B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * NGUYN VN TH NGHIM PHN R THEO THI GIAN CA MT LP BAO HM THC VI PHN CP PHN S LUN VN THC S TON GII TCH H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * NGUYN VN TH NGHIM PHN R THEO THI GIAN CA MT LP BAO HM THC VI PHN CP PHN S Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON GII TCH Ngi hng dn khoa hc: PGS TS Trn ỡnh K H NI, 2015 LI CM N Em xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS Trn ỡnh K ó tn tỡnh hng dn em quỏ trỡnh thc hin lun ny Em xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng sau i hc, cựng ton th cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Toỏn Trng i Hc S Phm H Ni 2, ó ng viờn giỳp v to iu kin thun li em cú iu kin tt nht sut quỏ trỡnh hc tp, thc hin ti v nghiờn cu khoa hc Do thi gian v kin thc cú hn nờn lun khụng trỏnh nhng hn ch v thiu sút nht nh Em xin chõn thnh cm n ó nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn hc viờn H Ni, ngy 08 thỏng 07 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Vn Th LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca PGS.TS Trn ỡnh K, lun tt nghip Nghim phõn ró theo thi gian ca mt lp hm bao thc vi phõn cp phõn s c hon thnh bi s nhn thc ca chớnh bn thõn tỏc gi v khụng trựng vi bt k lun no khỏc Trong quỏ trỡnh lm lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, ngy 08 thỏng 07 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Vn Th Mc lc M u 1 Kin thc chun b 1.1 Gii tớch bc phõn s 1.2 o khụng compact v ỏnh x a tr nộn 4 Tớnh gii c trờn cỏc on compact 10 S tn ti nghim phõn ró 19 3.1 Nghim phõn ró 19 3.2 p dng 27 KT LUN 33 Ti liu tham kho 33 ii M u 1.Lý chn ti Chỳng ta nghiờn cu bi toỏn sau mt khụng gian Banach X D0 Bu(t) Au(t) + F (t, u(t)), t = tk , tk (0, +), k , (0.1) (0.2) u(tk ) = Ik (u(tk )), (0.3) u(0) = g(u), õy D0 , (0, 1), l o hm bc phõn s theo ngha Caputo, A v B l nhng toỏn t tuyn tớnh, úng v khụng b chn X , N, u(tk ) = u(t+ k )u(tk ) Cỏc hm F , g v Ik l cỏc hm cho trc Phng trỡnh kiu Sobolev cú th tỡm thy cỏc cụng trỡnh ca Barenblat v cỏc cng s [5], ú cỏc tỏc gi l nhng ngi u tiờn a mt mụ hỡnh dũng chy ca cht lng mụi trng ỏ nt, ú l phng trỡnh t (u x2 u) x2 u = Mụ hỡnh ny sau ú c phỏt trin v nghiờn cu cỏc bi bỏo [7, 26] ú cỏc tỏc gi ó xột phng trỡnh phi tuyn tru tng d Bu(t) Au(t) = f (t, u(t)) dt khụng gian Banach, vi A v B l cỏc toỏn t khụng b chn Gn õy, gii tớch bc phõn s tr thnh mt cụng c hu dng miờu t cỏc hin tng vt lớ khỏc nh dũng chy mụi trng r thng, cỏc dao ng v iu khin (xem, chng hn [17, 24, 27]), phng trỡnh vi phõn bc phõn s ó c xut thay th cho cỏc phng trỡnh vi phõn bc nguyờn cỏc mụ hỡnh ny Mt s lp phng trỡnh vi phõn bc phõn s kiu Sobolev ó thu hỳt nhiu nghiờn cu vi nm gn õy Cú th k n cỏc cụng trỡnh [3, 4, 15, 19, 25], ú mt s kt qu v s tn ti v iu khin c ó c thit lp Liờn quan ti h (0.1)-(0.3), ỏnh x phi tuyn a tr F hỡnh thnh t nhiu bi toỏn khỏc nhau, ú cú bi toỏn chớnh quy húa phng trỡnh vi phõn thng vi v phi khụng liờn tc ([16]), cỏc bt ng thc vi bin phõn ([29]), cỏc bi toỏn iu khin phn hi ([21]), iu kin xung (0.2) l mt hiu ng xut hin hm trng thỏi chu s thay i t ngt, hin tng ny thng xut hin sinh hc v k thut iu kin khụng cc b (0.3) ln u tiờn c nghiờn cu [10], cho phộp mụ t d kin u vo tt hn cỏc iu kin ban u so vi cỏc bi toỏn Cauchy c in Trong ng dng, iu kin khụng cc b thng cú cỏc dng sau m ci u(ti ), ci R, ti > 0, u(0) = u0 + i=1 u(0) = u0 + b b k(s)u(s)ds, b > 0, k l mt hm thc Mt quan trng liờn quan ti bi toỏn (0.1)-(0.3) l cõu hi v dỏng iu ca cỏc nghim thi gian t ln Chỳ ý rng lý thuyt hỳt ton cc (xem [11]) khụng th ỏp dng vi bi toỏn ny vỡ thiu tớnh cht na nhúm ca toỏn t nghim Ngoi ra, s dng hm Lyapunov phõn tớch s n nh ca cỏc nghim l khụng thc t nhng khú khn tớnh toỏn v c lng o hm bc phõn s, thm c trng hp hu hn chiu Bi nhng lớ trờn, kt qu v dỏng iu nghim vi cỏc phng trỡnh vi phõn bc phõn s thi gian ln ớt c bit n Trong mt s bi bỏo gn õy [12, 22, 23], cỏc tỏc gi ó nghiờn cu mt s mụ hỡnh phng trỡnh vi phõn bc phõn s na tuyn tớnh cỏc khụng gian Banach bao gm cỏc iu kin khụng cc b v cỏc hiu ng xung, ú s tn ti cỏc nghim phõn ró c chng minh bng cỏch s dng nguyờn lớ ỏnh x co Cỏch tip cn ny c gii thiu bi Burton v Furumochi [8, 9] nghiờn cu tớnh n nh cho cỏc bi toỏn phng trỡnh vi phõn thng v phng trỡnh vi phõn hm Tuy nhiờn, k thut dựng [12, 22, 23] khụng s dng c bi toỏn cỏc hm phi tuyn F, g v Ik khụng cú gi thit Lipschitz Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v lý thuyt bao hm thc vi phõn bc phõn s, tụi chn "Nghim phõn ró theo thi gian ca mt lp bao hm thc vi phõn cp phõn s" cho ti nghiờn cu ca lun Cỏc kt qu c trỡnh by da trờn cụng trỡnh (0.2) Trong lun ny, chỳng tụi chng minh bi toỏn (0.1)-(0.3) cú mt compact cỏc nghim phõn ró PC([0, +); X) lm c vic ú, chỳng tụi xõy dng mt o khụng compact chớnh quy (MNC), gi l trờn mt khụng gian úng ca PC([0, +); X), sau ú ch rng toỏn t nghim a tr liờn kt vi (0.1)-(0.3) l -nộn Lun c trỡnh by ba chng Chng bao gm cỏc kin thc chun b liờn quan n gii tớch bc phõn s v o khụng compact Chng trỡnh by tớnh gii c ca bi toỏn (0.1)-(0.3) trờn cỏc on compact Chng s chng minh s tn ti nghim phõn ró v trỡnh by mt vớ d ỏp dng 2.Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu tớnh gii c trờn on compact v s tn ti nghim phõn ró t ca h (0.1)-(0.3) Chng minh chi tit cỏc kt qu cỏc cụng trỡnh [18, 22] 3.Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu v o khụng compact; Tỡm hiu v gii tớch bc phõn s; Nghiờn cu tớnh gii c ca h trờn on compact; Nghiờn cu iu kin tn ti nghim phõn ró t ca h 4.i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờu cu: Bao hm thc vi phõn bc phõn s suy bin Phm vi nghiờn cu: iu kin tn ti nghim trờn on compact v iu kin tn ti nghim phõn ró 5.D kin úng gúp mi Chng minh chi tit cỏc kt qu cỏc cụng trỡnh [18, 22] 6.Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s phng phỏp v cụng c ca gii tớch bao gm: Gii tớch a tr, gii tớch bc phõn s, o khụng compact; Lý thuyt im bt ng cho ỏnh x nộn Chng Kin thc chun b 1.1 Gii tớch bc phõn s Cho L1 (0, T ; X) l khụng gian cỏc hm kh tớch trờn [0, T ], theo ngha Bochner nh ngha 1.1 Tớch phõn bc phõn s cp > ca hm s f L1 (0, T ; X) c nh ngha bi I0 f (t) = () t (t s)1 f (s)ds, ú l hm Gamma, vi iu kin tớch phõn hi t nh ngha 1.2 Cho hm f C N ([0, T ]; X), o hm Caputo bc phõn s cp (N 1, N ) c nh ngha D0 f (t) = (N ) t (t s)N f (N ) (s)ds Chỳ ý rng cú nhiu khỏi nim v o hm bc phõn s, ú nh ngha ca Riemann-Liouville v Caputo c s dng rng dói Nhiu bi toỏn ng dng, biu din bi phng trỡnh vi phõn bc phõn s, ũi hi cỏc iu kin u u(0), u (0), , v o hm Caputo bc phõn s tha cỏc iu kin xỏc nh Xột bi toỏn (1.1)-(1.3) D0 Bu(t) = Au(t) + f (t), t = tk , tk (0, +), k , (1.1) u(tk ) = Ik (u(tk )), (1.2) u(0) = g(u) (1.3) Gi thit rng D(B) D(A), B l song ỏnh v cú ỏnh x ngc b chn p dng bin i Laplace cho phng trỡnh (1.1), ta c BL[(ã) u ]() = AL[u]() + L[f ](), (1 ) D0 u = (ã) u , õy L l kớ hiu bin i Laplace ca hm nhn (1 ) giỏ tr vector Suy 1 etk Ik u(0)] = AL[u]() + L[f ]() B[L[u]() k Bi vy BL[u]() =1 ( I AB )1 Bu(0) + ( I AB )1 B etk Ik + ( I AB )1 L[f ](), (1.4) k vi I l toỏn t ng nht xỏc nh trờn X Cho {T (t)} l C0 - na nhúm sinh bi AB Th {T (t)} vo (1.4), ta c e s T (s)Bu(0)ds BL[u]() =1 + e s T (s)B e tk e s T (s)L[f ]()ds Ik ds + k Do ú B e s T (s)Bu(0)ds L[u]() = B e s T (s)B + etk Ik ds + k B e s T (s)L[f ]()ds (1.5) S dng lớ lun nh [15], ta thu c S (t tk )BIk (u(tk )) u(t) =S (t)Bg(u) + 0 tựy ý cho trc Khi ú tn ti T1 > cho u(t) , t > T1 (3.10) lk Bõy gi vi t > 0, lk < +, tn ti N0 N cho T gi thit k>N0 k ta cú z(t) S (t) Bg(u) S (t tk ) + BIk (u(tk )) k>N0 kN0 t (t s)1 P (t s) + S (t tk ) BIk (u(tk )) + f (s) ds S (t tk ) lk + S I (R) S (t) g (R) + I (R) kN0 lk k>N0 t (t s)1 P (t s) m(s) F ( u(s) )ds + = E1 (t) + E2 (t) + E3 (t), õy S = sup S (t) , v t0 E1 (t) = S (t) g (R), S (t tk ) lk + S I (R) E2 (t) = I (R) kN0 lk , k>N0 t (t s)1 P (t s) m(s) F ( u(s) )ds E3 (t) = Bi (A*) cú T2 > tha S (t) , P (t) , t > T2 , (3.11) E1 (t) g (R), t > T2 (3.12) nờn 22 Ngoi ra, lk + S I (R), t > T2 + tN0 E2 (t) (3.13) kN0 Xột E3 (t), vi t > T1 , ta cú t E3 (t) = t (t s)1 P (t s) m(s) F ( u(s) )ds + t t (t s)1 P (t s) m(s)ds F (R) t (t s)1 P (t s) m(s)ds + F ( ) t R [(1 )t]1 t P (t s) m(s)ds t (t s)1 P (t s) m(s)ds + t (3.10) v t > T1 Gi ta chn T3 > T1 cho R < , t > T3 , [(1 )t]1 t ú ta c E3 (t) ( + ) , (3.14) vi , c a bi (3.8)-(3.9) Kt hp (3.12)-(3.14) suy z(t) lk + S I (R) + + , g (R) + kN0 vi mi t > max{T2 + tN0 , T3 } Bt ng thc cui chng t z PC B c chng minh xong B 3.4 Cho (A*), (F*), (G*) v (I*) c tha Nu < + v max{, } < 1, ú , c a bi (3.8)-(3.9) v t àk S + sup = + k t>0 (t s)1 P (t s) k(s)ds, (3.15) thỡ F l nộn trờn PC Chng minh Bi cỏc gi thit v B 3.3, ta cú th xột toỏn t nghim F : PC P(PC ) Cho D PC l mt b chn Ly r > tha 23 u r, u D Ta cú T (D) b chn PC([0, T ]; X) Dựng cỏc lớ lun nh chng minh B 2.3, ta cú PC T (F(D)) lT ã PC (T (D)), õy t lT = (t s)1 P (t s) àk ST + sup + t(0,T ] tk (0,T ) k(s)ds , vi ã l -chun ca mt toỏn t tuyn tớnh b chn nh ngha bi (1.8) iu ny suy (F(D)) ã (D) (3.16) Ta cn c lng d (D) Vi mi z F(D), tn ti u D v f PFp (u) cho S (t tk )BIk (u(tk )) z(t) =S (t)Bg(u) + 0 cho vi mi z Fi (D), i {1, 2, 3}, z(t) < C vi t T , õy C = C(r) > 24 Cho z F1 (D), thỡ ta cú th ly u D cho z(t) = S (t)Bg(u) Ta cú z(t) S (t) g ( u ) S (t) g (r) Vỡ S (t) t + nờn t bt ng thc cui suy vi mi z F1 (D), z(t) < g (r) vi t T1 > i vi F2 (D), ta nhn thy rng vi z = F2 (u), u D z(t) S (t tk ) lk I ( u(tk ) ) 0 T1 + tN0 , z F2 (D) k Bõy gi vi z = F3 (u), u D, bi (F*) ta cú t (t s)1 P (t s) m(s) u(s) ds z(t) t r P (t s) m(s)ds [(1 )t]1 r < r, t T2 > 0, [(1 )t]1 ú c xỏc nh bi (3.8) Chỳng ta gii quyt vi d (F4 (D)) Ly z = F4 (u), u D, ta cú t (t s)1 P (t s) m(s) u(s) ds z(t) t t (t s)1 P (t s) m(s)ds sup u(s) st t sup u(s) sup sup u(s) , t > 0, st uD st 25 vi c a (3.9) Ly T (0, t], ta thy rng z(t) sup sup u(s) = dT (D), t T uD sT Bi vy sup sup z(t) dT (D), zF4 (D) tT v nh ngha ca d , ta c d (F4 (D)) d (D) (3.19) T (3.17)-(3.19) suy d (F(D)) d (D) Kt hp vi (3.16), ta dn ti (F(D)) = (F(D)) + d (F(D)) max{, } ( (D) + d (D)) = max{, } (D) B c chng minh xong Kt qu chớnh ca chỳng ta c th hin nh lớ sau nh lớ 3.5 Cho (A*), (F*), (G*) v (I*) c tha Khi ú bi toỏn (0.1)-(0.3) cú mt compact cỏc nghim phõn ró, vi cỏc iu kin l < + v max{ , } < 1, õy c nh ngha bi (3.8), c a (3.15) v = lim inf r r lk S g (r) + I (r) k t (t s)1 P (t s) m(s)ds + sup t>0 (3.20) Chng minh Bi (3.20), bng cỏc lớ lun tng t nh chng minh ca nh lớ 2.4 ta cú mt hỡnh cu úng BR = B(0, R) PC tha F(BR ) BR T gi tr i, ta xột F nh l mt ỏnh x a tr t BR v chớnh nú Chỳ ý rng iu kin < suy < Nờn bi B 3.4, F l -nộn Ta cũn phi ch rng F l mt ỏnh x a tr na liờn tc trờn Vit li F = F1 + F2 , vi F1 (u)(t) = S (t)Bg(u) + S (t tk )BIk (u(tk )), 0 zn (t) = Lớ lun nh chng minh ca B 2.2, ta c {T (zn )} l compact tng i vi mi T > 0, hay ({zn }) = sup PC ({T (zn )}) = T >0 Bõy gi s dng cỏc ỏnh giỏ d nh chng minh ca B 3.4, ta thu c d ({zn }) d ({un }) iu ny suy ({zn }) = ({zn }) + d ({zn }) ({un }) = nh tớnh compact ca {un } Vỡ th ({zn }) = v tớnh chớnh quy ca , ta c {zn } compact tng i nh lớ hon ton c chng minh 3.2 p dng Mc ny s trỡnh by ng dng kt qu lý thuyt thu c i vi mt h phng trỡnh vi phõn o hm riờng bc phõn s Cho RN l mt trn, b chn Chỳng ta xột bi toỏn sau t u(t, x) t x u(t, x) x u(t, x) = f (t, x), (3.21) f (t, x) co{f1 (t, u(t, x)), , fm (t, u(t, x))}, x , t > 0, t = tk , k N, (3.22) u(t, x) = 0, x , t > 0, (3.23) u(t+ k , x) = u(tk , x) + Hk (x, y)u(tk , y)dy, x , (3.24) G(s, x, y)u(s, y)dyds, x (3.25) b u(0, x) = v(x) + 27 h trờn, t , ( 12 , 1), l o hm Caputo bc phõn s theo bin t, x l toỏn t Laplace theo bin x, v m m ài fi : ài 0, co{f1 , , fm } = ài = i=1 i=1 t X = L2 (), A = (toỏn t Laplace) vi D(A) = H () H01 () Gi {n }n1 l cỏc giỏ tr riờng A vi cỏc vộc t riờng tng ng {en }n1 Khi ú ta bit rng < < < < n + n +, hn na Au = n u, en en , n=1 õy ã, ã l kớ hiu tớch vụ hng X Bõy gi xột B = I vi D(B) = D(A) Ta bit rng B c biu din nh sau Bu = (1 + n ) u, en en n=1 Do ú B 1 u, en en , + n u= n=1 n u, en en + n AB u = n=1 T ú suy na nhúm T (ã) sinh bi AB cú th c biu din n e 1+n t u, en en T (t)u = n=1 Hin nhiờn, T (t) et , t vi = > Nờn ta c cỏc toỏn t + nghim c trng S (ã), P (ã) l n nh tim cn v iu kin (A*) c tha Hn na, bi Mnh 3.2 S (t) B 1, CS t , P (t) B , CP t2 () c bit, S = supt0 S (t) B 28 vi mi t > (3.26) t F : R+ ì X P(X) l ỏnh x a tr nh ngha bi F (t, v)(x) = co{f1 (t, v(x)), , fm (t, v(x))} Ta gi s rng fi : R+ ì R R, i = 1, , m, l cỏc hm liờn tc tha |fi (t, z)| m(t)|z|, (t, z) R+ ì R, (3.27) õy m BC(R+ ; R+ ) l khụng gian cỏc hm liờn tc b chn trờn R+ , v tha I0 m BC(R+ ; R+ ), ngha l, I0 m(t) = O(1) t + (3.28) D dng nhn thy rng vi mi (t, v) R+ ì X , F (t, v) l mt úng, b chn ca khụng gian hu hn chiu Xm = span{f1 (t, v(ã)), , fm (t, v(ã))} Nờn F (t, v) l mt compact X , hay, F nhn giỏ tr compact Bi tớnh liờn lc ca fi , i = 1, , m, ta cú th kim tra c F (t, ã) l mt ỏnh x a tr na liờn tc trờn, ngha l, vi hi t v v X v vi > 0, F (t, ) F (t, v) + B(0, 1), n > N ( ), vi N ( ) N v B(0, 1) l hỡnh cu n v X Ta bit rng B l toỏn t compact, nờn iu kin (F*) c tha món, vỡ ta cú F (t, v) m(t) v , theo (3.27) Xột cỏc hm bc nhy Ik c nh ngha bi Ik (v)(x) = Hk (x, y)v(y)dy Gi s rng Hk : ì R, k = 1, 2, l cỏc hm o c tha Hk cựng vi x Hk thuc vo L2 ( ì ) nh ngha hk (x, y) = Hk (x, y) x Hk (x, y), thỡ BIk cú dng BIk (v)(x) = hk (x, y)v(y)dy, v nú l mt toỏn t Hilbert-Schmidt c bit, BIk l toỏn t compact Ta suy Ik tha iu kin (I)(2) vi àk = Thờm vo ú, ta cng cú th kim tra c Ik tha iu kin (I)(1) vi lk = hk L2 (ì) , I (r) = r, r 29 k=1 lk Vy (I*) c tha nu ta gi thit Vi hm khụng cc b, t < b G(s, x, y)w(s, y)dyds, w PC([0, +); X) g(w)(x) = v(x) + Chỳng ta a gi thit v H () v G : [0, b] ì ì R l mt hm o c vi G(t, ã, ã), x G(t, ã, ã) L2 ( ì ) t x, y) = (I x )G(s, x, y), G(s, ta cú b x, y)w(s, y)dyds G(s, Bg(w)(x) = v(x) v(x) + iu ny suy b Bg(w) v H2 ã, ã) G(s, + L2 (ì) w(s, ã) ds b v H2 ã, ã) G(s, + L2 (ì) ds w Nờn (G)(1) c tha vi b g (r) = v H2 ã, ã) G(s, + L2 (ì) ds r Vỡ toỏn t K nh ngha bi x, y)v(y)dy G(s, K(v)(x) = l mt toỏn t Hilbert-Schmidt vi mi s [0, b] c nh, ta thy rng vi mi b chn D PC([0, +); X), thỡ K(D(s)) l compact tng i X Bi vy Bg(D) c biu din b Bg(D) = Bv + K(D(s))ds cng l compact tng i, nh kt qu (xem Mnh 1.5) b (Bg(D)) (K(D(s)))ds = 0 Nờn (G)(2) c tha vi = 30 Bõy gi chỳng ta cn lm rừ cỏc iu kin ca nh lớ 3.5, hay l cỏc iu kin < +, < 1, < Theo cỏc cỏch t trờn (3.21)-(3.25), ta c t àk S + sup = + t>0 k (t s)1 P (t s) = 0, b ã, ã) G(s, = k(s)ds hk L2 (ì) ds + L2 (ì) S k=1 t (t s)1 P (t s) m(s)ds + sup t>0 t (t s)1 P (t s) m(s)ds Bi c lng ca P (3.26) ta t (t) = cú t B (t) () (t s)1 m(s)ds = B I0 m(t) = O(1) t +, (3.28) Vỡ th = sup (t) < + t>0 t Gi ta kim tra = sup t>0 t 0 P (t s) m(s)ds < + (ly = 21 ) t (t) = P (t s) m(s)ds, ta s ch lim (t) = Tht vy, bi c lng (3.26) t+ v m BC(R+ ; R+ ), (t) B ta c t CP (t s)2 m(s)ds B CP t t 2 m(s)ds B CP t + 31 t 2+1 m Ta a õy mt vớ d m tha (3.28) Cho m(t) = I0 m(t) = () t (t s)1 t = () () t = () (t s) t t t ds + + s t (t s)1 t ds + + s + t lim I0 m(t) ds + s t (t s)1 ds t t ds + 1+s (1 + ) + Vỡ th t+ ds + s 1 , t 0, thỡ + t t à + (1 )() (1 + ) Túm li, bi toỏn (3.21)-(3.25) cú mt compact cỏc nghim phõn ró nu b ã, ã) G(s, = L2 (ì) ds + hk k=1 32 L2 (ì) S + < KT LUN Lun trỡnh by nhng di õy liờn quan n mt lp bao hm thc vi phõn bc phõn s kiu Sobolev dng (0.1)-(0.3): Tớnh gii c ca h (0.1)-(0.3)trờn on compact S tn ti nghim phõn ró t ca h (0.1)-(0.3) ng dng kt qu lý thuyt thu c i vi mt h phng trỡnh vi phõn o hm riờng bc phõn s Ti liu tham kho [1] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992 [2] N.T Anh, T.D Ke, Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math Methods Appl Sci 38 (2015), 1601-1622 [3] K Balachandran, E.R Anandhi, J.P Dauer, Boundary controllability of Sobolev-type abstract nonlinear integrodifferential systems, J Math Anal Appl 277 (2003), 446-464 [4] K Balachandran, S Kiruthika, J.J Trujillo, On fractional impulsive equations of Sobolev type with nonlocal condition in Banach spaces, Comput Math Appl 62 (2011) 1157-1165 [5] G Barenblat, J Zheltor, I Kochiva, Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks, J Appl Math Mech 24 (1960), 1286-1303 [6] D Bothe, Multivalued perturbations of m-accretive differential inclusions, Israel J Math 108 (1998), 109-138 [7] H Brill, A semilinear Sobolev evolution equation in Banach space, J Differential Equations 24 (1977) 412-425 [8] T.A Burton, Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publications, New York, 2006 [9] T.A Burton, T Furumochi, Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations, Dyn Sys Appl 10 (2001), 89-116 34 [10] L Byszewski, Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J Math Anal Appl 162 (1991), 494-505 [11] A.N Carvalho, J.A Langa, J.C Robinson, Attractors for infinitedimensional non-autonomous dynamical systems Applied Mathematical Sciences, 182 Springer, New York, 2013 [12] N.M Chuong, T.D Ke, N.N Quan, Stability for a class of fractional partial integro-differential equations, J Integral Equations Appl 26 (2014), 145170 [13] J Diestel, W.M Ruess and W Schachermayer, Weak compactness in Ll (à, X), Proc Amer Math Soc 118 (1993), 447-453 [14] I Ekeland and R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1999 [15] M Feckan, J.R Wang and Y Zhou, Controllability of Fractional Functional Evolution Equations of Sobolev Type via Characteristic Solution Operators, J Optim Theory Appl 156 (2013), 79-95 [16] A F Filippov, Differential equations with discontinuous righthand sides Translated from the Russian Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1988 [17] R Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000 [18] L.V Hien, T.D Ke, C.T Kinh, Globally attracting solutions to fractional differential inclusions of Sobolev type, 2015, submitted [19] R.W Ibrahim, On the existence for diffeo-integral inclusion of Sobolev-type of fractional order with applications, ANZIAM J 52 (E) (2010) E1-E21 [20] S Ji, S Wen, Nonlocal Cauchy Problem for Impulsive Differential Equations in Banach Spaces, Int J Nonlinear Sci 10 (2010), 88-95 [21] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series 35 in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [22] T.D Ke, C.T Kinh, Generalized Cauchy problem involving a class of degenerate fractional differential equations Dyn Contin Discrete Impuls Syst Ser A Math Anal 21 (2014), 449-472 [23] T.D Ke, D Lan, Decay integral solutions for a class of impulsive fractional differential equations in Banach spaces, Fract Calc Appl Anal 17 (2014), 96-121 [24] A.A Kilbas, H.M Srivastava, J.J Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006 [25] F Li, J Liang, H.-K Xu, Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions, J Math Anal, Appl 391 (2012) 510-525 [26] J.H Lightbourne, S.M Rankin, A partial functional differential equation of Sobolev type, J Math Anal Appl 93 (1983), 328-337 [27] A Monje Concepciún, Chen YangQuan, M Vinagre Blas, Xue Dingyu, Feliu Vicente, Fractional-order systems and controls Fundamentals and applications, Advances in Industrial Control, Springer, London, 2010 [28] T.I Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J Control Optim 25 (5) (1987), 1173-1191 [29] J.-S Pang and D.E Stewart, Differential variational inequalities, Math Program Ser A 113 (2008), 345-424 [30] R.-N Wang, D.-H Chena, T.-J Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J Differential Equations 252 (2012), 202235 36 [...]... Mệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và Ω là một tập con khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử rằng G : Ω → P(X) là một ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi, compact yếu Khi đó G là nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu {xn } ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) suy ra yn y0 ∈ G(x0 ), theo một dãy con Chúng ta nhắc lại một số khái niệm của ánh xạ đa trị nén ([21]) Định nghĩa 1.5 Một ánh xạ đa trị... giá trị lồi, nên PFp cũng nhận giá trị lồi Điều này dẫn tới F cũng nhận giá trị lồi Mặt khác, u là một nghiệm tích phân của bài toán (0.1)-(0.3) nếu nó là một điểm bất động của toán tử nghiệm F Để ước lượng kết quả của sự tồn tại nghiệm, ta cần một số tính chất của PFp Bổ đề 2.1 Dưới các giả thiết của (F), ánh xạ đa trị PFp hoàn toàn được xác định và nửa liên tục trên yếu Chứng minh Trước tiên ta... t (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds + ΨF (n) sup t∈(0,T ] 0 Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối, ta suy ra mâu thuẫn Định lí hoàn toàn được chứng minh 18 Chương 3 Sự tồn tại nghiệm phân rã 3.1 Nghiệm phân rã Trong mục này, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân phân rã với bài toán (0.1)-(0.3) Ta xét không gian hàm PC 0 = {u ∈ PC([0, +∞); X) : lim u(t) = 0} t→∞ với chuẩn u ∞ = sup u(t) , t≥0 ở đây... chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.1)-(0.3), ta sẽ đưa ra các giả thiết sau: (A) AB −1 là toán tử sinh vi phân của một C0 nửa nhóm {T (t)}t≥0 nó liên tục theo chuẩn (F) F : [0, T ] × X → Kv (X) là một ánh xạ đa trị thỏa mãn: 10 1 Ánh xạ đa trị F (·, v) thừa nhận một hàm chọn với mỗi v ∈ X và ánh xạ đa trị F (t, ·) là nửa liên tục trên với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n; 2 Tồn tại các hàm m ∈ Lp (0, T ),... D} 0 8 Chúng ta phải sử dụng một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị Cho Y là một không gian metric Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ nhận giá trị đa trị (ánh xạ đa trị) F : Y → P(E) được gọi là: i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là một tập con đóng của Y với mỗi tập con đóng V ⊂ E ; ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là một tập con đóng của Y với mỗi tập con đóng yếu... u(t))} Xuất phát từ công thức (1.6), chúng ta đưa ra định nghĩa sau Định nghĩa 2.1 Một hàm u ∈ PC([0, T ]; X) được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán (0.1)-(0.3) trên đoạn [0, T ] nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm f ∈ PFp (u) thỏa mãn Sα (t − tk )BIk (u(tk )) u(t) = Sα (t)Bg(u) + 0