i Một số ứng dụng của định lý Rolle (Khóa luận TN) ii MỤC LỤC Trang bìa phụ………………………………………………………………….i Lời cảm ơn ii Mục lục………………………………………………… ………………… ii CHƯƠNG .53 BÀI TẬP 53 3.1 Bài tập có lời giải 53 3.2 Bài tập lời giải 58 59 Bài 3.2.16 Chứng minh với 59 Bài 3.2.17 Chứng minh , với .59 Bài 3.2.18 Chứng minh 59 KẾT LUẬN 60 Tài liệu tham khảo .61 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của đề tài Trong chương trình toán phổ thông, các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế các kỳ thi olympic toán sinh viên giữa các trường đại học nước các toán liên quan đến tính liên tục, đạo hàm của hàm số xem dạng toán khó Phổ biến các toán chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phương trình, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Đối với các dạng toán các định lý về giá trị trung bình đóng vai trò quan trọng, một công cụ hiệu việc giải quyết các toán nêu Định lý Rolle một số mở rộng của các định lý quan trọng về giá trị trung bình giải tích cổ điển Ứng dụng của định lý cũng rất đa dạng phong phú chương trình toán trung học phổ thông Tuy nhiên những ứng dụng của định lý Rolle một số mở rộng của các toán giải phương trình, toán biện luận số nghiệm của phương trình, toán chứng minh bất đẳng thức còn nêu hạn chế mờ nhạt Vì cần cung cấp cho học sinh đặc biệt các em học sinh khá giỏi có khiếu yêu thích toán một tài liệu những kiến thức còn có các tập nâng cao để qua thấy ứng dụng phong phú tinh tế của định Rolle một số định lý mở rộng khác Với những lí nêu chúng chọn đề tài “Một số ứng dụng của định lý Rolle” cho khóa luận của nhằm đưa hệ thống kiến thức cũng cách vận dụng định lý Rolle một số mở rộng của vào các dạng tập về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phương trình, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức các toán khó Mục tiêu khóa luận Mục tiêu của khóa luận cung cấp cho học sinh một phương pháp để có thể xử lý các toán về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phương trình, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức Qua củng cố kiến thức cho học sinh giúp học sinh vận dụng thành thạo định lý Rolle một số mở rộng của Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến hàm số, đạo hàm, phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức - Nghiên cứu ứng dụng của định lý Rolle một số mở rộng của Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến ứng dụng của định lý Rolle phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung hình thức của khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Định lý Rolle - Phạm vi: Một số ứng dụng của định lý Rolle Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho học sinh THPT, học sinh tham gia vào các kỳ thi đại học cao đẳng, các kỳ thi olympic toán Và tài liệu giúp giáo viên ôn tập bồi dưỡng cho học sinh Bố cục của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành các chương Chương Kiến thức Nội dung chương nhằm hệ thống một cách các kiến thức về hàm số, tính liên tục, tính khả vi của hàm số trình bày một cách nhất định lý Rolle một số mở rộng của một số hệ quan trọng Đây phần lí thuyết sở để vận dụng cho các toán ứng dụng chương sau Chương Một số ứng dụng của định lý Rolle Đây nội dung trọng tâm của khóa luận Chương trình bày một số ứng dụng của định lý Rolle các định lý mở rộng của để giải quyết các dạng tập về chứng minh phương trình có nghiệm, biện luận số nghiệm của phương trình, giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức khảo sát tính đồng biến, nghịch biến tính chất lồi, lõm của hàm số khả vi bậc hai Chương Bài tập Chương đưa các tập gồm các tập có lời giải các tập lời giải nhằm vận dụng những kiến thức thu từ hai chương trước để nâng cao kỹ lập luận kỹ tính toán cụ thể CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khái niệm hàm số Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp X Y ¡ Hàm số f một quy tắc cho tương ứng phần tử x của tập hợp X với một phần tử f ( x ) nhất của tập hợp Y Người ta thường kí hiệu hàm số sau: f : X → Y x ∈ X a f ( x ) ∈Y Trong X gọi tập xác định (hay miền xác định) Y gọi tập giá trị x gọi biến số hay đối số của hàm f f ( x ) gọi giá trị của hàm số f x Ví dụ 1.1 Cho X = Z; Y = R quy tắc sau hàm số f : X →Y x a f ( x) = x +1 Ví dụ 1.2 Trích bảng thông báo lãi suất của một ngân hàng: Loại kì hạn (tháng) VND (% / năm) Lĩnh lãi cuối kì, Áp dụng từ 08 – 11 – 2015 6,60 7,56 8,28 8,52 8,88 12 9,00 Bảng cho ta quy tắc để tìm số phần trăm lãi suất s tùy theo loại kì hạn k tháng Kí hiệu quy tắc ấy f , ta có hàm số s = f ( k ) xác định tập T={ 1;2;3;6;9;12 } Định nghĩa 1.2 Giả sử hàm số f ( x) xác định tập I (a; b) ⊂ R thỏa mãn điều kiện Với x1 , x2 ∈ I ( a; b ) x1 < x2 , ta đều có f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ta nói f ( x) một hàm đơn điệu tăng I (a; b) Đặc biệt, ứng với x1 , x2 ∈ I ( a; b ) x1 < x2 , ta đều có f ( x1 ) < f ( x2 ) ta nói f ( x) một hàm đơn điệu tăng thực I (a; b) Ngược lại, nếu với x1 , x2 ∈ I ( a; b ) v x1 < x2 , t a có f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ta nói f ( x) một hàm đơn điệu giảm I(a;b) Đặc biệt, ứng với cặp x1 , x2 ∈ I ( a; b ) v x1 < x2 , t a đều có f ( x1 ) > f ( x2 ) ta nói f ( x) hàm đơn điệu giảm thực I ( a; b ) Những hàm đơn điệu tăng thực I (a; b) gọi hàm đồng biến I (a; b) hàm đơn điệu giảm thực I (a; b) gọi hàm nghịch biến I (a; b) Ví dụ 1.3 Xét hàm số f ( x) = x Gọi x1 x2 hai giá trị tùy ý của đối số Trường hợp 1: Khi x1 x2 thuộc nửa khoảng [ 0;+ ∞ ) , ta có ≤ x1 < x2 ⇒ x12 < x22 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Suy hàm số cho đồng biến nửa khoảng [ 0;+ ∞ ) Trường hợp 2: Khi x1 x2 thuộc nửa khoảng ( −∞ ;0 ] , ta có x1 < x2 ≤ ⇒ x1 > x2 ⇒ x12 > x22 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Suy hàm số cho nghịch biến nửa khoảng ( −∞ ;0 ] 1.2 Giới hạn của hàm số Định nghĩa 1.3 Giả sử ( a; b ) một khoảng chứa điểm x0 f một hàm số xác định tập hợp ( a; b ) \ { x0 } Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x0 ( hoặc điểm x0 ) nếu với dãy số ( xn ) tập hợp ( a; b ) \ { x0 } ( tức ( xn ) ∈ ( a; b ) xn ≠ x0 với n ) mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L x → x0 Khi ta viết xlim → x0 1  xcos ÷ Ví dụ 1.4 Tìm lim  x →0 x  Lời giải Xét hàm số f ( x ) = xcos Với dãy số ( xn ) mà xn ≠ với n lim x xn = 0, ta có f ( xn ) = xncos 1 Vì f ( xn ) = xn cos ≤ xn lim xn = xn xn 1  f ( x ) = lim  x cos ÷ = nên lim f ( xn ) = Do lim x →0 x →0 x  Định nghĩa 1.4 Giả sử hàm số f xác định khoảng ( x0 ; b ) ( x0 ∈ R) Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thực L x dần đến x0 ( hoặc điểm x0 ) nếu với dãy số ( xn ) khoảng ( x0 ; b ) mà lim xn = x0 , ta đều có lim f ( xn ) = L f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L x → x + Khi ta viết: xlim → x0+ Định nghĩa giới hạn bên trái của hàm số định nghĩa tương tự Định nghĩa 1.5 Giả sử hàm số f xác định khoảng ( a; x0 ) ( x0 ∈ R) Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) nếu với dãy số ( xn ) khoảng ( a; x0 ) mà lim xn = x0 , ta đều có lim f ( xn ) = L f ( x) = L hoặc f ( x ) → L x → x − Khi ta viết: xlim → x0− Nhận xét 1.1 f ( x) = L hàm số f có giới hạn bên phải giới i) Hiển nhiên nếu xlim → x0 f ( x) = lim+ f ( x) = L hạn bên trái x0 xlim → x0− x → x0 f ( x) = lim+ f ( x) = L hàm ii) Điều ngược lại cũng đúng, nghĩa là: Nếu xlim → x0− x → x0 f ( x) = L số f có giới tại điểm x0 xlim → x0 Ví dụ 1.5 Gọi d hàm dấu −1 , x <  d( x) = 0 , x = 1 , x >  d ( x) , lim+ d ( x) lim d ( x) ( nếu có ) Tìm xlim x →0 →0 − x →0 Lời giải Với x < ta có d( x) = −1 Do lim d ( x) = lim(−1) = −1 x →0 − x →0 − d ( x) = lim1 = Tương tự, ta có xlim →0 + x →0+ d ( x) ≠ lim− d ( x) nên không tồn lim d ( x) Vì xlim x →0 →0 + x →0 1.3 Tính liên tục của hàm số 1.3.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.6 Giả sử hàm số f xác định khoảng ( a ; b ) x0 ∈ ( a ; b ) f ( x) = f ( x0 ) Hàm số f gọi liên tục điểm x0 nếu xlim → x0 Ta có thể định nghĩa hàm số liên tục một điểm sau : Định nghĩa 1.7 Cho tập X ⊂ R, hàm số f : X → R điểm x0 ∈ X Nếu với ε > cho trước cũng tồn δ > ( phụ thuộc vào ε ) cho với x ∈ A mà x − x0 < δ ta đều có f ( x ) − f ( x0 ) < ε ta nói hàm f liên tục điểm x0 Nếu f liên tục điểm x ∈ X ta nói f liên tục X Nếu f không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm x0 hay x0 điểm gián đoạn của hàm f Ví dụ 1.6 a) Hàm số f ( x) = x liên tục điểm f ( x) = x02 = f ( x0 ) x0 ∈ R xlim → x0 1 , x ≠  b) Hàm số f ( x) =  x 0 , x = Gián đoạn điểm x = không tồn (hình 1.1) x →0 x lim f ( x) = lim x →0 Ví dụ 1.7 Xét tính liên tục của hàm số y  x +1  f ( x) = 1  2 , x ≠ −1 y = x2 + , x = −1 điểm x = −1 Lời giải −1 O f ( x ) = lim ( x + 1) = f ( −1) = Ta có xlim →−1 x →−1 x Hình 1.2 f ( x ) ≠ f ( −1) nên hàm số gián đoạn điểm x = −1 (hình 1.2) Vì xlim →−1 Định nghĩa 1.7 Giả sử hàm số f xác định tập hợp J, J một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng Ta nói hàm số f liên tục J nếu liên tục điểm thuộc tập hợp Hàm số f xác định đoạn [ a; b ] gọi liên tục đoạn nếu f ( x) = f (a) , liên tục khoảng ( a; b ) xlim →a + lim f ( x) = f (b) x →b − Ví dụ 1.8 Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = − x đoạn [ −1;1] 47 f '( x) = x3 − ( a + b + c + d ) x + ( ad + ac + ad + bc + bd + cd ) x − ( abc + abd + acd + bcd ) (2.32) Áp dụng định lý Rolle cho hàm số f ( x) các khoảng ( a ; b ) , ( b ; c ) , ( c ; d ) tồn x1 ∈ ( a ; b ) , x2 ∈ ( b ; c ) , x3 ∈ ( c ; d ) cho f '( x1 ) = f '( x2 ) = f '( x3 ) = Chú ý f '( x) một hàm bậc ba của x có hệ số của số hạng có bậc cao nhất nên suy f ' ( x ) = ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) = x3 − ( x1 + x2 + x3 ) x + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 ) x − x1 x2 x3 ( 2.33) Từ (2.32) (2.33) ta thu x1 x2 x3 = ( abc + abd + acd + bcd ) x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 = ( ad + ac + ad + bc + bd + cd ) ( 2.33) ( 2.34 ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số x1 x2 > , x2 x3 > , x3 x1 > 0, ta có ( x1x2 x3 ) ≤ x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 (2.35) Thay (2.33)và (2.34) vào (2.35) ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu "=" xảy a = b = c = d 2.4 Khảo sát tính đồng biến nghịch biến, tính lồi lõm của hàm khả vi cấp 2.4.1 Khảo sát tính đồng biến nghịch biến Định lý 2.3 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng (a;b) i) Nếu f '( x) > với x thuộc khoảng (a ; b) hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ii) Nếu f '( x) < với x thuộc khoảng (a ; b) hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng Chứng minh Giả sử x1; x2 ( x1 < x2 ) hai điểm thuộc khoảng (a ; b) Vì f ( x ) có đạo hàm khoảng (a;b) nên f ( x ) liên tục ( x1; x2 ) có đạo hàm 48 khoảng ( x1; x2 ) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số y = f ( x ) ( x1; x2 ) ∃c ∈ ( x1; x2 ) cho f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ' ( c ) ( x2 − x1 ) i) Nếu f '( x) > khoảng (a ; b) f '(c) > , mặt khác x2 − x1 > nên f ( x2 ) − f ( x1 ) > hay f ( x2 ) > f ( x1 ) suy hàm f ( x) đồng biến khoảng (a ; b) i i ) Nếu f '( x) < khoảng (a ; b) f '(c) < , mặt khác x2 − x1 > nên f ( x2 ) − f ( x1 ) < hay f ( x2 ) > f ( x1 ) suy hàm f ( x) nghịch biến khoảng (a ; b) Định lý 2.4 Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng (a ; b) Nếu f ' ( x ) > ( hoặc f ' ( x ) < ) đẳng thức xảy một số hữu hạn điểm khoảng (a ; b) f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến khoảng đó) Chứng minh Thật vậy, để đơn giản cách lập luận, giả sử f ' ( x ) > (a ; b) f ' ( x ) = x1 ∈ ( a; b ) f ( x ) đồng biến khoảng (a,x1) ( x1; b) liên tục (a, x1 ] [ x1; b ) nên cũng đồng biến ( a; x1 ] [ x1; b ) Từ suy đồng biến khoảng (a ; b) Ví dụ 2.36 Khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) = x3 + x + Lời giải Hàm số cho xác định R Ta có f ' ( x ) = x + x = x( x + 1) x = x > f '( x) = ⇔  f '( x) > ⇔   x = −1  x < −1 Vậy theo định lý f ( x ) đồng biến khoảng ( 0;+ ∞ ) ( −∞ ; − 1) , nghịch biến khoảng ( −1;0 ) 49 Ví dụ 2.37 Khảo sát biến thiên của hàm số y = x − 2x + x − Lời giải Hàm số cho xác định R Ta có f ' ( x ) = x − x + = ( x − 1) f '( x ) = ⇔ x = 1 f ' ( x ) > với x ≠ 2 1  Theo định lý 2.4, hàm số cho đồng biến nửa khoảng  −∞ ;  2  1   ; + ∞ ÷ Từ suy hàm số đồng biến R 2.4.2 Khảo sát tính lồi lõm của hàm khả vi cấp hai Định nghĩa 2.1 i) Hàm số f ( x ) gọi hàm lồi tập I (a; b) ⊂ ¡ nếu với x1 , x2 ∈ I (a; b) với cặp số dương α , β có tổng α + β = , ta đều có f ( α x1 + β x2 ) ≤ α f ( x1 ) + β f ( x2 ) ( 2.36 ) Nếu đẳng thức (2.36) xảy x1 = x2 ta nói f ( x ) hàm lồi thực (chặt) I (a; b) ii) Hàm số f ( x ) gọi hàm lõm tập I (a; b) ⊂ ¡ nếu với x1 , x2 ∈ I (a; b) với cặp số dương α , β có tổng α + β = , ta đều có f ( α x1 + β x2 ) ≥ α f ( x1 ) + β f ( x2 ) ( 2.37 ) Nếu đẳng thức (2.37) xảy x1 = x2 ta nói f ( x ) hàm lõm thực (chặt) I (a; b) Nhận xét 2.6 Khi x1 < x2 x = α x1 + β x2 cặp số dương α , β có tổng α + β = đều thuộc ( x1 , x2 ) α= x2 − x ; x2 − x1 β= x1 − x x2 − x1 50 Định lý 2.5 Nếu f ( x ) hàm số khả vi I (a; b) f ( x ) hàm lồi I (a; b) f ' ( x ) hàm đơn điệu tăng I (a; b) Chứng minh Giả sử f ( x ) hàm lồi I (a; b) Với x1 < x < x2 ( x, x1 , x2 ∈ I (a; b) ) , ta có x2 − x x − x1 x2 − x x − x1 > 0; > + =1 x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 Vì thế f ( x) ≤ ⇔ x2 − x x − x1 f ( x1 ) + f ( x2 ) x2 − x1 x2 − x1 f ( x ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x ) ≤ x − x1 x2 − x ( 2.38) Trong (2.38) cho x → x1 , ta f ' ( x1 ) ≤ f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 ( 2.39 ) Tương tự, (2.39) cho x → x2 , ta f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ f ' ( x2 ) x2 − x1 ( 2.40 ) Từ (2.39) (2.40), ta nhận f ' ( x1 ) ≤ f ' ( x2 ) tức hàm số f ' ( x ) đơn điệu tăng Ngược lại giả sử hàm số f '( x ) đơn điệu tăng x1 < x < x2 , ( x, x1, x2 ∈ I (a; b) ) Theo định lý Lagrange, tồn x3 , x4 với x3 ∈ ( x1; x ) ; x4 ∈ ( x; x2 ) cho f ( x ) − f ( x1 ) = f ' ( x3 ) x − x1 f ( x2 ) − f ( x ) = f ' ( x4 ) x2 − x Do f ' ( x3 ) ≤ f ' ( x4 ) nên f ( x ) − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x ) ≤ hay ta có x − x1 x2 − x 51 f ( x) ≤ x2 − x x − x1 f ( x1 ) + f ( x2 ) x2 − x1 x2 − x1 Tức f ( x ) hàm lồi I (a; b) Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 2.6 Nếu f ( x ) hàm số khả bậc hai I (a; b) f ( x ) hàm lồi (lõm) I (a; b) f '' ( x ) ≥ ( f '' ( x ) ≤ ) I (a; b) Chứng minh Giả sử f ( x ) hàm lồi (lõm) I (a; b) Khi theo định lý 2.5 ta có f ' ( x ) hàm đơn điệu tăng (giảm) I (a; b) Suy f '' ( x ) ≥ ( f '' ( x ) ≤ ) Ngược lại, giả sử f '' ( x ) ≥ ( f '' ( x ) ≤ ) ta có f ' ( x ) hàm đơn điệu tăng (giảm) I (a; b) Theo định lý 2.5 f ( x ) hàm lồi (lõm) I ( a; b ) Hệ 2.1 Nếu hàm số y = f ( x ) hàm số lồi hoặc lõm I (a; b) phương trình f ( x ) = có không quá hai nghiệm thuộc I (a; b) Chứng minh Thật vậy, giả sử hàm số y = f ( x ) hàm số lồi hoặc lõm I (a; b) , tức f '' ( x ) ≥ hoặc f '' ( x ) ≤ I (a; b) Khi hàm số f ' ( x ) đồng biến hoặc nghịch biến I (a; b) , nên phương trình f ' ( x ) = có không quá một nghiệm khoảng I (a; b) Do theo hệ 1.2 phương trình f ( x ) = có không quá hai nghiệm thuộc khoảng Ví dụ 2.38 Giải phương trình x=2 x −1 Lời giải Viết lại phương trình dạng x −1 − x = 52 Xét hàm số f ( x ) = x −1 − x Rõ ràng f ( x ) liên tục ¡ , ta có 2 x ln x 3−1 f ( x) = − 2 2ln x 3−1 x ln 2 x 3−1 f "( x ) = + > 0, ∀x ∈ ¡ Suy hàm số lồi ¡ , thế theo hệ 2.1, phương trình cho nếu có nghiệm có không quá nghiệm Dễ thấy f ( 1) = f ( ) = Do phương trình cho có nghiệm x = x = 53 CHƯƠNG BÀI TẬP 3.1 Bài tập có lời giải Bài 3.1.1 Chứng minh nếu phương trình an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = thỏa mãn hệ thức an a a + n−1 + + + a0 = phương trình có nghiệm khoảng (0;1) n +1 n Lời giải n n −1 Xét hàm số f ( x ) = an x + an−1 x + + a1x + a0 Gọi F ( x) một nguyên hàm của hàm f ( x) Ta có F ( x) = Và F (0) = ; F (1) = an n +1 an−1 n a x + x + + x + a0 = n +1 n an a a + n−1 + + + a0 = n +1 n Áp dụng định lý 2.1 phương trình f ( x) = có nghiệm đoạn [ 0;1] Vậy ta có điều phải chứng minh cos x Bài 3.1.2 Giải phương trình: (1 + cos x)(2 + ) = 3.4cos x ( 3.1) Lời giải Đặt t = cos x, (t ∈ [-1;1]) (3.1) ⇔ (1 + t )(2 + 4t ) = 3.4t ⇔ (1 + t )(2 + 4t ) − 3.4t = Xét hàm số: f (t ) = (1 + t )(2 + 4t ) − 3.4t ⇒ f '(t ) = + 4t + (t − 2)4t ln 4, f ''(t ) = 2.4t ln + (t − 2)4t ln Ta có: f ''(t ) = ⇔ t = + ⇒ f ''(t ) có một nghiệm nhất ln ⇒ f '(t ) có nhiều nhất hai nghiệm ⇒ f (t ) có nhiều nhất ba nghiệm 1 Mặt khác dễ thấy f (0) = f ( ) = f (1) = , f (t ) có ba nghiệm t = 0, ,1 2 54 Nghiệm của phương trình (3.1) x = π π + k 2π , x = ± + k 2π , x = k 2π , k ∈ ¢ Bài 3.1.3 Chứng minh phương trình 3x + x − x ( ln + ln − ln 5) tan x + cos2 x = x x x có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Lời giải Xét hàm số f ( x ) 3x + x − x = ( ln + ln − ln ) tan x + cos x x x x Rõ ràng f ( x ) liên tục [0;1] có một nguyên hàm F ( x ) = ( 3x + x − x ) tan x Dễ thấy F(0) = F(1) = Theo định lý 2.1 phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng (0;1) Suy điều phải chứng minh Bài 3.1.4 Cho các số thực a1, a2, , an Chứng minh phương trình a1cosx + a2cos x + + ancosnx = có nghiệm Lời giải 1 Xét hàm số f ( x ) = a1sin x + a2 sin x + + an sinnx n Rõ ràng f ( x ) liên tục ¡ ta có: f ' ( x ) = a1cosx + a2cos x + + ancosnx Dễ thấy f ( ) = f (2π ) = Theo định lý Rolle, ∃x0 ∈ (0;2π) cho f ' ( x0 ) = Tức x0 nghiệm của phương trình a1cosx + a2cos x + + ancosnx = Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 3.1.5 Giả sử a b + + c = Chứng minh phương trình a 22 x + b x + c = có nghiệm Lời giải Đặt t = x , t > 55 a b Xét hàm số f (t ) = t + t + ct Dễ thấy f (t ) hàm liên tục khả vi f (1) = ( 0;+∞ ) f ( ) = a b + + c = Khi theo định lý Rolle ∃t0 ∈ ( 0;1) cho f '(t0 ) = hay f '(t0 ) = at02 + bt0 + c = Theo cách đặt ta có 22 x + b2 x + c = có nghiệm Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 3.1.6 Cho hàm số f khả vi [ 0;1] thỏa mãn f ( ) = 0, f ( 1) = Chứng minh tồn hai số thực phân biệt a, b thuộc khoảng ( 0;1) cho f ' ( a ) f ' ( b ) = Lời giải Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − , rõ ràng g khả vi [0;1] Ta có g ( ) = −1 , g ( 1) = ⇒ g ( ) g ( 1) < nên ∃c ∈ (0;1) cho g(c) = Do f ( c) + c −1 = ⇔ f ( c) = 1− c Áp dụng định lý Lagrange cho hàm f ( x ) các đoạn [0;c] [c;1] f (c) − f (0) = f '(a ) c f (1) − f (c) ∃b ∈ (c;1) cho = f '(b) 1− c ∃a ∈ (0; c) cho Suy f ' ( a ) f ' ( b ) = f (c ) f (1) − f (c ) (1 − c)c = = c 1− c c (1 − c) Vậy, ∃ a,b ∈ (0;1) cho f ' ( a ) f ' ( b ) = Bài 3.1.7 Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm khoảng (0; +∞) hàm Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện < a < b Chứng minh phương trình x f ' ( x ) − f ( x ) = af (b) − bf (c) b−a 56 Có ít nhất nghiệm khoảng ( a; b ) Lời giải Xét hai hàm số g ( x ) = f ( x) h ( x ) = x x Do f ( x ) liên tục có đạo hàm (0; +∞) nên các hàm số g ( x ) h ( x ) khả vi khoảng (a;b) ta có g '( x) = x f '( x) − f ( x) , h '( x ) = − x x Theo định lý Cauchy, ∃x0 ∈ ( a; b ) cho  h ( b ) − h ( a )  g ' ( x0 ) =  g ( b ) − g ( a )  h ' ( x0 ) Nghĩa ta có  1  x0 f '( x0 ) − f ( x0 )  f (b) f (a )    = −  − ÷  − ÷  b a x b a      x0  ⇒ (a − b)[x0 f '( x0 ) − f ( x0 )] af (b) − bf (a) =− abx0 abx02 ⇒ (b − a )[x0 f '( x0 ) − f ( x0 )]=af (b) − bf (a ) ⇒ x0 f '( x0 ) − f ( x0 ) = af (b) − bf (a) b−a Như phương trình x f ' ( x ) − f ( x ) = af (b) − bf ( a ) có ít nhất nghiệm b−a khoảng ( a; b ) Bài 3.1.8 Giải phương trình x + 12 x = x + 11x (3.1) Lời giải Viết lại phương trình cho dạng 12 x − 11x = x − x Giả sử phương trình có nghiệm α, 12α - 11α = 6α - 5α (3.2) α Xét hàm số f ( t ) = ( t + 1) − t α ( t > ) Rõ ràng f ( t ) liên tục có đạo hàm α −1 α −1 (0; +∞) , f ' ( t ) = α ( t + 1) − t  57 Mặt khác, từ (3.2) ta có f ( 11) = f ( ) Do theo định lý Rolle, ∃c ∈ ( 5;11) f '( c ) = cho ⇒ α ( c + 1)  α −1 − cα −1  =  α = α = ⇒ α = α −1 α −1   (c + 1) = c ⇒ Thử lại, ta thấy các giá trị α = 0, α = thỏa mãn phương trình (3.1) Vậy phương trình cho có nghiệm x = , x = Bài 3.1.9 Chứng minh bất đẳng thức sin x − sin y ≤ x − y Lời giải Xét hàm số f ( x ) = sin x Khi f ( x) hàm liên tục [ a, b ] , khả vi ( a, b ) Theo định lý Lagrange tồn ξ ∈ ( x, y ) cho f ( y ) − f ( x ) = f ' ( ξ ) ( y − x ) hay sin x − sin y = cos ξ ( x − y ) Suy | sin x − sin y |=| cos ξ ( x − y ) |≤ x − y cos ξ ≤ x − y Vậy ta có điều phải chứng minh 58 3.2 Bài tập lời giải Bài 3.2.1 Cho a + b – c = Chứng minh rằng: asinx + 9bsin3x + 25csin5 x = có ít nhất nghiệm thuộc [0; π] Bài 3.2.2 Chứng minh phương trình ( x − 1) lnx + xln x = 4a có ít nhất nghiệm phân biệt Bài 3.2.3 Cho n số nguyên dương; ak , bk ∈ R ( k = 1,2, , n ) Chứng minh n phương trình x + ∑ (ak sin kx + bk cos kx) = có nghiệm khoảng k =1 (−π ;π ) Bài 3.2.4 Cho α , β > 1, f khả vi [ 0;1] , f ( ) = f ( x ) > với x ∈ ( 0;1) Chứng minh tồn c ∈ ( 0;1) cho α f '( c ) f '( − c ) =β f ( c) f ( 1− c) Bài 3.2.5 Cho c1 , c2 , , c2003 các số thực thỏa mãn c1 − 3c3 + 5c5 − 7c7 + + 2001c2001 − 2003c2003 = Chứng minh phương trình c1 cos x + 2c2 cos x + + 2003c2003 cos 2003 x = có ít nhất nghiệm ( −π ;π ) Bài 3.2.6 Cho f hàm khả vi liên tục đến cấp hai [ a, b ] cho f ( a ) = f ( b ) = f ' ( a ) = f ' ( b ) Chứng minh tồn c ∈ ( a, b ) cho f "( c ) = f ( c ) Bài 3.2.7 Cho f hàm khả vi liên tục đến cấp hai [ a, b ] đoạn f có không ít ba không điểm khác Chứng minh tồn c ∈ ( a, b ) cho f "( c ) + f ( c ) = f ' ( c ) Bài 3.2.8 Chứng minh phương trình x + 40 x + 105 x + 100 x + 24 = có nghiệm phân biệt 59 Bài 3.2.9 Giải phương trình x + x = x + 3x Bài 3.2.10 Giải phương trình 3cos x − 2cos x = cos x Bài 3.2.11 Giải phương trình 2010cosx − 2009cosx = cosx x Bài 3.2.12 Giải phương trình − log ( x + 1) − = Bài 3.2.13 Giải phương trình x Bài 3.2.14 Giải phương trình x −x + 12 x +5 x −x = 2.7 x = 2.4 x −x Bài 3.2.15 Chứng minh với số thực a, b bất kỳ ta có | arctan b − arctan a | < | b − a | Bài 3.2.16 Chứng minh ln a < < , với a > a a −1 Bài 3.2.17 Chứng minh x < ln ( + x ) < x , với x > x +1 Bài 3.2.18 Chứng minh e x ≥ + x 60 KẾT LUẬN Khóa luận "Một số ứng dụng của định lý Rolle " nhằm giới thiệu một số ứng dụng của định lý Rolle một số định lý mở rộng của tập số thực, chủ yếu nghiên cứu một số dạng toán thường gặp chương trình phổ thông, đạt những kết chính sau: Phát biểu chứng minh định lý Rolle một số định lý mở rộng Sử dụng định lý Lagrange để chứng minh tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số liên tục một khoảng, chứng minh một số tính chất của hàm số lồi, lõm khả vi bậc hai Nêu ứng dụng của định lý Rolle các định lý mở rộng một số dạng toán giải phương trình, biện luận số nghiệm của phương trình, chứng minh tồn nghiệm của phương trình, chứng minh bất đẳng thức Bên cạnh khóa luận còn đưa các ví dụ minh họa các tập tiêu biểu Tôi nhận thấy ứng dụng của định lý Rolle một số định lý mở rộng các toán hình học, mở rộng của định lý Rolle tập số phức, rất phong phú mà khóa luận chưa đề cập đến vấn đề mà hy vọng thời gian tới tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu 61 Tài liệu tham khảo [1] Tô Văn Ban (2005) , Giải tích tập nâng cao, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Thừa Hợp (2002), Giải tích tập1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê (chủ biên), Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học tập 1, Nhà xuất Đại học sư phạm, Hà Nội [4] Nguyễn Xuân Liêm (2001), Giải tích toán học, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [5] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích (tập 1), Nhà Xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [6] Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, Đại số giải tích 10 nâng cao, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [7] Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông, Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [...]... − f (a) = 0 từ đó b−a suy ra điều phải chứng minh Nhận xét 1.4 Từ định lý Rolle ta có thể chứng minh định lý Lagrange hay định lý Lagrange là một hệ quả của định lý Rolle Thế nhưng chính định lý Rolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của định lý Lagrange, trường hợp f ( a ) = f ( b ) Ý nghĩa hình học Cho hàm số f : [ a; b ] → R liên tục trên [ a; b ] , khả vi trong ( a; b... , n + l Nhờ những hệ quả này mà định lý Rolle trở thành một công cụ rất mạnh để giải toán, đặc biệt là đối với dạng toán về giải phương trình và kiểm chứng số nghiệm của phương trình trong một khoảng nào đó Các ứng dụng này sẽ được trình bày chi tiết trong chương sau 1.6 Một số mở rộng của định lý Rolle Định lý 1.6 (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f : [ a; b ] → R có các tính... x0 Chú ý 1.2 i) Số ∆x = x − x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0 ; số ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x0 ii) Số ∆x không nhất thiết phải mang dấu dương iii) ∆x và ∆y là các kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: ∆x là tích của số ∆ với x , ∆y là tích của ∆ với y Ví dụ 1.12 Tính đạo hàm của hàm số y = 2 x + 1 tại... sao cho f ' ( c ) = 0 20 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ROLLE 2.1 Chứng minh sự tồn tại và biện luận số nghiệm của phương trình Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, ta có thể sử dụng các định lý sau Định lý 2.1 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trong đoạn đó Nếu tồn tại các số thực x1; x2 ∈ [ a; b ] với x1 < x2 sao cho F... (1.3) N h ận x é t 1.5 Định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchy với giả thiết g ( x) = x Định lý 1.8 (Định lý rolle trên khoảng vô hạn) Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; +∞ ) có đạo hàm trong khoảng ( a; +∞ ) f ( x) = f ( a) Khi đó ∃c ∈ ( a; +∞ ) sao cho f ' ( c ) = 0 và xlim →+∞ Chứng minh Nếu f ( x ) = f ( a ) với mọi x > a thì lấy c là một số bất kỳ lớn hơn a Giả... Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn Định lý 1.1 Nếu f và g là hai hàm số cùng xác định trên tập X ⊂ R và liên tục tại điểm x0 ∈ X thì α f + β g (với α và β là những hằng số) , f − g , f g đều là những hàm số liên tục tại x0 Nếu g ( x0 ) ≠ 0 thì f cũng là hàm g liên tục tại x0 Ví dụ 1.10 Cho hai hàm số f ( x) = 2 x 2 + 1 và g ( x) = x − 1 là hai hàm số xác định và liên... Định lý 2.2 Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [a;b] Nếu tồn tại các số thực x1; x2 ∈ [ a; b ] mà x2 ∫ f ( x ) dx = 0 thì phương trình f ( x) = 0 có nghiệm x1 trong đoạn [ x1; x2 ] Để giải quyết dạng toán này ta cần chọn hàm số thỏa mãn điều kiện của các định lý dựa trên giả thiết của bài toán Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này 21 Ví dụ 2.1 Cho f là một. .. Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng ( −∞;b] [ a; b ) , ( a; b] , [ a; +∞ ) và được định nghĩa tương tự như tính liên tục trên một đoạn ii) Hàm sơ cấp liên tục trên tập xác định của chúng ( tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng) Ví dụ 1.9 a) Các hàm y = sin x , y = cos x xác định và liên tục trên R 4 3 b) Hàm f ( x ) = x + 2 x + 1 xác định và liên tục... chặn nên có chứa một dãy con xnk k , xnk → x0 ∈ [ a; b ] f ( xn ) = lim f ( xnk ) = f ( x0 ) Khi đó, do f liên tục, ta có M = lim n→∞ k →∞ 1.4 Tính khả vi của hàm số Định nghĩa 1.8 Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a ; b ) và điểm x0 thuộc đoạn đó Giới hạn hữu hạn (nếu có ) của tỉ số f ( x) − f ( x0 ) khi x x − x0 dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm... quả của định lý Rolle là công cụ rất mạnh để giải toán Phương pháp để giải một số bài tập trong phần này như sau: +) Ta biến đổi phương trình cần giải về dạng f ( x) = 0 +) Xét hàm số y = f ( x) Tìm số nghiệm của phương trình f '( x) = 0 Giả sử phương trình f '( x) = 0 có n − 1 nghiệm, khi đó theo hệ quả 1.2 thì phương trình f ( x) = 0 có không quá n nghiệm +) Chỉ ra các nghiệm của