Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu,Thư viện tài liệu, tài liệu online, tài liệu trực tuyến, tài liệu hay, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, luận văn tốt nghiệp, đồ án tốt nghiệp, bài giảng, giáo án, luận văn, đồ án, giáo trình, chuyên đề, đề tài, Tài liệu miễn phí, Thư viện số, Thư viện online, Thư viện chia sẻ sách, ebook, báo cáo thực tập, Slide bài giảng, Tài liệu hay, Tài liệu online, Tài liệu học tập, Tài liệu chia sẽ, Download tài liệu, Tài liệu download
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 BÀI TẬP GIẢI TÍCH CHƯƠNG Hình học vi phân Ứng dụng hình học phẳng Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến với đường cong: a) y x3 x x điểm (2;5) b) y e1 x giao điểm đường cong với đường thẳng y 1 t x t c) điểm A(2;2) y 2t 2t x3 y3 điểm M (8;1) d) Tính độ cong của: a) y x3 điểm có hoành độ x x a (t sin t ) b) y a (1 cos t ) c) x3 y3 a3 , (a 0) điểm (a 0) điểm ( x, y ) d) r aeb , (a, b 0) điểm Tìm hình bao họ đường cong sau: x a) y c b) cx c y c Ứng dụng hình học không gian c) y c ( x c)2 Giả sử p (t ) , q(t ) , (t ) hàm khả vi Chứng minh rằng: d d p(t ) d q (t ) p (t ) q (t ) a) dt dt dt d d p (t ) ( (t ) p (t )) (t ) ' (t ) p (t ) b) dt dt d q (t ) d p (t ) d p (t )q (t ) p (t ) q (t ) c) dt dt dt d d q(t ) d p(t ) p (t ) q (t ) p (t ) q (t ) d) dt dt dt Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường: x a sin t a) y b sin t cos t điểm ứng với t , (a, b, c 0) z c cos t et sin t x b) y điểm ứng với t t z e cos t Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt cong: a) x y z điểm (2;2;3) b) z x y điểm (2;1;12) c) z ln(2 x y ) điểm (1;3;0) Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường: x y 10 a) điểm A(1;3;4) 2 y z 25 2 x y z 47 b) điểm B (2;1;6) 2 x y z CHƯƠNG Tích phân bội Tích phân kép Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau 1 x a) dx 1 b) dy f ( x, y )dy 1 x 1 1 y f ( x, y )dx 1 y d) dy sin y e) f ( x, y )dx Tính tích phân sau a) x sin( x y )dxdy với y = {( , ) ∈ ≤ f ( x, y )dx :0 ≤ x x f ( x, y )dy 4 y 2 dy f ( x, y)dx dy c) dx 2x 2 y 2 ; 0≤ ≤ } D b) x ( y x)dxdy với D miền giới hạn đường cong x y y x D c) | x y | dxdy với = {( , ) ∈ : | | ≤ ; | | ≤ 1} D d) | y x |dxdy , với = {( , ) ∈ :| | ≤ ;0 ≤ D ≤ 2} Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội e) | y x | dxdy , với = {( , ) ∈ Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 :| | ≤ ;0 ≤ ≤ 2} D f) xydxdy với D giới hạn đường x y ; x 1; y y D | x | | y | dxdy g) | x|| y| 1 h) ( x y )dxdy với D giới hạn đường x y 1; x y D Tìm cận lấy tích phân tọa độ cực f ( x, y)dxdy D miền xác D định sau: a) ≤ + ≤ b) + ≥4 , , ( , > 0) + ≤8 , ≥ , ≤2 c) + ≤ 1, ≥ 0, ( , > 0) Dùng phép đổi biến tọa độ cực, tính tích phân sau R R2 x2 a) dx ln(1 x y ) dy , ( R 0) R Rx x b) dx c) Rx x y dy , ( R 0) Rx x xydxdy , với D 2 1) D mặt tròn ( x 2) y 2 2) D nửa mặt tròn ( x 2) y , y 2 d) xydxdy , với D miền giới hạn đường tròn x ( y 1) D x y2 4y Chuyển tích phân sau theo hai biến u v : x u x y a) dx f ( x, y )dy , đặt v x y b) Áp dụng tính với f ( x, y ) (2 x y ) x Tính tích phân sau 4 y x y y dxdy a) , D : (x y )2 x y x D b) D 1 x2 y2 dxdy , D : x y 1 x2 y2 x y 12 2 xy x y 2x c) 2 dxdy , D : 2 x y D x y y x 0, y Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 x2 y2 1 D 1 xy e) (4 x y )dxdy , D : x y x D d) 2 | x y | dxdy , D : Tích phân bội Tính tích phân bội ba sau zdxdydz , miền V xác định bởi: x V , x y 2x , z x2 y ( x y )dxdydz , V xác định bởi: x y z , x y z y ) zdxdydz , V xác định bởi: x y , z V ( x V x y dxdydz , z V a) V miền giới hạn mặt trụ: x y x mặt phẳng: y , z , z a , (a 0) b) V nửa hình cầu x y z a , z , (a 0) c) V nửa khối elipxôit ydxdydz , V x2 y a2 z2 b2 , z , (a, b 0) miền giới hạn mặt nón: y x z mặt phẳng V y h , (h 0) x2 a2 y2 b2 z2 c2 dxdydz , V miền giới hạn V x2 a2 y2 b2 (a, b, c 0) ( x y z )dxdydz , V : x y z , x y z V x y dxdydz , V miền giới hạn x y z , z V ( x D 10 dxdydz x y , | z | 2 , V : y ( z 2) ) x y z dxdydz , V miền xác định x y z z V z2 c2 1, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 Ứng dụng tích phân bội Tính diện tích miền D giới hạn đường y x , y 2 x , y Tính diện tích miền D giới hạn đường y2 x , y x , x2 y , x2 y Tính diện tích miền D giới hạn y , y 4ax , x y 3a , y , (a 0) 2 Tính diện tích miền D giới hạn x x y x , y x cos Tính diện tích miền D giới hạn đường tròn r ; r Tính diện tích miền D giới hạn đường a) ( x y )2 2a xy , (a 0) b) x3 y axy , (a 0) c) r a (1 cos ) , (a 0) Chứng minh diện tích miền D xác định x ( x y )2 không đổi Tính thể tích miền giới hạn mặt 3x y , 3x y , y , z x y Tính thể tích miền giới hạn mặt z x y , z x y 10 Tính thể tích miền giới hạn z x y , y x , y x 11 Tính thể tích miền V giới hạn mặt cầu x y z 4a nằm mặt trụ x y 2ay , (a 0) 12 Tính thể tích miền giới hạn mặt z , z x2 a2 y2 b2 , x2 a2 y2 b2 2x , a (a, b 0) 13 Tính thể tích miền giới hạn mặt az x y , z x y , (a 0) Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 CHƯƠNG Tích phân phụ thuộc tham số yf ( x) Khảo sát liên tục tích phân I ( y ) x2 y2 dx với f ( x) hàm số dương, liên tục đoạn [0,1] Tính tích phân sau a) x ln x n /2 dx , n số nguyên dương b) ln(1 y sin x)dx , với y 1 1 y Tìm lim y 0 y dx x2 y Xét tính liên tục hàm số I ( y ) y x2 ( x y )2 dx Chứng minh tích phân phụ thuộc tham số I ( y ) arctan( x y ) dx hàm x số liên tục, khả vi biến y Tính I '( y ) suy biểu thức I ( y ) Tính tích phân sau b x x xa a) dx , (0 a b) ln x x c) e x e) e x e ax b) e e x dx , ( 0, 0) x dx , ( 0, 0) d) sin(bx) sin(cx) dx , (a, b, c 0) x f) dx ( x y) n 1 e x cos( yx)dx /2 Biểu thị sin m x cos n xdx qua hàm B(m, n) , (m, n ; m, n 1) Tính tích phân sau /2 a) c) f) a sin x cos xdx 10 x x e b) x 2n a x dx , (a 0) , (Gợi ý đặt x a t ) dx d) x (1 x ) dx e) x n 1 (1 x n ) x3 dx dx , n g) * n xn dx , (n , n 1) Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 CHƯƠNG Tích phân đường Tích phân đường loại Tính tích phân sau: ( x y )ds , C đường tròn x y x C x a (t sin t ) y ds C (0 t 2 , a 0) , đường có phương trình y a (1 cos t ) C x a(cos t t sin t ) x y ds , C đường cong (0 t 2 , a 0) y a (sin t t cos t ) C Tính phân đường loại Tính tích phân sau: ( x xy )dx (2 xy y )dy , AB cung parabol y x từ A(1;1) đến AB B(2;4) x a (t sin t ) (2 x y ) dx xdy , đường cong theo chiều tăng , C y a (1 cos t ) C (0 t 2 , a 0) 2( x y )dx x(4 y 3)dy , ABCA đường gấp khúc qua A(0;0) , ABCA B(1;1) , C (0;2) dx dy | x | | y | , ABCDA đường gấp khúc qua A(1;0) , B(0;1) , ABCDA C (1;0) , D(0; 1) x2 x t sin t y dx dy , C đường cong theo chiều tăng y t cos t C ≤ ≤ /4 Tính tích phân sau ( xy x y)dx ( xy x y)dy C hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green so sánh kết quả, với C đường: a) x y R b) x y x Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội c) x2 a2 b2 y2 x2 y x x Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 , (a, b 0) x y x y dy y x dx 4 4 e [(1 cos y )dx ( y sin y )dy ] , OABO đường gấp khúc qua OABO O (0;0) , A(1;1) , B (0;2) ( xy e x sin x x y )dx ( xy e y x sin y )dy x2 y x 10 ( xy x y cos( xy))dx ( C x3 xy x x cos( xy ))dy , C đường x a cos t (a 0) cong y a sin t 11 Dùng tích phân đường loại tính diện tích miền giới hạn nhịp xycloit: x a (t sin t ) ; y a (1 cos t ) trục Ox, (a 0) (3;0) 12 ( x xy )dx (6 x y y )dy ( 2;1) (2;2 ) 13 (1; ) (1 y2 y y y y cos ) dx (sin cos )dy x x x x x2 14 Tìm số để tích phân sau không phụ thuộc vào đường miền xác định (1 y )dx (1 x )dy (1 xy ) AB 15 Tìm số a, b để biểu thức ( y axy y sin( xy ))dx ( x bxy x sin( xy ))dy vi phân toàn phần hàm số u ( x, y ) Hãy tìm hàm số u ( x, y ) 16 Tìm hàm số h( x) để tích phân h( x)[(1 xy)dx ( xy x )dy ] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Với h( x) vừa tìm được, tính tích phân từ A(1;1) đến B (2;3) 17 Tìm hàm số h( y ) để tích phân h( y)[ y(2 x y )dx x(2 x y )dy ] AB Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 không phụ thuộc vào đường miền xác định Với h( y ) vừa tìm được, tính tích phân từ A(0;1) đến B (3;2) 18 Tìm hàm số h( xy ) để tích phân h( xy)[( y x y )dx ( x x y )dy ] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Với h( xy ) vừa tìm được, tính tích phân từ A(1;1) đến B (2;3) CHƯƠNG Tích phân mặt Tính tích phân mặt loại sau ( z x S ( x x y z 4y )dS , S {( x, y, z ) : 1, x 0, y 0, z 0} 3 y )dS , S {( x, y, z ) : z x y ,0 z 1} S Tính tích phân mặt loại sau z( x y )dxdy , S nửa mặt cầu: x y z , z , hướng S S phía mặt cầu y2 z 1, ydzdx z dxdy , S phía mặt elipxoit: x 2 S x 0, y 0, z x y zdxdy , S mặt nửa mặt cầu: x y z R , z 2 S xdydz ydzdx zdxdy , S phía mặt cầu: x y2 z2 a2 S 3 x dydz y dzdx z dxdy , S phía mặt cầu: S x y z R2 y zdxdy xzdydz x ydzdx , S phía miền: x , y , S x2 y , z x2 y xdydz ydzdx zdxdy , 2 S phía miền: ( z 1) x y , S a z Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2016 10 Gọi S phần mặt cầu x y z nằm mặt trụ x x z , y , hướng S phía mặt cầu Chứng minh rằng: ( x y)dxdy ( y z)dydz ( z x)dzdx S CHƯƠNG Lý thuyết trường Tính đạo hàm theo hướng l hàm u x3 y 3z điểm A(2;0;1) với l AB , B(1;2; 1) Tính môđun grad u , với u x3 y z 3xyz A(2;1;1) Khi grad u vuông góc với Oz , grad u ? Tính grad u , với u r ln r , r x y z r Theo hướng biến thiên hàm số u x sin z y cos z từ gốc O (0;0;0) lớn nhất? Tính góc hai vectơ grad z hàm số z x y z x y 3xy (3;4) Trong trường sau đây, trường trường thế: a) a 5( x xy )i (3x y ) j k b) a yzi xzj xyk c) a ( x y )i ( x z ) j ( z y ) k Cho F xz 2i yx j zy 2k Tính thông lượng F qua mặt cầu S : x y z , hướng Cho F x( y z )i y ( z x ) j z ( x y ) k , L giao tuyến mặt trụ x y y nửa mặt cầu x y z , z Chứng minh lưu số F dọc theo L 10