Khoá giải đề đặc biệt – Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50 +7/2015 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 3x − x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số cho Ox Câu (1,0 điểm) b) Tìm số phức z cho z số phức liên hợp z, z có phần thực, phần ảo âm a) Giải phương trình (sin x − cos x)2 = 1− Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log 25 x − log x − = 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = ⎜ x − 1⎟ + ⎜ x − 1⎟ với x ∈[1;2 ] ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Câu (0,5 điểm) Có 10 phong bì giống hệt nhau, phong bì đựng 10 câu hỏi khác đánh số từ đến 10 Biết 10 câu hỏi 10 phong bì đôi giống Người ta phát 10 phong bì cho 10 thí sinh có An Bình, yêu cầu thí sinh bốc thăm từ phong bì câu hỏi Tính xác suất để có An Bình bốc thăm câu hỏi đánh số 10 hai bạn bốc thăm câu hỏi đánh số 10 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng Δ qua hai điểm A(1;2;1), B(2;-1;1), mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + 2z − = Viết phương trình đường thẳng Δ tìm điểm M thuộc đường thẳng Δ cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD cạnh a, nằm mặt phẳng a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết tam giác ABC vuông C, BC = Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với Gọi M,N trung điểm cạnh AB,AD Đường thẳng qua M vuông góc với CD cắt đường thẳng qua N vuông góc với BC điểm I Tìm toạ độ đỉnh A, biết C(3;1), M (− ; 3), I( ;0) AD = 2 Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x − + x + 3x + 3x − − x − > x + 2x Câu 10 (1,0 điểm) Cho số số thực x,y,z thuộc đoạn [0;2], x + y + z = 3, xy + yz + zx > Tìm giá x y + y 3z + z x 108 trị lớn biểu thức P = − xy + yz + zx 2x + 2y + 2z − -HẾT PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 3x − x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số cho Ox Học sinh tự giải ⎡x = Phương trình hoành độ giao điểm: 3x − x = ⇔ ⎢ ⎣x = ± Vì vây, S= ∫ 3x − x dx = − ∫ − 3 (x − 3x)dx + ∫ (3x − x )dx ⎛ x 3x ⎞ ⎛ 3x x ⎞ 9 =⎜ − + − ⎟ = + = ⎟⎠ − ⎜⎝ 4⎠0 4 ⎝ Câu (1,0 điểm) b) Tìm số phức z cho z số phức liên hợp z, z có phần thực, phần ảo âm a) Phương trình tương đương với: π π ⎡ ⎡ 2x = + k2 π x = + kπ ⎢ ⎢ 2 1− 2sin x cos x = 1− ⇔ sin 2x = ⇔⎢ ⇔⎢ , k ∈! π π 2 ⎢ 2x = ⎢x = + k2π + kπ ⎢⎣ ⎢⎣ a) Giải phương trình (sin x − cos x)2 = 1− b) Đặt z = a + bi(a,b ∈!;a < 0,b < 0) ⇒ z = a − bi ⇒ z = (a + bi)2 = a − b + 2abi Theo giả thiết ta có: ⎧a − b = a ⎧b(2a + 1) = a − b + 2abi = a − bi ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 ⎩2ab = −b ⎩a − b − a = ⎡ ⎧b = ⎡ ⎢⎨ a − a = ⎢ a = 0,b = ⎢⎩ ⎢ ⎢ ⇔ ⎢ ⎧a = − ⇔ ⎢ a = 1,b = ⎪ ⎢ ⎢ ⎪⎨ ⎢ a = − ,b = ± ⎢⎪ 1 ⎢⎣ 2 ⎢ ⎪⎩ + − b = ⎣ i Đối chiếu với điều kiện a < 0,b < ⇒ z = − − 2 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log 25 x − log x − = Điều kiện: x > Phương trình tương đương với: ⎡x = ⎡ log x = log x + log x − = ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⎢x = log x = −2 ⎣ ⎣ 25 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = ⎜ x − 1⎟ + ⎜ x − 1⎟ với x ∈[1;2 ] ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎡1 1⎤ Đặt t = − x ∈ ⎢ ; ⎥ ,∀x ∈[1;2 ] , ta có: ⎣4 2⎦ 9 ⎡1 1⎤ ) + ≥ ,∀t ∈ ⎢ ; ⎥ 17 17 17 ⎣4 2⎦ 5 = ⇔ x = − log 17 17 f (x) = g(t) = (t − 1)2 + (4t − 1)2 = 17t − 10t + = 17(t − Do f (x) = g(t) = g( )= ⇔ 2− x 17 17 Câu (0,5 điểm) Có 10 phong bì giống hệt nhau, phong bì đựng 10 câu hỏi khác đánh số từ đến 10 Biết 10 câu hỏi 10 phong bì đôi giống Người ta phát 10 phong bì cho 10 thí sinh có An Bình, yêu cầu thí sinh bốc thăm từ phong bì câu hỏi Tính xác suất để có An Bình bốc thăm câu hỏi đánh số 10 hai bạn bốc thăm câu hỏi đánh số 10 Không gian mẫu số cách bốc thăm 10 thí sinh, thí sinh có 10 lựa chọn nên n(Ω) = 1010 Gọi A biến cố có An Bình bốc câu hỏi đánh số 10 hai bạn bốc thăm câu hỏi đánh số 10 Để tính số kết thuận lợi A, ta mô tả cách bốc thăm thoả mãn + Nếu An bốc thăm câu hỏi số 10, Bình bốc thăm câu hỏi khác 10 có 10 8.1.C91 cách + Nếu Bình bốc thăm câu hỏi số 10, An bốc thăm câu hỏi khác 10 có 10 8.1.C91 cách Vậy có tất 10 8.1.C91 + 10 8.1.C91 = 18.10 cách bốc thăm thoả mãn, n(A) = 18.10 n(A) 18.10 = = 10 n(Ω) 10 50 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng Δ qua hai điểm A(1;2;1), B(2;-1;1), mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + 2z − = Viết phương trình đường thẳng Δ tìm điểm M thuộc đường thẳng Δ cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) ⎧ x = 1+ t !!!" ⎪ Ta có, AB = (1;−3;0) ⇒ Δ : ⎨ y = − 3t ⎪z = ⎩ Vì M thuộc Δ nên M(1+t;2-3t;1) ⎡t = 2(1+ t) + (2 − 3t) + 2.1− 5−t Ta có: d(M;(P)) = ⇔ =1⇔ =1⇔ ⎢ 2 +1 + ⎣t = Suy M(3;-4;1) M(9;-22;1) Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD cạnh a, nằm mặt phẳng a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết tam giác ABC vuông C, BC = Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác suất cần tính P(A) = Tam giác vuông ABC có AC = AB − BC = a 1 a a a2 = Suy SABC = AC.BC = 2 3 Gọi M trung điểm AB, tam giác ABD nên DM ⊥ AB Mặt khác (ADB) ⊥ (ABC) ⇒ DM ⊥ (ABC) a a2 a a3 = Vì VABCD = SABC DM = (đvtt) 18 36 Vì tam giác ABC vuông C nên M tâm ngoại tiếp tam giác ABC, DM trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi O tâm tam giác ABD OD = OA = OB = OC ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD a 4π a ⇒ S = 4π R = Bán kính mặt cầu, R = DO = DM = 3 Tam giác ABD có DM = DBsin 60 = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với Gọi M,N trung điểm cạnh AB,AD Đường thẳng qua M vuông góc với CD cắt đường thẳng qua N vuông góc với BC điểm I Tìm toạ độ đỉnh A, biết C(3;1), M (− ; 3), I( ;0) AD = 2 Gọi E trung điểm AC, ta có ME//AC, NE//CD Do NI ⊥ ME, MI ⊥ NE ⇒ I trực tâm tam giác MNE Suy EI ⊥ BD , lại có AC ⊥ BD A,E,I thẳng hàng, tức I thuộc AC Phương trình đường thẳng AC qua C,I 2x + y − = Phương trình đường thẳng MN qua M vuông góc AC 2x − 4y + 13 = Phương trình đường thẳng CD qua C vuông góc MI 4x − 3y − = 4m − Vì A thuộc AC nên A(a;7-2a), D thuộc CD nên D(m; ) Mặt khác N trung điểm AD, N thuộc MN nên 4(6 − 3a + 2m) a+m− + 13 = ⇔ m = 3a + ⇒ D(3a + 3; 4a + 1) Theo giả thiết, AD = ⇔ (2a + 3)2 + (6a − 6)2 = 25 ⇔ 2a − 3a + = ⇔ a = 1;a = ⎛1 ⎞ Vậy A(1;5) A ⎜ ;6 ⎟ ⎝2 ⎠ Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x − + x + 3x + 3x − − x − > x + 2x Điều kiện: x ≥ Bất phương trình tương đương với: x − + (x + 1)3 − − x − > x + 2x ⇔ x − + (x + 1)3 − − (2x + 1) + (x − x + 2x ) > ⇔ x−2 + (x + 1)3 − − (2x + 1)2 ⇔ x−2 + + (x + 1)3 − + 2x + (x − 2)(x + x + 1) (x + 1)3 − + 2x + + x − (x + 2x) x + x x + 2x + (x + 2x)2 x(x − 2)(x + 1) x + x x + 2x + (x + 2x)2 >0 >0 ⎡ ⎤ x2 + x + x(x + 1) ⇔ x − ⎢1+ + ⎥>0 (x + 1)3 − + 2x + x + x x + 2x + (x + 2x)2 ⎥⎦ ⎢⎣ ⇔ x−2 >0⇔ x>2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (2;+∞) Câu 10 (1,0 điểm) Cho số số thực x,y,z thuộc đoạn [0;2], x + y + z = 3, xy + yz + zx > Tìm giá x y + y 3z + z x 108 trị lớn biểu thức P = − xy + yz + zx 2x + 2y + 2z − Ta chứng minh, (x y + y 3z + z x )(x + y + z ) ≤ 36(xy + yz + zx) x y + y 3z + z x 36 ⇒ ≤ xy + yz + zx x + y3 + z3 (Xem thêm Kỹ thuật giải nhanh Bất đẳng thức Min Max tác giả) Không tính tổng quát giả sử x = max { x, y, z} ⇒ x ≥ ⇒ x ∈[1;2 ] Từ suy ra: P≤ 36 108 − 3 x +y +z 2x + 2y + 2z − Đặt t = x + y + z ≤ x + (y + z)3 = x + (3 − x)3 ≤ , t ≥ Khi P ≤ f (t) = 36 108 − , ta có: t 2t − f '(t) = 108 (2t − 9)3 − 36 108t − 36 (2t − 9)3 = > 0,∀t ∈[ 3;9 ] t2 t (2t − 9)3 Do hàm số f(t) đồng biến đoạn [3;9] Suy f (t) ≤ f (9) = −32 Dấu xảy x = 2, y = 1, z = Vậy giá trị lớn P -32