Đang tải... (xem toàn văn)
skkn toán THCS PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAM KHẢO
Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 MỤC LỤC: A.MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề 1.Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải 2.Ý nghĩa tác dụng giải pháp Phạm vi nghiên cứu đề tài II.Phương pháp tiến hành Cơ sở lý luận thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu , tìm giải pháp đề tài Các biện pháp tiến hành , thời gian tạo giải pháp B.NỘI DUNG I Mục tiêu: Nêu rõ nhiệm vụ đề tài II Mơ tả giải pháp đề tài Thuyết minh tính Khả áp dụng - Thời gian áp dụng thử nghiệm có hiệu - Có khả thay giải pháp có - Khả áp dụng đơn vị ngành Lợi ích kinh tế xã hội -Thể rõ lợi ích đạt đến q trình giáo dục ,cơng tác -Tính kỹ thuật ,chất lượng ,hiệu sử dụng -Tác động xã hội tích cực ,cải thiện mơi trường , điều kiện lao động C.KẾT LUẬN - Những điều kiện ,kinh nghiệm áp dụng ,sử dụng giải pháp -Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp - Đề xuất , kiến nghị GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 A.MỞ ĐẦU: I.ĐẶT VẤN ĐỀ : Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải : Chun đề phân tích đa thức thành nhân tử chun đề khó chương trình tốn THCS Đặt thù loại tốn đa dạng phong phú Tùy theo tốn mà có cách giải khác Nói chung đứng trước tốn phân tích đa thức thành nhân tử học sinh phân vân khơng biết lựa chọn cách giải phù hợp vận dụng kiến thức để giải dễ lang mang dẫn đến bế tắc Trong q trình dạy học khơng học sinh trung bình , yếu khó khăn gặp loại tốn mà kể học sinh giỏi nhiều lúng túng tốn đòi hỏi linh hoạt vận dụng sáng tạo Đứng trước tình hình thân tơi cố gắng tìm hiểu , tham khảo số sách , chọn lọc,phân dạng hệ thống lại số phương pháp thường gặp để hướng dẫn học sinh giải tập loại tốn 2.Ý nghĩa tác dụng giải pháp mới: Tài liệu viết xong đem áp dụng bước đầu thấy có kết , học sinh giải số khơng phức tạp làm tư liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Qua em hứng thú học tập ,góp phần phát triển tư phẩm chất trí tuệ ,giáo dục đức tính tốt , chăm , cần cù , chịu khó ,kiên trì , nhẫn nại làm việc đến nơi đến chốn đào tạo người đầy phẩm chất tốt đẹp 3.Phạm vi nghiên cứu đề tài: Về kiến thức : Kiến thức chương trình THCS ,nâng cao mở rộng Về tài liệu nghiên cứu : Nghiên cứu số sách tham khảo liên quan đến chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử , số tập tự tìm hiểu hệ thống có lo gich theo nhóm để hướng dẫn học sinh mở rộng số phương pháp mà sách giáo khoa chưa đề cập đến , mở rơng số tập tư cao sách giáo khoa, khơng vượt q tầm kiến thức tốn THCS II.PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: 1.Cơ sở lý luận thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu ,tìm giải pháp đề tài Dạy học sinh nắm vững kiến thức tốn học , biết vận dụng cơng thức tốn vào giải tập điều cần thiết để đảm bảo chất lượng , gây hứng thú học tập cho em Đặc thù mơn tốn ,nội dung chương trình xếp theo trật tự lo gich từ đầu đến cuối , từ thấp đến cao , từ đơn giản đến phức tạp Những điều giải tốn phải có lo gich chặt chẽ , tính liên tục để đến kết cuối Tiếp thu kiến thức giải tốn học sinh trải qua thao tác tư :,phân tích , tổng hợp , trừu tượng hóa ,cụ thể hóa Do q trình giải tốn học sinh ln suy nghĩ để hành động tìm giải pháp để giải vấn đề Q trình rèn học sinh khả phát triển tư trí tuệ Phát triển mơn tốn giúp em vận dụng tốt vào mơn học khác hóa học, vật lý …Qua giải tốn rèn em đức tính :chịu khó , cẩn thận ,tỉ mỉ , thận GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 trọng, xác ,suy luận chặt chẽ ,… có phương pháp làm việc khoa học , xếp hợp lý trước sau để giải vấn đề Hướng dẫn học sinh giải tốn ln ý thức có nhiều cách giải khác nhau, nên nhìn tập nhiều khía cạnh khác Từ phải linh hoạt suy nghĩ hành động Trong tình hình dạy học mơn tốn , học sinh thường phân hóa hai đối tượng hai cực rõ rệt , đối tượng giỏi đối tượng yếu , học sinh trung bình chiếm tỉ lệ thấp Có nghĩa số em học ngày tiến vươn lên , ngược lại số em học khơng ngày sa sút đến chỗ khơng có khả giải tập với u cầu tối thiểu Điều người giáo viên đứng lớp cần phải suy nghĩ , học tốn em gặp phải khó khăn , tìm cách giúp em vươn lên bước học sinh yếu vươn lên trung bình , học sinh trung bình vươn lên , học sinh vươn lên giỏi , phác học sinh khiếu Đó hiệu tốt người đứng bục giảng Vì tính đa dạng việc giải tập tốn , người học sinh cần có kỹ vận dụng kiến thức học cách linh hoạt sáng tạo Người ta thường nói vui : Con đường giải tốn nhiều lúc thật thiên biến vạn hóa , tốn có nhiều cách giải khác , em thường bối rối khơng biết lựa chọn đường tốn khó Trong hoạt động dạy học , học qua phần , chương ,chúng ta cần hệ thống lại dạng tốn thường gặp , phương pháp điễn hình thường sử dụng để học sinh có kỹ giải tốn vũ khí tay chiến trường Khi dạy qua kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử lớp , chủ đề khó học sinh , phần tập lại đa dạng phong phú Nhiều lúc đứng trước tập học sinh khơng biết giải đường Đặc biệt học sinh thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp trường , cấp huyện … Bản thân tự tìm kiếm sách tham khảo, phân dạng ,hệ thống lại , liệt kê số phương pháp thường gặp để giúp học sinh đồng thời làm tư liệu bồi dưỡng nâng cao lực giải tốn cho học sinh Thời gian qua tơi lấy chủ đề dạy cho học sinh , thấy học sinh làm tương đối tốt Khi học xong em làm thấy phấn khởi hứng thú học tập 2.Các biện pháp tiến hành , thời gian tạo giải pháp Trên sở kiến thức sách giáo khoa em học , tơi hệ thống lại cách trật tự, phương pháp vận dụng , vận dụng phù hợp cho dạng tốn , mở rộng số phương pháp sách giáo khoa chưa đề cập để bồi dưỡng học sinh giỏi chẳng hạn phương pháp dùng hệ số bất định , phương pháp sử dung định lý Bơ Du , phương pháp đặt ẩn phụ… lợi ích chứng minh tốn chia hết , rút gọn … Đầu học kỳ I năm học 2015-2016 tơi nghiên cứu biên soạn đề tài thời gian hai tuần , sau tiến hành dạy cuối đợt kiểm tra đánh giá mức độ tiếp thu học sinh thấy có khả quan tiến nhiều kỳ năm ngối chưa biên soạn đề tài GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 B.NỘI DUNG: I.MỤC TIÊU: Nhiệm vụ đề tài : Giải vấn đề khó khăn học sinh đứng trước tốn PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Chỉ cho em số phương pháp thường gặp để em biết lựa chọn phương pháp phù hợp dạng gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn cần phân tích thành nhân tử để giải vấn đề khác ,chẳng hạn tốn chia hết,rút gọn biểu thức, giải phương trình tích… Chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử chủ đề khó chương trình tốn THCS , thời gian dạy em tốn đa dạng phong phú , em thường gặp đề thi học sinh giỏi , câu nâng cao học kỳ tiền đề sở để học lên cấp THPT Do việc biên soạn đề tài nhằm giúp em có lực giải tốn để từ học tập tiến II.MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: 1.Thuyết minh tính : Hệ thống : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1.1)Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung AB+AC-AD=A(B+C-D) Ví dụ: Phân tích thành nhân tử A = m5-5m3+4m Hdẫn: đặt m nhân tử chung A = m( m4 – 5m2 +4) = m(m2 – 1) (m2 - 4) = m(m-1)(m+1) (m-2) (m+2) Ví dụ: Phân tích thành nhân tử : B= 5(x-y)3 z– 10(x-y)2 C = x2nyn+1-42n-1yn+2 -2 xnyn Hướng dẫn : B = 5(x-y) [(x-y)z – 2] = 5(x-y)2(xz-yz-2) C = xnyn(xny – 4xn-1y2 - 2) 1.2)Phương pháp 2:Nhóm hạng tử đặt nhân tử chung AB+AC-BDCD=(AB+AC) - (BD+CD)=A(B+C) - D(B+C)=(B+C)(A-D) Ví dụ : Phân tích thành nhân tử D = n3-3n2-n+3 Hdẫn: nhóm D = (n3-3n2)-(n-3) đặt nhân tử chung D = n2 (n – 3) – (n -3) = (n - 3) ( n2 – 1) = ( n-3) ( n-1) ( n+1) 1.3)Phương pháp 3:Dùng đẳng thức A2 2AB+B2=(A B)2 A2-B2=(A-B)(A+B) A3 3A2B+3AB2 B3=(A B)3 A3 B3=(A B)(A2 AB+B2) (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC an – bn = (a – b)(an-1+an-2b+……+bn-1) an – bn = (a+b)( an-1- an-2b+……- bn-1) ( với n chẵn) an + bn = (a+b)( an-1- an-2b+……+bn-1) ( với n lẻ) Ví dụ: Phân tích thành nhân tử N = x6-1 Hướng dẫn: ý (x2)3=x6 x6=(x3)2 1=12=13 N = (x3)2 – 12 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x-1)(x+1)(x2+x+1) (x2-x+1) GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 Ví dụ: Phân tích thành nhân tử x128-y128 Hdẫn :vận dụng đẳng thức A2-B2=(A-B)(A+B) x128-y128=(x64)2-(y64)2=(x64+y64)(x64-y64)=(x64+y64)[(x32)2-(y32)2]= (x64+y64)(x32-y32) (x32+y32)= (x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16)(x16- y16) = (x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8 – y8)(x8+y8) = (x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4)(x4-y4)= (x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4) (x2+y2)(x2 – y2) =(x64+y64) (x32+y32) (x16 +y16) (x8+y8) (x4+y4) (x2+y2)(x+y)(x – y) Bài 1: Phân tích thành nhân tử A=ab(a-b)-ac(a+c)+bc(2a+c-b) Hdẫn : khai triển A=ab(a-b)-a2c-ac2+2abc+bc2-b2c =ab(a-b)-c(a2-2ab+b2)-c2(ab)= = (a - b)(b – c)(a+c) 1.4)Phương pháp 4:Tách hạng tử nhóm Ví dụ :x2-x-6 = x2+2x-3x-6 = x(x+2)-3(x+2) = (x+2)(x-3) Bài 2: Phân tích thành nhân tử y4+4y2-5 cách 1: tách -5=-1-4 nhóm (y4-1)+(4y2-4)= =(y2+5)(y-1)(y+1) cách 2:tách -5=4-9 nhóm (y4+4y2+4)-9=(y2+2)2-32= =(y2+5)(y-1)(y+1) Bài 3: Phân tích thành nhân tử x3-19x-30 cách 1: tách -30=8-38 nhóm (x3+8)-19x-38= (x+2)(x+3)(x-5) =(x3+23)-19(x+2)= =(x+2)(x+3)(x-5) cách 2: -19x=-10x-9x nhóm (x3-9x)-10x-30= Bài 4: Phân tích thành nhân tử a3-7a-6 cách 1:tách -7a=-a-6a nhóm (a3-a)-6a-6= a(a-1)(a+1)-6(a+1)= (a+1)(a2-a-6) = (a+1) (a-3) (a+2) cách 2: a3-7a-6 = a3 +8 -7a -14 = … = (a+1) (a-3) (a+2) Bài 5: x4-13x2+36 Hdẫn: tách -13x2=-4x2-9x2 Bài 6: Phân tích thành nhân tử m5-5m3+4m Cách 1: Đặt m làm nhân tử chung Kết : m5-5m3+4m = m(m-1)(m+1)(m-2)(m+2) Cách 2: tách -5m3=-m3-4m3 Bài 7: Phân tích thành nhân tử x16+x8y8+y16 Hdẫn: tách x8y8=2 x8y8- x8y8 viết x16+x8y8+y16= .=(x8+y8-x4y4)( x8+y8+x4y4) tiếp tục phân tích x8+y8+x4y4= .=(x4+y4-x2y2)( x4+y4+x2y2) tiếp tục x4+y4+x2y2= =(x2+y2+xy) (x2+y2-xy) kết = (x8+y8-x4y4)( x4+y4-x2y2) (x2+y2-xy) (x2+y2+xy) Bài 8: Phân tích thành nhân tử x4+6x3+7x2-6x+1 Hdẫn:tách hạng tử nhóm lại để xuất nhân tử chung x2+3x-1 tách 6x3=3x3+3x3, 7x2=-x2+9x2-x2, -6x=-3x-3x ta có x4+6x3+7x2-6x+1=x4+3x3+3x3-x2+9x2-x2-3x-3x+1 = x4+3x3-x2+3x3+9x2-3x-x2-3x+1 =x2(x2+3x-1)+3x(x2+3x-1)- (x2+3x-1)= (x2+3x-1) (x2+3x-1)= (x2+3x-1)2 Cách khác : đưa dạng (A+B)2-2(A+B).C+C2=(A+B-C)2 x4+6x3+7x2-6x+1= x4+6x3+9x2-2x2-6x+1=[(x2)2+2.x2.3x+(3x)2]-2(x2+3x)+12 GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 =(x2+3x)2-(x2+3x)+1=(x2+3x-1)2 Bài 9: Phân tích thành nhân tử E=(a-x)y3-(a-y)x3+(x-y)a3 cách giải: ý a-x=(a-y)-(x-y) E=[(a-y)-(x-y)]y3-(a-y)x3+(x-y)a3= =(a-y)(y3-x3)-(x-y)(y3-a3)= =(a-y)(y-x)(y2+xy+x2-a2-ay-y2)=(a-y)(y-x)[y(x-a)+(x-a)(x+a)]=(a-y)(y-x)(x-a) (x+y+a) 1.5)Phương pháp 5: Thêm,bớt hạng tử nhóm Phân tích thành nhân tử x4+4y4 Hướng dẫn : x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy) (x2+2y2-2xy) Bài 10: Phân tích thành nhân tử x8+4 Hướng dẫn: thêm bớt 4x4 nhóm ( x8+4x4+4)- 4x4 dùng đẳng thức ,kết (4x4-2x2+2) (4x4+2x2+2) Bài 11: Phân tích thành nhân tử a4+b4 Hdẫn: thêm bớt 2a2b2 dùng đẳng thức Bài 12: Phân tích thành nhân tử 81x4+4 Hdẫn: ý 81x4+4=(9x2)2+22 có dạng a2+b2 nên ta thêm bớt 2ab dùng đẳng thức Bài 13: Phân tích thành nhân tử x5+x4+1 Hdẫn :thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tư chung x2+x+1 cách 1: x5+x4+1=( x5+x4+x3)-(x3+x2+x)+(x2+x+1)=x3(x2+x+1)-x(x2+x+1)+ ( x2+x+1) = (x3-x+1)( x2+x+1) cách 2: thêm bớt x3 ( x5+x4+x3)-(x3-1)= .= (x3-x+1)( x2+x+1) Bài 14: Phân tích thành nhân tử x8+x7+1 cách 1: thêm bớt x6,x5,x4,x3,x2,x x8+x7+1=( x8+x7+x6)-(x6+x5+x4)+(x5+x4+x3)-(x3+x2+x)+ (x2+x+1)= = ( x2+x+1)(x6-x4+x3-x+1) cách 2: thêm bớt x2 x nhóm hạng tử x8+x7+1=(x8-x2)+(x7-x)+ ( x2+x+1)=x2(x6-1)+x(x6-1)+ ( x2+x+1)= ( x2+x+1)(x6-x4+x3-x+1) Bài 15: Phân tích thành nhân tử x8+x+1 cách 1: thêm bớt x7,x6,x5,x4,x3,x2,x cách 17 cách 2:chỉ thêm bớt x2 x8+x+1=(x8-x2)+ ( x2+x+1)=x2(x3+1)(x-1) ( x2+x+1)+ ( x2+x+1) =( x2+x+1)[ x2(x3+1)(x-1)+]= ( x2+x+1)( x6-x5+x3-x2+1) Bài 16: Phân tích thành nhân tử a10+a5+1 cách 1: thêm bớt a9,a8,a7,a6,a5,a4,a3,a2,a a10+a5+1=(a10+a9+a8)-( a9+a8+a7)+(a7+a6+a5)-( a6+a5+a4)+( a5+a4+a3)-(a3+a2+a)+ (a2+a+1)= = (a2+a+1)(a8-a7+a5-a4+a3-a+1) cách 2: thêm bớt a2 a nhóm hạng tử a10+a5+1=(a10-a)+(a5-a2)+(a2+a+1)=a(a3-1)(a6+a3+1)+ a2(a3-1)+(a2+a+1) =a(a-1) (a2+a+1) (a6+a3+1)+ a(a-1) (a2+a+1)+ (a2+a+1) = (a2+a+1)[ a(a-1)(a6+a3+1)+a(a-1)+1]=> kết GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 Bài 17: Phân tích thành nhân tử a2b2(b-a)+b2c2(c-b)-a2c2(c-a) ( *) cách 1: ý c-b=-[(b-a)-(c-a)] (*) viết a2b2(b-a)-b2c2[(b-a)-(c-a)]-a2c2(c-a)=[a2b2(b-a)-b2c2(b-a)]+ [b2c2(c-a)-a2c2(c-a)]=b2(b-a)(a-c)(a+c)+c2(c-a)(b+a)(b-a)= =(a-b)(a-c)(bc)(ab+ac+bc) cách 2:(*) viết a2b2(b-a)+b2c3-b3c2-a2c3+a3c2= a2b2(b-a)+c3(b+a)(b-a)-c2(b3-a3) =a2b2(b-a)+c3(b+a)(b-a)-c2(b-a)(b2+ab+a2)= =(b-a)[c2b(cb)+c2a(cb)-a2(c2-b2)= = kết Bài 18: Phân tích thành nhân tử Q=x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2) cách 1: =xy2-xz2+yz2-yx2+zx2-zy2=y2(x-z)+xz(x-z)-y(x2-z2)=(x-z)[y2+xzy(x+z)]=(x-z)[z(x-y)-y(x-y)]=(x-z)(x-y)(z-y) cách 2: ý y2-z2=-[(z2-x2)+(x2-y2)] Q=-x[(z2-x2)+(x2-y2)]+y(z2-x2)+z(x2-y2)=-x(z2-x2)-x(x2-y2)+y(z2-x2)+ z(x2-y2) =(z2-x2)(y-x)-(x2-y2)(x-z)=(x-z)(x+z)(x-y)-(x-y)(x+y)(x-z) =(x-y)(x-z)[(x+z)-(x+y)]=(x-y)(x-z)(z-y) 1.6)Phương pháp 6: Dùng ẩn phụ VD:Phân tích thành nhân tử (x2-3x+2)(x2-3x-6)+12 Đặt y= x2-3x+2 => x2-3x-6 = (x2-3x+2)-8=y-8 Vậy y(y-8)+12=y2-8y+12=(y2-8y+16)-4=(y-4)2-22=(y-4+2)(y-4-2)=(y-2)(y-6) suy (x2-3x+2)(x2-3x-6)+12=( x2-3x+2-2) (x2-3x+2-6)=( x2-3x)( x2-3x-4)=x(x3)(x2+x-4x-4)=x(x-3) (x2+x-4x-4)=x(x-3)[x(x+1)-4(x+1)]=x(x-3)(x+1)(x-4) Chú ý:Nếu tam thức bậc :ax2+bx+c có b2-4ac ta tiếp tục phân tích thừa số VD: x2-x+2 có a=1,b=-1,c=2 (-1)2-4.1.2=1-8=-7 a10+a5+1=x2+x+1 ta có x2+x+1= = => a10+a5+1= thương = = =a8-a7+a5-a4+a3-a+1 => kết Bài 20: Phân tích thành nhân tử A=9(x2-x)2 -14(x2-x) + 24 Hướng dẫn : đặt ẩn phụ y=x2-x ta viết: y2-14y+24=(y2-14y+49)-25=(y-7)2-52=(y-7+5)(y-7-5)=(y-2)(y-12) A=(y-2)(y-12)=(x2-x-2)(x2-x-12)=(x2+x-2x-2)(x2+3x-4x-12)=[x(x+1)-2(x+1)] [x(x+3)-4(x+3)] =(x-2)(x+1)(x+3)(x-4) GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 Bài 21: tự giải- Phân tích thành nhân tử a (x2+x)2+4(x2+x)-12 kết = (x-1)(x+2)(x2+x+6) b (y2+y+1) (y2+y+2)-12 kết =(y-1)(y+2)(y2+y+5) c 3(x2+2x)2-2(x2+2x)-1 kết =(x2+2x-1)(3x2+6x+1) (m+1)(m+3)(m+5)(m+7)+15 kết (m+2)(m+6)(m2+8m+10) Bài 22: Phân tích thành nhân tử (x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8) +2x2 Hdẫn : đặt y= x2+4x+8 => y2+3xy+2x2=(y2+2yx+x2)+(xy+x2)=(y+x)2+x(y+x)= (y+x) (y+x+x)= (y+x)(y+2x)= kết =(x2+5x+8)(x+2)(x+4) Bài 23: Phân tích thành nhân tử (x2+x+1)2+3x(x2+x+1)+2x2 tự giải: tương tự 26 =>kết (x+1)2(x2+3x+1) Bài 24: Phân tích thành nhân tử 27x3-27x2+18x-4 Hdẫn: đặt y=3x => y3-3y2+6y-4 có nghiệm y=1 kết =(3x-1)(9x2-6x+4) 1.7)Phương pháp 7:phối hợp nhiều phương pháp Bài 25: Phân tích thành nhân tử a2-a-6 cách 1: tách -6=-4-2 nhóm a2-4-a-2=(a2-4)-(a+2)= cách 2: tách -6=-9+3 nhóm a2-9-a+3=(a2-9)-(a-3)= cách 3:tách -a=2a-3a viết a2+2a-3a-6= nhóm (a2-3a)+(2a-6)= cách 4:đưa đẳng thức a2-a-6=(a2-2a + )- =6=(a- )2- = cách 5:đưa dạng x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) a2-a-6= a2+(-3+2)a+(-3)2=(a-3)(a+2) cách 6:phương pháp hệ số bất định ta viết a2-a-6=(a+m)(a+n) => a2-a-6= a2+(m+n)a+m.n => => m=-3, n=2 a2-a-6=(a-3)(a+2) Bài 26: Phân tích thành nhân tử y8+y4+4 Hướng dẫn: tách y4= 2y4- y4 nhóm (y8+2y4+1)- y4 dùng đẳng thức Bài 27: Phân tích thành nhân tử B=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 Hdẫn:nhận xét 1+4=2+3=5 nên ta nhóm (x+1)(x+4) (x+2)(x+3),khai triển từ đặt ẩn phụ giải 23 ta có [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24=(x2+5x+4)( x2+5x+6)-24 đặt t= x2+5x+4 => x2+5x+6=t+2 GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 t(t+2)-24=t2+2t-24= (t2+2t+1)-25=(t+1)2-52=(t+6)(t-4) => (x2+5x+4+6)( x2+5x+4-4)=( x2+5x+10)( x2+5x)=x(x+5)( x2+5x+10) ý: x2+5x+10 khơng thể phân tích ta có 52-10.4.1=25-40 a2-a-6= a2+(m+n)a+m.n => m =-3, n=2 a2-a-6=(a-3)(a+2) Ví dụ: Phân tích thành nhân tử B=x4-2x3-3x2+4x+4 dùng phương pháp hệ số bất định: x4 có hệ số nên B=(x2+ax+b)2=x4+a2x2+b2+2ax3+2bx2+2abx = x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2 x4-2x3-3x2+4x+4 = x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2 đồng hai vế ta GV:Nguyễn Bỉnh giải a=-1,b=-2 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử => Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 B=(x2-x-2)2 1.9)Phương pháp 9:sử dụng định lí Bơ –du :Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a f(x) chia hết cho (x-a) Bài 31: Phân tích thành nhân tử x3-19x-30 cách 3: ta có x =-2 nghiệm đa thức : x2-19x-30 (-2)3-19(-2)-30=8+38-30=0 nên x3-19x-30 chia cho x+2 thương x2-2x-15 x3-19x-30=(x+2)( x2-2x-15) tiếp tục phân tích x2-2x-15= .=(x+3)(x-5) Bài 4: Phân tích thành nhân tử a3-7a-6 cách 2:nhẩm a = -1 nghiệm đa thức a3-7a-6 nên a3-7a-6=(a+1)(a2-a-6)= (a+1)( a2+2a-3a-6)= =(a+1)(a+2)(a-3) Bài 32: Phân tích thành nhân tử x3+4x2-7x-10 Hdẫn: thử với x =-1 x3+4x2-7x-10=0 nên cách 1: lấy x3+4x2-7x-10 chia cho (x+1) ta thương x2+3x-10 tiếp tục phân tích thương giải : x3+4x2-7x-10=(x+1)( x2+3x-10)=(x+1)(x2+5x-2x-10)= .=(x+1)(x+5) (x-2) cách 2:trước hết tách hạng tử đa thức cho có nhân tử chung x+1 x3+4x2-7x-10=x3+x2+3x2+3x-10x-10 nhóm cặp hạng tử,đặt nhân tử chung Bài 33: Phân tích thành nhân tử a3-6a2+11a-6 Hdẫn : thử với x=1 a3-6a2+11a-6=0 giải 14 trên,kết quả(x-1)(x-2)(x-3) Bài 34: Phân tích thành nhân tử x4-x3-3x2+5x-2 Hdẫn: ta có x=1 nghiệm đa thức cho (14-13-3.12+5.1-2=0) Lấy x4-x3-3x2+5x-2 chia cho x-1 thương x3-3x+2 Vậy x4-x3-3x2+5x-2=(x-1)( x3-3x+2) Tiếp theo tương tự x-1 nghiệm đa thức x3-3x+2 nên x3-3x+2=(x-1)(x2+x-2) Tương tự x=1 nghiệm đa thức (x2+x-2) nên (x2+x-2)=(x-1)(x+2) Vậy x4-x3-3x2+5x-2=(x-1)3(x+2) 1.10)Phương pháp 10:Một số phương pháp khác Bài 35: Phân tích thành nhân tử E=a(b+c)(b2-c2)+b(c+a)(c2-a2)+c(a+b)(a2-b2) Hdẫn :xem đa thức cho đa thức bậc a thay a=b ta E= b(b+c)(b2-c2)+b(c+b)(c2-b2)+c(b+b)(b2-b2)=b(b+c)(b2-c2)- b(b+c)(b2-c2)=0 đa thức E chia hết cho a-b.vì a,b,c vai trò nên đa thức E chia hết cho b-c,c-a E=(a-b)(b-c)(c-a).Q (*) Q đa thức bậc a.vìvai trò a,b,c nên b,c có mặt Q bậc ,tức GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 Q=A.a+B.b+C.c,trong A,B,C số đó.rõ ràng A,B,C có vai trò nên A=B=C.do viết E=A(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).để tính A,ta thay chẳng hạn a=2,b=1,c=0 =>-6A=-6,A=1 E=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) Bài 36: Phân tích thành nhân tử C=4x2y2(2x+y)+y2z2(z-y)-4z2x2(2x+z) =4x2y2(2x+y)+z2[z(y2-4x2)-(8x3+y3)] =(2x+y)[4x2y2+z3(y-2x)-(4x2-2xy+y2)z2] =(2x+y)[4x2(y2-z2)-z2y(y-z)+2xz2(y-z)] =(2x+y)(y-z)[(4x2(y+z)-z2y+2xz2] =(2x+y)(y-z)[2xz(2x+z)+y(4x2-z2)] =(2x+y)(y-z)(2x+z)(2xz-yz+2xy) Bài 37: Phân tích thành nhân tử D=(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 cách 1:khai triển ước lược đặt nhân tử chung ta có -3xy(x-y)-3z2(x-y)+3z(x2-y2) =3(x-y)[-xy-z2+z(x+y)]=3(x-y)[-x(y-z)+z(y-z)] =3(x-y)(y-z)(z-x) cách 2: khai triển số hạng,giữ ngun số hạng cách 3: đặt A=x-y ,B=y-z ,C=z-x =>A+B+C=0 Vậy (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=A3+B3+C3=(A+B+C)3-3(A+B)(B+C)(C+A) =0-3(x-z)(y-z)(z-y)=3(x-y)(y-z)(z-x) Bài 38: Phân tích thành nhân tử E=bc(a+d)(b-c)-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b) Hdẫn: tách b-c=(a-c)-(a-b) a-c=(a-b)+(b-c) a-b=(a-c)-(b-c) E=bc(a+d)[(a-c)-(a-b)]-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b) =[bc(a+d)-ac(b+d)](a-c)+[ab(c+d)-bc(a+d)](a-b) =[ab+bd-ab-ad](a-c)c+[ac+ad-ac-cd](a-b)b =-d(a-b)(a-c)c+d(a-b)(a-c)b=(a-b)(a-c)(b-c).d PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ b CỦA TAM THỨC ax2+bx+c Bước 1:Tìm ước a.c Bước 2:chọn ước a.c,chẳng hạn c1 c2 cho c1.c2=ac c1+c2=b Bước 3: tách bx=c1x+c2x Ví dụ:phân tích thừa số x2-5x+6 ước 1; 2; 3; chọn ước -2 -3 thỏa mãn (-2)(-3)=6 (-2)+(-3)=-5 tách -5x=-2x-3x,ta viết x2-2x-3x+6 x2-3x-2x+6 nhóm hạng tử đặt nhân tử chung BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 39 Phân tích thành nhân tử a x2+2x-15 GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 b y2-7y+6 Bài 40: Phân tích thành nhân tử F=a2b+a2c+ab2+ac2+c2b+cb2+2abc =a2(b+c)+a(b2+c2+2bc)+bc(b+c) =bc[a2+(b+c)a+bc]=(b+c)(a+b)(a+c) Bài 41: A=[(x-z)2+(y-t)2](x2+y2)-(xt-yz)2 Hdẫn: khai triển nhóm nhân tử chung x2+y2 A=[( x2+y2)+(z2+t2)-2(zx+yt)]( x2+y2)-x2t2-y2z2+2xyzt =( x2+y2)2+(z2+t2)( x2+y2)-2(xz+yt)( x2+y2)-x2t2-y2z2+2xyzt =( x2+y2)2-2(xz+yt)( x2+y2)+(x2z2+y2t2+2xyzt) =( x2+y2)2-2(xz+yt)( x2+y2)+(xz+yt)2 =( x2+y2- xz-yt)2 Bài 42: B=x3(x-y2)+ y3(x-z2) z3(y-x2)+xyz(xyz-1) Hdẫn: khai triển -> nhóm theo thừa số (y2-z), (z2-x), (x2-y) -> kết B=(x2-y)(z2-x)(y2-z) Bài 43:C=a(b+c)2+ b(a+c)2+ c(b+a)2-4abc Hdẫn:khai triển ,nhóm -> nhân tử chung (b+c) kết C=(a+b)(b+c)(c+a) Bài 44: D=x(y-z)2+ y(z-x)2+ z(x-y)2-x3-y3-z3+4xyz Hdẫn: nhóm hạng tử -> nhân tử chung ->hằng đẳng thức D=[x(y-z)2-x3]+ [y(z-x)2-y3]+ [z(x-y)2-z3]+4xyz = =(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) Bài 45: E=a2x2+a(3b+a)x+2b(x+b) Hdẫn: đặt y=ax nên E=y2+y(3b+a)+2b(a+b)=y2+y(b+a)+2by+2b(a+b)=y(y+b+a) +2b(y+a+b) =(y+a+b)(y+2b)=(ax+a+b)(ax+2b) Bài 46: F=(x-y) +(y-z)5+(z-x)5 Hdẫn: x=y ,y=z, z=x F=0 F chia hết cho (x-y),(y-z),(z-x) đa thúc bậc ẩn.mặt khác vai trò x,y,z F nên thường phải có dạng a(x2+y2+z2)+b(xy+xz+yz) F=(x-y)(y-z)(z-x)[a(x2+y2+z2)+b(xy+xz+yz)] Để tính a,b ta gán cho ẩn số giá trị cụ thể chẳng hạn thay x=0,y=1,z=2 ta có 5a+2b= 15 x=1,y=2,z=3 ta có 14a+11b=15 => a=5,b=-5 F=5(x-y)(y-z)(z-x)(x2+y2+z2-xy-xz-yz) cách giải khác xem 53 Bài 47: (x+y)3-x3-y3 Hdẫn: (x+y)3-(x3+y3) khai triển đẳng thức,đặt nhân tử chung -> kết 3xy(x+y) Bài 48: (x+y)5-x5-y5 Hdẫn: ý x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4) (x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4 GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 (x+y)5-(x5+y5)=(x+y)5- (x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4) =(x+y)[(x+y)4-(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)] =(x+y)(x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4- x4+x3y-x2y2+xy3-y4 =(x+y)(5x3y+5x2y2+5xy3)=5xy(x+y)(x2+xy+y2) Bài 49: (x+y)7-x7-y7 giải tương tự 48 =(x+y)(x+y)6-(x+y)(x6-x5y+x4y2-x3y3+x2y4-xy5+y6) =(x+y)( x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6-x6+x5y-x4y2+x3y3-x2y4+xy5-y6) =(x+y)( 7x5y+14x4y2+21x3y3+14x2y4+7xy5) =7xy(x+y)(x4+2x3y+3x2y2+2xy3+y4) =7xy(x+y)( x4+2x3y+x2y2+2x2y2+ 2xy3 +y4 =7xy(x+y)( (x2)2+2x2xy+(xy)2+2x2y2+ 2xy3 +y4) =7xy(x+y)[(x2+xy)2-2(x2+xy).y2+y4] =7xy(x+y)(x2+xy+y2) Bài 50: x3+y3+z3-3xyz Hdẫn:thêm bớt 3xy(x+y) ->xuất nhân tử chung (x+y+z) ta có x3+3xy(x+y)+y3+z3-3xyz-3xy(x+y)=(x3+3x2y+3xy2+y3)+z3-3xy(x+y+z) =[(x+y)3+z3]-3xy(x+y+z)=(x+y+z)[(x+y)2-(x+y)z+z2]-3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x2+2xy+y2-xz-yz+z2-3xy) =(x+y+z)( x2-xy+y2-xz-yz+z2) x3+y3+z3-3xyz=( x+y+z)( x2-xy+y2-xz-yz+z2) ghi nhớ (x+y)6= x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6 x7+y7= (x+y)(x6-x5y+x4y2-x3y3+x2y4-xy5+y6) Bài 51: P=(a+b+c)3-a3-b3-c3 cách 1:do biểu thức P có số hạng lập phương nên ta nghĩ cách viết biểu thức dạng hiệu hai lập phương trừ tổng hai lập phương để áp dụng cơng thức quen thuộc mà biến đổi P=[(a+b+c)3-a3]-(b3+c3)= =3(a+b)(b+c)(c+a) cách 2: ta xem (a+b+c)3 [(a+b)+c]3 viết sau P=[(a+b)+c]3-(a3+b3)-c3=(a+b)3+3(a+b)2c+3(a+b)c2+c3-(a+b)(a2-ab+b2)c3= =(a+b)(3ab+3ac+3bc+3c2)= =3(a+b)(a+c)(b+c) cách 3:thay a=-b P=0 => P chia hết cho (a+b).vì vai trò a,b,c nên P (a+b)(b+c)(c+a).mà đa thức P có bậc cao a la 2(do số hạng chứa a3 triệt tiêu cho nhau)nên thương số K(a+b)(b+c)(c+a) cách thay giá trị chẳng hạn a=b=c=1=>k=3 Bài 52: Q=(a+b+c)5-a5-b5-c5 Hdẫn:lập luận tương tự cách giải -> Q (a+b)(b+c)(c+a).đa thức cho đối xứng đa thức thường có dạng A(a2+b2+c2)+B(ab+bc+ac) với A,B hệ số ẩn ta có Q=(a+b)(a+c)(b+c)[ A(a2+b2+c2)+B(ab+bc+ac)] trước hết ta chọn a=1,b=1,c=0 =>2A+B=15 sau ta chọn a=1,b=1,c=1 =>A+B=10 =>A=5,B=5 GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 Vậy Q= 5(a+b)(a+c)(b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc) Bài 53:(x-y)5+(y-z)5+(z-x)5 Đặt a=x-y,b=y-z,c=z-x =>a+b+c=0 nên c=-(a+b) a5+b5+c5= a5+b5-(a+b)5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4-(a+b)( a44a3b+6a2b2+4ab3+b4)= = (a+b)(-5ab)( a2+ab+b2)=5abc( a2+ab+b2) a+b=-c =5(x-y)(y-z)(x-z)[(x-y)2+(x-y)(y-z)+(y-z)2] =5(x-y)(y-z)(x-z)(x2-2xy+y2+xy-xz-y2+yz+y2+z2-2yz)= Bài 54:A=(x+y+z)3-(x+y-z)3-(z+y-x)3-(x+z-y)3 Hdẫn:áp dụng (a+b+c)3-a3-b3-c3=3(a+b)(b+c)(c+a) đặt a=x+y-z,b=y+z-x,c=z+x-y kết =24xyz Bài 55: B=x4-2x3-3x2+4x+4 cách 1: dùng phương pháp hệ số bất định x4 có hệ số nên B=(x2+ax+b)2=x4+a2x2+b2+2ax3+2bx2+2abx = x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2 x4-2x3-3x2+4x+4 = x4+2ax3+2abx+b2+(a2+2b)x2 đồng hai vế ta giải a=-1,b=-2 B=(x2-x-2)2 cách 2: đưa dạng (A+B)2 2(A+B)C+C2=(A+B C)2 Ta có B= x4-2x2.x+x2-4x2+4x+4=(x2-x)2-2(x2-x)(-2)+4=( x2-x-2)2 Bài 56: E= x4+2x3-23x2-24x+144 Hdẫn:giải cách tương tự 55 kết E=( x2+x-12)2 Bài 57: P= x3-9x2-26x-24 cách 1:do P có số hạng cao la x3 có hệ số nên P=(x+a) (x2+bx+c)=x3+bx2+cx+ax2+abx+ac => x3-9x2-26x-24=x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac => a3-9a2+26x-24=0 nhẩm a=-2 nghiệm đa thức =>a=-2,b=-7,c=12 P=(x-2)(x2-7x+12)=(x-2)(x-3)(x-4) cách 2: với x=2 P=0 P (x-2) lấy x3-9x2-26x-24 chia cho x-2 thương x2-7x+12 P=(x-2)( x2-7x+12)=(x-2)(x2-3x-4x+12)=(x-2)(x-3)(x-4) Bài 58: x4- x3-x2+2x-2 GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 cách 1: Q có hệ số ca 1,hệ số tự -2 nên Q=(x2+ax-2)(x2+bxc)= = x4+(a+b)x3+(c+ab-2)x2+(ac+2b)x-2c => a=0,b=-1,c=1 => Q=(x2-2)(x2-x+1) cách 2: x= nghiệm Q =>x2=2 nên Q chia hết cho x2-2 thương x2-x+1 Bài 59: A=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2 Hdẫn: A=4(x2+xy+xz)( x2+xy+xz+yz)+ y2z2 đặt t= x2+xy+xz => A=4t(t+yz)+y2z2=4t2+4tyz+y2z2=(2t+yz)2=(2x2+2xy+2xz+yz)2 Bài 60: Q=a95+ a94+ a93+ a92+ + a2+ a+1 Hdẫn: Q=a64(a31+ a30+ .+ a2+a+1)+ a32(a31+ a30+ .+ a2+a+1)+( a31+ a30+ .+ a2+a+1) =( a31+ a30+ .+ a2+a+1)(a61+a32+1) Bài 61:M=x9999+ x8888+ x7777+ x6666+ x5555+ x4444+ x3333+ x2222+ x1111+1 chia hết cho (x9+x8+x7+x6+ .+x+1) Hdẫn: xét hiệu (x9999-x9)+(x8888-x8)+ +(x1111-x)+1-1 =x9[(x10)999-1]+ x8[(x10)888-1]+ + x[(x10)111-1] biểu thức dấu [ ] chia hết cho x10-1 nên chia hết cho tức chia hết cho x9+x8+x7+x6+ .+x+1 hiệu đa thức thứ đa thức thứ chia hết cho đa thức thứ 2,nên đa thức thư chia hết cho đa thức thứ Bài 62: CMR (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a4 bình phương đa thức Hdẫn: giải tương tự 62 kết (x2+5ax+5a2)2 Bài 63: tìm K x(x+a)(x+b)(x+a+b) +K bình phương Hdẫn:[x(x+a+b)][(x+a)(x+b)]=[x2+(a+b)x][ x2+(a+b)x+ab]+K đặt y= x2+(a+b)x+K =>y=(y+ab)+K=y2+aby+K=y2+2 y+K ta bình phương K= Bài 64: với giá trị ngun a đa thức (x-a)(x-10)+1 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số ngun? Hdẫn: giả sử (x-a)(x-10)+1=(x-m)(x-m) với m,n Z => x2-(a+10)x+10a+1=x2-(m+n)x+m.n GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ => Năm học : 2015-2016 => => 10m+10n-mn=99 =>10m-mn+10n-100=-1 =>mn-10m+100-10n=1 =>m(n-10)-10(n-10)=1 =>(m-10)(n-10)=1 => =>m=11,n=11 =>m=9,n=9 m+n=a+10 nên a=12 a=8 Bài 65: CMR đa thức Q(x)=x4+2x2+2x+2 khơng thể phân tích thành đa thức bậc với hệ số ngun Hdẫn: Phản chứng:giả sử Q(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d) a,b,c,d => x4+2x2+2x+2= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd => từ (4) => b chẵn,d lẻ b lẻ d chẵn khơng tính tổng qt,ta giả sử b chẵn,d lẻ => bc chẵn từ (3) =>ad chẵn =>a chẵn( d lẻ) ac+b+d lẻ nên (2) mâu thuẫn từ => đpcm Bài 66: phân tích M=x4-3x3+4x2-3x+1 thành nhân tử cách 1: tách hạng tử ->nhóm-> đặt nhân tử chung với x=1 M=0 nên lấy x4-3x3+4x2-3x+1 chia cho x-1 thương x3-2x2+2x1 M=(x-1)( x3-2x2+2x-1)=(x-1)[ x3-x2-x2 +x+x-1]=(x-1)[x2(x-1)-x(x-1)+(x1)]= (x-1)2(x2-x-1) cách 2:lập thương = với x =x2-3x+4- + =(x2+ )- 3(x+ )+4 ta đặt y= x+ =>y2= x2+ +2 nên x2+ =y2-2 GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 =y2-2-3y+4=y2-3y+2= .=(y-1)(y-2) =>M=x2(x+ -1)( x+ -2)=x2( )= (x-1)2(x2-x-1) ) 2.Khả áp dụng: -Thời gian áp dụng thử nghiệm có hiệu : Thử nghiệm qua kiểm tra tiết có hiệu KIỂM TRA 90 PHÚT Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1.x4+4 2.x5+x+1 3.2x3-5x2+8x-3 CMR tích số tự nhiên liên tiếp cộng với 1,là số phương 5.Giải phương trình : (x+2)(x-2)(x2-10)-72 = ĐÁP ÁN: Đúng điểm Phân tích thành nhân tử x4+4= x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2+2x)( x2+2-2x) =(x2+2x+2)( x2-2x+2) x5+x+1=x5-x2+x2+x+1=x2(x3-1)+(x2+x+1)=x2(x-1)(x2+x+1)+ (x2+x+1)(x3-x2+1) 2 (x2+x+1)= 2 2x3-5x2+8x-3=2x3-x2-4x2+2x+6x-3=2x2(x- )-4x(x- )+6(x- )=(x- ) 2 (2x2-4x+6)=(x- )2(x2-2x+3)=2(x- )(x2-2x+3)=(2x-1)(x2-2x+3) n(n+1)(n+2)(n+3)+1 (với n N) =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=( n2+3n)2+2(n2+3n) +1=( n2+3n+1)2 số phương (x2-4)(x2-10)-72=y(y-6)-72 = với y=x2-4 y2-6y-72=(y2-6y+9)-81=(y-3)2-92=(y-3+9)(y-3-9)=(y+6)(y-12) =0 ( x2-4+6)( x2-4-12) = (x2+2)(x2-16) = (x2+2)(x-4)(x+4) = Suy x = x = - GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 THỐNG KÊ KẾT QUẢ : Năm học Lớp bồi Giỏi TB Đạt y/c Yếu dưỡng(ss) 20148A1(20) 4 9(45%) 2015 20158A1(20) 7 17(85%) 2016 - Có khả thay giải pháp có -Khả áp dụng đơn vị ngành :Bản thân nhận thấy đề tài tư liệu áp dụng dạy học chung cho nhóm mơn tốn trường dạy chun đề phân tích đa thức thành nhân tử , chủ đề khác có liên quan Tư liệu bồi dưỡng học sinh giỏi 3.Lợi ích kinh tế xã hội: * Lợi ích đạt đến q trình giáo dục cơng tác:Trong thời gian ngắn khoảng 10 tiết cung cấp cho học sinh số phương pháp gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử So sánh dạy chưa phân dạng tốn , chưa liệt kê phương pháp giải riêng biệt để học sinh dễ theo dõi qua kiểm tra hiệu thấp nhiều so với chủ đề tìm tòi nghiên cứu soạn * Tính kỹ thuật ,chất lượng hiệu sử dụng: Như mặt thời gian dạy học khơng nhiều khả vận dụng học sinh hiệu , khơng giải số tốn bàn mà giúp học sinh phát triển tư phẩm chất trí tuệ , đồng thời ln ý thức tốn có nhiều cách giải , từ học sinh ý thức nhìn vấn đề nhiều khía cạnh khác Qua việc tổng hợp , chọn lọc, hệ thống , liệt kê phương pháp rõ ràng ,học sinh có kỹ linh hoạt sáng tạo giải tốn *Tác động xã hội tích cực ,cải thiện mơi trường ,điều kiện lao động : Học sinh hứng thú học tập , tích cực hoạt động , mơi trường làm việc thõa mái nhẹ nhàng em có nhiều phương pháp vận dụng để giải tập ,cải thiện điều kiện lao động , trí não có khả tư cao , nhìn vấn đề rộng tổng qt C.KẾT LUẬN: - Những điều kiện , kinh nghiệm áp dụng , sử dụng giải pháp : Trong q trình tham gia học bồi dưỡng chun đề học sinh phải tích cực học tập , phải có tài liệu tham khảo thêm , học thường xun khơng bỏ tiết , phải làm tập nhà , phải biết thắc mắc , tìm tòi học hỏi mơ hồ chưa hiểu hết để hiểu vấn đề cách tường tận thấu đáo Về phía giáo viên nên động viên khuyến khích học sinh biết tự học , chăm , chịu khó qua tập phải hiểu rõ ràng tường tận , khơng qua loa đại khái Giao tập nhà để học sinh tự làm thêm , khuyến khích học sinh có cách giải hay , ngắn gọn , đầy đủ ,chính xác - Những triển vọng việc vận dung phát triển giải pháp : GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 Một tốn phân tích đa thức thành nhân tử thường dạng nêu , thường sử dụng chín phương pháp để giải Dạng tốn vận dụng nhiều giải tốn u cầu khác , chẳng hạn tốn chia hết , tốn rút gọn biểu thức , giải phương trình tích … -Đề xuất , kiến nghị : Trên mơ hình Chúng ta muốn dạy học sinh phát triển mơn tốn , theo tơi qua nội dung, phần , chương người giáo viên cần hệ thống hóa kiến thức phần Trên sở lý thuyết liệt kê dạng tốn , cách giải dạng Làm để rèn kỹ giải tốn học sinh phong phú Chẳng hạn , chương trình tốn THCS , học sinh có dạng tốn ? giáo viên nêu có số dạng thường gặp sau: dạng rút gọn biểu thức ( hay tính giá trị biểu thức ) , dạng giải phương trình , dạng so sánh số hay biểu thức số , dạng phân tích đa thức thành nhân tử , dạng chứng minh hai đẳng thức nhau… Nói chung , ta xây dựng cho học sinh mặt lý thuyết phương pháp giải tốn sở sơ đồ tư nghĩa từ nhánh đẻ nhiều nhánh , từ nhánh đẻ nhiều nhánh ……Có học sinh nhớ lâu nhớ sâu Đối với việc dạy bồi dưỡng học sinh mũi nhọn nội dung then chốt quan trọng nhà trường đồng thời muốn mang lại hiệu cao khơng phải dễ , người giáo viên mơn cần phải suy nghĩ đặt cho kế hoạch dạy học sinh đạt kết tốt mang lại thành tích cho thân nhà trường Theo tơi cần nghiên cứu tài liệu hệ thống hóa kiến thức , phân dạng tốn , liệt kê phương pháp giải cho chủ đề việc dạy học mang hiệu cao Chẳng hạn chương trình tốn THCS (riêng đại số số học )chúng ta cần chia chủ đề sau : Phương pháp chứng minh đẳng thức , phương pháp chứng minh bất đẳng thức , chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử , chủ đề tìm giá trị lớn nhỏ , chủ đề tính chia hết , chủ đề phương trình nghiệm ngun …….Mỗi chủ đề soạn riêng biệt chuẩn bị thời gian dạy cho chủ đề để làm tư liệu bồi dưỡng học sinh , đáp ứng tình hình học tập hiên Trong tình hình chất lượng HS môn nói chung môn toán nói riêng HS phân cựcõ yếu giỏi trung bình Là người GV đứng trước tình hình phải trăn trở suy nghĩ tìm ngun nhân để từ giúp em học tập tốt, nâng dần chất lượng đảm bảo yêu cầu cấp học Theo nghó để giúp em học môn toán người GV giúp HS nắm kiến thức biết vận dụng kiến thức vào giải tập.Phải có bước nâng dần từ yếu lên trung bình , từ trung bình lên khá…,biết phương pháp tự học ,biết suy nghó tìm tòi ,biết khiêm tốn học hỏi bạn bè để vươn lên… Phải kết hợp chặt chẽ gia đình, nhà trường xã hội.Về phía GV phải có lực mà phải có nhiệt tình để giúp tất đối tượng HS Phác HS có khiếu có kế hoạch bồi dưỡng giúp đỡ.Thường xuyên liên hệ với GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Trường THCS Nhơn Thọ Năm học : 2015-2016 phụ huynh HS HS cá biệt để sửa chữa kòp thời sai phạm ,lê học tập mà HS gây ra.Kết hợp với giáo viên chủ nhiệm giáo dục HS có ù hạnh kiểm không tốt ,không cầu tiến để đưa vào quỹ đạo chung lớp Thời gian tới thân cố gắng thực đầy đủ nhiều trăn trở Làm em học toán, môn toán trở thành môn học gần gũi với em ,bổ ích nhiều điều thú vò say mê học tập Các em không ngại giải tập xem la khâu thực hành cần thiết để giúp em phát triển tư duy, trí tuệ,tính chòu khó cần cù làm đến nơi đến chốn không bỏ dở chừng Tính suy luận lo gich, xác, chặt chẽ hội để rèn luyện thân nhân cách người bước vào tương lai đầy niềm tin hy vọng / GV:Nguyễn Bỉnh Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử