Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 trường THCS Quỳnh Giang, Nghệ An năm 2015 - 2016 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận...
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (BẢNG A) MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 ' Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số: )( 3 1 22 3 1 23 cmmxmxxy 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Tìm m (0; 6 5 ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đường thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4. Bài 2: (4 điểm). 1. Giải các phương trình: 3 1tgx (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x). 2. giải phương trình: log 2 2 x + x.log 7 (x + 3)= log 2 x [ 2 x + 2.log 7 (x + 3)] Bài 3: ( 4 điểm). 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm. xaa sin = sin x 2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. 064 1 ).1(4 1 )1(2 1 23 a x x a x x a xx x Bài 4( 4 điểm). 1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R 1 , R 2 , R 3 lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Cho biết: R 1 +R 2 +R 3 = 3R. Tính 3 góc của ABC 2. Cho (E): x 2 + 4y 2 = 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T 1 , T 2 . Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T 1 , T 2 có bán kính nhỏ nhất. Bài 5:( 4 điểm). 1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn: 1)0( 0)()().(4)( 2'2' f xfxfxfxf Tìm hàm số f(x). 2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ở A 1 , B 1 , C 1 , D 1 CMR: GDGCGBGAGDGCGBGA 1111 PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG Môn toán lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2 điểm) a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27 99) b) Tính tổng: A = 2 2 1.4 4.7 7.10 97.100 Câu (2 điểm) Cho biểu thức: M = + 52 + 53 + … + 580 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho b) M số phương Câu (2 điểm) a) Chứng tỏ rằng: 2n , n N phân số tối giản n3 b) Tìm giá trị nguyên n để phân số B = 2n có giá trị số nguyên n3 Câu (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho dư 1; chia cho dư 2; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11 Câu (2 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ tia Oy, Oz, Ot cho 30 ; xOz 70 ; xOt 110 xOy a) Tính yOz zOt b) Trong tia Oy, Oz, Ot tia nằm tia lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz tia phân giác góc yOt Câu (1 điểm) Chứng minh rằng: 1 1 + + + + < 2 100 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27 99) = 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 = 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 = 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94) = 16 +27.100 - 100 = 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016 b) A = Ta có 2 2 1.4 4.7 7.10 97.100 1 1 2 1 ( ) ( ) 1.4 1.4 Tương tự: A= 2 1 2 1 2 1 ( ); ( ) ; ; ( ) 4.7 7.10 10 97.100 99 100 1 1 1 1 1 99 33 ( ) = ( ) 4 7 10 99 100 100 100 50 Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) Ta có: M = + 52 + 53 + … + 580 = + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) + + (579 + 580) = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + + 578(5 + 52) = 30 + 30.52 + 30.54 + + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + + 578) 30 b) Ta thấy : M = + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất số hạng chia hết cho 52) M = + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do không chia hết cho 52) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí M chia hết cho không chia hết cho 52 M số phương (Vì số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2) Câu (Mỗi câu đúng, cho điểm) a) Chứng tỏ rằng: 2n , n N phân số tối giản n3 Gọi d ước chung n + 2n + với d N n + d 2n + d (n + 3) - (2n + 5) d 2(n + 3) - (2n + 5) d d d = N ƯC( n + 2n + 5) = ƯCLN (n + 2n + 5) = 2n , n N phân số tối giản n3 b) Tìm giá trị nguyên n để phân số B = Ta có: 2n 2(n 3) 1 = =2n3 n3 n3 Để B có giá trị nguyên Mà 2n có giá trị số nguyên n3 nguyên n3 nguyên M(n +3) hay n +3 ước n3 Do Ư(1) = 1; Ta tìm n = {-4 ; - 2} Câu 4: Giải Gọi số phải tìm x Theo ta có x + chia hết cho 3, 4, 5, x + bội chung 3, 4, 5, VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + = 60.n Do x = 60.n – ; (n = 1; 2; 3… ) Mặt khác x M11 nên cho n = 1; 2; 3… Ta thấy n = x = 418 M11 Vậy số nhỏ phải tìm 418 Câu (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm Còn lại ý 0,5 điểm) xOz (300 < 700) a) xOy Tia Oy nằm tia Ox Oz yOz = 700 - 300 = 400 xOt (700 < 1100) xOz Tia Oz nằm tia Ox Ot = 1100 - 700 = 400 zOt xOt (300 < 1100) b) xOy Tia Oy nằm tia Ox Ot t z yOt = 1100 - 300 = 800 y Theo trên, yOz = 400 300 O x yOz < yOt (400 < 800) Tia Oz nằm tia Oy Ot c) Theo trên: Tia Oz nằm tia Oy Ot có: = 400 yOz = 400; zOt Oz tia phân giác góc yOt VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu Chứng minh : Ta có 1 1 + + + + < 2 100 1 1 < = 2.1 2 1 1 < = 2.3 3 1 1 < = 99.100 99 100 100 1 1 1 1 1 + + + < - + - + + = 1