Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 BỘ TÀI LIỆU HAY TẶNG HS THẦY HÙNG ĐZ Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: Giải phương trình x − x3 + = − x + x + tập số thực Câu 2: Giải phương trình ( x + ) x + − x − + Câu Giải phương trình x + x + = 16 x − + − 5x + + 3x + (x ( x ∈ R) =0 + 3) ( 3x + 1) ( x ∈ R) Câu Giải phương trình x − + x − x = x Câu Giải phương trình ( x − 1) x + + x − x + + x − x + = Câu Giải phương trình ( x ∈ ℝ) x − + 19 x − 30 = x − x + 11 Câu Giải phương trình x + ( x + 61) x − = x − 61 ( x ∈ ℝ) Câu Giải phương trình ( x + 1) 3x + + x3 + x + = x − x + + x Câu Giải phương trình x − x = Câu 10 Giải phương trình 3x − − 3x + + 5x + + 3x + ( x ∈ ℝ) − x + x + = x3 + x2 − x − + x + x − Câu 11 Giải phương trình x − 10 = ( x + x − ) x − ( − x ) x + ( x ∈ ℝ) Câu 12 Giải phương trình sau : a) Đ/s: x = 5x − − x − + x2 − x − = b) x + − − x + x + 13 x + 22 = Đ/s: x = −3 Câu 13 Giải phương trình ( x + 1) x − − ( x − 1) x + = ( )( ) Câu 14 Giải phương trình ( x − ) x + + = x + x x − − x − + x + Câu 15 Giải phương trình ( x3 + x − 3) x + + x = −3 ( x3 − x − 1) Câu 16: Giải phương trình x + + ( x − ) x + = x + 13 x − 13 Câu 17: Giải phương trình ( x + 1) x + + ( x + ) x + = x + x + 13 Câu 18: Giải phương trình x + x − = ( x − ) x + + ( x + ) x + ( x ∈ ℝ) LỜI GIẢI BÀI TẬP Câu 1: Giải phương trình x − x3 + = − x + x + tập số thực Lời giải Điều kiện: ≥ x ≥ −1 , phương trình cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 6− x x+3 + 1+ x − 3 ⇔ x ( x − 3) = − x − ( − x ) + + x − ( x + 3) x − x3 = − x + x + − ⇔ x3 ( x − 3) = − x − − x + 3x − x + 3x ⇔ 3x ( x − 3x ) = + − x + − x 1+ x + x + 1   ⇔ ( x − x )  3x + + =0 − x + − x 1+ x + x +   2  x − x = ⇔ x = 0; x = ⇔ 1 3 x + + =0 ( ∗)  − x + − x 1+ x + x + 6 − x > 1 Với điều kiện −1 ≤ x ≤ ⇒  ⇒ 3x + + > nên ( ∗) vô nghiệm − x + − x 1+ x + x + x + > Do phương trình có hai nghiệm x = 0; x = Câu 2: Giải phương trình ( x + ) x + − x − + − 5x + + 3x + Lời giải ( x ∈ R) =0 Điều kiện: x ≥ − , phương trình cho tương đương với ( x + 1) ( ) ⇔ x + x + − 3x + + (x ⇔ − x ) 3x + x + + 3x + + x + − ( x + 1) + x + − + ( )( ) − 5x + + 3x + 3x + − 1 + 3x + + − x + + 3x + ( x + − 5x + + 3x + ) = ⇔ (x − x ) 3x + x + + 3x + + =0 =0 3( x2 − x ) ( )( + 3x + x + + x + ) =0   3x +   ⇔ ( x − x) + =0 ( ∗)  x + + 3x + 1 + 3x + x + + x +    x + > 3x + Với điều kiện ta có x ≥ − ⇒  ⇒ + phương x + > x + + 3x + 1 + 3x + x + + x + ( )( ) ( )( ) x = trình ( ∗) trở thành ( ∗) ⇔ x − x = ⇔  Vậy phương trình có hai nghiệm kể x = Câu Giải phương trình x + x + = 16 x − + (x + 3) ( 3x + 1) Lời giải Điều kiện: x ≥ , phương trình cho tương đương với 16 x + − 16 x − + x + − (x ( x ∈ R) + 3) ( 3x + 1) = Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ x + − 16 x − + x + ( x + 1) ⇔ − (16 x − ) x + + 16 x − ⇔ ( x − 3x + ) x + + 16 x − + + ( Facebook: Lyhung95 ) x + − 3x + = x + ( x − 3x + ) x + + 3x + x + ( x − 3x + ) =0 x + + 3x +  ⇔ ( x2 − 3x + 2)  +  x + + 16 x −  =0  =0 x + + x +  x2 +  x − x + = ⇔ x = 1; x =  ⇔ x2 + + >0  2 x + + 16 x − x 3 x + + +  ( ∗) x2 + + > nên ( ∗) vô nghiệm 16 x + + 16 x − x + + 3x + Do phương trình có hai nghiệm x = 1; x = Với điều kiện x ≥ Câu Giải phương trình x − + x − x = x Lời giải: Điều kiện: ≥ x ≥ Phương trình cho tương đương với: x − x − x − x − = 2 ( ) ⇔ x2 − x + − x − x2 + x − − x − = ( ) ( ) ⇔ x2 − x + + x − x − − x2 + x − − x − = x ( − x ) − ( − x )   + 2x − 2x − − = ⇔ ( x − 1)( x − 1) +  − 2x + − 4x x ( x − 1)( x − 1) ( x − 1) x − ⇔ ( x − 1)( x − 1) + + =0 2x − + − x + − x2   4x 2x − ⇔ ( x − 1) x −  x − + + > 0 = ( ∗) 2x − + − x + − x2   ( ) x = Vì x − + + > 0; ∀x ≥ nên ( ∗) ⇔ ( x − 1) x − = ⇔  x = 2x − + − x + − x2  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = 4x 2x − Câu Giải phương trình ( x − 1) x + + x − x + + x − x + = Lời giải: Điều kiện: x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với: ( x − 1) ⇔ ( ) x + − x − x + + ( x − 1) ( x − 1) ( x + − x + x − ) x2 + + x2 − 2x + + ( ( x ∈ ℝ) ) x2 − 2x + + x − = ( x − 1)  x − x + − ( x − ) x2 − 2x + − x + 2   =0 Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x − 1)( x − 1) ⇔ ( x − 1)( x − 1) =0 x2 + + x2 − x + x2 − 2x + − x +   1 ⇔ ( x − 1)( x − 1)  + =0 2 x2 − 2x + − x +   x + + x − 2x + + x2 − x + − x + = Ta có Facebook: Lyhung95 + − ( x − 1) + > x − − ( x − 1) + = > > 0; ∀x ∈ ℝ x − 2x + − x + x = Khi phương trình ( ∗) ⇔ ( x − 1)( x − 1) = ⇔  x =  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = Nên x + + x − 2x + 2 + ( x − 1) ( ∗) x − + 19 x − 30 = x − x + 11 Lời giải: Câu Giải phương trình Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với: x − 10 x + 12 + x − − x − + x − 19 x − 30 = ( ⇔ ( x − 5x + 6) ( x − 1) + ⇔ ( x2 − 5x + 6) + − ( 3x − 5) x − + 3x − + ) ( ( x − 19 x + 30 ) x + x 19 x − 30 + ( 19 x − 30 ( x + 5) ( x2 − 5x + 6) x2 − 5x + + x − + 3x − x + x 19 x − 30 + 19 x − 30 ( ) ) =0 =0   x + 10  =0 ⇔ ( x − 5x + 6) + +   x − + x − x + x 19 x − 30 + 19 x − 30     x + 10 Vì + + > 0; ∀x ≥ 2 x − + x − x + x 19 x − 30 + 19 x − 30 ( ( ) ) ( ∗) ) x = ( thỏa mãn điều kiện ) Nên phương trình ( ∗) ⇔ x − x + = ⇔  x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 2; x = Câu Giải phương trình x + ( x + 61) x − = x − 61 ( x ∈ ℝ) Lời giải: Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với x + ( x + 61) x − = x − 183 ( ) ⇔ x − x + x − x + ( x + 61) x − − 3 x − − ( x + 61)( x − 3) − 183 = ( ) ( ) ⇔ x − 54 x + x − x + ( x + 61) x − − 3 x − = ⇔ 6x ( x − 9) + x ( ) ( ) x − + ( x + 61) x − − 3 x − = Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ 6x ( x − 9) + ⇔ 6x ( x − 9) + x ( x − 9) x +3 x ( x − 9) x +3 + ( 3x + 61) ( x − 3) − ( x − 1)   ( x − 3) + ( x − ) x − + ( x −1 ) Facebook: Lyhung95 =0 x + 61) x ( x − ) ( + 2 ( x − 3) + ( x − ) x − + ( x − ) =0   x x ( x + 61) x  =0 ⇔ x ( x − 9) x + +   x + ( x − 3) + ( x − 3) x − + x −   x x ( x + 61) x Vì x + + > 0; ∀x ≥ x + ( x − 3)2 + ( x − 3) x − + x − ( ( ) ) x = x ( x − 9) = ⇔  ( thỏa mãn điều kiện ) x = Nên phương trình tương đương Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x = Câu Giải phương trình ( x + 1) 3x + + x3 + x + = x − x + + x Lời giải: Điều kiện: x + ≥ Phương trình cho tương đương với x3 + x − x + = x − x + + ( x + 1) 3x + ⇔ x3 + x − x + − + ( x + 1) = 2 ⇔ x3 + 3x − x = ⇔ ( x2 − x ) ( x + 4) = ( ) ( ) ( x − x + − + ( x + 1) x + − x + ( ) ) x − x + − + ( x + 1) x + − x + ( x2 − x ) + ( x + 1) ( x − x ) x − x + + x + + 3x +  x − x = ⇔ x = 0; x = ⇔  x +1 x+4= + ( ∗) x − x + + x + + 3x +   x − x + + ≥ x +1 x +1 11 nên  ⇔ + ≤ + = x + ≥ 3 x − x + + x + + 3x + 1 x +  x + + 3x + ≥ x + Do VP(∗) < < VT(∗) nên phương trình ( ∗) vô nghiệm Vì x ≥ − Vậy nghiệm phương trình cho x = 0; x = Câu Giải phương trình x − x = 3x − − 3x + + 5x + + 3x + Lời giải: ( x ∈ ℝ) Điều kiện: x ≥ − Ta có x − − x + = x + − x + − 3 x − − 3x + = + 3x + 3x + − ⇔ = 3x + − + 3x + Khi phương trình cho tương đương với x − x = x + − + x + ( )( ( ) ) ( ) ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( ) ( Facebook: Lyhung95 ) ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = ⇔ 3( x − x) ( x + 1) + − ( 3x + 1) ( x + 2) + − (5x + 4) x + + 3x + x + + 5x + x −x x2 − x ⇔ ( x2 − x ) + + =0 x + + 3x + x + + x + 1   ⇔ ( x2 − x )  + + 3 =  x + + 3x + x + + x +  =0 ( ∗) x = nên phương trình ( ∗) ⇔ x − x = ⇔  x + + 3x + x + + x + x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0; x = Vì + + > 0; ∀x ≥ − − x + x + = x3 + x2 − x − + x + x − Câu 10 Giải phương trình Lời giải: Điều kiện: ≥ x ≥ −2 Phương trình cho tương đương với x3 + x − x − + x − − − x + x − x + = ⇔ ( x + 1) ( x − ) ( x −1 ) + ( −3+ x x −1 + − x ⇔ ( x + 1)( x − )( x + ) + + ) ( ) x2 − x − =0 x + x+2 ( x + 1)( x − ) + ( x + 1)( x − ) = x −1 + − x x + x+2   x = −1 ( x + 1)( x − ) = ⇔  x = ⇔  1 + =0 ( ∗) x + + x −1 + − x x + x +  1 Vì ≥ x ≥ −2 nên x + + + > hay phương trình ( ∗) vô nghiệm x −1 + − x x + x + Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 2; x = −1 Câu 11 Giải phương trình x − 10 = ( x + x − ) x − ( − x ) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải: Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương với ( x − x + ) = ( x − 1)( x + ) ( x + 5) ( x − x + ) ( ) x − + ( x − 4) ( x+3−2 ) x2 − 5x + ⇔ ( x − 5x + 4) = + x +2 x+3+2  x =  x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − ) = ⇔  x = ⇔  x+5 + (i ) 2 = x +2 x+3+2  ( Với điều kiện x ≥ ta thấy ( i ) ⇔ x −1 ) = vô nghiệm x +2 x+3+2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = + Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Câu 12 Giải phương trình sau a) 5x − − x − + x2 − x − = Đ/s: x = b) x + − − x + x + 13 x + 22 = a) ĐK: x ≥ ⇔ Khi PT ⇔ ( Đ/s: x = −3 ) Lời giải x − − x − + ( x − )( x + 1) = 3x −   + ( x − )( x + 1) = ⇔ ( x − )  + x − 1 = (1) 5x − + x −  5x − + x −1  Do ⇔ 3  + x + >  ∀x ≥  ⇒ (1) ⇔ x = 5 5x − + x −  Vậy x = nghiệm PT cho b) ĐK: −7 ≤x≤ PT ⇔ 3( x + − 1) + (4 − − x ) + x + 13 x + 21 = ⇔ 6( x + 3) 5( x + 3) + + (2 x + 7)( x + 3) = x + + + − 5x   ⇔ ( x + 3)  + + x +  = ⇔ ( x + 3).g ( x) = ⇔ x = −3  x + + + − 5x   −7  Vì g ( x) > ∀x ∈  ;   5 Vậy x = -3 nghiệm PT Câu 13 Giải phương trình ( x + 1) x − − ( x − 1) x + = Lời giải: ĐK: x ≥ Khi ta có: PT ⇔ ( x + 1) x − = ( x − 1) x + + 2 Đặt điều kiện x ≥ bình phương vế ta có: 2 PT ⇔ ( x + 1) ( x − 1) = ( x − 1) ( x + 1) + ( x − 1) x + + ⇔ x3 + x − x − − ( x − 1) x + = ⇔ x3 − x − x − + ( x − 1) x + ( ⇔ ( x − ) ( x + x + 1) + ( x − 1) 3x + ) 3x + − = ( x − 5) 3x + + =0  ( x − 1) x +  ⇔ ( x − 5)  x + x + +  = ⇔ x = ( tm )   x + +   Vậy nghiệm phương trình cho x = ( )( ) Câu 14 Giải phương trình ( x − ) x + + = x + x x − − x − + x + Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Facebook: Lyhung95 ) Khi đặt t = x + ta có : ( t − ) t + 12 = 4t + x x − − ( t + t − ) ⇔ ( t − 2t − 5t + ) = ( t − 1)( t + ) x x − − ĐK: x ≥ ( ) ( ⇔ ( t − 1)( t + )( t − 3) = ( t − 1)( t + ) x x − − ) ⇔ ( t − 3) = x x − − PT ⇔ x + − = x x − x−3 + x 2x − −1 = x +1 + x =   2x x +1  ⇔ ( x − 3)  +  = ⇔  x +1 2x   + =  ∀x ≥  2x − +1   x +1 +  x + + 2 2x − +1  Vậy nghiệm phương trình là: x = ⇔ x +1 ( ) ( x + − + x x − − x ⇔ x + ) Câu 15 Giải phương trình ( x3 + x − 3) x + + x = −3 ( x3 − x − 1) Lời giải : Ta có : PT ⇔ ( x + x − 3) x + + x ( x + x − 3) = 2 ) ( ⇔ x + x + ( x + x − 3) = ⇔ x3 + x − = x + − x ⇔ x + x − + x + − x + = ⇔ ( x − 1)( x + ) + 2x − 2 x + + x2 + =   2 ⇔ ( x − 1) ( x + ) +  = ⇔ x = x + + x +   Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = Câu 16: Giải phương trình x + + ( x − ) x + = x + 13 x − 13 Điều kiện: x ≥ −3 Phương trình cho tương đương (x + 3− ⇔ Lời giải ) x + + x + 12 x − 16 − ( x − 1) x + = ⇔ x + ( x − 1) x+3 +2 + ( x − 1) x+3 ( ) ( ) x + − + ( x − 1) x + − x + = ( x + 3)( x + 19 )  ( x + 19 ) x +  x = 1 = ⇔ ( x − 1) x +  + =0⇔  2x + + x + x + + x +   x = −3  x+3+2 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1; −3} Câu 17: Giải phương trình ( x + 1) x + + ( x + ) x + = x + x + 13 Lời giải Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 ! Khóa học CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x + x + 13 − ( x + 1) x + − ( x + ) x + = ( ) ⇔ ( x + 1) x + − x + + ( x + ) x + ( x + 1) ( x − 1) ( x + 5)( x − 1) + ( Facebook: Lyhung95 ) x + − + 3x − = x+3 + ( x − 1) = x + + 4x + x+3+2 x =  ⇔ ( x + 1) ( x + 5) x + + = + ()  x + + x + x+3 +2 ⇔ Ta thấy ( x + 1) x + + 4x + + ( x + 5) x+3 + > 0, ∀x ≥ − x+3+2 nên ta nghiệm x = Câu 18: Giải phương trình x + x − = ( x − ) x + + ( x + ) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Phương trình cho tương đương với x − x − − ( x − 3) x + + x + x + − ( x + ) x + = ( x − 3) ( x + − ⇔ x ( x − 3) ) 5x + + ( x + 2) 2x + ) 2x + −1 = x ( x + 2) 2x + =0 x + + 5x + 2x +1 +1 x =  ⇔  ( x − 3)2 ( x + 2) 2x + = + ()  x + + x + 2x +1 + Rõ ràng ( x − 3) x + + 5x + + ( x + 2) 2x +1 2x +1 +1 + ( > 0, ∀x ≥ − nên ta thu nghiệm x = Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S TOÁN 2017 Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !