Đề thi thử toán thầy đặng thành nam_đề số 9

10 393 0
Đề thi thử toán thầy đặng thành nam_đề số 9

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50 +9/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + 3x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp điểm giao điểm (C) đường thẳng y + = Câu (1,0 điểm) a) Cho sin a = − ⎛ π 3π ⎞ ⎞ ⎛ , ⎜ − < a < ⎟ Tính A = cos ⎜ 2a + ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b) Cho số phức z thoả mãn z + 3z = − 4i Tìm phần thực z Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log (x − 2) + log x − = x2 x + + Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ dx x +1 Câu (0,5 điểm) An Bình với thí sinh khác đội tham gia thi Ban tổ chức yêu cầu đội chơi phải trả lời 10 câu hỏi, bạn đội phải trả lời loại câu hỏi khác Biết 10 câu hỏi dành cho đội đôi khác nhau, có câu hỏi loại dễ, câu hỏi loại trung bình câu hỏi loại khó Tính xác suất để An Bình người trả lời câu hỏi loại dễ, câu hỏi loại khó Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;2;1), x −1 y z B(3;-1;2), C(0;1;3), đường thẳng Δ có phương trình Viết phương trình mặt phẳng = = −1 (P), tìm toạ độ điểm M giao điểm Δ (P) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Gọi H trung điểm AB, biết SH ⊥ (ABCD) AD = a, AB = 2a, BC = 3a,SA = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (C) Các đường cao hạ từ đỉnh A,B cắt đường tròn (C) điểm D(3;1),E(1;-5), (D,E không trùng với A,B) Biết chân đường cao hạ từ đỉnh A điểm K(3;-3) Tìm toạ độ điểm C Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 54x + 21− 2( 3x + x + 1) > (3 3x + x + 1)2 ⎧x + y + z = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x,y,z thoả mãn ⎨ Tìm giá trị lớn biểu 2 ⎩x + y + z = thức P = x y + y z + z x -HẾT Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x + 3x − Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp điểm giao điểm (C) đường thẳng y + = Học sinh tự giải Phương trình hoành độ giao điểm: ⎡x = −x + 3x − = −2 ⇔ x − 3x = ⇔ ⎢ ⎣x = + Với x = , có tiếp điểm M(0;-2), phương trình tiếp tuyến y = −2 + Với x = , có tiếp điểm M(3;-2), phương trình tiếp tuyến y = −9(x − 3) − = −9x + 25 Câu (1,0 điểm) a) Cho sin a = − ⎛ π 3π ⎞ ⎞ ⎛ , ⎜ − < a < ⎟ Tính A = cos ⎜ 2a + ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b) Cho số phức z + 3z = − 4i Tìm phần thực z a) Ta có: cos a = 1− sin a = ⇒ cos a = , 5 1 1 A=− cos 2a − sin 2a = − (2 cos a − 1) − 2sin a cos a = − + = 2 2 5 b) Đặt z = x + y.i(x, y ∈!) ⇒ z = x − y.i , ta có: ⎧ 4x = ⎧x = (x + yi) + 3(x − yi) = − 4i ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇒ z = + 2i ⎩−2y = −4 ⎩y = Vậy z có phần thực Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log (x − 2) + log x − = Điều kiện: x > Phương trình tương đương với: ⎡ x = −1 log (x − 2) + log x − = ⇔ log (x − 2x) = ⇔ x − 2x = ⇔ ⎢ ⎣x = Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm x = Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3 Ta có: I = ∫ x dx + ∫ 0 x2 x + + dx x +1 3 x3 dx = + ∫ d( x + 1) = + x + = 15 x +1 Câu (0,5 điểm) An Bình với thí sinh khác đội tham gia thi Ban tổ chức yêu cầu đội chơi phải trả lời 10 câu hỏi, bạn đội phải trả lời loại câu hỏi Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com khác Biết 10 câu hỏi dành cho đội đôi khác nhau, có câu hỏi loại dễ, câu hỏi loại trung bình câu hỏi loại khó Tính xác suất để An Bình người trả lời câu hỏi loại dễ, câu hỏi loại khó Gọi x số người trả lời câu hỏi dễ, trung bình; y số người trả lời câu hỏi trung bình, khó; z số người trả lời câu hỏi khó, dễ ⎧x + y + z = ⎪x + y = ⎪ Ta có: ⎨ ⇒ x = 2, y = 1, z = ⎪y + z = ⎪⎩ z + x = Không gian mẫu số cách trả lời thành viên đội An Bình, + người trả lời câu hỏi dễ, trung bình có C52 C41 C31 C31 C21 = 720 cách + người trả lời câu hỏi trung bình, khó có C31 C21 C31 = 18 cách + người cuối trả lời câu hỏi khó, dễ có C22 C21 C21 C11 C11 = cách Vậy n(Ω) = 720.18.4 = 51840 Gọi A biến cố An Bình người trả lời câu hỏi dễ, câu hỏi khó Ta mô tả cách trả lời thoả mãn: + An Bình người trả lời câu hỏi dễ, khó có C41 C31 C31 C21 = 72 cách + Người trả lời câu trung bình, khó có C31 C31 C11 = cách + người lại trả lời câu hỏi dễ, trung bình có C22 C21 C21 C11 C11 = cách Vậy có tất 72.9.4 = 2592 cách trả lời thoả mãn, tức n(A) = 2592 n(A) 2592 = = Xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 51840 20 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;2;1), x −1 y z B(3;-1;2), C(0;1;3), đường thẳng Δ có phương trình Viết phương trình mặt phẳng = = −1 (P), tìm toạ độ điểm M giao điểm Δ (P) !!!" !!!" !!!" !!!" Ta có: AB = (2;−3;1), AC = (−1;−1;2) ⇒ ⎡⎣ AB, AC ⎤⎦ = (−5;−5;−5) / /(1;1;1) Mặt phẳng (P) qua A(1;2;1) có vtpt (1;1;1) nên có phương trình x + y + z − = Toạ độ điểm M nghiệm hệ: ⎧ ⎪x = ⎧ x − = 2y ⎧ x −1 y z ⎪ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ −y = z ⇔ −1 ⎨ ⎨ ⎨y = ⎪⎩ x + y + z − = ⎪x + y + z − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎪⎩ z = − ⎛ 3⎞ Vậy M ⎜ 4; ;− ⎟ ⎝ 2⎠ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Gọi H trung điểm AB, biết SH ⊥ (ABCD) AD = a, AB = 2a, BC = 3a,SA = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com Ta có: SABCD = AD + BC a + 3a AB = 2a = 4a 2 Tam giác vuông SHA có SH = SA − AH = a a 4a 3 4a = Vì vậy, VS.ABCD = SH SABCD = (đvtt) 3 + Tính d(A;(SCD)) Kéo dài AB cắt CD E Vì AD//BC nên: AD EA EA = = ⇒ = ⇒ EA = a BC EB EA + AB d(A;(SCD)) AE = = (1) d(H;(SCD)) HE Kẻ HI vuông góc CD I, kẻ HK vuông góc SI K suy HK ⊥ (SCD) ⇒ HK = d(H;(SCD)) (2) ! = BC = 3a = Tam giác vuông BCE có CE = BC + BE = 3a ⇒ sin BEC CE 3a 2 ! = 2a = a Tam giác vuông HIE có HI = HE.sin BEC 1 1 a 30 = + = + ⇒ HK = (3) Tam giác vuông SHI có, 2 HK SH HI 3a 2a a 30 Từ (1),(2),(3) suy ra: d(A;(SCD)) = 10 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (C) Các đường cao hạ từ đỉnh A,B cắt đường tròn (C) điểm D(3;1),E(1;-5), (D,E không trùng với A,B) Biết chân đường cao hạ từ đỉnh A điểm K(3;-3) Tìm toạ độ điểm C Gọi H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm AH BC ! = DAC ! (cùng phụ góc ACB ! ), DBC ! = DAC ! Ta có: HBC ! = DBC ! ⇒ ΔKBH = ΔKBD ⇒ BH = BD ⇒ ΔBHD Suy ra: HBC cân B, BC trung trực HD, CD = CH Tương tự ta có: CE = CH ⇒ CD = CE Phương trình đường thẳng BC qua K vuông góc KD y + = Toạ độ điểm C nghiệm ⎧y + = ⎧x = hệ: ⎨ ⇔⎨ ⇒ C(5;−3) 2 2 ⎩ y = −3 ⎩(x − 3) + (y − 1) = (x − 1) + (y + 5) Ta có: Vậy C(5;-3) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 54x + 21− 2( 3x + x + 1) > (3 3x + x + 1)2 Điều kiện xác định: x ≥ Bất phương trình tương đương với: 23x + 17 − 3x − x + > 12 3x(x + 1) ⇔ (2 3x − x + 1)2 + ⎡⎣ x + − 3x ⎤⎦ + ⎡⎣ x + − x + ⎤⎦ > (x − 3)2 (x − 3)2 ⇔ (2 3x − x + 1) + + >0 x + + 3x x + + x + Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com + Nếu x = 3,VT = VP = (bpt vô nghiệm) + Nếu ≤ x ≠ ⇒ VT > = VP , Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [ 0;+∞ ) \ { 3} ⎧x + y + z = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực x,y,z thoả mãn ⎨ 2 ⎩x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x y + y4 z + z4 x Ta có: xy + yz + zx = (x + y + z)2 − (x + y + z ) = −3 Theo giả thiết: ⎧⎪ x + y + xy = ⎧ x + y + (−x − y)2 = z = −x − y ⇒ ⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ yz = x − ⎩ yz = −3 − x(y + z) z = (x + y)4 = (x + 2xy + y )2 = (xy + 3)2 Khi đó: P = x y + y yz + z x = x y + y (x − 3) + (xy + 3)2 x = x y(x + xy + y ) + 6x y + 9x − 3y = 9x y + 9x − 3y 2 y⎞ ⎛ ⎞ ⎛ Ta có: x + xy + y = ⇔ ⎜ x + ⎟ + ⎜ y = ⎝ ⎠ ⎝ ⎟⎠ 2 y ⎧ ⎪⎪ x + = sin a ⎧ x = sin a − cos a Đặt ⎨ ⇔⎨ ⎩⎪ y = cos a ⎪ y = cos a ⎪⎩ Suy ra: P = 9( sin a − cos a)2 (2 cos a) + 9( sin a − cos a) − 3(2 cos a)3 = −3(3 sin 3a + cos 3a) ≤ (3 3)2 + = 52 Rõ ràng tồn a cho 3 sin 3a + cos 3a = − 52 , suy tồn x,y,z để dấu xảy Vậy giá trị lớn P 52 Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com π (sin x − cos x)(1+ sin x cos x) dx sin x + cos x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x)dx , t = 1+ 2sin x cos x ⇒ sin x cos x = Vì vậy, I = ∫ (1+ t2 −1 ).− dt =− t 2 ∫ t2 +1 dt = − t t2 −1 2 1 t2 1+ ln ∫1 (t + t )dt = − ( + ln t ) = − Câu (0,5 điểm) Tại seagames 28 Môn bóng đá nam gồm 11đội tham dự Được chia thành bảng đấu! Bảng A gồm đội bảng B gồm đội Các đội bốc thăm chọn bảng đấu cách ngẫu nhiên Tính xác suất để đội Việt Nam Thái Lan nằm bảng đấu Lời giải: Không gian mẫu số cách chia 11 đội thành bảng (A,B) bảng A đội, bảng B đội có n(Ω) = C116 C55 = 462 Gọi A biến cố Việt Nam Thái Lan bảng đấu: +) Nếu Việt Nam Thái Lan bảng A có 1.C94 C55 = 126 cách +) Nếu Việt Nam Thái Lan bảng B có 1.C93 C66 = 84 cách 210 Vậy n(A) = 126 + 84 = 210 , xác suất cần tính P(A) = = 462 11 Câu 10 (1,0 điểm) Cho x,y,z số thực dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ⎛ a2 b2 ⎞ 2c c 2a P = ⎜ + ⎟ 1+ + + c⎠ ab a c ⎝ b ≥ 18 + (1+ 4(a − b)2 )2 − a − b y = 18 + (2 + 4x )2 , y' Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực dương x,y,z thoả mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức ⎛ 1 ⎞ P = (x y + y z + z x) ⎜ + + ≥ 3 ⎝ (x + y) (y + z) (z + x)3 ⎟⎠ 4x − (4x − 12x + 5) x − 2x ≤ 12x − 9x + Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x − 9x + 25x − 26x + 20 + (x − 2x)2 = Phương trình tương đương với: (x − 4)2 (x − x + 1) − ⎡ 2(x − 2) − (x − 2x)2 ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ (x − 2)2 ⇔ (x − 4)2 ⎢ x − x + 1+ 4(x − 2)2 + 2(x − 2) (x − 2x)2 + (x − 2x)4 ⎢⎣ ⇔ (x − 4)2 = ⇔ x = ⎤ ⎥=0 ⎥⎦ Vậy nghiệm phương trình x = Câu 10 (1,0 điểm) Với x,y số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức x +1 y +1 P= + + ln(xy) − x + y 2 2(x + 1) 2(y + 1) Lời giải: Xét hàm số f (x) = − 2x x +1 2x + − x + ln x khoảng (0;+∞) , ta có: − 1; f '(x) = ⇔ x = (2x + 2) 2x + x x +1 Từ suy ra, f (x) ≤ f (1) = ⇒ + ln x ≤ x 2x + Suy ra: f '(x) = + P ≤ x + y − x + y2 Câu 9(1,0 điểm) Giải bất phương trình x − + > x 2x + x − 2x + Điều kiện: x ≥ −1 Bất phương trình tương đương với: 16 2x − + − 2x 2x + > x − 2x + 16 2 ⇔ (x − 2x + ) + (x − 2x + − 10) > (*) x − 2x + Sử dụng bất đẳng thức AM –GM ta có, x − 2x + 16 x − 2x + 2 = (x − 2x + 2) + x − 2x + 2 + x − 2x + 2 ⎛ ⎞ ≥ 3 (x − 2x + 2).⎜ − = 10 ⎝ x − 2x + ⎟⎠ −2 Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com Suy ra, VT(*) ≥ 0,∀x ≥ −1 Dấu xảy ⎧ x = 2x + ⎪ ⎨ ⎪ x − 2x + = ⎩ ⇔ x = 1+ x − 2x + Vì (*) ⇔ VT > ⇔ x ≠ 1+ , kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình { } S = [ −1;+∞ ) \ 1+ ⎧ 2 2 ⎪⎪ x + y − 2x + + x + 4y + 2x + = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ ⎪ 3x + 2y = 24xy + 9y − ⎪⎩ ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với: 9 (3x + 2y)2 = 24xy + 9y − ⇔ (3x − 2y)2 = 9y − ≥ ⇒ y ≥ 2 Điều kiện: 24xy + 9y − +) Phương trình thứ hệ tương đương với: (1− x)2 + y + (1+ x)2 + 4y = (*) Sử dụng bất đẳng thức Mincopski ta có: (1− x)2 + y + (1+ x)2 + 4y ≥ (1− x + 1+ x)2 + (y + 2y)2 = 9y + ≥ ,∀y ≥ 2 ⎧1− x y ⎧ x = ⎪⎪1+ x = 3y ⎪⎪ Vì VT(*) ≥ VP(*) , dấu xảy ⎨ ⇔⎨ 1 ⎪y = ⎪y = ⎪⎩ ⎪⎩ 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( ; ) Câu (0,5 điểm) Giải bóng đá Champions League 2015 có đội bóng vào tứ kết: FC Barcelona (Tây Ban Nha), Real Madrid CF (Tây Ban Nha), Atlético Madrid (Tây Ban Nha), Bayern Munich (Đức), Paris Saint – Germain (Pháp), AS Monaco FC (Pháp), Porto (Bồ Đào Nha) Juventus (Ý) Giả sử đội có trình độ ngang họ bốc thăm thi đấu vòng này; sau thi đấu tiếp vào bán kết tiếp tục bốc thăm chia cặp chung kết Tính xác suất để có trận chung kết toàn Tây Ban Nha Không gian mẫu số cặp vào trận chung kết có thể, có n(Ω) = C82 = 28 Gọi A biến cố để có trận chung kết toàn Tây Ban Nha, có đội Tây Ban Nha nên n(A) = C32 = Xác suất cần tính P(A) = n(A) = n(Ω) 28 Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com Nhận xét: Vì đội mạnh nên giải đấu không cần sân, bốc thăm có giải ⎧ x − x − y2 − y = x + y − ⎪ Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ x2 − y ⎪(y − 1) x − = ⎩ Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 1∨ y ≤ +) Nếu y ≤ ⇒ (y − 1) x − ≤ < +) Xét x, y ≥ x2 − y , hệ vô nghiệm ⎧( x − x − x) − ( y − y + y) = −4 ⎪ Hệ phương trình tương đương với: ⎨ x2 − y (y − 1) x − = ⎪ ⎩ ⎧ a2 x = − 2 ⎧⎪a = x − x − x ⎪⎪ ⎧⎪(a + x) = x − x 2a + (b ≥ 1,−1 ≤ a < 0) ⇒ ⎨ ⇔ Đặt ⎨ ⎨ 2 2 ⎩⎪(b − y) = y − y ⎪⎩b = y − y + y ⎪y = b ⎪⎩ 2b − Hệ phương trình trở thành: ⎧a − b = −4 ⎪ ⎪ ⎛ a2 ⎞ b ⇔ ⎧⎪a = −2 + ⎨ ⎨ ⎜⎝ − 2a + ⎟⎠ − 2b − a2 ⎪⎩b = + ⎪ b ⎪⎩( 2b − − 1) − 2a + − = Thay a = b − vào phương trình thứ hai hệ ta được: (a + 1)2 a (2a + 7) − (a + 4)2 (2a + 1)2 ⎡⎣(a + 4) − 2(a + 4) + 1⎤⎦ − = 2a + 2(2a + 1)2 ⇔ (a + 3)2 −(a + 1)2 2a + 3a − 36a − 97a − 72a − 16 = 2a + 2(2a + 1)2 ⇔ a = −2 − 2,a = −2 + Câu 10 (1,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức a b c + + ≥ 2 b(b + c) c(c + a) a(a + b) 4(ab + bc + ca) Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com a b a4 b4 + = + b(b + c)2 c(c + a)2 a 3b(b + c)2 b 3c(c + a)2 ≥ (a + b )2 (a + b )2 = a 3b(b + c)2 + b 3c(c + a)2 b(a (b + c)2 + b c(c + a)2 ) ⎧2xy + = (x + 2)(y + 2) ⎪ y +1 10 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ x + + + = ⎪ y +1 x +1 x + y +1 ⎩ Thầy: Đặng Thành Nam – Phone: 0976 266 202 – Email: dangnamneu@gmail.com 10

Ngày đăng: 23/08/2016, 21:19

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan