2y2 vi | x | = ; | y | = Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc : a ) A = (x 2)2 ; b) B = (x2 9)2 + | y | + 10 Tỡm giỏ tr ln nht ca : a ) C = ( x 2) + b) 10 ( x 3) | y | Cho bit : M + ( 2x3 + 3x2y 3xy2 + xy +1 ) = 3x3 + 3x2y 3xy2 + xy a) Tỡm a thc M b) Vi giỏ tr no ca x thỡ M = - 28 10 Xỏc nh h s t c a thc f(x)= 2x2 3x + c cú nghim l 11 Xỏc nh cỏc h s a , b , c ca a thc f(x) = ax + bx + c bit f(0) = ; f(1) = ; f(2) = B HèNH HC CHNG I - NG THNG VUễNG GểC NG THNG SONG SONG A -Kin thc cn nh : * nh ngha Hai gúc i nh l hai gúc m mi cnh ca gúc ny l tia i ca mt cnh gúc * Tớnh cht : Hai gúc i nh thỡ bng Hai ng thng xx v yy ct v cỏc gúc to thnh cú mt gúc vuụng thỡ hai ng thng ú c gi l hai ng thng vuụng gúc v c kớ hiu l xx' yy ' 3.* Hai ng thng song song l hai ng thng khụng cú im chung Hai ng thng phõn bit thỡ ct hoc song song * Nu ng thng c ct hai ng thng a , b v cỏc gúc to thnh cú mt cp gúc so le bng ( hoc mt cp gúc ng v bng ) thỡ a song song vi b Kớ hiu a // b * (T clớt) Qua mt im ngoi mt ng thng ch cú mt ng thng song song vi ng thng ú * Nu mt ng thng ct hai ng thng song song thỡ : + Hai gúc so le bng + Hai gúc ng v bng + Hai gúc cựng phớa bự * Hai ng thng phõn bit cựng vuụng gúc vi mt ng thng th ba thỡ chỳng song song vi * Nu mt ng thng vuụng gúc vi mt hai ng thng song song thỡ nú cng vuụng gúc vi ng thng * Hai ng thng phõn bit cựng song song vi mt ng thng th ba thỡ chỳng song song vi nh lớ : Mt tớnh cht c khng nh l ỳng bng suy lun l mt nh lý Mi nh lớ thng c phỏt biu di dng Nu thỡ Phn nm gia t nu v t thỡ l phn gi thit (GT) ; phn nm sau t thỡ l phn kt lun ( KL ) Chng minh nh lớ l dựng suy lun t GT khng nh c b KL l ỳng a B-Bi : 1230 570 c Bài tập 1.Cho hỡnh v a) ng thng a cú song song vi b khụng ? vỡ ? d x0 b) Tớnh s o gúc x ? Gii thớch vỡ tớnh c ? 850 Bài tập Chng minh rng : Nu hai ng thng ct mt ng thng m nhng gúc to thnh cú mt cp gúc cựng phớa bự thỡ hai ng thng ú song song vi Bài tập Cho gúc AOB khỏc gúc bt Tia OM l tia phõn giỏc ca gúc AOB V cỏc tia OC , OD ln lt l tia i ca tia OA v OM Chng minh rng CO D = MO B Bài tập Cho hai gúc xO y v x' O ' y ' cựng nhn cú cnh Ox // Ox ; Oy // Oy Chng minh xO y = x' O ' y ' Bài tập Cho gúc xOy Qua im A trờn tia Ox v ng thng a Ox , qua im B trờn tia Oy v ng thng b Oy Chng minh rng : a) Nu xO y 180 thỡ hai ng thng a v b ct b) Nu xO y = 180 thỡ hai ng thng a v b song song c) Nu xO y = 90 thỡ hai ng thng a v b vuụng gúc vi Bài tập 6-Cho hình vẽ, chứng minh a//b a A 1400 O c 7002 1500 b B Bài tập - Cho hình vẽ, biết àA + Bà + Cà = 3600 Chứng tỏ: Ax//Cy A B x d C y Bài tập : Cho xA y = 40O Trên tia đối tia Ax lấy điểm B Kẻ tia Bz cho tia Ay nằm xB z xB z = 40O a) Chứng minh rằng: Bz//Ay b) Kẻ Am, An lần lợt hai tia phân giác góc xA y xB z Chứng minh rằng: Am//Bn CHNG II TAM GIC ( 2bui ) A - Kin thc cn nh : 1.* Tng ba gúc ca mt tam giỏc bng 1800 * Tam giỏc vuụng l tam giỏc cú mt gúc vuụng Trong tam giỏc vuụng hai gúc nhn ph * Gúc ngoi ca tam giỏc l gúc k bự vi mt gúc ca tam giỏc Mi gúc ngoi ca mt tam giỏc bng tng hai gúc khụng k vi nú Gúc ngoi ca mt tam giỏc ln hn mi gúc khụng k vi nú Ba trng hp bng ca tam giỏc : *TH1: Nu ba cnh ca tam giỏc ny bng ba cnh ca tam giỏc thỡ hai tam giỏc bng : ( Nu ABC v A' B' C ' cú AB = A' B' ; AC = A' C ' ; BC = B' C ' ABC = A' B' C ' (c.c.c) ) * TH2: Nu hai cnh v gúc xen gia ca tam giỏc ny bng hai cnh v gúc xen gia ca tam giỏc thỡ hai tam giỏc bng ( Nu ABC v A' B' C ' cú AB = A' B ' ; AC = A' C ' ; A = A ' ABC = A' B' C ' (c.g c) ) + Nu hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng ny , ln lt bng hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng thỡ hai tam gỏc vuụng ú bng * TH3: Nu mt cnh v hai gúc k ca tam giỏc ny bng mt cnh v hai gúc k ca tam giỏc thỡ hai tam giỏc bng ( Nu ABC v A' B' C ' cú AB = A' B ' ; A = A ' ; B = B ' ABC = A' B ' C ' ( g.c.g ) ) + Nu mt cnh gúc vuụng v mt gúc nhn k cnh y ca tam giỏc vuụng ny bng mt cnh gúc vuụng v mt gúc nhn k cnh y ca tam giỏc vuụng thỡ hai tam giỏc vuụng ú bng + Nu cnh huyn v mt gúc nhn ca tam giỏc vuụng ny bng cnh huyn v gúc nhn ca tam giỏc vuụng thỡ hai tam giỏc vuụng ú bng * Tam giỏc cõn l tam giỏc cú hai cnh bng Trong tam giỏc cõn hai gúc ỏy bng ngc li nu mt tam giỏc cú hai gúc ỏy bng thỡ tam giỏc ú l tam giỏc cõn * Tam giỏc u l tam giỏc cú ba cnh bng Trong mt tam giỏc u mi gúc bng 600 Nu mt tam giỏc cú ba gúc bng thỡ tam giỏc ú l tam giỏc u hoc nu mt tam giỏc cõn cú mt gúc bng 600 thỡ tam giỏc ú l tam giỏc u * ( nh lý Pi Ta Go ) Trong mt tam giỏc vuụng bỡnh phng cnh huyn bng tng bỡnh phng cỏc cnh gúc vuụng ( ABC vuụng tai A BC = AB + AC ) * ( nh lý Pi Ta Go o ) Nu mt tam giỏc cú bỡnh phng ca mt cnh bng tng cỏc bỡnh phng ca hai cnh thỡ tam giỏc ú l tam giỏc vuụng : ABC : BC = AB + AC ABC vuụng tai A * Nu cnh huyn v mt cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng ny bng cnh huyn v mt cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng thỡ hai tam giỏc vuụng ú bng B - Bi Bi Cho tam giỏc ABC cõn A Trờn cnh AB ly im D , trờn cnh AC ly im E cho AD = AE Gi M l giao im ca BE v CD Chng minh rng : a) BE = CD b) BMD = CME c) AM l tia phõn giỏc ca gúc BAC Bi Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC) Trờn tia i ca cỏc tia BA v CA ly hai im D v E cho BD = CE a) Chng minh DE // BC b) T D k DM vuụng gúc vi BC , t E k EN vuụng gúc vi BC Chng minh DM = EN c) Chng minh tam giỏc AMN l tam giỏc cõn d) T B v C k cỏc ng vuụng gúc vi AM v AN chỳng ct ti I Chng minh AI l tia phõn giỏc chung ca hai gúc BAC v gúc MAC Bi Cho tam giỏc cõn ABC cú = 450 , AB = AC T trung im I ca cnh AC k ng vuụng gúc vi AC ct ng thng BC M Trờn tia i ca tia AM ly im N cho AN = BM Chng minh rng : a) AM C = AB C b) ABM = CAN c) Tam giỏc MNC vuụng cõn ti C Bi Cho tam giỏc ABC vuụng A cú AB = v AC AB = 14cm Tớnh cỏc AC 12 cnh ca tam giỏc ú Bi Cho on thng AB v im C nm gia A v B Trờn cựng mt na mt phng b AB v hai tam giỏc u ACD v BCE Gi M v N ln lt l trung im ca AE v BD Chng minh rng : a) AE = BD b) CME = CNB c) Tam giỏc MNC l tam giỏc u Bi Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Trờn cnh AB ly im D trờn cnh AC ly im E cho AD = AE Cỏc ng thng vuụng gúc k t A v E vi CD ct BC G v H ng thng EH v ng thng AB ct M ng thng k t A song song vi BC ct MH I Chng minh : a) ACD = AME b) AGB = MIA c) BG = GH Bi Cho tam giỏc ABC cõn A Trờn cnh BC ly im D Trờn tia i ca tia CB ly im E cho BD = CE T D k ng vuụng gúc vi BC ct AB M T E k ng vuụng gúc vi BC ct AC N a) Chng minh MD = NE b) MN ct DE I Chng minh I l trung im ca DE c) T C k ng vuụng gúc vi AC , t B k ng vuụng gúc vi AN chỳng ct ti O Chng t Ao l ng trung trc ca BC Bi Cho tam giỏc ABC ng cao AH Gi M l trung im ca BC Bit AH , AM chia gúc nh A thnh ba gúc bng Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC QUAN H GIA CC YU T TRONG TAM GIC CC NG NG QUY TRONG TAM GIAC ( bui) A - Kin thc cn nh : 1.* Trong mt tam giỏc , gúc i din vi cnh ln hn l gúc ln hn * Trong mt tam giỏc , cnh i din vi gúc ln hn l cnh ln hn * Trong cỏc ng xiờn v ng vuụng gúc k t mt im ngoi mt ng thng n ng thng ú , ng vuụng gúc l ng ngn nht * Trong hai ng xiờn k t mt im nm ngoi mt ng thng n ng thng ú + ng xiờn no cú hỡnh chiu ln hn thỡ ln hn + ng xiờn no ln hn thỡ cú hỡnh chiu ln hn; + Nu hai ng xiờn bng thỡ hai hỡnh chiu bng v ngc li Trong mt tam giỏc , tng di hai cnh bt kỡ bao gi cng ln hn di cnh cũn li ABC AB + AC > BC; AB + BC> AC ; AC + BC > AB ( Bt ng thc tam giỏc ) H qu : ABC AB BC < AC < AB + BC ; AB AC < BC < AB + AC ; BC AC < AB < BC + AC * on thng AM ni nh A ca tam giỏc ABC vi trung im M ca cnh BC gi l ng trung tuyn ( xut phỏt t nh A hoc ng vi cnh BC ) ca tam giỏc ABC Mi tam giỏc cú ba ng trung tuyn * T/c : Ba ng trung tuyn ca mt tam giỏc cựng i qua mt im im ú cỏch mi nh mt khong bng di ng trung tuyn i qua nh y Trong tam giỏc ABC , cỏc ng trung tuyn AD, BE , CF ng quy ti im G v ta cú AG BG CG = = = im G gi l trng tõm ca tam giỏc ABC AD BE CF T/c tia phõn giỏc : im nm trờn tia phõn giỏc ca mt gúc thỡ cỏch u hai cnh ca gúc ú im nm bờn mt gúc v cỏch u hai cnh ca gúc thỡ nm trờn tia phõn giỏc ca gúc ú * Ba tia phõn giỏc ca mt tam giỏc cựng i qua mt im im ny cỏch u ba cnh ca tam giỏc ú * Nu mt tam giỏc cú mt ng trung tuyn ng thi l tia phõn giỏc thỡ tam giỏc ú l mt tam giỏc cõn * Trong mt tam giỏc cõn , ng trung tuyn xut phỏt t nh cng ng thi l ng phõn giỏc ng vi cnh ỏy 6.* T/c ng trung trc : im nm trờn ng trung trc ca mt on thng thỡ cỏch u hai mỳt ca on thng ú im cỏch u hai u mỳt ca mt on thng thỡ nm trờn ng trung trc ca on thng ú * Ba ng trung trc ca mt tam giỏc cựng i qua mt im im ny cỏch u ba nh ca tam giỏc ú Giao im ny l tõm ng trũn i qua ba nh ca tam giỏc ( ng trũn ngoi tip ) Trong mt tam giỏc on vuụng gúc k t mt nh n ng thng cha cnh i din gi l ng cao ca tam giỏc ú Mi tam giỏc cú ba ng cao * Ba ng cao ca mt tam giỏc cựng i qua mt im , im ny gi l trc tõm ca tam giỏc ú * Trong tam giỏc cõn ng trung trc ng vi cnh ỏy ng thi l ng phõn giỏc , ng trung tuyn v ng cao xut phỏt t nh ca tam giỏc ú Trong tam giỏc u cỏc im : Trng tõm , trc tõm , im cỏch u ba nh , im cỏch u ba cnh l trựng * Trong mt tam giỏc , nu hai bn loi ng : ng trung tuyn , ng phõn giỏc , ng trung trc , ng cao trựng thỡ tam giỏc ú l tam giỏc cõn B - Bi : Bi Cho tam giỏc ABC cú B = 60 ; C < A a) Chng minh rng AB < BC b) Trờn cnh BC ly im D cho BD = BA Chng minh tam giỏc ABD l tam giỏc u c) So sỏnh di cỏc cnh AB , BC , CA Bi Cho tam giỏc u ABC Tia phõn giỏc gúc B ct cnh AC M T A k ng thng vuụng gúc vi AB ct cỏc tia BM v BC ln lt N v E Chng minh a) Tam giỏc ANC l tam giỏc cõn b) NC vuụng gúc vi BC c) Tam giỏc AEC l tam giỏc cõn Bi Cho tam giỏc nhn ABC , hai ng cao BM , CN Trờn tia i ca tia BM ly im D cho BD = AC , trờn tia i ca tia CN ly im E cho CE = AB Chng minh : a) AC E = AB D b) ACE = BDA c) Tam giỏc AED l tam giỏc vuụng cõn Bi Cho tam giỏc ABC cõn A Gi O l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc Trờn tia i ca cỏc tia AB v CA ly theo th t hai im M v N cho AM = CN a) Chng minh OA B = OC A b) Chng minh AOM = CON c) Gi I l giao im hai ng trung trc ca OM v ON Chng minh OI l tia phõn giỏc ca gúc MON Bi 5.Cho tam giỏc cõn ABC ( AB = AC ) , ng cao AD G l trng tõm ca tam giỏc ABC , trờn tia i ca tia DG ly im E cho DE = DG a) Chng minh BG = GC = CE = BE b ) Chng minh ABE = ACE c) Nu CG = AE thỡ tam giỏc ABC l tam giỏc gỡ ? Vỡ ? Bi Cho tam giỏc ABC ng phõn giỏc ngoi ti nh B v nh C ca tam giỏc ct O T A ln lt k ng thng vuụng gúc vi hai ng phõn giỏc trờn , ct ng thng BC M v N Chng minh rng : a) Chu vi tam giỏc ABC bng MN; b) ng trung trc ca MN i qua O c) AO l tia phõn giỏc ca gúc BAC Bi Cho tam giỏc cõn DEA ( DE = DC > EC ) ng trung trc ca DC ct ng thng EC ti A Trờn tia i ca tia DA ly im B cho DB = AE CMR a) AD C = AC D b) Tam giỏc ABC l tam giỏc cõn Bi Cho tam giỏc ABC cú B = 45 ; C = 120 Trờn tia i ca tia CB ly im D cho CD = 2CB K DE vuụng gúc vi AC Chng minh rng a) CE = CB b) Tam giỏc AEB l tam giỏc cõn c) Tam giỏc AED l tam giỏc gỡ ? Vỡ ? d) Tớnh s o gúc ADB Mt s bi toỏn tng hp hỡnh hc Cho ABC, cỏc trung tuyn BM, CN Trờn tia i ca tia MB ly im I cho MB = MI Trờn tia i ca tia NC ly im K cho NC = NK Chng minh rng a, AMI = CMB b, AI // BC; AK // BC c, A l trung im ca KI Cho ABC , im S nm ngoi ABC v thuc na mt phng b l ng thng AC khụng cha im B; trờn cỏc tia i ca cỏc tia SA; SB; SC theo th t ly im D; E; F cho SD = SA; SE = SB; SF = SC Ni D vi E, E vi F, F vi D a, Chng minh ABC = DEF b, Gi M l im bt k thuc on thng BC; trờn tia i ca tia SM ly N cho SN = SM Chng minh ba im E, F, N thng hng Cho tam giỏc ABC , v v phớa ngoi tam giỏc cỏc tam giỏc vuụng cõn nh A l BAE v CAF 1) Nu I l trung im ca BC thỡ AI vuụng gúc vi EF v ngc li nu I thuc BC v AI vuụng gúc vi EF thỡ I l trung im ca BC 2) chng t rng AI = EF/ ( vi I l trung im ca BC ) 3) Ga s H l trung im ca EF ,hóy xột quan h ca AH v BC Cho ABC, M l trung im ca cnh BC T A k AD // BM cho AD = BM ( im D v im M nm khỏc phớa so vi cnh AB ) Gi I l trung dim ca AB a -CMR: DI=IM t ú suy M,I,D thng hng b Chng minh BD// AM Cho tam giỏc ABC ( AB < AC) cú AM l phõn giỏc ca gúc A.(M thuc BC).Trờn AC ly D cho AD = AB a Chng minh: BM = MD b Gi K l giao im ca AB v DM Chng minh: DAK = BAC c Chng minh : AKC cõn d So sỏnh : BM v CM 6: Cho ABC cõn ti A, cnh ỏy nh hn cnh bờn ng trung trc ca AC ct ng thng BC tiM Trờn tia i ca tia AM ly im N cho AN = BM a/ Chng minh rng gúc AMC = gúc BAC b/ Chng minh rng CM = CN c/ Mun cho CM CN thỡ tam giỏc cõn ABC cho trc phi cú thờm iu kin gỡ? HD:c/ Ta cú CM = CN , CM CN thỡ tam giỏc CMN vuụng cõn ti C Suy gúc M = 450 Tam giỏc ACM cõn ti M nờn ng cao xut phỏt t M (MK)cng l ng phõn giỏc Nờn gúc CMK = 450 : = 27,50.m tam giỏc CMK vuụng ti K suy gúc KCM = 900-27,50=62,50 Vy tam giỏc cõn ABC phi cú gúc ỏy = 62,50 7:Tam giỏc ABC cú AB > AC T trung im M ca BC v mt ng thng vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A, ct tia phõn giỏc ti H, ct AB, AC lm lt ti E v F Chng minh rng: a/ BE = CF ACB B BME = c/ Cho tam giỏc ABC vuụng ti A K AH BC K HP vuụng gúc vi AB v kộo di cú PE = PH K HQ vuụng gúc vi AC v kộo di cú QF = QH AB AC AB + AC BE = AE = 2 b/ ; 1/Chng minh APE = APH, AQH = AQF 2/Chng minh E, A, F thng hng v A l trung im ca EF 3/Chng minh BE//CF 4/Cho AH = 3cm, AC = 4cm Tớnh HC, EF PHN II: TNG HP Bi 1: Thc hin phộp tớnh: a) : ữ+ ữ; Bi 2: Tỡm x: a) 2 b) ữ + ữ 11 11 + x = ; 5 b) x + 16 = Bi 3: Tỡm x, y, z bit: a) x y = v x y = 36 12 b) x y y z = ; = v x - y + z = - 49 Bai 4: Bụn ụi may cay co 36 may ( co cung nng suõt) lam viờc trờn bụn canh ụng co diờn tich bng ụi th I hoan ngay, ụi II hoan ngay, ụi III hoan 10 ngay, ụi lai hoan 12 Mụi ụi co bao nhiờu may? Bi 5: Cho ABC vuụng ti A cú gúc B = 300 a Tớnh gúc C b V tia phõn giỏc ca gúc C ct cnh AB ti D Trờn cnh CB ly im M cho CM CA Chng minh: ACD = MCD Qua C v ng thng xy vuụng gúc CA T A k ng thng song song vi CD ct xy K Cm: AK = CD c Tớnh gúc AKC Bi 1: Thc hin phộp tớnh: a) ữ + ữ ; b) ữ + ữ 2 a); x = ữ Bi 2: Tỡm x: : ữ 2 b) 3,5 x = 0,75 Bi 3: Cho bit 36 cụng nhõn p mt on ht 12 ngy Hi phi tng thm bao nhiờu cụng nhõn p xong on ú ngy ( nng sut ca cỏc cụng nhõn nh ) Bi 4: Tỡm x, y , z khi: a) x y z = = v x + y z = 21 b) 2x = 3y va x2 y2 = 25 Bi 5: Cho ABC, bit gúc A = 300, v B = 2C Tớnh B v C Bi 6: Cho gúc nhn xOy ; trờn tia Ox ly im A v B (A nm gia O,B) Trn Oy ly im C,D (C nm gia O,D) cho OA = OC v OB = OD Chng minh:a) AOD = COB b) ABD = CDB c) Gi I l giao im ca AD v BC Chng minh IA = IC; IB = ID 5 Bi 1: Thc hin phộp tớnh:a) ữ + : ; 6 b) 5, + 3, 3.(1, 2,8) Bi 2: Tỡm x: a) x ữ= ; b) x = ; x c) 2,5 = Bi 3: Cho bit hai i lng x v y t l nghch vi v x = thỡ y = 15 a) Hóy biu din y theo x b) Tớnh giỏ tr ca y x = 6; x = 10 c) Tớnh giỏ tr ca x y = 2; y = 30 Bai 4: Tim x, y, z biờt: a) x y = va 3x - 2y = b) 3x = 2y = 5z v y 2x = Bi 5: Cho ABC cúM l trung im ca BC, trờn tia i ca tia MA ly im E cho ME = MA Chng minh: a) MAB = MEC b) AC // BE c) Trờn AB ly im I , trờn tia CE ly K cho BI = CK Chng minh : I, M, K thng hng 25 Bi 1: Thc hin phộp tớnh: a) Bi 2: Tỡm x: b) ữ: + 1ữ 21 ; a) x = ; b) 3,5 x + = ; c) 35.x = 312 Bi 3: Cho bit x v y l hai i lng t l thun cú cỏc giỏ tr theo bng: in giỏ tr thớch hp vo ụ trng: x y -8 72 -3 -18 -36 Bai 4: Tim x, y, z biờt: a) x y z = = v 5x + y 2x = 28; 10 21 b) 4x = 5y va xy 80 = Bi 5: Ba ụi san õt lam ba khụi lng cng viờc nh ụi I lam ngay, ụi II lam ngay, ụi III lam Mụi ụi co bao nhiờu may biờt ụi hai it hn ụi mụt may? Bi 6: Cho ABC, v AH BC (H BC), trn tia AH ly D cho AH = HD Chng minh: a) ABH = DBH b) AC = CD c) Qua A k ng thng song song vi BD ct BC ti E Chng minh H l trung im ca BE Bi 1: Thc hin phộp tớnh:: a) 12,7 17,2 + 199,9 22,8 149,9;b) ữ + 2007 ; Bi 2: So sỏnh cỏc s sau: a) 2100 v 550 ; b) 430 v 820 Bi 3: Cho x v y l hai i lng t l thuõn cú cỏc giỏ tr theo bng: in giỏ tr thớch hp vo ụ trng x y Bi 4: Tỡm x, y, z khi: -4 -2 -2 x y z a) = = v 16 y x = 48 b) x y = v x.y = 54 Bai 5: Bụn ụi may cay co 72 may ( co cung nng suõt) lam viờc trờn bụn canh ụng co diờn tich bng ụi th I hoan ngay, ụi II hoan ngay, ụi III hoan 10 ngay, ụi lai hoan 12 Mụi ụi co bao nhiờu may? Bi 6: Cho ABC vuụng ti C, bit B = A Tớnh A v B a) Trờn tia i tia CB ly im D cho CD = CB Chng minh AD =AB b) Trờn AD ly im M, trn AB ly im N cho AM = AN Chng minh CM = CN c) Gi I l giao im ca AC v MN Chng minh IM = IN d) Chng minh MN // BD Bi 1: Thc hin phộp tớnh:: a) ữ + : ; Bi 2: Tỡm x: a) Bi 3: So sỏnh : a) : x =1 : 2; b) ữ + : ; b) - 930 v 27 20 ; +x = b) 2210 ; v 5140 Bi 4: Tỡm s x,y, z bit: a) x = v y x + y = 72 b) x y y z = ; = v x - y + z = - 49 Bi 5: Cho bit 56 cụng nhõn hon thnh cụng vic 21 ngy Hi phi tng thờm bao nhiờu cụng nhõn na hon thnh cụng vic ú 14 ngy (nng sut mi cụng nhõn l nh nhau) Bi 6: Cho tam giỏc ABC vi AB = AC Ly I l trung im BC Trờn tia BC ly im N, trờn tia CB ly im M cho CN=BM a) Chng minh AB I = AC I v AI l tia phõn giỏc gúc BAC b) Chng minh AM = AN c) Qua B v ng thng vuụng gúc vi AB ct tia AI ti K Chng minh KC AC Bi 1: Thc hin phộp tớnh:a) ( ) 1 + : 25 + 64 19 16 + 0,5 + ; 21 23 21 23 b) Bi 2: Tỡm x: ( x 5) Bi 3: a) + : x = 22 ; 3 b) x + = ; c) =8 a) Tỡm s a, b bit: 11.a = 5.b v a b = 24 b) Tỡm x, y, z bit x y y z = ; = v 5x + y 2x = 28 Bi 4: Bụn ụi cụng nhõn co 154 ngi cung lam mụt cụng viờc nh ụi th I hoan ngay, ụi II hoan ngay, ụi III hoan ngay, ụi lai hoan 10 Mụi ụi co bao nhiờu ngi? Bi 5: Ba nh sn xut gúp theo t l 3; 5; Hi mi nh sn xut phi gúp bao nhiờu bit rng tng s l 210 triu ng Bi 6: Cho gúc xOy = 600 V Oz l tia phõn giỏc ca gỳc xOy a) b) Tớnh gúc zOy ? Trờn Ox ly im A v trờn Oy ly im B cho OA = OB Tia Oz ct AB ti I Chng minh: OIA = BIB c) Chng minh OI AB d) Trờn tia Oz ly im M Chng minh MA= MB e) Qua M v ng thng song song vi AB ct tia Ox, Oy ln lt ti C v D Chng minh BD = AC Bi 1: Thc hin phộp tớnh: ( 5) 17 a) + ữ: ; 4 b) 11 + ( ) 45 45 2 x =1 ; b) x = ; c) ( x ) = 25 Bi 3: Mt tam giỏc cú s o ba gúc ln lt t l vi 3; 5; Tớnh s o cỏc gúc ca tam giỏc ú Bi 4: Cho ABC vuụng ti A ( AB < AC) Bit gúc B = 500 a Tớnh s o gúc C b Tia phõn giỏc gúc B ct cnh AC ti D trờn cnh BC ly im E cho BE = BA Bi 2: Tim x bit: a) Chng minh:.ABD = EBD c Chng minh: DE BC d Gi K l giao im ca hai ng thng AB v DE Chng minh: DK = DC v AK = EC e Chng minh: BD CK Bi 1: Thc hin phộp tớnh: a) ( 3) 49 + ( ) : 25 ; b) 2 Bi 2: Tỡm x: a) 15 : x + ữ= ; : 2. b) 2, x + 25 16 = 0, Bi 3: Ba i mỏy cy, cy ba cỏnh ng cựng din tớch i th nht cy xong ngy, i th hai ngy, i th ngy Hi mi i cú bao nhiờu mỏy bit rng ba i cú tt c 33 mỏy Bai 4: Tim cac sụ x, y biờt: a) x : = y : (-5) va x y = -7b) 2x - 3y = v xy 150 = Bi 5: ChoABC Qua A k ng thng song song vi BC, qua C k ng thng song song vi AB, hai ng thng ny ct ti D a) Chng minh: AD = BC v AB = DC b) Gi M, N ln lt l trung im ca BC v AD Chng minh: AM = CN c) Gi O l giao im ca AC v BD Chng minh: OA = OC v OB = OD d) Chng minh: M, O, N thng hng 10 Bi 1: Thc hin phộp tớnh: 20 8 a) 25 ữ + ữ ữ 20110 10 Bi 2: Tỡm x, y bit:: a) x= ; 10 b) ữ ữ+ ữ 3 b) x y = v y x = 12 Bi 3: Cho bit ngi lm c mt cỏnh ng ht gi Hi nu tng thờm ngi ( vi nng sut nh th) thỡ lm c cỏnh ng ú bao lõu? Bi 4: Cho ABC vuụng ti A , v tia phõn giỏc BD ca gỳc ABC (D AC) Trờn cnh BC ly im E cho BE = AB , ni D vi E a) Chng minh ABD = EBD b) Chng minh gúc BED l gỳc vuụng ã = ãACH v AH // c) V AH vuụng gúc vi BC (H BC) Chng minh : BAH DE d) Chng minh: DB l ng trung trc ca on thng AE 11 Bi 1: Thc hin phộp tớnh: 1 a) + 2,5 ì 12 b) 12 44 + ( 1.5) : Bi : Tỡm x, y bit: a) x 32 = ( 2010) c) x + b) 3x = 2y v y 2x = 1,25 = 2 Bi : i cú 12 cụng nhõn sa ng lm 15 ngy c 1020 m ng Hi 15 cụng nhõn ca i B lm 10 ngy sa c quóng ng di bao nhiờu Bit rng nng sut ca mi cụng nhõn nh Bi : Cho tam giỏc ABC cú AB = AC Tia phõn giỏc ca gúc BAC ct BC ti M 1) Chng minh tam giỏc AMB bng tam giỏc AMC 2) K ME vuụng gúc AB, MF vuụng gúc AC Chng t: ME = MF 3) Qua B v ng thng song song vi AC ct ng thng FM ti I Chng minh BE = BI 4) Chng minh ME = IF 12 10 (5 ) + Bi 1: Thc hin phộp tớnh:a) ữ + ữ : ữ b) (3) + (4) c) ( ) + Bi : 1) Tỡm x bit:: 2x + = ữ a) 11 (12) 18 12 + x2 = b) 2) Tm a, b, c bit : 2a = 3b = 5c va 2a 3b + c = Bi 3: Cho bit 36 cụng nhõn p mt on ht 12 ngy Hi phi tng thờm bao nhiờu cụng nhõn p xong on ú ngy ( nng sut ca cỏc cụng nhõn nh ) Bi 4: Ba lp 7A,7B,7C i lao ng trng cõy S cừy trng c ca cc lp 7A,7B,7C th t t l vi ; ; Tỡm s cõy mi lp trng c bit rng tng s cõy trng c ca hai lp 7A v 7C l 48 cõy Bi : Cho ABC, gi I l trung im ca AC Trờn tia i ca tia IB ly im D cho IB = ID a) Chng minh : AIB = CID b) Chng minh : AD = BC v AD // BC c) Tỡm iu kin ca ABC DC AC