Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu,Thư viện tài liệu, tài liệu online, tài liệu trực tuyến, tài liệu hay, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, luận văn tốt nghiệp, đồ án tốt nghiệp, bài giảng, giáo án, luận văn, đồ án, giáo trình, chuyên đề, đề tài, Tài liệu miễn phí, Thư viện số, Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, ebook, báo cáo thực tập, Slide bài giảng, Tài liệu hay, Tài liệu online, Tài liệu học tập, Tài liệu chia sẽ, Download tài liệu, Tài liệu download
ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học Bài tập đại số áp dụng từ k60 (Kiểm tra kỳ chung toàn khóa: Tự luận, 60 phút, sau học tám tuần, hệ số 0,3, nội dung : Các chương 2) Chương I Tập hợp – Logic – Ánh xạ - Cấu trúc đại số - Số phức Bài Lập bảng giá trị chân lý biểu thức mệnh đề sau a) A B C C b) A B C B Bài Chứng minh mệnh đề sau : a) A A C C c) A A B B b) A B B C A C d) A B A C B C C Bài Chứng minh rằng: a) A B A B A B tương đương logic b) A B C A B C không tương đương logic c) A B A B tương đương logic Bài Cho A tập hợp tập số thực, cận x A kí hiệu Inf(A) = x xác định mệnh đề sau: “ Với x A có x x với x1 có tính chất x1 x với x A suy x1 x ” Hãy dùng kí hiệu để diễn tả mệnh đề mệnh đề phủ định Từ đưa cách chứng minh số Inf(A) Bài Giả sử f (x), g(x) hàm số xác định Kí hiệu A x f (x) 0 , B x g(x) 0 Xác định tập nghiệm phương trình: Bài Cho tập hợp b) f (x) g(x) a) f (x)g(x) A x x 4x , B x định tập hợp sau: A B C A B C Bài Cho A, B, C tập hợp bất kì, chứng minh: a) A B \ C A B \ A C b) A B \ A A B x , C x x 5x Xác ĐHBKHN Bài Cho hai ánh xạ Viện Toán ứng dụng Tin học g: 2x x 1 x2 f : \ 0 x x a) Ánh xạ đơn ánh, toàn ánh Tìm g( ) b) Xác định ánh xạ h g f Bài Chứng minh tính chất ảnh nghịch ảnh ánh xạ f: X Y a) f (A B) f (A) f (B); A, B X b) f (A B) f (A) f (B); A, B X Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không c) f 1 (A B) f 1 (A) f 1 (B); A, B Y d) f 1 (A B) f 1 (A) f 1 (B); A, B Y e) f 1 (A \ B) f 1 (A) \ f 1 (B); A, B Y f) Chứng minh f đơn ánh f (A B) f (A) f (B); A, B X Bài 10 Cho ánh xạ f : xác định f x x x 5, x , A x 3 x Xác định tập hợp f(A), f-1(A) Bài 11 Cho G f1 ,f ,f ,f , f ,f tập ánh xạ từ \ 0;1 \ 0;1 xác định sau: f1 (x) x;f (x) 1 x ; f3 (x) ;f (x) ;f (x) x;f (x) 1 x x x x 1 Chứng minh G với phép toán phép hợp thành tích ánh xạ lập thành nhóm không Abel Bài 12 Nêu rõ tập sau với phép toán thông thường lập thành vành, trường không? a) Tập số nguyên lẻ d) X a b a, b b) Tập số nguyên chẵn c) Tập số hữu tỉ e) Y a b a, b Bài 13 Viết số phức sau dạng tắc: a) (1 i 3)9 b) i c) (1 i)21 (1 i)13 d) (2 i 12)5 ( i)11 Bài 14 Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) z z b) z 2iz c) z 3iz ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học d) z 7z e) Bài 15 Chứng minh z (z i) 1 (z i)4 f) z ( i) i g) z (7 i)z 14 5i 1 2cos z n n 2cosn, n z z Bài 16 a) Tính tổng bậc n b) Tính tổng bậc n số phức z c) Cho k cos n 1 2k 2k i sin ; k 0,1, , (n 1) Tính tổng S k m n n k0 Bài 17 Cho phương trình m (x 1)9 x a) Tìm nghiệm phương trình b) Tính môđun nghiệm c) Tính tích nghiệm từ tính sin k 1 k Bài 18 Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) z 1024 z3 b) z z z Bài 19 Cho x, y, z số phức có môđun So sánh môđun số phức x + y + z xy + yz + zx Chương II Ma trận - Định thức - Hệ phương trình 3 1 1 Bài Cho ma trận A 1 , B 2 ,C 2 2 Tính ma trận : A+BC, AtB-C, A(BC), (A+3B)(B-C) Bài Tìm ma trận X thoả mãn: 2 0 1 2 a) 2X 3 5 ĐHBKHN 3 6 b) X 4 1 2 5 1 4 8 Viện Toán ứng dụng Tin học 1 2 3 Bài Cho ma trận A 4 1 hàm số f (x) 3x 2x Tính f(A) 5 3 a b) Cho A 0 a Tính A n 0 a cosa -sina Bài a) Cho A Tính A n sina cosa Bài Tìm tất ma trận vuông cấp thoả mãn: 0 0 a) X 0 0 1 b) X 0 a b Bài a) Chứng minh ma trận A thoả mãn phương trình sau: x (a d)x ad bc c d b) Chứng minh với A ma trận vuông cấp thoả mãn A k 0,(k 2) A Bài Không khai triển định thức mà dùng tính chất định thức để chứng minh: a1 b1x a1 b1x c1 a1 b1 c1 a) a b x a b x c 2x a a b3 x a b x c a3 b2 c2 b3 c3 a bc a a b) b ac b b c ab a a3 a a2 c) b b3 (a b c) b b c2 c c c3 c c2 Bài Tính định thức sau: a) A 1 1 1 1 7 a a b ab a b b) B b c bc b c c a ca a c2 c) C b a d c c d a b d b c d c b a ĐHBKHN 1 x2 d) D 3 Viện Toán ứng dụng Tin học 3 e) E x2 1 x 1 1 1 x 1 1 1 z 1 1 1 z Bài Chứng minh A ma trận phản xứng cấp n lẻ det(A)=0 Bài 10 Tìm hạng ma trận sau: 4 8 b) B 4 8 1 1 1 a) A 1 7 5 7 8 1 3 2 7 5 6 Bài 11 Biện luận theo a hạng ma trận sau: a 2 1 2 a) A 1 10 17 3 1 a b) B 1 1 1 1 1 1 1 a 1 2 1 Bài 12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 3 4 a) A 5 1 a 0 0 a c) C 0 a 0 0 4 5 b) B 3 1 5 1 Bài 13 Chứng minh ma trận A vuông cấp n thoả mãn a k A k a k 1A k 1 a1A a E 0, (a 0) A ma trận khả nghịch 1 1 12 10 T Bài 14 Cho A ; B ;C Tìm ma trận X thỏa mãn AX B C 16 1 Bài 15 Giải hệ phương trình sau: x1 2x x a) 2x1 x x x x x 1 3x1 5x 7x b) x1 2x 3x 2x x 5x 2 ĐHBKHN 3x1 5x 2x 4x c) 7x1 4x x 3x 5x 7x 4x 6x 3 3x1 x 3x 4x 2x x d) 2x1 x 4x 10x1 5x 6x 10 Viện Toán ứng dụng Tin học 2x1 3x 4x 3x x x e) 5x1 2x 5x x1 4x 3x Bài 16 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss 2x1 3x x x 3x x 2x 4x a) x1 x 3x 2x x1 2x 3x 5x 3x1 2x x x b) 3x1 2x x x x x 2x 5x 2x1 2x x x x x 2x x x 2x c) 4x 10x 5x 5x 7x 1 2x1 14x 7x 7x 11x 1 Bài 17 Giải biện luận hệ phương trình : ax1 x x x a) x1 ax x x a x x ax x a 2 (2 a)x1 x x b) x1 (2 a)x x x x (2 a)x x1 ax a x a c) ax1 -a x ax ax x a x Bài 18 Tìm đa thức bậc : p(x) ax bx cx d thoả mãn p(1) = 0; p(-1) = ; p(2) = 5; p(-2) = -15 a 1 1 Bài 19 Cho phương trình ma trận: 2a 1 X 4a a) Giải phương trình a = b) Tìm a để phương trình có vô số nghiệm x1 2x x mx x x 3x 2x k Bài 20 Cho hệ phương trình 2x x 3x (m 1)x 3 x1 x x 2mx a) Giải hệ phương trình m = 2, k = b) Tìm điều kiện để hệ có nghiệm b) Tìm điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học Chương III Không gian véc tơ Một vài ký hiệu thường gặp: n (x1 , x , , x n ) x i , i 1, n Pn x a a1x a n x n a i , i 0, n M mn = tập ma trận kích thước mxn Đặc biệt M n tập ma trận vuông cấp n Bài Tập V với phép toán có phải không gian véc tơ không? a) V (x, y, z) x, y, z với phép toán xác định sau (x, y, z) (x ', y ', z ') (x x ', y y ', z z ') k(x, y, z) ( k x, k y, k z) b) V x (x1 , x ) x1 0, x 0 với phép toán xác định sau: (x1 , x ) (y1 , y ) (x1 y1 , x y ) k(x1 , x ) (x1k , x k ) k số thực Bài Chứng minh tập hợp không gian véc tơ quen thuộc sau không gian véc tơ chúng: a) Tập E x1 , x , x 2x1 5x 3x 0 b) Tập đa thức có hệ số bậc (hệ số x )của KGVT Pn[x] c) Tập ma trận tam giác tập ma trận vuông cấp n d) Tập ma trận đối xứng tập ma trận vuông cấp n e) Tập ma trận phản xứng tập ma trận vuông cấp n ( a ij a ji ) f) Tập hàm khả vi không gian hàm số xác định [a,b] Bài Cho V1 , V2 hai không gian véc tơ KGVT V Chứng minh: a) V1 V2 KGVT V b) Cho V1 V2 : u1 u u1 V1 , u V2 Chứng minh V1 V2 KGVT V Bài Cho V1 , V2 hai không gian véc tơ KGVT V Ta nói V1 , V2 bù V1 V2 V, V1 V2 Chứng minh V1 , V2 bù véc tơ u V có biểu diễn dạng u u1 u , (u1 V1 , u V2 ) ĐHBKHN Bài Cho V KGVT hàm số xác định [a,b] Đặt V1 f (x) V f (x) f ( x), x a, b Viện Toán ứng dụng Tin học ; V2 f (x) V f (x) f ( x), x a, b Chứng minh V1 , V2 bù Bài Cho V1 , V2 hai không gian véc tơ KGVT V, v1 , v2 ,, v m hệ sinh V1 , u1 , u , , u n hệ sinh V2 Chứng minh v1 , , vm , u1 , u , , u n hệ sinh V1 V2 Bài Trong KGVT V, cho hệ véctơ u1 , u , , u n , u n 1 phụ thuộc tuyến tính u1 , u , , u n hệ độc lập tuyến tính Chứng minh u n 1 tổ hợp tuyến tính véc tơ u1 , u ,, u n Bài Trong 3 xét xem hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) v1 (1; 2;3), v (3;6;7) b) v1 4; 2;6 , v ( 6;3; 9) c) v1 (2;3; 1), v (3; 1;5), v3 1;3; 4 Bài Trong , chứng minh v1 (1;1;1), v2 (1;1; 2), v3 1; 2;3 lập thành sở Xác định ma trận chuyển từ sở tắc sang sở tìm toạ độ x (6;9;14) sở theo hai cách trực tiếp dùng công thức đổi tọa độ Bài 10 Trong trường hợp sau, chứng minh B v1 , v , v3 sở tìm vB biết rằng: a) v1 (2;1;1), v2 (6; 2;0), v3 (7; 0; 7), v 15;3;1 b) v1 (0;1;1), v (2;3;0), v3 1;0;1 , v (2;3;0) Bài 11 Tìm sở số chiều KGVT sinh hệ véc tơ sau: a) v1 (2;1;3; 4), v (1; 2;0;1), v ( 1;1; 3;0) b) v1 (2;0;1;3; 1), v (1;1;0; 1;1), v (0; 2;1;5; 3), v (1; 3; 2;9; 5) Bài 12 Trong cho véc tơ : v1 (1;0;1; 0), v (0;1; 1;1), v3 (1;1;1; 2), v (0;0;1;1) Đặt V1 span{v1 , v }, V2 span{v , v } Tìm sở số chiều KGVT V1 V2 , V1 V2 Bài 13 Trong P3 x cho véc tơ v1 1, v x, v3 x x , v x x a) Chứng minh B v1 , v , v3 , v sở P3 x b) Tìm toạ độ véc tơ v 3x x 2x sở ĐHBKHN c) Tìm toạ độ véc tơ v a a 1x a x a x sở Viện Toán ứng dụng Tin học Bài 14 Cho KGVT P3 x với sở tắc E 1, x, x , x cở sở B 1, a x, (a x) , (a x)3 Tìm ma trận chuyển sở từ E sang B ngược lại từ B sang E Từ tìm tọa độ véc tơ v 2x x 3x sở B Bài 15 Cho KGVT P3 x hệ véc tơ v1 x x , v x x 2x , v1 x 3x , v 1 x x 2x a) Tìm hạng hệ véc tơ b) Tìm sở không gian span{v1 , v2 , v3 , v4 } Bài 16 Tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình sau: x1 x 2x 2x x x 2x 3x x 5x a) 2x1 x x x 3x 3x1 x 2x x x 2x1 x 3x 2x 4x b) 4x1 2x 5x x 7x 2x x x 8x 2x Bài 17 Cho A,B không gian hữu hạn chiều Chứng minh dim(A B) dim(A) dim(B) dim(A B) Chương IV Ánh xạ tuyến tính Bài Cho ánh xạ f : xác định công thức f (x1 , x , x ) (3x1 x x , 2x1 x ) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f cặp sở tắc c) Tìm sở kerf Bài Cho ánh xạ f : xác định công thức f (x1 , x , x ) (x1 x , x x , x x1 , x1 x x ) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f cặp sở tắc Bài Cho ánh xạ đạo hàm D : Pn x Pn x xác định D(a a 1x a x a n x n ) a1 2a x na n x n 1 a) Chứng minh D ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận D sở tắc E 1, x, x , , x n c) Xác định kerf imf Bài Cho ánh xạ f : P2 x P4 x xác định sau: f (p) p x p, p P2 x ĐHBKHN a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Viện Toán ứng dụng Tin học b) Tìm ma trận f cặp sở tắc E1 1, x, x P2 x E 1, x, x , x , x P4 x c) Tìm ma trận f cặp sở E1 ' 1 x, 2x,1 x P2 x E 1, x, x , x , x P4 x Bài Xét giống tập véc tơ thông thường mặt phẳng có gốc gốc tọa độ Cho f phép quay góc Tìm ma trận f sở tắc a b a b b c Bài Cho ánh xạ f : M M xác định sau: f c d c d d a a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 1 0 1 0 0 0 b) Tìm ma trận f sở tắc e1 , e2 , e3 ,e4 M 0 0 0 0 1 0 1 1 Bài Cho A ma trận axtt f : P2 x P2 x sở B v1 , v , v3 đó: 2 v1 3x 3x , v 1 3x 2x , v 7x 2x a) Tìm f (v1 ),f (v ), f (v ) b) Tìm f (1 x ) Bài Cho ánh xạ f : xác định f x1 , x , x3 (x1 x x , x1 x x , x1 x x ) Tìm ma trận f sở B v1 (1;0;0), v2 (1;1;0), v3 (1;1;1) Bài Cho V KGVT V* Hom(V, R) ={f: V R, f ánh xạ tuyến tính} 1 Giả sử V có sở {e1,e2, ,e n} Xét tập hợp {f1,f2, ,fn} V* fi (e j ) 0 i j i j Chứng minh {f1,f2, ,fn} sở V*, gọi sở đối ngẫu ứng với {e1,e2, ,en} Bài 10 Cho A ma trận vuông cấp n Ta xác định ánh xạ f A : M n M n sau f A (X) AX a) Chứng minh f A biến đổi tuyến tính b) Giả sử det(A) Chứng minh f A đẳng cấu tuyến tính 10 ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học a b c) Cho A Tìm ma trận f A sở tắc M c d 1 0 1 0 0 0 E1 , E2 , E3 , E3 0 0 0 0 1 0 3 2 Bài 11 Cho ma trận A ma trận ánh xạ tuyến tính f : 3 cặp sở 3 1 B v1 , v2 , v3 , v4 B ' u1 , u , u 3 : v1 (0;1;1;1), v (2;1; 1; 1), v3 (1; 4; 1; 2), v (6;9; 4; 2) u1 (0;8;8), u ( 7;8;1), u ( 6;9;1) a) Tìm f (v1 )B' , f (v2 ) B' , f (v3 ) B' , f (v ) B' b) Tìm f (v1 ), f (v ), f (v3 ),f (v ) c) Tìm f (2; 2; 0; 0) Bài 12 Cho toán tử tuyến tính [ ] xác định bởi: (1 + ) = −19 + 12 + Tìm ma trận ; (2 + ) = −14 + + sở tắc [ ] tìm ; ( )=4−2 −2 ( ) Bài 13 Cho V,V' KGVT n chiều f : V V ' ánh xạ tuyến tính Chứng minh khẳng định sau tương đương: a) f đơn ánh b) f toàn ánh c) f song ánh Bài 14 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận: 3 a) A 8 1 10 9 b) B 2 0 d) D 4 2 5 e) E 7 9 1 c) C 3 1 2 1 0 f) F 0 1 Bài 15 Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 x P2 x xác định sau: f (a a 1x a x ) (5a 6a1 2a ) (a1 8a )x (a 2a )x a) Tìm giá trị riêng f 11 0 0 0 0 0 0 0 1 ĐHBKHN b) Tìm véc tơ riêng ứng với giá trị riêng tìm Bài 16 Tìm ma trận P làm chéo hóa A xác định P-1AP với: 14 12 a) A 20 17 1 b) B 6 1 Viện Toán ứng dụng Tin học 1 0 2 c) C 0 1 d) D 0 1 0 Bài 17 Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có , tìm ma trận cheo đó: 1 2 a) A 3 3 5 0 b) B 1 0 0 0 c) C 0 0 3 Bài 18 Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định sau: f (x1 , x , x ) (2x1 x x , x1 x , x1 x 2x ) Hãy tìm sở để f có dạng chéo Bài 19 Tìm cở sở để ma trận f : có dạng chéo f (x1 , x , x ) (2x1 x x , x1 2x x , x1 x 2x ) Bài 20 Cho f : V V toán tử tuyến tính Giả sử f f f : V V có giá trị riêng Chứng minh giá trị giá trị riêng f Bài 21 Cho D : Pn x Pn x ánh xạ đạo hàm, g : Pn [x] Pn [x] xác định g(a a 1x a x a n x n ) (2x 3)(a1 2a x na n x n 1 ) Tìm giá trị riêng D g Bài 22 Cho A ma trận kích thước m n , B ma trận kích thước n p Chứng minh rank(AB) rank(A), rank(B) , với rank(A) = hạng ma trận A Chương V Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclide, đường mặt bậc hai Bài Cho f dạng song tuyến tính không gian véc tơ chiều V có ma trận sở ={ , , 1 1 1 A 2 2 Cho h : V V ánh xạ tuyến tính có ma trận sở B B 3 4 2 3 a) Xác định ( ; ); ( − + ,2 +3 − 12 ) } ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học b) Chứng minh ánh xạ g(u, v) f u, h(v) dạng song tuyến tính V Tìm ma trận sở B ( ), ( ) = (1) (2) Tìm ma trận biểu thức [ ] xác định Bài Cho dạng song tuyến tính sở tắc Bài Trên cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ: 1 (x1 , x , x ) x12 5x 2 4x 32 2x1x 4x1x 2 (x1 , x , x ) x1x 4x1x x x a) Bằng phương pháp Lagrange, đưa dạng toàn phương dạng tắc b) Xét xem dạng toàn phương xác định dương , âm không? Bài Xác định a để dạng toàn phương xác định dương: a) 5x12 x 2 ax 4x1x 2x1x 2x x b) 2x12 x 2 3x 2ax1x 2x1x c) x12 x 2 5x 32 2ax1x 2x1x 4x x Bài Cho dạng song tuyến tính ℝ xác định bởi: = , + + + −2 −2 +3 ( tham số) Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở tắc ℝ tìm điều kiện để dạng song tuyến tính tích vô hướng ℝ Bài Trong trang bị dạng song tuyến tính sau: 4 f (x, y) (x1 , x , x )A(y1 , y , y ) với: A 1 a t 1 x (x1 , x , x ), y (y1 , y , y ) Xác định a để 2a f(x,y) tích vô hướng Bài Cho V không gían Euclide Chứng minh: a) 2 uv uv 2 u v 2 b) u v u v u v , u, v V Bài Giả sử V KGVT n chiều với sở B e1 ,e , ,e n Với u, v véc tơ V ta có u a1e1 a e2 a n e n ; v b1e1 b e2 b n en Đặt u, v a1b1 a b a n b n a) Chứng minh u, v tích vô hướng V 13 ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học b) Áp dụng cho trường hợp V , với e1 1;0;1 , e2 1;1; 1 ,e3 0;1;1 , u 2; 1; 2 , v 2;0;5 Tính u, v c) Áp dụng cho trường hợp V P2 x , với B 1; x; x , u 3x , v 3x 3x Tính u, v d) Áp dụng cho trường hợp V P2 x , với B 1 x; 2x; x x , u 3x , v 3x 3x Tính u, v Bài Xét không gian P3 x Kiểm tra dạng p, q sau có phải tích vô hướng hay không? a) p, q p(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2) b) p, q p(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2) p(3)q(3) c) p, q p(x)q(x)dx 1 Trong trường hợp tích vô hướng tính p, q với p 3x 5x x q x 3x 2x Bài 10 Cho sở = {(1; 1; −2), (2; 0; 1), (1; 2; 3)} không gian ℝ với tích vô hướng tắc Trực giao hóa Gram-Schmidt sở sở để thu sở trực chuẩn tìm tọa độ véc tơ = (5; 8; 6) Bài 11 Tìm hình chiếu trực giao véc tơ u lên không gian sinh véc tơ v: a) u 1;3; 2; , v 2; 2; 4;5 b) u 4;1; 2;3; 3 , v 1; 2;5;1; Bài 12 Cho không gian ℝ với tích vô hướng tắc véc tơ (2; 5; 4) Đặt = { , = (3; −2; 1), } Xác định hình chiếu trực giao véc tơ = (2; 2; 1), lên không gian = Bài 13 Cho với tích vô hướng tắc Cho u1 6;3; 3;6 , u 5;1; 3;1 Tìm sở trực chuẩn không gian sinh bỡi u1 , u Bài 14 Trong P2 x định nghĩa tích vô hướng p, q p(x)q(x)dx với p,q P2 x 1 a) Trực chuẩn hoá Gram – Smit sở B 1; x; x để nhân sở trực chuẩn A b) Xác định ma trận chuyển sở từ B sang A 14 ĐHBKHN c) Tìm r A biết r 3x 3x Viện Toán ứng dụng Tin học Bài 15 Cho không gian Euclide V hữu hạn chiều, W không gian V u véctơ V Chứng minh: a) Tồn véc tơ u' W cho u u ' W b) Khi u u ' u w , w W Bài 16 Trong với tích vô hướng tắc cho véc tơ v1 1;1;0;0;0 , v2 0;1; 1; 2;1 , v3 2;3; 1; 2;1 Gọi V x x v i ,i 1; 2;3 a) Chứng minh V không gian véc tơ 5 b) Tìm dimV Bài 17 Cho V không gian Ơclit n chiều, V1 không gian m chiều V Gọi V2 x V x v, v V1 a) Chứng minh V2 không gian véc tơ V b) Chứng minh V1 V2 bù c) Tìm dimV2 Bài 18 Cho V không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần đủ để ánh xạ f : V tuyến tính tồn véc tơ a cố định V để f (x) a, x , x V Bài 19 Chéo hoá trực giao ma trận sau 1 0 a) A 0 1 0 1 7 24 b) B 24 1 2 c) C 1 d) D 2 0 Bài 20 Đưa dạng toàn phương dạng tắc phương pháp trực giao a) x12 x 2 x 32 2x1x b) 7x12 7x 2 48x1 x c) 2x12 2x 2 3x 32 2x1x 2x x Bài 21 Nhận dạng đường cong phẳng sau: a) 2x 4xy y b) x 2xy y 8x y c) 11x 24xy 4y 15 d) 2x 4xy 5y 24 15 ĐHBKHN Bài 22 Nhận dạng mặt bậc sau: Viện Toán ứng dụng Tin học a) x12 x 2 x 32 2x1x b) 5x y z 6xy 2xz 2xy c) 2x12 2x 2 3x 32 2x1x 2x x 16 Bài 23 Cho Q x1 , x , x 9x12 7x 2 11x 8x1x 8x1x a) Tìm b) Tìm Max x12 x 2 x 32 1 Max Q x1 , x , x , x12 x 2 x 32 16 Min x12 x 2 x 1 Q x1 , x , x , Min Q x1 , x , x Với giá trị Q x1 , x , x đạt max, x12 x 2 x 32 16 Q x1 , x , x Bài 24 Cho A, B ma trận vuông đối xứng cấp n có trị riêng dương Chứng minh A+B có trị riêng dương 16 [...]... ),f (v 4 ) c) Tìm f (2; 2; 0; 0) Bài 12 Cho toán tử tuyến tính trên [ ] xác định bởi: (1 + 2 ) = −19 + 12 + 2 Tìm ma trận của ; (2 + ) = −14 + 9 + đối với cơ sở chính tắc của [ ] và tìm ; ( )=4−2 −2 ( ) Bài 13 Cho V,V' là 2 KGVT n chiều và f : V V ' là ánh xạ tuyến tính Chứng minh các khẳng định sau tương đương: a) f là đơn ánh b) f là toàn ánh c) f là song ánh Bài 14 Tìm các giá trị riêng và cơ... Cho h : V V là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở B là B 3 4 2 3 4 5 1 2 3 a) Xác định ( ; ); ( − + ,2 +3 − 12 ) } ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học b) Chứng minh ánh xạ g(u, v) f u, h(v) là dạng song tuyến tính trên V Tìm ma trận của nó đối với cơ sở B của ( ), ( ) = (1) (2) Tìm ma trận và biểu thức [ ] xác định bởi Bài 2 Cho dạng song tuyến tính trên đối với... c) x12 x 2 2 5x 32 2ax1x 2 2x1x 3 4x 2 x 3 Bài 5 Cho dạng song tuyến tính trên ℝ xác định bởi: = 2 , + + + −2 −2 +3 ( là tham số) Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở chính tắc của ℝ và tìm điều kiện của để dạng song tuyến tính là một tích vô hướng trên ℝ Bài 6 Trong 3 trang bị một dạng song tuyến tính như sau: 4 2 f (x, y) (x1 , x 2 , x 3 )A(y1... cơ sở để f có dạng chéo Bài 19 Tìm cở sở của 3 để ma trận của f : 3 3 có dạng chéo trong đó f (x1 , x 2 , x 3 ) (2x1 x 2 x 3 , x1 2x 2 x 3 , x1 x 2 2x 3 ) Bài 20 Cho f : V V là toán tử tuyến tính Giả sử f 2 f f : V V có giá trị riêng 2 Chứng minh một trong 2 giá trị hoặc là giá trị riêng của f Bài 21 Cho D : Pn x Pn x là ánh xạ đạo hàm, còn g : Pn [x]... 17 1 0 b) B 6 1 Viện Toán ứng dụng và Tin học 1 0 0 2 1 2 c) C 0 1 1 d) D 0 3 1 0 1 1 0 0 3 Bài 17 Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có , tìm ma trận cheo đó: 1 4 2 a) A 3 4 0 3 1 3 5 0 0 b) B 1 5 0 0 1 5 0 0 0 c) C 0 0 0 3 0 1 Bài 18 Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác định như sau:... 5 b) Tìm dimV Bài 17 Cho V là không gian Ơclit n chiều, V1 là không gian con m chiều của V Gọi V2 x V x v, v V1 a) Chứng minh V2 là không gian véc tơ con của V b) Chứng minh V1 và V2 bù nhau c) Tìm dimV2 Bài 18 Cho V là không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần và đủ để ánh xạ f : V tuyến tính là tồn tại véc tơ a cố định của V để f (x) a, x , x V Bài 19 Chéo hoá trực...ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học a b c) Cho A Tìm ma trận của f A đối với cơ sở chính tắc của M 2 là c d 1 0 0 1 0 0 0 0 E1 , E2 , E3 , E3 0 0 0 0 1 0 0 1 3 2 1 0 Bài 11 Cho ma trận A 1 6 2 1 là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : 4 3 đối với cặp cơ sở 3 0 7 1 B v1 ,... c) C 5 3 3 1 0 2 1 0 f) F 0 1 Bài 15 Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 x P2 x xác định như sau: f (a 0 a 1x a 2 x 2 ) (5a 0 6a1 2a 2 ) (a1 8a 2 )x (a 0 2a 2 )x 2 a) Tìm giá trị riêng của f 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ĐHBKHN b) Tìm các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng tìm được Bài 16 Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P-1AP khi đó... 3)(a1 2a 2 x na n x n 1 ) Tìm các giá trị riêng của D và g Bài 22 Cho A là ma trận kích thước m n , B là ma trận kích thước n p Chứng minh rank(AB) min rank(A), rank(B) , với rank(A) = hạng của ma trận A Chương V Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclide, đường mặt bậc hai Bài 1 Cho f là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ 3 chiều V có ma trận đối với cơ sở ={... 1;0;1 , e2 1;1; 1 ,e3 0;1;1 , u 2; 1; 2 , v 2;0;5 Tính u, v c) Áp dụng cho trường hợp V P2 x , với B 1; x; x 2 , u 2 3x 2 , v 6 3x 3x 2 Tính u, v d) Áp dụng cho trường hợp V P2 x , với B 1 x; 2x; x x 2 , u 2 3x 2 , v 6 3x 3x 2 Tính u, v Bài 9 Xét không gian P3 x Kiểm tra các dạng p, q sau có phải là tích