TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Tổ: TỰ NHIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ LẦN III - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi: 10/04/2016 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x − x − ( ) 2 Câu (1 điểm) Tìm giá trị m để hàm số y = − x + ( m + 3) x − m + 2m x − đạt cực đại x = Câu (1 điểm) a) Cho số phức z = − 2i Tìm phần thực phần ảo số phức w = iz − z b) Giải phương trình : log x + log x − = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau 2x +1 dx + x + I =∫ Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( −4;1;3) đường thẳng d: x +1 y −1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa −2 độ điểm B thuộc d cho AB = 27 Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: 4sinx + cosx = + sin2x n   b) Tìm số hạng chứa x khai triển  x − ÷ , biết n số tự nhiên thỏa mãn C3n = n + 2Cn2 x   Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I uur uuur trung điểm BC, hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy (ABC) điểm H thỏa mãn IA = −2 IH , góc SC mặt đáy (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC SB Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Đỉnh B thuộc đường thẳng ∆ có phương trình x + y − = Các điểm E F hình chiếu vuông góc D B lên AC Tìm tọa độ đỉnh B, D biết CE = A ( 4;3) , C ( 0; −5 ) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình (x + 2)(x - 2x + 5) - £ (x + 2)(3 x + - x - 12) + Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện 5x + x + y = 26 x − + y − 2013 + 2016 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức M = ( x − 1) + ( y − 1) + 2 2016 + xy x + y + x + y +1 Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh…………………… TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Tổ:TỰ NHIÊN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ LẦN III KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn:Toán A CÁC CHÚ Ý KHI CHẤM THI: 1) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn phải đảm bào không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực tổ chấm thi 3) Các điểm thành phần điểm cộng toàn phải giữ nguyên không làm tròn B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM: (Đáp án gồm có trang) CÂU 1,0đ ĐÁP ÁN * Tập xác định : D = ¡ * Sự biến thiên : - Giới hạn lim y = lim y = +∞ x →−∞ ĐIỂM 0,25 x →+∞ - Ta có y = x − x; y , = ⇔ x = 0, x = ±1 Bảng biến thiên , x -∞ y’ - -1 0 + +∞ - + 0,25 +∞ +∞ -3 y -4 -4 - Hàm số đồng biến khoảng (-1 ; 0) (1 ; + ∞ ), nghịch biến khoảng (- ∞ ; -1) (0 ; 1) - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = −3 ; hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = −4 *Đồ thị : Đồ thị cắt trục Ox điểm (± 3;0) , cắt trục Oy (0; −3) Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng 0,25 y y 0,25 x -15 -10 -5 O 10 15 -2 -4 -6 x Câu 2 Tìm giá trị m để hàm số y = − x + ( m + 3) x − ( m + 2m ) x − đạt cực đại x = TXĐ : D = R y ' = −3 x + ( m + 3) x − ( m2 + 2m ) ; y '' = −6 x + ( m + 3) 0.25 '   y ( 2) = Hàm số cho đạt cực đại x = ⇔  ''   y ( 2) < −12 + ( m + 3) − m − 2m = m − 2m = ⇔ ⇔ −12 + 2m + < m < m = ⇔ Kết luận : Giá trị m cần tìm m = 0, m = m =  0.25 0.25 0.25 z = + 2i w = i ( − 2i ) − ( + 2i ) = −1 + i 0,25 Phần thực -1 Phần ảo ……………………………………………………………… 0,25 C©u3 ⇔ log x = log x = −3  x = ⇔ x =  0,25 nghiệm pt x = x = Câu (1,0 điểm) 2x + dx + x + I =∫ Tính tích phân sau t2 −1 ⇒ dx = tdt Đặt x + = t ta x = 3 0,25 Đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 0,25 2 2t + t   dt = ∫  2t − 2t + − ÷dt ∫ 1+ t 1 t +1 28 = − ln 27 Khi đó: I = 0,25 (1,0 điểm) 0,25 0,25 uur Đường thẳng d có VTCP ud = ( −2;1;3) uur Vì ( P ) ⊥ d nên ( P ) nhận ud = ( −2;1;3) làm VTPT 0.25 Vậy PT mặt phẳng ( P ) : −2 ( x + ) + 1( y − 1) + ( z − 3) = ⇔ −2 x + y + z − 18 = 0.25 0.25 Vì B ∈ d nên B ( −1 − 2t;1 + t; −3 + 3t ) AB = 27 ⇔ AB = 27 ⇔ ( − 2t ) + t + ( −6 + 3t ) = 27 ⇔ 7t − 24t + = t = ⇔ t =  Câu a) (0.5đ) 0.25  13 10 12  Vậy B ( −7; 4;6 ) B  − ; ; − ÷ 7  7 Giải phương trình: 4sinx + cosx = + sin2x Phương trình tương đương: ⇔ 4sinx + cosx = + sinx.cosx ⇔ 2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = ⇔ (2 – cosx) ( 2sinx -1) = π   − cosx = (VN )  x = + k 2π ⇔ ⇔  sinx =  x = 5π + k 2π   (k ∈ z ) 0,25 0,25 Điều kiện n ≥ b (0.5đ) C3n = n ( n − 1) ( n − ) 4 n! n! n + 2C 2n ⇔ = n+2 ⇔ = n + n ( n − 1) 3!( n − 3) ! 2!( n − ) ! 0,25 ⇔ n − 9n = ⇒ n = (do n ≥ ) k 9  k   −2  Khi ta có  x − ÷ = ∑ C9k x 9− k  ÷ = ∑ C9k x 9−3k ( −2 ) x  k =0  x  k =0 Số hạng chứa x tương ứng giá trị k thoả mãn − 3k = ⇔ k = Suy số hạng chứa x C92 x ( −2 ) = 144x Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a (1,0 Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy (ABC) r uuur điểm) điểm H thỏa mãn uu IA = −2 IH , góc SC mặt đáy (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC SB 0,25 0,25 uur uuur Ta có IA = −2 IH ⇒ H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH IA a BC = AB = 2a ; AI = a ; IH = = 2 3a AH = AI + IH = a Ta có HC = ∧ ∧ a 15 Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SC ;( ABC )) = SCH = 600 ; SH = HC tan 600 = 0,25 1 a 15 a 15 (đvtt) VS ABC = S∆ABC SH = ( a 2) = 3 2 Trong mặt phẳng (ABC) dựng hình vuông ABEC Khi AC//BE nên AC//(SBE) Từ suy d ( AC ; SB ) = d ( AC ;( SBE ) ) = d ( A; ( SBE ) ) = 4d ( E ; ( ABE ) ) Kẻ HP ⊥ BE ( P ∈ BE ) , HQ ⊥ SP ( Q ∈ SP ) ;  BE ⊥ SH ⇒ BE ⊥ ( SHP ) ⇒ BE ⊥ HQ Khi   BE ⊥ HP 0,25  HQ ⊥ BE ⇒ HQ ⊥ ( SBE ) ⇒ d ( H ; ( SBE ) ) = HQ   HQ ⊥ SP a HP = AB = 4 VSHP vuông H, HQ ⊥ SP nên HQ = Vậy d ( AC ; SB ) = 2a 465 (đvđd) 31 SH HP a 465 = 2 SH + HP 62 0.25 Nội dung Điểm Câu 8(1,0 điểm) Gọi H trực tâm tam giác ACD, suy CH ⊥ AD nên CH || AB (1) Mặt khác AH||BC ( vuông góc với CD ) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABCH hình bình hành nên CH=AB (3) · · Ta có: HCE (so le trong) (4) = BAF Từ (3) (4) suy ra: ∆HCE = ∆BAF (cạnh huyền góc nhọn) Vậy CE = AF · · Vì DAB = DCB = 900 nên E , F nằm đoạn AC 0,25 Phương trình đường thẳng AC: x − y − = a = a = Vì F ∈ AC nên F ( a; 2a − ) Vì AF = CE = ⇒  Với a = ⇒ F ( 5;5) (không thỏa mãn F nằm đoạn AC) uuur uuur Với a = ⇒ F ( 3;1) (thỏa mãn) Vì AF = EC ⇒ E ( 1; −3) 0,25 uuur BF qua F nhận EF (2; 4) làm véc tơ pháp tuyến, BF có phương trình: x + y − = B giao điểm ∆ BF nên tọa độ B nghiệm hệ phương x + y − = x = ⇔ ⇒ B ( 5; ) x + y − = y = uuur Đường thẳng DE qua E nhận EF (2; 4) làm véc tơ pháp tuyến, DE có phương trình: x + y + = uuur Đường thẳng DA qua A nhận AB(1; −3) làm véc tơ pháp tuyến, DA có phương trình: x − y + = trình:  0,25 D giao điểm DA DE nên tọa độ D nghiệm hệ phương trình: 0,25 x + y + =  x = −5 ⇔ ⇒ D ( −5;0 ) Kết luận: B ( 5;0 ) , D ( −5; )  x − 3y + = y = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình (x + 2)(x - 2x + 5) - £ (x + 2)(3 x + - x - 12) + Điều kiện xác định: x ≥ − 5x + (1) Khi ta có (1) ⇔ x + 3x + 14x + 15 − 2(x + 2) 2x + − 3(x + 2) x + − 5x + ≤ ⇔ x + 3x − x − 18 − 2(x + 2)( 2x + − 3) − 3(x + 2)( x + − 3) + − 5x + ≤ ⇔ (x − 2)(x + 5x + 9) − 2(x + 2)(2x − 4) − 2x + + 3(x + 2)(x − 4) x2 + + 5(4 − x ) + + 5x + + ( 5x +   4(x + 2) 3(x + 2)2 5(x + 2) ⇔ (x − 2)  x + 5x + − − −  2x + + x + + + 3 5x + + 5x +   ( ) ) ≤0  ÷ ÷ ≤ 0(*) ÷ ÷   4(x + 2) 3(x + 2)2 ≤ (x + 2); < (x + 2)2  x +5+3  2x + + 3 x ≥ − ⇒ Ta có với  5(x + 2) 5(x + 2) <   + 3 5x + + 5x +  ) ( ⇒ x + 5x + − 4(x + 2) 2x + + − 3(x + 2)2 x +5+3 5(x + 2) − + 5x + + ( 5x + 0,25 0,25 ) > 18x + 57x + 127 > 0, ∀x ≥ − 45 0,25 Do (*) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ , kết hợp với điều kiện x ≥ − ta suy bất phương trình cho có nghiệm − 0,25 ≤x ≤2 Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x + y = 26 x − + y − 2013 + 2016 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: M = ( x − 1) + ( y − 1) + M = x + y + xy − x − y + + 2016 + xy x + y + x + y +1 2016 = ( x + y + 1) − ( x + y + 1) + + x + y +1 2016 x + y +1 2016 Đặt t = x + y + ta M = t − 4t + + t Điều kiện t: 0,25 Đặt a = x − 3; b = y − 2013 ta x = a + 3; y = b + 2013 2 a + + b + 2013 = 26a + 3b + 2016 ⇔ a + b = 26a + 3b ≤ Hay ≤ a + b ≤ 685 0,25 ( 26 + 32 ) ( a + b ) 2 Từ ta x + y + = a + b + 2017 ∈ [ 2017;2072] nên t ∈ D =  2017; 2072  2016 ;t ∈ D Xét hàm số f ( t ) = t − 4t + + t 2016 4t − 8t − 2016 4t ( t − ) − 2016 f ' ( t ) = 4t − 8t − = = > 0∀t ∈  2017; 2072  t t2 t2 0,25 Suy f ( t ) đồng biến D  a + b = 685  a = 26 36  ⇔ max M = f 2072 = 4284901 + t = 2072 ta  a b 37 b =  =  26 hay x = 679; y = 2022 ( M = f ( ) ) 2017 = 4060226 + 2016 t = 2017 hay x = 3; y = 2013 2017 0.25