Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + mx − x + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến R b) đồng biến khoảng (1;3) Câu 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx + (1 − 2m ) x + Tìm m để hàm số cho a) đồng biến R b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x − 3x + m + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( −1;1) b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + x + ( m − 1) x + 4m Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1;1) Câu 5: [ĐVH] Cho hàm số y = − x − x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1; +∞ ) Câu 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( 2m − 1) x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( 0;1) Câu 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + ( 2m + 1) x + m Tìm m để hàm số cho đồng biến ( 0; ) Câu 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + m − Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( 0;3) b) nghịch biến ( −2; −1) LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP Câu 1: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + mx − x + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến R b) đồng biến khoảng (1;3) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải: Ta có y ' = − x + 2mx − a) Hàm số nghịch biến R ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Vậy với −2 ≤ m ≤ hàm số nghịch biến R b) Hàm số đồng biến khoảng (1;3) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) ⇔ − x + 2mx − ≥ 0, ∀x ∈ [1;3] (do y ' liên tục x = 1, x = ) x2 + = g ( x ) ( *) x (*) 2m ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [1;3] ⇔ 2m ≥ x =   x = −2 ( loai ) 13 Ta có: g (1) = 5, g ( ) = 4, g ( 3) = ⇒ max g ( x ) = ⇒ 2m ≥ ⇔ m ≥ Vậy với m ≥ hàm số đồng biến khoảng (1;3) Câu 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − mx + (1 − 2m ) x + Tìm m để hàm số cho a) đồng biến R b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) x2 − Ta có g ' ( x ) = ; g '( x) = ⇔ x2 Lời giải: Ta có y ' = x − 2mx − 2m + a) Hàm số đồng biến R ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ m2 + 2m − ≤ ⇔ −1 − ≤ m ≤ −1 + 2 Vậy với −1 − ≤ m ≤ −1 + hàm số đồng biến R b) Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ x − 2mx − 2m + ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) (do y ' liên tục x = ) x2 + ⇔ 2m ≤ = g ( x ) ( *) x +1 (*) 2m ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [1; +∞ ) Ta có: g ' ( x ) = x2 + x − ( x + 1) > 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇒ g ( x ) đồng biến ⇒ g ( x ) = g (1) = ⇒ 2m ≤ ⇔ m ≤ hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x − 3x + m + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( −1;1) Vậy với m ≤ b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) Ta có y ' = 3x + ( m + 1) x − Lời giải: a) Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1) Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ⇔ 3x + ( m + 1) x − ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] (do y ' liên tục x = −1, x = ) ⇔ ( m + 1) x ≤ − x • TH1: x ∈ ( 0;1] ⇒ ( m + 1) ≤ (1) − 3x = g ( x) x (1) ( m + 1) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ ( 0;1] 3x2 + < ⇒ g ( x ) nghịch biến Ta có: g ' ( x ) = − x2 ⇒ g ( x ) = g (1) = ⇒ ( m + 1) ≤ ⇔ m ≤ −1 − 3x = g ( x) x ( ) ( m + 1) ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [ −1;0 ) • TH2: x ∈ [ −1; ) ⇒ ( m + 1) ≥ ( 2) 3x2 + < ⇒ g ( x ) nghịch biến x2 ⇒ max g ( x ) = g ( −1) = ⇒ ( m + 1) ≥ ⇔ m ≥ −1 Ta có: g ' ( x ) = − Từ trường hợp ⇒ m = −1 Vậy với m = −1 hàm số nghịch biến ( −1;1) b) Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ 3x + ( m + 1) x − ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) (do y ' liên tục x = ) − 3x ( *) x (*) ( m + 1) ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ ( m + 1) ≥ 3x2 + < ⇒ g ( x ) nghịch biến x2 ⇒ max g ( x ) = g (1) = ⇒ ( m + 1) ≥ ⇔ m ≥ −1 Ta có: g ' ( x ) = − Vậy với m ≥ −1 hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + x + ( m − 1) x + 4m Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1;1) Lời giải: Ta có: y ' = x + x + m − Hàm số nghịch biến ( −1;1) y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ 3x + x + m − ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] (do y ' liên tục x = −1, x = ) ⇔ m ≤ −3 x − x + = g ( x ) (*) (*) m ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [ −1;1] Ta có: g ' ( x ) = −6 x − 6; g ' ( x ) = ⇔ x = −1 Ta có: g ( −1) = 4, g (1) = −8 ⇒ g ( x ) = −8 ⇒ m ≤ −8 Vậy với m ≤ −8 hàm số nghịch biến ( −1;1) Câu 5: [ĐVH] Cho hàm số y = − x − x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1; +∞ ) Lời giải: Ta có y ' = −3 x − x + m Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hàm số cho nghịch biến ( −1; +∞ ) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ −3 x − x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ m ≤ 3x + x, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) Xét hàm số f ( x ) = 3x + x với x ∈ ( −1; +∞ ) có f ' ( x ) = x +  f ' ( x ) = 6 x + =  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅   x ∈ ( −1; +∞ )  x ∈ ( −1; +∞ )  x ∈ ( −1; +∞ ) Lập bảng biến thiên hàm số ( −1; +∞ ) ta m ≤ f ( −1) = −3 Đ/s: m ≤ −3 Câu 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( 2m − 1) x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( 0;1) Lời giải: Ta có y ' = x + ( 2m − 1) x + m = x − x + m ( x + 1) Hàm số cho nghịch biến ( 0;1) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ x − x + m ( x + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ m ( x + 1) ≤ x − x ⇔ m ≤ Xét hàm số f ( x ) = 2x − x2 , ∀x ∈ ( 0;1) 4x + 2x − x2 −4 x − x + với x ∈ ( 0;1) có f ' ( x ) = 4x + ( x + 1)   x = −1   1  f ' ( x ) = −4 x − x + =  ⇔ ⇔ ⇔x=    x= 2  x ∈ ( 0;1)  x ∈ ( 0;1)   x ∈ ( 0;1) Lập bảng biến thiên hàm số ( 0;1) ta m ≤ f ( ) = Đ/s: m ≤ Câu 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + ( 2m + 1) x + m Tìm m để hàm số cho đồng biến ( 0; ) Lời giải: Ta có y ' = x + ( m + 1) x + 2m + = x + x + + 2m ( x + 1) = ( x + 1) + 2m ( x + 1) Hàm số cho đồng biến ( 0; ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ ( x + 1) + 2m ( x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ x + + 2m ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ x ≥ −2m − 1, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ x ∈ [ −2m − 1; +∞ ) , ∀x ∈ ( 0; ) Do YCBT ⇔ −2m − ≤ ⇔ −2m ≤ ⇔ m ≥ − Đ/s: m ≥ − Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Câu 8: [ĐVH] Cho hàm số y = Facebook: LyHung95 x − ( 2m + 1) x + m − Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( 0;3) b) nghịch biến ( −2; −1) Lời giải: a) Ta có y ' = x3 − ( 2m + 1) x = x ( x − 2m − 1) Hàm số cho nghịch biến ( 0;3) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ x ( x − 2m − 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ x − 2m − ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≥ Xét hàm số f ( x ) = x2 − , ∀x ∈ ( 0;3) x2 − với x ∈ ( 0;3) có f ' ( x ) = x > 0, ∀x ∈ ( 0;3) Lập bảng biến thiên hàm số ( 0;3) ta m ≥ f ( 3) = Đ/s: m ≥ b) Ta có y ' = x3 − ( 2m + 1) x = x ( x − 2m − 1) Hàm số cho nghịch biến ( −2; −1) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ( ) ⇔ x x − 2m − ≤ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ⇔ x − 2m − ≥ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ⇔ m ≤ Xét hàm số f ( x ) = x2 − , ∀x ∈ ( −2; −1) x2 − với x ∈ ( −2; −1) có f ' ( x ) = x < 0, ∀x ∈ ( −2; −1) Lập bảng biến thiên hàm số ( −2; −1) ta m ≤ f ( −1) = Đ/s: m ≤ Thầy Đặng Việt Hùng Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!