KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Nguyễn Văn Thành - THPT Ngô Gia Tự Các toán khoảng cách luôn xuất kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng toán gây không khó khăn cho học sinh giải chúng Bài viết này, nêu lên phương pháp giải toán khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Khoảng cách hai đường thẳng chéo Mặc dù cố gắng, xong viết không tránh khỏi thiếu sót định Rất mong đóng góp đồng nghiệp Khoảng cách từ điểm đến môt mặt phẳng Trong không gian, cho điểm A mặt phẳng (P) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Phương pháp: Ta có trường hợp sau: 1.1 Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P) 1.2 Có đường thẳng ∆ qua A song song với (P) Khi đó: d ( A,( P)) = d ( B,( P ) ) , ∀B ∈ ∆ ( thông thường ta đưa chân đường cao) 1.3 Có đường thẳng ∆ qua A cắt măt phẳng (P) điểm M (thường xuất kỳ thi tuyển sinh đại học) Khi đó: + Trên đường thẳng ∆ lấy điểm B cho việc tìm hình chiếu vuông góc điểm B (P) đơn giản (thông thường chân đường cao) +Tacó: d ( A,( P)) = MA d ( B,( P)) MB Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , tam giác SAD cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAC) tạo với đáy góc 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (G, BC) Sau nêu lên cách tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (G, BC) Gọi H trung điểm AD  SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD )  ( SAD ) ⊥ ( ABCD )  GS d ( S ,( BCEF )) = d ( H , BCEF )) GH = 2d ( H ,( BCEF )) Gọi M trung điểm BC Ta có: BC ⊥ ( SHM ) Kẻ HK ⊥ MG ⇒ HK ⊥ ( BCEF ) ⇒ d ( H , BCEF )) = HK Vậy: d ( S ,(G, BC )) = HK Khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong không gian cho hai đường thẳng chéo a b Tính khoảng cách a b Phương pháp: Ta có trường hợp sau: 2.1 Có sẵn đoạn vuông góc chung a b 2.2 Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b + Tìm mặt phẳng (α) chứa b vuông góc với a điểm A + Trong mặt phẳng (α) kẻ AB ⊥ b Khi đó: d (a, b) = AB 2.3 Hai đường thẳng a b không vuông góc với + Tìm mặt phẳng (β) chứa b song song với a +Khi d (a, b) = d (a,( β )) = d ( A,( β )), ∀A ∈ a Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc H điểm A′ mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC cho BH = 3HC, AA′ tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng B′C ′ A′B theo a c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC AA′ theo a d Tính khoảng cách hai đường thẳng BC A′D (D trung điểm AC) e Tính khoảng cách hai đường thẳng A′B AC Sau nêu cách giải câu b, câu c, câu d câu e b Tính d ( B′C ′, A′B ) Ta có: B′C ′ / /( A′BC ) ⇒ d ( B′C ′, A′B ) = d ( B′C ′,( A′BC )) = d ( B′,( A′BC )) = d ( A,( A′BC )) = AM (với M trung điểm BC) c Tính d ( BC , A′A) Qua A kẻ đường thẳng ∆ song song với BC d ( BC , AA′) = d ( BC ,( AA′, ∆)) = d ( H ,( AA′, ∆)) Kẻ HE ⊥ ∆  AE ⊥ HE Ta có :  ⇒ AE ⊥ ( A′HE )  AE ⊥ A′H Kẻ HK ⊥ A′E ⇒ HK ⊥ ( A′AE ) ⇒ d ( H ,( A′AE )) = HK = d ( BC , A′A) d Tính d ( BC , A′D ) BC ⊥ ( A′HD ) ⇒ BC ⊥ A′D Kẻ HF ⊥ A′D ⇒ d ( BC , A′D) = HF e Tính d ( A′B, AC ) Qua B kẻ đường thẳng ∆1 song song với AC d ( A′B, AC ) = d ( AC ,( A′B, ∆1 )) BC = d (C ,( A′B, ∆1 )) = d ( H ,( A′B, ∆1 )) BH = d ( H ,( A′B, ∆1 )) Kẻ HI ⊥ ∆1  BI ⊥ A′H Ta có :  ⇒ BI ⊥ ( A′HI ) BI ⊥ HI  Kẻ HP ⊥ A′I HP ⊥ ( A′BI ) ⇒ d ( H ,( A′BI )) = HP Vậy: d ( A′B, AC ) = HP Bài tập tương tự Bài Cho hình chóp S.ABC, AB = a, BC = 2a, ¼ ABC = 60o Hình chiếu vuông góc điểm S (ABC) trọng tâm G tam giác ABC, mặt phẳng (SAC) tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) theo a c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, BC = a 2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), mặt phẳng (SBD) tạo với đáy góc 60 Gọi E hình chiếu vuông góc điểm A SB, M trung điểm cạnh AD a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SC theo a c Tính theo a khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SCD) Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cân B, AC = a, ¼ ACB = 30o Góc hai đường thẳng BC’ AA’ 30 Gọi M trung điểm CC’ a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b Tính khoảng cách hai đường thẳng A’M BC’ Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAC) tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm BC a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC c Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB Bài Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ , AB = a, BC = 2a, ¼ ABC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm A′ trân nặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, đường thẳng AA′ tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp A′.BCC ′B′ b Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABB′C ′) Bài tập thể tích khối đa diện (lớp 12) khoảng cách Vấn đề: Thể tích khối chóp mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SC tạo với đáy góc 450 Gọi E F hình chiếu vuông góc điểm A SB SD a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính thể tích khối tứ diện OAEF c Tính thể tích khối chóp S.ADE d Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SCD) e Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC f Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB g Gọi M N trung điểm BC CD Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SN h Gọi G trọng tâm tam giác SAD Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (GBC) i Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) j Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD k Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCD FE Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2, SA ⊥ ( ABCD ), mặt phẳng (SBD) tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm AD a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) c Tính khoảng cách hai đường thẳng BM SC d Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC e Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, SA vuông góc với đáy, mặt (SBC) tạo với đáy góc 600, SB = 2a a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB c Gọi D hình chiếu vuông góc điểm A SC Tính thể tích khối chóp S.ABD d Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABCD có dáy hình thoi cạnh a, ·ABC = 600 , SA ⊥ ( ABCD), mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phảng (SCD) c Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SC d Tính thể tivhs khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang có AB = BC = AD · · , ABC = BAD = 900 , CD = 2a, SA ⊥ ( ABCD) Đường thẳng SC tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) c Tính khoảng cách hai đường thẳng CD SB d Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ACD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 600, SC = 2a a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA d Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H cạnh AB, mặt phẳng (SAC) tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách từ đểm A đến mặt phẳng (SBD) c Tình bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC d Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ điểm S dến mặt phẳng (GCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) c Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) d Tính goác hai mặt phẳng (SBC) (SCD) e Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = a 3, ·ACB = 300 Hình chiếu vuông góc H điểm S mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh AC cho AH = 3HC , đường thẳng SC tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) c Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = 2a, ·ACB = 300 SA = SB = SC , đường thẳng SC tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) c Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC d Tính goác hai đường thẳng SB AC e Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có AB = a, BC = a 3, SA = SB = SC = 2a, ( SAC ) ⊥ ( ABC ) a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC c Tính thẻ tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA d Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang AB = BC = AD · · , ABC = BAD = 900 , CD = 2a Tam giác SCD nằm mặt phẳng vuông góc với đáy a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) c Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD d Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ACD Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy cạnh bên a a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC c Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 15 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách từ điểm C đến mạt phẳng (SAB) c Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB d Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 16 Cho hình chóp S.Abc có cạnh bên a, mặt bên tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC c Gọi trung điểm SA Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (BCM) d Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ·ABC = 1200 , SA = SC , SB = SD Mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB d Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD Vấn đề: Thể tích khối lăng trụ Bài Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vuông góc điểm A′ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC, mặt phẳng ( ACC ′A′) tạo với đáy góc 600 a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ b Tính thể tích khối chóp A′.BCC ′B′ c Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACC ′A′) d Tính khoảng cách hai đường thẳng B′C ′ A′B e Tính khoảng cách hai đường thẳng BC A′A Bài Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác vuông cân A Hình chiếu vuông góc điểm A′ (ABC) trung điểm cạnh BC, A′A tạo với đáy góc 600, A′A = a a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ b Tính thể tích khối chóp B ACC ′A′ b Tính khoảng cách từ điểm C ′ đến mặt phẳng ( ( A′BC ) c Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BA′ d Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A′ ABC Bài Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A′ mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC, đường thẳng A′A Ataoj với đáy góc 600 a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ b Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABB′A′) c Tính khoảng cách BC AA′ d Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A′ ABC Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cân A có BC = a, AC = a Đường thẳng AC ′ tạo với đáy góc 300 a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ b Gọi M trung điểm CC ′ Tính khoảng cách hai đường thẳng B′M AC ′ Bài Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a, mặt phẳng ( B′AC ) tạo với mặt phẳng ( ACC ′A′) góc 300 a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ b Tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt phẳng ( B′AC ) c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC AB′ Bài Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình thoi cạnh a, ·ABC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm A′ mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AC, mặt phẳng (CDD′C′) tạo với mặt phẳng ( A′B′C ′D′) góc 600 a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ b Tính khoảng cách từ điểm A đenns mặt phẳng (C ′BD) Bài Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông có CA = CB = a , góc đường thẳng BA ' mặt phẳng ( ACC ' A ') 300 Gọi M trung điểm cạnh A ' B ' Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( A ' BC ) Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ·ACB = 300 Hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC, góc AA’ (ABC) 600 Tính thể tích khối đa diện BCC’B’A’ khoảng cách hai đường thẳng B’C’ A’C theo a Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ·ACB = 1200 đường thẳng A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' B, CC ' thể tích khối lăng trụ cho theo a Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = 2a, BC = a , ·ABC = 30o , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy (ABC) góc α cho tan α = Tính theo a thể tích khối lăn trụ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) Bài 11 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A AB = a, BC = 2a Biết hình chiếu B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC góc đường thẳng CC’ mặt phẳng (A’B’C’) 600 Tính thể tích khối lăng trụ góc đường thẳng HB’ mặt phẳng (ABB’) theo a Bài 12 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC hình chóp đều, mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (BCC’B’), AB = a Tính theo a thể tích khối chóp A’.BCC’B’ khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BC) Bài 13 Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C ′D′ có đáy hình vuông cạnh a, AA′ = a Hình chiếu vuông góc điểm A′ mặt phẳng (ABCD) trung điểm I cạnh AB Gọi K trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A′.IKD khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( A′KD) Bài 14 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a Gọi M trung điểm AA′, góc hai mặt phẳng ( BMC ′) (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ khoảng cách hai đường thẳng AB MC ′