Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI Năm học 2015 – 2016 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn thi: Toán – Lần thứ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ––––––––– Ngày 20.3.2016 ––––––––– 2x +1 x −1 2 Câu (1,0 điểm) Tìm m để hàm số f ( x ) = x − 3mx + 3(m − 1) + m đạt cực tiểu x = Câu (1,0 điểm) z −i a) Cho số phức z = – 3i Tìm phần thực, phần ảo số phức w = z +i x −1 x −1 b) Giải bất phương trình: >5 +4 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ( x + 2sin x)sin xdx ∫ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;–3), B(3;1;–1) mặt phẳng (P): 2x – 3y + z + 19 = Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng (P) viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) s inx π x ∈ ( ;π ) a) Tính giá trị biểu thức A = 3 , biết tanx= -2 sin x + 3cos x b) Từ chữ số 1;2;3;4;5 lập số tự nhiên có năm chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt không lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’, tam giác ABC vuông cân A, AB = a Góc đường thẳng A’B mặt phẳng (ABC) 300 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng A’B B’C’ Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (I) Phương trình đường thẳng AC y – = Trên cung nhỏ AB đường tròn (I) lấy điểm M cho tiếp tuyến M (I) tạo với đường thẳng BD góc 600 Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết điểm C có hoành độ dương M (−2; + 1)  x + x + xy − y − 10 = y + 12 − − x Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình   4( x + 5) + y + 11 = 3 y + Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c đôi khác thỏa mãn 2a ≤ c; ab + bc = 2c Tìm giá trị lớn biểu thức: T = a b c + + a−b b−c c−a ––––––––Hết––––––– ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu + Tập xác định: D = ℝ \ {1} + Sự biến thiên: −3 < 0, ∀x ∈ D Chiều biến thiên: y ' = ( x − 1) Hàm số nghịch biến khoảng (–∞;1) (1;+∞) Giới hạn: lim y = lim y = =>y=2 tiệm cận ngang x →−∞ x →+∞ lim y = −∞; lim+ y = +∞ =>x=1 tiệm cận đứng x →1− x →1 Bảng biến thiên: + Đồ thị Giao với Ox ( Câu −1 ;0) ; giao với Oy (0;–1) Đồ thị nhận I(1;2) làm tâm đối xứng Ta có f '( x ) = x − 6mx + 3(m − 1) f ''( x) = x − 6m Hàm số cho đạt cực tiểu x = 3.22 − 6m.2 + 3(m − 1) = 3m − 12m + =  f '(2) =   m =   f ''(2) > 6.2 − 6m > m < Vậy m = Câu a) Ta có z − i − 4i (5 − 4i )(5 + 2i ) 33 − 10i 33 10 w= = = = = − i z + i − 2i 25 − 4i 29 29 29 33 10 Vậy phần thực phần ảo w − 29 29 b) Ta có 52 x −1 > 5x −1 + 52( x −1)+1 > x −1 + 5.(5 x −1 ) − x −1 − > x −1 (5 x −1 − 1)(5.5 +34) > 14 >0 x −1 > x − > x > Vậy nghiệm bất phương trình cho x > Câu Ta có: π π I = ∫ x sin xdx + ∫ 2sin xdx = I1 + I o o π Tính I1 = x sin xdx ∫ o Đặt u=x=>du=dx;dv=sinxdx=>v= -cosx π π π π − Suy I1 = − x cos x + ∫ cos xdx = ( − x cos x + s inx) = o 0 π π π sin x π ) 3= − Ta có I = ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos x)dx = ( x − o o Vậy I = I1 + I = Câu π + uuur x−2 y −2 z +3 = = Đường thẳng AB qua A, nhận AB = (1; −1; 2) làm vectơ phương, có phương trình −1 Gọi M(2+t;2-t;-3+2t) ∈ AB giao điểm AB (P) Suy 2(2+t)-3(2-t)+(-3+2t)+19=0 =>t=-2 =>M(0;4;-7) r Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với (P) Ta có n(2; −3;1) vectơ pháp tuyến (P) nên vectơ phương (d) x−2 y −2 z +3 = = Suy phương trình (d ) : −3 Gọi H(2+2u;2-3u;-3+u) ∈ ( d ) giao điểm d (P) H tiếp điểm mặt cầu cần tìm với mặt phẳng (P) Ta có 2(2+2u)-3(2-3u)+(-3+u)+19=0 u= -1 =>H(0;5;-4) Bán kính mặt cầu cần tìm R = AH = 14 Suy phương trình mặt cầu: ( x − 2) + ( y − 2) + ( z + 3) = 14 Câu π a) Vì x ∈ ( ; π ) => cosx ≠ Chia tử mẫu A cho cos3x ≠ 0, ta có: 2 s inx(sin x + cos x) sin x + sin x cos x A= = sin x + 3cos3 x sin x + 3cos x sin x s inx + tan x + tanx = cos x3 cos x = =2 sin x tan x + +3 cos3 x Vậy A = b) Gọi A biến cố “Số chọn chia hết cho 3” + Tính số phần tử không gian mẫu: Chọn vị trí chữ số chữ số, có C5 =10 cách Chọn chữ số xếp thứ tự để xếp vào vị trí lại, có A4 = 12 cách Theo quy tắc nhân, số phần tử không gian mẫu 10.12=120 + Tính số kết thuận lợi cho A: Số chọn chia hết phải có chữ số 1; hai chữ số lại Chọn vị trí chữ số chữ số, có 10 cách Sắp xếp chữ số vào vị trí lại có cách Theo quy tắc nhân số kết thuận lợi cho A 10.2 = 20 20 = Xác suất cần tính PA = 120 Câu Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên AA’ ⊥ (ABC) Góc A’B (ABC) (A’B;AB)=A’BA=30o a o Tam giác A’AB vuông A: AA'=AB.tan30 = a3 AB AC AA ' = Vì B’C’ // BC nên B’C’ // (A’BC) ⇒ d(B’C’;A’B) = d(B’C’;(A’BC)) = d(B’;(A’BC)) Gọi I trung điểm AB’ Vì ABB’A’ hình chữ nhật nên I ∈ A’B ⇒ I ∈ (A’BC) Suy d(B’;(A’BC)) = d(A;(A’BC)) Gọi M trung điểm BC, Vẽ AH ⊥ A’M H Tam giác ABC vuông cân A nên AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (AMA’) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (BCA’) 1 a Vì ∆ ABC vuông cân A nên AM = BC = AB = 2 1 a = + => AH = Tam giác AMA’ vuông A : 2 AH AM AA ' a Vậy khoảng cách B’C’ A’B Câu Thể tích lăng trụ: VABC A ' B 'C ' = S ABC AA ' = Gọi giao điểm tiếp tuyến M (I) với BD E Suy MEI=60o=>MIE=30o=>AIM=60o Tam giác AIM cân I có góc 600 nên tam giác Gọi H trung điểm AI ⇒ MH ⊥ AI Ta có | + − 1| = MH => MA = MI = =2 sin 60o Gọi A(a;1) ∈ AC Vì MA=2 MH = d ( M ; AC ) = (a + 2) + ( 3) = a + 4a + =  a = −1  A(−1;1)    a = −3  A(−3;1) Nếu A(–1;1) ⇒ I(–3;1) I trung điểm AC ⇒ C(–5;1) (loại) Nếu A(–3;1) ⇒ I(–1;1) ⇒ C(1;1) (thỏa mãn) Phương trình đường thẳng BD qua I vuông góc với AC: x + = b =  B( −1;3) =>  Gọi B(–1;b) ∈ BD Ta có BI = IA = MA = => (b − 1) = =>  b = −1  B( −1; −1) Mặt khác M thuộc cung nhỏ AB nên M B nằm phía với AC ⇒ B(–1;–1) không thỏa mãn Suy B(– 1;3) ⇒ D(–1;–1) Vậy A(–3;1), B(–1;3), C(1;1), D(–1;–1) Câu  x + x + xy − y − 10 = y + 12 − − x (1) (I)   4( x + 5) + y + 11 = 3 y + Điều kiện: x ≤ 1, y ≥ –12 Ta thấy (1;–12) nghiệm hệ, (1) x + 10 x + xy − x − y − 10 = (2 x + y + 10)( x − 1) = y + 12 + − x > Do đó: y + 12 − (2 − x) y + 12 + − x x + y + 10 y + 12 + − x  y = −2 x − 10  x −1 = (*)  y + 12 + − x Phương trình (*) vô nghiệm x − ≤ < ∀ x ≤ 1, y ≥ –12 y + 12 + − x  y = −2 x − 10 Suy (I)   y + y + 11 = 3 y + 5(2) Giải (2): Nếu 2y + ≤ ta có: y + y + 11 = ( y + 3) + > ≥ 3 y + =>loại Nếu 2y + > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho số dương, ta có: 3 y + 5.1.1 ≤ (2 y + 5) + + = y + ≤ ( y + 2) + y + = y + y + 11  y + = y = −2 Dấu xảy   y + = Vậy (2) ⇔ y = –2 ⇒ x = –4 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm (–4;–2) Câu 10 2c Vì ab + bc = 2c => b = Thay vào biểu thức T, ta có: a+c 2c a b c a c T= + + = + a 2+ c + 2c 2c a −b b −c c −a c−a a− −c a+c a+c a (a + c) 2c c = + + a (a + c) − 2c 2c − c(a + c) c − a a + ac 2c c + + 2 a + ac − 2c c − ca c − a a + ac 3c = + a + ac − 2c c − a c c 1+ a = + a c c2 c − 1+ − 2 a a a = Đặt x = c 1+ x 3x 6x2 + x −1 , x ≥ => T = + = a + x − 2x2 x −1 x2 − x −1 −(10 x + x + 3) 6x2 + x −1 < 0, ∀x ∈ [2; +∞) Xét f (x) = [2;+∞) Ta có: f '( x ) = (2 x − x − 1) 2 x2 − x −1 27 Hàm số f(x) nghịch biến liên tục [2;+∞) Do T = f ( x) ≤ f (2) =  2a = c 1  Dấu xảy  2c 8a = 3b = 4c , chẳng hạn a = ; b = ; c = b = a+c  27 Vậy GTLN T