TRNG THPT S BO THNG THI THPT QUC GIA NM 2016 Ngy Thi : 17-02-2016 Mụn: TON THI TH LN Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu (1,0 iờm) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y = x 3x + Cõu (1,0 iờm) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s f ( x) = x + trờn on [ 1; 4] x Cõu (1,0 iờm) Gii phng trỡnh : log ( x ) + log x 3x + 2 Gii bt phng trỡnh : ữ ( x 2) = Cõu (1,0 iờm) Tớnh tớch phõn : I = x x + 1dx Cõu 5(1,0 iờm) Gii phng trỡnh cos2 x + 5s inx = 15 Tỡm s hng cha x khai trin nh thc Niu tn ca : f ( x) = x + ữ x , x Cõu (1,0 iờm) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho im A(- 1;3;2), B(1;- 1;4) Vit phng trỡnh mt cu cú ng kớnh AB Cõu (1,0 iờm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh bng 4a , cnh SA vuụng gúc vi mt phng ỏy Gúc gia cnh SC v mt phng (ABCD) bng 600 , M l trung im ca BC , N l im thuc cnh AD cho DN = a Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng SB v MN 2x + y + x = 3( xy + 1) + y 2 Cõu (1,0 iờm) Gii h phng trỡnh: + x y + + 5x = x y + ( x, y ) Ă Cõu 9(1,0 iờm) Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn tõm I ngoi tip tam giỏc nhn ổ ổ 22ử 1ử ữ ữ - ; ữ ỗ ; ữ ỗ ABC im E ỗ l trung im cnh AB v H ỗ l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn ng ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố2 2ứ ố 5ứ thng CI, bit ng thng BC cú phng trỡnh x + y - = Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC Cõu 10 (1,0 iờm) Cho x, y, z l cỏc s thc dng tha iu kin xyz = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : P = ( x + y )( y + z )( z + x) + 48 x+ y + z +3 HT Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh : ; S bỏo danh: P N V HNG DN CHM Cõu í ỏp ỏn TX : D = R S bin thiờn + Chiu bin thiờn y ' = 3x y ' = x = 0,25 Cỏc khong ng bin (- ;-1) v (1 ; + ) ; khong nghch bin ( 1;1) + Cc tr : Hm s t cc i ti x = 1; yC = ; t cc tiu ti x = 1; yCT = + Gii hn : lim y = ; lim y = + x iờm 1,0 0.25 x + + Bng bin thiờn : 0,25 th: th : th hm s giao vi Ox: (1;0) ; (-2;0) th hm s giao vi Oy: (0;2) 0,25 1.0 Xột hm s trờn [ 1; 4] ; f '( x ) = x [ 1; 4] => f '( x ) = x = x2 25 Max f ( x) = 10 ti x = ; Min f ( x) = ti x = [ 1;4] [ 1;4] f (1) = 10; f (3) = 6; f (4) = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 K : x > 2 Ta cú : log ( x ) + log ( x ) = log 22 ( x ) + log ( x ) = log ( x ) = log ( x ) = x = x = 17 Vy phng trỡnh ó cho cú nghim x = 4; x = 17 x = x = 8 0.25 0.25 0.5 x 3x + 1 x 3x + x 3x ữ x Vy bt phng trỡnh ó cho cú nghim : T = [ 0;3] t : t = x + => x = t => dx = 2tdt; x = => t = 0; x = => t = 1 0 => I = ( t 1) t dx = t dt t dt 0.35 1.0 0,25 0,25 51 31 t |0 t |0 = 15 = 0.25 0,25 0,25 0.5 cos2 x + 5s inx = 2sin x + 5s inx = ( s inx ) ( 2s inx 1) = ( Do s inx < 0, x ) 0,25 x = + k 2s inx = ( kZ) x = + k 0,25 0.5 15 f ( x ) = x + ữ = C15k x 303 k , ( k 15, k N ) x k =0 15 0,25 k 15 k = Vy s hng cha x H s cha x ng vi k tha k N 30 3k = 0,25 6 khai trin l : C15 x = 6435.x 1,0 ( ) ( ) Gi I x0;y0; z0 l trung im ca on AB nờn suy I 0;1;3 uur IA ( - 1;2;- 1) => IA = 0.25 ( ) ( ) Phng trỡnh mt cu ng kớnh AB l : x2 + y - + z - = 0.25 0.5 1.0 SA ( ABCD) => AC l hỡnh chiu ca SC trờn mt phng ( ABCD) Suy gúc ã gia cnh SC v mt phng ( ABCD) l gúc SCA 0.25 AC = AB + BC = 32a => AC = 4a => SA = AC.tan 600 = 4a 64a S ABCD = 4a.4a = 16a => VS ABCD = 16a 4a = 3 0.25 Gi E l trung im ca on AD , F l trung im ca AE => BF / / MN nờn MN / /( SBF ) => d ( MN , SB ) = d ( MN , ( SBF ) ) = d ( N , ( SBF ) ) Trong mt phng (ABCD) k AH BF , H BF , mt phng (SAH) k AK SH , K SH BF AH AK SH => BF ( SAH ) => BF AK Do => AK ( SBF ) Ta cú BF SA AK BF => d ( A, ( SBF ) ) = AK 0.25 1 17 = + = Li cú : v 2 AH AB AF 16a 1 103 4a 618 = + = => AK = 2 2 103 AK AS AH 96a d ( N , ( SBF ) ) NF 8a 618 = = => d ( N , ( SBF ) ) = 103 d ( A, ( SBF ) ) AF 0.25 1.0 x y K : x Bin i phng trỡnh th nht ca h ta cú : 2x + y + x = 3( xy + 1) + y ( x y 1) ( 2x y + ) = y = x Vi y = x thay vo phng trỡnh th hai ta c phng trỡnh sau : 2 + = + x + + 5x x + 10 ( ) ( => ( x + 10 ) + x + + 5x = 9 + x + + 5x + x + 5x ( )( ) 0,25 ) 0,25 x + + 5x x + + 5x 4x + 41 = 0,25 x + + 5x = ( Do x 1; nờn x + + 5x 4x + 41 > ) x + + 5x = x + 5x = + 4x x +1 = x = 5x x + = x = 5x = x + Vi x = => y = 1; x = => y = i chiu vi iu kin v thay li h phng trỡnh ban u ta thy h ó cho cú nghim : ( x; y ) = (0; 1);( x; y ) = ( 1; 2) x + ( ) 0,25 1,0 0,25 uuur 13 39 Ta cú : EH = ; ữ suy phng trỡnh ng thng EH : 3x + y = 10 10 F = BC EH => ta im F l nghim ca h 3x + y = x = 10 => F ( 1;5 ) => EF = x + y = y = ã ã ã = IAE = FHC T giỏc AHIE ni tip ng trũn ng kớnh AI nờn IHE ã ã IAE = IBE ã ã = IBC Li cú ICB ã ã ã EFB = CFH + FCH ( 2) cõn ti E => EF = AE = EB = 10 => AF FB AF BC ( 1) ã ã T (1) v (2) suy EBF = EFB => FEB Suy ng thng AF i qua F v vuụng gúc vi BC l : x y + = Gi A ( t ;6 + t ) AF 2 uuur 11 10 10 11 AE = t ; t ữ AE = t ữ + t ữ = 2 2 t = 2t + 10t + = t = Vi t = => A ( 1;5 ) loi trựng vi F Vi t = => A ( 4; ) Do E l trung im ca on AB => B ( 5; 1) 0,25 0,25 uuur 16 12 AH ; ữ suy phng trỡnh ng thng IC i qua H v vuụng gúc vi AH 5 l : 4x + y 10 = Ta im C l nghim ca h 4x + y 10 = x = => C ( 2;6 ) x + y = y = 0,25 Vy ta cỏc nh ca tam giỏc l : A ( 4; ) ; B ( 5; 1) ; C ( 2;6 ) (x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z) ( xy + yz + zx) - 1,0 Ta cú : ( a - b) + (b - c)2 + (c - a)2 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ( a + b + c) 3( ab + bc + ca) ( *) Thay a = xy;b = yz;c = zx vo (*) ị ( xy + yz + zx ) 3xyz ( x + y + z) 0.25 ị ( xy + yz + zx ) 6( x + y + z) Do ú : P 2( x + y + z ) 6( x + y + z ) + 48 x+ y+ z+3 0.25 t : t = x + y + z 3 xyz = 48 => P 2t 6t + 8, ( t = x + y + z , t ) 3+t Xột hm s 6t ( t + 3) 24 48 f (t ) = 2t 6t + 8, ( t ) => f '(t ) = => f '(t ) > 0, t 3+t ( t + 3) f (t ) = f (6) = 80 => f (t ) ng bin trờn [ 6;+ ) Vy [Min 6; + ) Suy P 80 du bng xy x = y = z = Kt lun : Giỏ tr nh nht ca P l 80 t c x = y = z = HT 0.25 0.25