BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THU HIỀN BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THU HIỀN BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Thu Hiền Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:" Bài toán Cauchy phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát " hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Thu Hiền i Mục lục Mở đầu 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L2 1.1.2 Không gian C m (Ω) 1.1.3 Không gian Sobolev W2m (Ω) 1.1.4 Không gian B m 1.1.5 Không gian B 1.1.6 Không gian S Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng 1.2.1 Bài toán Cauchy tắc cho phương trình đạo hàm riêng 1.2.2 Siêu mặt không gian Rn 1.2.3 Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng 1.2.4 Đưa toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng dạng tắc 1.3 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 1.4 Định lý Holmgren 13 Tính đặt đắn toán Cauchy 16 ii 2.1 Khái niệm tính đặt đắn toán Cauchy 2.2 Tính giải toán Cauchy 17 2.2.1 Khái niệm tính giải địa phương toán Cauchy 2.2.2 2.3 2.4 16 17 Tính giải địa phương toán Cauchy 20 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu 26 2.3.1 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu 26 2.3.2 Miền phụ thuộc 35 Phương trình hyperbolic với hệ số 39 2.4.1 Định lý tồn nghiệm 39 2.4.2 Điều kiện cần tượng truyền nhiễu với tốc độ hữu hạn 2.4.3 42 Phương trình truyền sóng 45 Kết luận Tài liệu tham khảo 50 51 Mở đầu Lí chọn đề tài Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính vấn đề quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Nhà toán học Hadamard đưa khái niệm đặt chỉnh toán gồm ba yếu tố: tồn nghiệm, tính nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu Luận văn trình bày toán Cauchy tắc trình bày mối quan hệ ba yếu tố toán đặt chỉnh Một lớp phương trình quan tâm nhiều hơn, loại phương trình hyperbolic Mục đích nghiên cứu Trình bày cách hệ thống vấn đề: toán Cauchy tắc cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh toán Cauchy lớp phương trình khác nhau, tính giải toán Cauchy Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày điều kiện cần đủ tính đặt chỉnh mối quan hệ ba yếu tố đặt chỉnh toán Cauchy Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tính đặt chỉnh toán Cauchy - Điều kiện cần đủ tính đặt chỉnh - Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp Giải tích hàm tuyến tính Các phương pháp định lượng Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đóng góp đề tài Luận văn tài liệu tổng quan lý thuyết đặt chỉnh toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian L2 Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C tập mở Rn Họ hàm u : Ω → C gọi không gian L2 (Ω) đo có chuẩn sau hữu hạn: 1/ |u (x)|2 dx < +∞  u L2 (Ω) = Ω 1.1.2 Không gian C m (Ω) Định nghĩa 1.1.2 Không gian C m (Ω) không gian bao gồm hàm khả vi, liên tục đến cấp m miền Ω 1.1.3 Không gian Sobolev W2m (Ω) Định nghĩa 1.1.3 Không gian W2m (Ω) không gian bao gồm tất hàm u (x) ∈ L2 (Ω), cho tồn đạo hàm suy rộng cấp α, |α| ≤ m thuộc L2 (Ω) trang bị chuẩn 1/ 2 α |D u (x)| dx  u W2m (Ω) = |α|≤m Ω 1.1.4 Không gian B m Định nghĩa 1.1.4 Không gian B m không gian bao gồm tất hàm f (x) thỏa mãn Dα f (x) (|α| ≤ m) bị chặn liên tục Rn sup |Dα f (x)| |f (x)|m = |α|≤m 1.1.5 x∈Rn Không gian B Định nghĩa 1.1.5 Không gian B hay B ∞ không gian bao gồm toàn hàm khả vi vô hạn mà đạo hàm bị chặn liên tục Rn 1.1.6 Không gian S Định nghĩa 1.1.6 Không gian S không gian bao gồm tất hàm ϕ ∈ C ∞ cho với k, α tùy ý + |x|2 k Dα ϕ(x) bị chặn Rn 37 Ta thấy u(x, t) ∈ C m xác định D thỏa mãn L[u] = 0, ∂ ∂t j u(x, 0) = 0, x ∈ D ∩ {t = 0} (j = 0, 1, , m − 1), tức giá trị ban đầu u t = 0, u(x, t) ≡ D Cụ thể, u(x, t) liên tục D u(x0 , t0 ) = Chứng minh Cho Sθ (0 < θ λ2max t20 ) siêu diện giải tích xác định phương trình ϕ(x, t; θ) ≡ λ2max (t − t0 )2 − |x − x0 |2 − θ = (t < t0 ) thuộc θ Hiển nhiên Sθ ⊃ D, nghĩa D ’lan ra’ Sθ Ngoài ra, ta có ϕ2t λ2max (t − t0 )2 |x − x0 |2 + θ = = λ > λ2max max 2 ϕxi |x − x0 | |x − x0 | Sθ Do đó, trường hợp điều kiện (2.26) thỏa mãn Do đó, với Sθ , ta áp dụng Bổ đề 2.3.4 Chính xác hơn, liệu Cauchy u Sθ0 định 0, với số ε đủ nhỏ, toàn Sθ miễn |θ − θ0 | < ε (trong trường hợp ta xét u(x, t) nằm nón lùi mở rộng từ t 0) Do đó, với δ(> 0) cố định, liệu Cauchy Sθ với δ θ λ2max t20 Do đó, đạo hàm tới cấp m Sθ Tập giá trị θ tập mở Mặt khác, hiển nhiên tập đóng, tập trùng với tập tất đoạn [δ, λ2max t20 ] Nhưng δ nhỏ tùy ý, u(x, t) = D Chú ý Nếu λmax = 0, định lý với nón lùi: (x, t) ∈ Rn+1 : ε(t0 − t) ≥ |x − x0 | với ε(> 0) tùy ý Định lý tính nghiệm chứng minh Định lý 2.3.3 Thực tế, Định lý 2.3.3 mạnh hơn, ta minh họa tình sau: Cho truyền nhiễu lân cận ban đầu, xử lý truyền nhiễu theo t 38 biểu diễn (2.19)(Định lý 2.3.2) Định lý nói tốc độ truyền nhiễu lớn λmax Ta tiếp tục sau: Cho giá giá trị ban đầu Ψ nằm V, lân cận ban đầu Giá trị u (x, t) (x0 , t0 ) (t0 > 0) xác định giá trị Ψ mặt cầu, |x − x0 | < λmax t0 , tức phần giao phẳng ’ban đầu’ nón lùi có (x0 , t0 ) chóp Nếu mặt cầu, |x − x0 | < λmax t0 không cắt V, Ψ(x) ≡ mặt cầu, u(x0 , t0 ) = Điều giá u(x, t) nằm diện tích quét nón phải C , C = {(x, t); (t ≥ 0), λmax t ≥ |x|}, chóp tiến đến giá Ψ(x), tức theo ngôn ngữ giải tích véc tơ, nằm tập sup p [Ψ] + C Hơn nữa, giá u (x, t)nằm lân cận C Điều tốc độ truyền nhiễu lớn λmax Kết hợp lại ta có: Định lý 2.3.4 Ta giả thiết Định lý 2.3.2, giả sử giá giá trị ban đầu Ψ tập bị chặn Rn Trong trường hợp này, giá nghiệm u L[u] = t = t (t > 0), nhận giá trị ban đầu Ψ t = thuộc x; ∪ ξ∈sup p[ξ] |x − ξ| ≤ λmax t nghĩa truyền nhiễu thực toán tử L truyền với tốc độ hữu hạn không vượt λmax λmax hiểu theo nghĩa công thức (2.25) 39 2.4 2.4.1 Phương trình hyperbolic với hệ số Định lý tồn nghiệm Nhắc lại kết có Đầu tiên, từ Định lý 2.2.3, điều kiện cần để toán Cauchy phương trình (2.2) giải địa phương nghiệm đặc trưng λi (x, t, ξ) giá trị thực với ξ (x, t) = (0, 0) Trong trường hợp, toán tử L có hệ số không đổi điều kiện cần (2.9), điều kiện Hadamard, vậy, trường hợp điều kiện đủ (Định lý 2.3.2) nữa, tồn nghiệm toàn cục chứng minh Khi đó, theo Định lý 2.3.4, tượng điều chỉnh phương trình có tốc độ truyền hữu hạn, nghĩa truyền theo dạng sóng Ta phát biểu định nghĩa quan trọng sau Định nghĩa 2.4.1 Một toán tử với hệ số L: L[u] ≡ ∂ ∂t m u+ aν,j |ν|+j≤m,j≤m−1 ∂ ∂x ν ∂ ∂ j u (2.27) thỏa mãn điều kiện Hadamard (2.9) gọi toán tử hyperbolic Định nghĩa 2.4.2 Một toán tử Lp với hệ số số cấp m toán tử hyperbolic mạnh toán tử L có từ kết phép cộng tùy ý số hạng bậc nhỏ m với Lp hyperbolic Định lý 2.4.1 Điều kiện cần đủ để toán tử Lp hyperbolic mạnh nghiệm λi (ξ) p(λ, ξ) ≡ λm + aν,j ξ ν λj = (2.28) |ν|+j=m nghiệm thực phân biệt với ξ ∈ Rn (= 0) tùy ý Chứng minh (Điều kiện đủ) Giả sử nghiệm (2.28) nghiệm thực, phân biệt Trong trường hợp này, với aν,j (|ν|+j ≤ m−1), 40 nghiệm λi (ξ) aν,j (iξ)ν λj = p(λ, iξ) + (2.29) |ν|+j≤m−1 thỏa mãn điều kiện Hadamard Ta lấy điểm hình cầu đơn vị ξ = ξ/ |ξ| Đặt λ/ |ξ| = λ (2.29) trở thành m (λ − iλj (ξ )) + j=1 Q(λ , ξ) = 0, |ξ| (2.30) Q (λ , ξ) đa thức có dạng a1 (ξ)λ m−1 + a2 (ξ)λ m−2 + + am (ξ) hệ số (ξ) bị chặn với |ξ| ≥ λi (ξ ) − λj (ξ ) > Hơn nữa, ta đặt Từ giả thiết ta có d = i=j,ξ ∈Ω K = max λ (ξ ) , M= i i,ξ ∈Ω |Q(λ , ξ)| sup |ξ|≥1,|λ |≤K+1 ta chọn c(> 0) thỏa mãn c d m−1 ≥ 2M Lấy Γ1 , , Γm đường tròn phẳng λ với tâm iλ1 (ξ ), iλm (ξ ) bán kính c|ξ|−1 Không tính tổng quát, ta thu hẹp chứng minh tới trường hợp |ξ| đủ lớn, nghĩa bán kính đường tròn nhỏ 12 d Nếu λ ∈ Γk ta có m λ − iλj (ξ ) j=1 c d ≥ |ξ| m−1 ≥ 2M |ξ| |λ | ≤ K + Vì |Q (λ , ξ)| / |ξ| ≤ M |ξ| Do λ ∈ Γk (k = 1, 2, m), ta thấy λ − iλj (ξ ) j > |Q(λ , ξ)| |ξ| 41 Theo Định lý Rouche’, ta thấy với Γk tồn nghiệm λk (ξ) (2.30), nghĩa λ j (ξ) − iλj (ξ ) < c/ |ξ| (j = 1, 2, , m) Từ điều này, nghiệm λj (ξ) (2.29) thỏa mãn: λj (ξ) − iλj (ξ) < c (j = 1, 2, , m) λj (ξ) nghiệm thực Vì λj (ξ) rõ ràng thỏa mãn điều kiện Hadamard (Điều kiện cần) Từ Định lý 2.2.2, ta thấy ’λj (ξ) nghiệm thực’ điều kiện cần Do đủ để λj (ξ) phân biệt Ta điều phản chứng Giả sử tồn λ∗ = hai nghiệm (2.28) λ∗ nghĩa m−p+1 ∗ ∗ p (λ − λj (ξ ∗ )) (p ≥ 2), p (λ, ξ ) = (λ − λ1 (ξ )) j=2 λ2 (ξ ∗ ), , λm−p+1 (ξ ∗ ) khác với λ1 (ξ ∗ ) Ta đặt ξ = τ ξ ∗ với τ tham số thực Ta xét p (λ, iτ ξ ∗ ) + cτ m−1 = (2.31) với c số mà ta xác định sau Ta đặt λ = λ/τ − iλ1 (ξ ∗ ) Thì (2.31) viết thành m−p+1 λ {λ + i (λ1 (ξ ∗ ) − λj (ξ ∗ ))} + c/τ p j=2 = λ p a0 (ξ ∗ ) + a1 (ξ ∗ ) λ + + am−p+1 (ξ ∗ ) λ với a0 (ξ ∗ ) = m−p+1 +λ m−p + c/τ = 42 Bây giờ, ta xét khai triển Puiseux phương trình lân cận τ = ∞ Ta có λk (τ ) = −c a0 (ξ ∗ ) p 2πik τ −1/p + O τ −2/p (k = 1, 2, , p) p exp Từ p ≥ 2, ta chọn c cho có λ (τ ) có phần thực dương, nghĩa là, với số k0 cho trước, Reλk0 (τ ) ≥ C0 τp −1 với τ > τ0 Do đó, Reλk0 (τ ) ≥ C0 τp −1 với τ > τ0 bν (iξ ∗ )ν cho Mặt khác, ta chọn bν cho c = |ν|=m−1 nghiệm phương trình (2.29) L = Lp + bν |ν|=m−1 ∂ ∂x ν không thỏa mãn điều kiện Hadamard Điều mâu thuẫn, ’λi (ξ) phân biệt’ điều kiện cần để Lp hyperbolic mạnh 2.4.2 Điều kiện cần tượng truyền nhiễu với tốc độ hữu hạn Cho toán tử L [u] ≡ ∂ ∂t m u+ aν,j j 0) điểm chọn trước tùy ý, D phần giao nón lùi C : {(x, t) ; v(t0 − t) ≥ |x − x0 | (t ≤ t0 )} với đỉnh (x0 , t0 ) siêu phẳng t = Nếu ta chọn α ∈ D cho α(x) = lân cận D, ta với giá trị ban đầu tùy ý Ψ ∈ C ∞ (Rn ), thu hẹp u(x, t) nghiệm u(x, t) với giá trị ban đầu α(x)Ψ ≡ (α (x) u0 (x) , , α (x) um−1 (x)) ∈ D tới phần C phép biểu diễn địa phương nghiệm Ψ phần C Khi đó, theo Nguyên lý ánh xạ đóng Banach, ánh xạ Ψ(x) → u(x, t) ánh xạ liên tục từ C ∞ (Rn ) đến C ∞ , (t ≥ 0) Mặt khác, tính chất không hữu dụng |ν| + j ≥ m + Thực tế, ta viết: m ∂ ∂t u+ aj ∂ ∂x ∂ ∂t j u=0 đây, αj (ξ) đa thức bậc mj Theo giả thiết, tồn số j0 cho trước mj0 + j0 ≥ m + Trong trường hợp này, tồn số hữu tỷ k(> 1) kj + mj ≤ km (j = 0, 1, 2, , m − 1) Như vậy, với j cho trước phương trình cố định Ta viết phần bậc k(m − j) αj (ξ) hj (ξ) Xét: p(λ, ζ) = λm + hj (ζ)λj = (2.33) với ζ véc tơ phức, nghĩa là, ζ ∈ C n Chắc chắn tồn ζ0 (|ζ0 | = 1) cho nghiệm λ1 (ζ0 ) (2.33) dương Tiếp theo, xét phương trình P (λ, ζ) ≡ λm + αj (ζ) λj = p (λ, ζ) + (αj (ζ) − hj (ζ)) λj = (2.34) 44 với τ tham số thực Xét λ∗ (τ ζ0 ) tương ứng với ζ = τ ζ0 Cho λ1 (ζ0 ) ta đặt λ/τ k = λ tính đến thức tế λ1 (τ ζ0 ) = τ k λ1 (ζ0 ) Khi (2.34) trở thành m−1 j τ −k(m−j) [αj (τ ζ0 ) − hj (τ ζ0 ) ]λ = p (λ , ζ0 ) + j=0 Cho τ → +∞ ta thấy αj (τ ζ0 ) − hj (τ ζ0 ) = o τ k(m−j) Tồn τ0 (> 0) τ > τ0 nghiệm λ∗ (τ ζ0 ) ( 2.34 ), Reλ∗ (τ ζ0 ) ≥ cτ k (2.35) với c số dương thích hợp Thì ta ý uτ (x, t) = exp{x.τ ζ0 + tλ∗ (τ ζ0 ) } (2.36) Lấy R tùy ý, từ |λ∗ (τ ζ0 )| ≤→ M.τ k ta thấy sup |x|≤R ∂ ∂t j ∂ ∂x ν uτ (x, 0) ≤ M τ |ν|+kj exp(τ R), (j = 0, 1, 2, , m − 1) Mặt khác, với t0 (> 0), từ (2.34) ta |ut (0, t0 )| ≥ exp(ct0 τ k ) (k > 1) Điều τ → +∞ ánh xạ biến Ψ(x) ∈ C ∞ (Rn ) thành u(x, t) ∈ C ∞ (t ≥ 0) không liên tục họ nghiệm (2.32) Định nghĩa 2.4.3 Trong (2.32) (các hệ số biến thiên), cấp đạo hàm xuất vế phải thỏa mãn |ν| + j ≤ m ta gọi đạo hàm Kovalevskians Định lý sau mô tả điều kiện cần phương trình có tốc độ lan truyền hữu hạn: Định lý 2.4.2 Nếu trình điều khiển phương trình (2.32) với hệ số số mà có tốc độ truyền hữu hạn, đạo hàm xuất (2.32) Kovalevskian 45 2.4.3 Phương trình truyền sóng Trong mục này, ta nghiên cứu vài ví dụ đặc trưng liên quan đến lý luận Ta quan sát phép biểu diễn nghiệm cụ thể phương trình sóng ∂2 u − ∆u = 0, ∂t2 (2.37) ∂2 u − ∆u = f ∂t2 (2.38) sử dụng biến đổi Fourier Đầu tiên, từ (2.15) ta tìm nghiệm d2 v (ξ, t) + 4π |ξ|2 v (ξ, t) = dt thỏa mãn v (ξ, 0) = 0, d v (ξ, 0) = dt Nghiệm cho v (ξ, t) = sin 2π |ξ| t 2π |ξ| Ta coi t tham số, đặt Ex (t) = F sin 2π |ξ| t 2π |ξ| Từ Định lý (2.3.2), u1 ∈ C u1 (x, 0) = Ex (t) ∗ u1 (x) (x) nghiệm (2.37) thỏa mãn u1 (x, 0) = 0, ∂ u1 (x, 0) = u1 (x) ∂t (2.39) 46 Tiếp theo, ta thấy dEx (t) /dt thỏa mãn d2 Ex (t) = ∆Ex (t) → (t → 0) d2 t u0 (x, t) = d Ex (t) (x) ∗ u0 (x) dt nghiệm (2.37) thỏa mãn u0 (x, 0) = u0 (x) , ∂ u0 (x, 0) = ∂t Ta sử dụng kết để chứng minh định lý sau: Định lý 2.4.3 Giả sử kiện ban đầu u (x, 0) , ∂ u (x, 0) = (u0 (x) , u1 (x)) ∈ C ∂t vế phải f (x, t) ∈ C Khi tồn nghiệm u (x, t) = d Ex (t) ∗ u0 (x) + Ex (t) ∗ u1 (x) (x) (x) dt t Ex (t − τ ) ∗ f (x, τ )dτ + (2.40) (2.38), Ex (t) định nghĩa (2.39) Chính xác hơn, t > Ex (t) mô tả sau: (1) Khi n = 1, (|x| < t) (|x| > t) Ex (t) = (2.41) (2) Khi n = Ex (t) = t2 −|x| 2π ( )2 (|x| > t) (|x| < t) (2.42) (3) Khi n = Ex (t) = δ|x|−t 4πt (2.43) 47 Chứng minh Ta chứng minh (2.41) Giả sử Ψ (ρ) = sin 2πρt/2πρ Ta có →∞ →∞ 0 →∞ = sin 2πρt cos (2πρr) dρ 2πρ Ψ (ρ) cos (2πρr) dρ =2 Φ(r) = 2π sin 2π(t + r)ρ sin 2π(t − r)ρ + dρ = ρ ρ (r < t) (r > t) Ta chứng minh (2.43) Đầu tiên, ta thấy từ J 12 (x) = (2/πx)sinx, ta có A lim Ex (t) = πr A→+∞ sin(2πρt) sin(2πρr)dρ = sin 2π(r − t)A sin 2π(r + t)A lim − 2πr A→+∞ 2π(r − t) 2π(r + t) Theo Định lý Riemann-Lebesgue ([1], Định lý 1.3), số hạng thứ hai tiến đến A → +∞ Số hạng thứ tiến đến 21 δr−t theo phương trình tích phân Đirichlet với t > Do đó, ta có δr−t 4πt Sử dụng kết (2.41), (2.42), (2.43), ta viết lại kết Ex (t) = (2.40) theo dạng cụ thể sau (t > 0, để đơn giản, ta đặt f = 0): x+t 1 u (x, t) = [u0 (x + t) + u0 (x − t)] + 2 u1 (ξ) dξ (n = 1) (2.44) x−t u (x, t) = ∂ 2π ∂t u0 (ξ) dξ |x−ξ|≤t t2 − |x − ξ| 2 + 2π u1 (ξ) dξ |x−ξ|≤t t2 − |x − ξ| (n = 2) (2.45)  u (x, t) =  ∂   ∂t 4πt  u0 (ξ) dSξ  + 4πt |x−ξ|=t u1 (ξ) dSξ (n = 3) |x−ξ|=t (2.46) 48 Tiếp theo, ta xét toán tìm biểu thức nghiệm cụ thể cho Ex (t) trường hợp nhiều chiều Trong trường hợp Ex (t) trở thành hàm phân phối Thực tế, n số lẻ, ta đặt n = 2p + (p ≥ 1) Ex (t) = −(p+1) −p π 1d t dt p−1 δr−t t (2.47) Từ (2.43) ta ý khác biệt (2.47) nên hiểu với tham số t Chính xác hơn, ta viết  −(p+1) −p Ex (t) ∗ Ψ (x) = π 1d t dt  p−1  n−2 t  Ψ (x − tξ)dSξ  |ξ|=1 Tương tự, n số chẵn, ta đặt n = 2p Thì ta có: −p Ex (t) = (2π) = 2π 1d t dt (n−1) p−1 2 t − |x| − Γ 2π + −2 −1 t2 − |x|2 P f + 1 2−2n Ở a+ = max (a, 0), Pf đặt cho phận hữu hạn theo nghĩa Hadamard Ta viết  −p Ex (t) ∗ Ψ (x) = (2π) 1d t dt  p−1  n−1 t |ξ|≤1 Ψ (x − tξ) − |ξ|2  dξ  Từ hệ Định lý 2.3.2, nói chung, đủ để thu R0 , , Rm−1 cho phép biểu diễn nghiệm toán Cauchy phương trình hypebolic L [u] = với hệ số số Ta ý R0 , , Rm−2 thu dễ dàng từ Ex (t) ta có Rm−1 (x, t) = Ex (t) Đây điều hiển nhiên từ lý luận trường hợp phương trình sóng Ta gọi Ex (t) (t ≥ 0) nghiệm sơ cấp (hoặc nghiệm bản) toán 49 Cauchy L [u] = 0, Ex (t) (t ≥ 0) thỏa mãn: d Ex (0) = Ex (0) = = dt d dt m−2 Ex (0) = 0, d dt m−1 Ex (0) = δ theo nghĩa nghiệm toán Cauchy (Ex (t) xác định S ) 50 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau đây: - Một số không gian hàm: Không gian L2 , không gian C m (Ω), không gian Sobolev W2m (Ω) , không gian B m , không gian B , không gian S - Trình bày toán Cauchy tắc mối quan hệ ba yếu tố: tồn nghiêm, tính nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện ban đầu toán đặt chỉnh Một lớp phương trình quan tâm nhiều hơn, loại phương trình hyperbolic Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Phạm Thu Hiền 51 Tài liệu tham khảo [1] S Mizohata (1973), The theory of partial differential equations, Cambridge [2] F Treves (1975), Basic linear partial differential equations, Academic Press, New York - London