Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu hay wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Oxy HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phiên 2016 - NEW NGUYỄN HỮU BIỂN Tài liệu Oxy phiên ! (Update từ phiên 2015) * Biên soạn công phu, phân tích tỉ mỉ, giúp học sinh định hướng để tìm lời giải cách khoa học - nhanh * Ngắn gọn, súc tích đầy đủ * Đúng trọng tâm, không dài dòng nan giải * Thời gian học hiệu cao * Chắt lọc tinh túy kỹ thuật giải phổ biến hình học Oxy YÊU CẦU: * Tài liệu dành cho học sinh nắm kiến thức SGK * Có ý thức học tập thật * Không tiếc … TIỀN đầu tư cho học tập ! Giá bán: 38.000 đ Tuy nhiên toán thẻ cào nên nhà cung cấp dịch vụ trừ chiết khấu 24% (tức 12.000 đ) nên học sinh mua phải nạp thẻ mệnh giá 50.000 đ Hãy click đặt mua ngay: http://goo.gl/forms/Q34af8cKxH CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H (1; ) 9 hình chiếu vuông góc A lên BD Điểm M ;3 trung điểm cạnh BC, phương 2 trình đường trung tuyến kẻ từ A ∆ADH (d) : 4x + y − = Viết phương trình cạnh BC PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI B A P M( ;3) H(1;2) K D C (d): 4x + y - = + Khi vẽ xong hình minh họa cho toán, ta nhận thấy chứng minh AK ⊥ KM (K giao điểm (d) với DB), yếu tố định toán dạng + Thật vậy, có AK ⊥ KM ta lập phương trình đường thẳng MK là: 2x − 8y + 15 = (do MK qua M vuông góc với (d)) 1 + Tiếp theo ta tìm tọa độ K ; (do K = (d) ∩ MK giải hệ phương trình) 2 ⇒ phương trình BD là: y − = (do BD qua điểm K H) ⇒ phương trình đường thẳng AH là: x − = (do AH qua H vuông góc với BD) ⇒ A (1;0 ) (do A = (d) ∩ AH giải hệ phương trình) ⇒ D ( 0; ) (do K trung điểm DH) ⇒ phương trình đường thẳng AD là: 2x + y − = (do AD đường thẳng qua điểm A D) + Cuối ta lập phương trình đường thẳng BC là: 2x + y − 12 = (do BC qua M song song với AD) * NHẬN XÉT + Như nói yếu tố định quan trọng để suy luận bước giải toán việc chứng minh AK ⊥ KM - tính chất hình học phẳng lớp mà bạn học tập nghiêm túc cấp THCS tiếp cận + Việc chứng minh AK ⊥ KM đơn giản, thầy nói lại cách chứng minh sau: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 KP / /AD - Gọi P trung điểm AH ⇒ KP đường trung bình ∆AHD ⇒ AD KP = AD / /BC KP / /BM - Mà AD = BC ⇒ ⇒ tứ giác PBMK hình bình hành ⇒ BP / /MK (1) KP = BM BC BM = KP / /AD ⇒ KP ⊥ AB ⇒ P trực tâm ∆ABK ⇒ BP ⊥ AK (2) - Ta có AD ⊥ AB - Từ (1) (2) ⇒ MK ⊥ AK (đpcm) SAU ĐÂY LÀ BÀI TOÁN CÓ CÁCH GIẢI TƯƠNG TỰ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Qua điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AC H Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH, BH 17 29 17 AD Biết E ; , F ; , G (1;5) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE 5 5 PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 C D E H G(1;5) F A B + Gọi A ( x A ; y A ) , ta chứng minh EFAG hình bình hành nên x −1 = ⇒ EF = GA ⇒ ⇒ A (1;1) y − = −4 + Tiếp theo ta lập phương trình đường thẳng AB qua A vuông góc với EF ⇒ AB : y − = + Ta lập phương trình đường thẳng BH qua F vuông góc với AE ⇒ BH : x + 3y − = + Từ ta tìm tọa độ điểm B ( 5;1) (do B = AB ∩ BH giải hệ phương trình) + Do chứng minh GE ⊥ EB nên ⇒ tứ giác GEBA nội tiếp đường tròn đường kính GB ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE trung điểm GB, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE ⇒ I ( 3;3) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A ( −2;0 ) , đường thẳng (d) có phương trình 3x − 4y + = cắt đoạn thẳng BC Khoảng cách từ B D tới đường thẳng (d) Đỉnh C thuộc đường thẳng x − y + = có hoành độ không âm Tìm tọa độ B D PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI B A(-2;0) C (xC ≥ 0) I D x-y+4=0 + Ta thấy tìm tọa độ C tìm tọa độ I (I trung điểm AC) từ lập phương trình đường thẳng DB qua I vuông góc với AC + Khi có phương trình BD ta sử dụng B ∈ BD để tham số hóa tọa độ B, giải phương trình d ( B; ( d ) ) = ta tìm tọa độ B ⇒ tọa độ D (do I trung điểm BD) Vậy ta có bước giải cụ thể sau: - Vì C thuộc đường thẳng x − y + = ⇒ C ( c; c + ) , giải phương trình d ( C; ( d ) ) = 3c − ( c + ) + c = =2⇔ ⇒ C ( 0; ) 25 c = −20 < - Đường thẳng BD qua điểm I ( −1; ) trung điểm AC BD ⊥ AC ⇒ BD có phương ⇔ trình x + 2y − = b = b = - Điểm B ∈ BD ⇒ B ( − 2b; b ) , giải phương trình d ( B; ( d ) ) = ⇒ * Với b = ⇒ B(1;1) ⇒ D(−3;3) (do I trung điểm BD) * Với b = ⇒ B(−1; 2) (trường hợp loại kiểm tra thấy B C phía đường thẳng (d)) Vậy B(1;1), D(−3;3) Lưu ý: Để kiểm tra B C nằm phía đường thẳng (d), em cần nhớ lại công thức sau : Cho điểm A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) đường thẳng (d) : Ax + By + C = - Nếu ( Ax A + By A + C ) ( Ax B + By B + C ) > A B phía (d) - Nếu ( Ax A + By A + C ) ( Ax B + By B + C ) < A B khác phía (d) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A(4:6) phương trình đường cao trung tuyến kẻ từ C 2x - y +13 6x - 13y + 29 = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A(4;6) 6x - 13y + 29 = M 2x - y + 13 = H B C * Ta thấy ∆ABC yếu tố đặc biệt (tức tam giác vuông, cân hay đều) Vì để viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ta có hướng: - Hướng 1: Lập phương trình đường trung trực cạnh ∆ABC - Hướng 1: Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC * Đối với tập này, ta giải theo hướng trên, cụ thể sau: - Hướng 1: + Ta thấy C = CM ∩ CH (trong CM; CH theo thứ tự trung tuyến đường cao ∆ABC ) 6x − 13y + 29 = x = −7 ⇒ Tọa độ C nghiệm hệ phương trình ⇔ ⇒ C(−7 : −1) 2x − y + 13 = y = −1 + Tiếp theo ta lập phương trình đường thẳng AB là: x + 2y - 16 = (do AB qua A AB ⊥ CH ) + Ta tìm tọa độ M(6;5) (do M = AB ∩ CM giải hệ phương trình) + Lúc ta lập phương trình d1 trung trực AB ⇒ d1 : 2x − y − = (do d1 qua M d1 ⊥ AB ) + Tương tự ta lập d trung trực AC Và giải hệ I = ( d1 ) ∩ ( d ) ⇒ I(2; −3) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ R = IA = 85 2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ( x − ) + ( y + 3) = 85 Hướng 2: Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (C ) có phương trình là: x + y − 2ax − 2by + c = + Lập phương trình tương tự ta tìm tọa độ A, B, C + Giải hệ phương trình A ∈ (C); B ∈ (C ); C ∈ (C ) ta tìm a = 2; b = -3 c = -72 2 ⇒ R = a + b − c = 85 ⇒ (C) : ( x − ) + ( y + 3) = 85 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có phương trình chứa trung tuyến phân giác đỉnh B d1 : 2x +y -3 = d : x + y − = Điểm M (2:1) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có bán kính A ó hoành độ dương Xác định tọa độ đỉnh ∆ABC PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI Biết đỉnh B O A I C M(2;1) d1: 2x + y - = d 2: x + y - = * Căn vào đề ta có B = d1 ∩ d ; giải hệ phương trình ⇒ B (1;1) + Lập phương trình đường thẳng AB là: y - = ( AB qua B M) + Gọi M’ điểm đối xứng với M qua d ⇒ M ' (1; ) , mà M ' ∈ BC ⇒ ta lập phương trình đường thẳng BC là: x - = (do BC qua B M’) + Ta có A ∈ AB ⇒ A ( a;1) ; C ∈ BC ⇒ C (1: c ) 1+ a 1+ c Gọi I trung điểm AC ⇒ I ; + Mà I ∈ ( d1 ) ⇒ 2a + c − = (1) + Ta dễ dàng nhận thấy n AB = (0;1); n BC = (1;0) nên n AB n BC = ⇒ AB ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông cân B ⇒ I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 2 ⇒ IB = ⇒ ( a − 1) + ( c − 1) = 20 (2) + Giải hệ (1) (2) ⇒ a = ⇒ c = −3 ( thỏa mãn) Kết luận: A(3:1); C (1;-3) Nhận xét: - Việc phát ∆ABC vuông cân B yếu tố quan trọng để làm - Để tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua d , em xem Bài 17 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : 3x + 2y − = điểm A ( −1; −3) , G ( 3; −1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nhận G làm trọng tâm đường thẳng ∆ chứa đường trung trực cạnh AC PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A(-1;-3) ∆: 3x + 2y - = (C) M O N G(3;-1) C B + Căn vào kiện toán, ta lập phương trình cạnh AC ∆ABC là: 2x − 3y − = (do AC qua A AC ⊥ ∆ ) + Từ ta xác định tọa độ điểm M ( 2; −1) trung điểm AC (do M = AC ∩ ∆ giải hệ phương trình) + Do G trọng tâm ∆ABC nên giải phương trình BG = 2.GM ta có B ( 5; −1) + Tiếp theo ta tìm tọa độ N ( 2; −2 ) trung điểm AB, từ lập phương trình đường trung trực AB ∆1 : 3x + y − = + Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC I = ∆1 ∩ ∆ , giải hệ phương trình ta có 130 4 I ;0 , bán kính đường tròn tâm I R = IA = 3 4 130 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( C ) : x − + y = 3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 6: ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = Trực tâm H(-1;-1), độ dài BC = Hãy viết phương trình BC PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A I H B C M D + Đây toán quen thuộc “tam giác nội tiếp đường tròn, cho biết trực tâm”, ta nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách kẻ đường kính AD ⇒ BHCD hình bình hành (*) ⇒ MI đường trung bình ∆AHD ⇒ AH = 2.MI (một kết quen thuộc) + Với suy luận trên, ta tìm tọa độ A trước tiên Thật vậy, gọi A(x;y) AH = 2.IM = CI − BM = 52 − = Ta có: AI = x = −1 ⇒ A(−1;5) ⇒ D(5; −3) ⇒ M(2; −2) y = + Giải hệ phương trình ⇒ (do I trung điểm AD, M trung điểm HD) + Như vậy, sau có điểm A, M ta thấy đường thẳng BC qua M, vuông góc với AH ⇒ BC : y + = * Chú ý: Chứng minh BHCD hình bình hành (*) sau: - Do H trực tâm ∆ABC nên CH ⊥ AB , mà ABD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) ⇒ BD ⊥ AB ⇒ CH / /BD - Chứng minh tương tự ta có BH / /DC ⇒ tứ giác BHCD hình bình hành Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 7: (tương tự ) ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác định tọa độ C biết C có hoành độ dương PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A I H B C M D + Hoàn toàn với phương pháp lập luận trên, ta có kết AH = 2.MI ⇒ AH = 2.IM , gọi M(x;y) giải phương trình AH = 2.IM ⇒ x = −2, y = ⇒ M(−2;3) + Đường thẳng BC qua điểm M, vuông góc với AH ⇒ BC : y − = + Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = IA có phương trình : ( x + ) + y = 74 ( ) + Tọa độ B, C giao BC (C), giải hệ ta có C −2 + 65;3 (chú ý x C > nhé) Như qua toán trên, bạn cần ghi nhớ kết quan trọng sau: Nếu H, I trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , M trung điểm BC ta có: AH = 2.IM (đây điểm nút vấn đề) Tiếp theo mạch tư tưởng đó, ta nghiên cứu sau có cách khai thác tương tự Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC H Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH, BH 17 29 17 ; ; F ; , G (1;5 ) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABE 5 5 AD Biết E PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI Để phân tích tìm bước giải cho này, trước hết bạn cần ôn lại tính chất sau “Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm, kẻ đường kính AA’, M trung điểm BC ⇒ AH = 2.OM ” A O H C M B A' Hướng dẫn chứng minh: + Ta có ABA ' = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) ⇒ BA ⊥ BA ' , mà BA ⊥ CH ⇒ BA '/ /CH (1) + Chứng minh tương tự ta có CA '/ /BH (2) + Từ (1) (2) ⇒ tứ giác BHCA’ hình bình hành, mà M trung điểm đường chéo BC ⇒ M trung điểm A’H ⇒ OM đường trung bình ∆AA ' H ⇒ AH = 2.OM Áp dụng tính chất trên, ta phân tích bước suy luận lời giải sau D E C H G F I A M B Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 8 Bài 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC , điểm G ;0 trọng tâm, đường tròn 3 (C) ngoại tiếp ∆ABC có tâm I Các điểm M(0;1), N(4;1) điểm đối xứng với I qua AB AC Điểm K(2; −1) thuộc đường thẳng BC Viết phương trình đường tròn (C) PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A M(0;1) H N(4;1) I G B F K(2;-1) E C + Tứ giác AMBI hình thoi (do có đường chéo vuông góc với trung điểm đường cạnh kề IA = IB ) + Tương tự ta có ANCI hình thoi, hình thoi có cạnh ⇒ MNCB hình bình hành ⇒ MN // BC + Gọi H, E trung điểm MN BC ⇒ H(2;1) , ∆MAN = ∆BIC(c.c.c) , mà ∆MAN, ∆BIC tam giác cân A I ⇒ AH, IE đường cao ∆MAN, ∆BIC ⇒ AH = IE + Lại có AH ⊥ MN, IE ⊥ BC, MN / /BC ⇒ AH / /IE ⇒ AHEI hình bình hành ⇒ G trọng tâm ∆HIE 1 + Gọi F (x;y) trung điểm IE, giải phương trình HG = 2.GF ⇒ F 3; − 2 + Lập phương trình đường thẳng IE qua F vuông góc BC ⇒ IE ⊥ MN ⇒ IE : x − = + Ta có BC qua K song song với MN ⇒ BC : y + = + Giải hệ E = IE ∩ BC ⇒ E(3; −1) ⇒ I(3; 0) + Do AHEI hình bình hành ⇒ IA = R = HE = Vậy (C) : ( x − 3) + y2 = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 38 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), bán kính R = Chân đường cao kẻ từ B, C H(3;3), K(0;-1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết A có tung độ dương PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A H(3;3) K(0;-1) I(1;2) C B D 2 + Đường tròn (C) tâm I, bán kính R = có phương trình ( x − 1) + ( y − ) = 25 + Ta thấy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M trung điểm BC, đường kính BC (do BKC = BHC = 900 ) Như vấn đề định toán tìm tọa độ B, C + Ta có AI ⊥ KH ⇒ AI đt qua I, AI ⊥ KH ⇒ AI có phương trình: 3x + 4y − 11 = (việc chứng minh AI ⊥ KH bạn xem lại Bài 11) + Tọa độ A = AI ∩ (C) , giải hệ có A(−3;5) + Đường thẳng AB qua A, K ⇒ AB : 2x + y + = + Tọa độ B = AB ∩ (C) , giải hệ có B(1; −3) , suy luận tương tự có C(6; 2) Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M trung điểm BC, đường kính 2 7 1 25 BC có phương trình: x − + y + = 2 2 * Nhận xét: thêm lần ta thấy “nút thắt” toán phát chứng minh AI ⊥ KH Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 39 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 32: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC G trọng tâm ∆ABM , điểm D(7;-2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hoành độ A nhỏ AG có phương trình 3x - y - 13 = PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI B 3x-y-13=0 N G M D(7;-2) C A Bước 1: Tìm tọa độ A + Ta tính khoảng cách d(D; AG) = 10 + A ∈ AG ⇒ A(a;3a − 13) + Ta gọi N trung điểm AB, ∆BMA vuông cân M nên NM đường trung trực AB ⇒ GA = GB , mà GA = GD(gt) ⇒ GA = GB = GD ⇒ G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ⇒ AGD = 2.ABD = 900 (liên hệ góc tâm góc nội tiếp đường tròn tâm G ngoại tiếp ∆ABD ) ⇒ ∆AGD vuông cân G, mà d(D; AG) = DG = 10 ⇒ AD = 2.DG = 2.10 = 20 a = > + Giải phương trình AD = 20 ⇒ a = ⇒ A(3; −4) Bước 2: Lập phương trình đường thẳng AB: Đường thẳng AB không dễ lập nên TH ta dựa vào góc đường thẳng để giải + Gọi VTPT đường thẳng AB n AB = (a; b) , đường thẳng AG có VTPT n AG = (3; −1) ( ) + Ta có cos NAG = cos n AB ; n AG = 3 3a − b a + b 10 + Mặt khác NG = NM = NA, AG = NA + NG = ( 3.NG ) + NG = NG 10 3a − b b = NA 3 = ⇒ = ⇒ 6ab + 8b = ⇔ AG 10 10 a + b 10 3a = −4b - Với b = 0, chọn a = ⇒ AB : x − = - Với 3a = -4b, chọn a = 4, b = - ⇒ AB : 4x − 3y − 24 = ⇒ cos NAG = * Nhận thấy AB có phương trình 4x − 3y − 24 = d(A; AB) < 10 ⇒ G nằm ∆ABC (loại) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 40 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 33: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB, AD tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình : x + y + 4x − 6y + = , đường thẳng AC cắt (C) 16 23 M − ; N, với N ∈ Oy Biết S∆AND = 10 Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có hoành 5 độ âm, D có hoành độ dương PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI Q D P A N I(-2;3) M E B C + Theo đề đường tròn (C) có tâm I(−2;3) , bán kính R = + Điểm N ∈ Oy ⇒ N ( 0; y ) mà N ∈ ( C ) ⇒ y = ⇒ N ( 0;3) + Lập phương trình AC (đi qua N M) : x + 2y − = + A ∈ AC ⇒ A ( − 2a; a ) , chứng minh APIQ hình vuông (P, Q tiếp điểm AD, AB với (C)) ⇒ AI = AQ2 + QI = 22 + 22 = 2 (1) a = ⇒ A(−4;5) Giải phương trình (1) ⇒ 13 13 a = ⇒ A ; , xA > 5 + Gọi VTPT AD n = (m; n) ⇒ AD : m(x + 4) + n(y − 5) = ⇔ mx + ny + 4m − 5n = m = ⇒ AD : y − = ⇒ D(d;5) n = ⇒ AD : x + = ⇒ x D = −4 < + Mà d(I; AD) = ⇒ 2mn = ⇔ d = ⇒ D(6;5) + Lại có S∆AND = 10 ⇒ AD.d(N; AD) = 10 (2) , giải phương trình (2) ⇒ d = −14 < + Như lập phương trình DC qua A D ⇒ DC : x − = ⇒ C = AC ∩ CD , giải hệ ⇒ C(6; 0) + Chỉ tọa độ điểm B cuối cùng: gọi E = AC ∩ BD ⇒ E trung điểm AC 5 BD ⇒ E 1; ⇒ B(−4;0) 2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 41 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(1;-1) điểm M thuộc CD cho MC = 2.MD Đường thẳng AM có phương trình 2x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A B I(1;-1) H 2x-y-5=0 D C M + Trước hết ta tính IH = d(I; AM) = = + Do A ∈ AM ⇒ A(x; 2x − 5) , vấn đề phải thiết lập phương trình để tìm x !!! + Ta thấy ∆AIH vuông H, tính AI (hoặc AH) có phương trình ẩn x Thật vậy, ta suy luận sau theo bước sau: ( ) - Ta dễ chứng minh A1 + A = 450 ⇒ tan A1 + A = ⇔ tan A1 + tan A − tan A1.tan A = (*) DM 1 = , thay vào (*) ⇒ tan A1 = AD IH - Lại có: ∆AIH vuông H ⇒ tan A1 = ⇒ AH = ⇒ AI = AH + IH = AH 13 13 x = ⇒ A ; - Cuối giải phương trình AI = ⇒ 5 x = ⇒ A(1; −3) - Mà tan A = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 42 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 BÀI TẬP SAU ĐÂY CÓ CÁCH LÀM TƯƠNG TỰ Bài tương tự số 01: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, M trung 11 điểm BC N thuộc CD cho CN = 2.ND Điểm M ; , AN : 2x − y − = Tìm tọa 2 độ A PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A B 2x-y-3=0 M( 11 ; ) 2 H D C N + Do A ∈ AN ⇒ A ( x; 2x − 3) + Tính khoảng cách AH = d(M; AN) = + Bây ta cần tính đoạn AM để thiết lập phương trình tìm x sau: - Ta có A1 + A + A3 = 900 ⇒ A = 900 − A1 + A ( ) ⇒ cot A = cot 900 − A1 + A = tan A1 + A 1 DN BM + + tan A1 + tan A ⇒ cot A = = AD AB = = ⇒ A = 450 − tan A1.tan A − DN BM − AD AB HM - Xét ∆AHM vuông H ⇒ AM = =3 sin 45 x = ⇒ A (1; −1) - Giải phương trình AM = ⇒ x = ⇒ A ( 4;5 ) ( ) ( ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 43 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài tương tự 02: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M trung điểm AB, N điểm cạnh AD cho AN = 2.ND Giả sử CN có phương trình x + 2y − 11 = 5 1 điểm M ; Tìm tọa độ điểm C 2 2 PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI M( ; ) 2 A B N H D C + Ta có C ∈ CN ⇒ C (11 − 2c; c ) + Khoảng cách MH = d ( M; CN ) = ( ) ( ) + Ta có C2 = 900 − C1 + C3 ⇒ cot C = tan C1 + C3 = tan C1 + tan C3 − tan C1 tan C3 1 + 10 ⇒ cot C2 = = ⇒ C2 = 450 ⇒ CM = (do ∆MHC vuông cân H) 1 1− C ( 7; ) 10 + Cuối cùng, giải phương trình MC = ⇒ 5c − 35c + 50 = ⇒ C (1;5 ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 44 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 35: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông A B có 3 9 BC = 2.AD, H ; hình chiếu vuông góc B lên CD Xác định tọa độ điểm B, 5 5 D hình thang, biết A(−3;1) , trung điểm BC điểm M nằm đường thẳng x + 2y − = PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A(-3;1) D H( ; ) 5 O B C M d:x+2y-1=0 + M ∈ d ⇒ M(1 − 2x; x) + Do ADMB hình chữ nhật ⇒ tứ giác ADMB nội tiếp đường tròn đường kính DB, mà DHB = 900 ⇒ H thuộc đường tròn đường kính DB ⇒ điểm A, D, H, M, B nằm đường tròn đường kính DB ⇒ tứ giác AHMB nội tiếp ⇒ AHM = 900 (do ABM = 900 ) + Giải phương trình HA.HM = ⇒ M(1;0) + Mà AM // DC (do ADMC hình bình hành) ⇒ đường thẳng DC qua H song song với AM ⇒ DC : 5x + 20y − 39 = 1 + Ta có O −1; trung điểm AM 12 7 D − ; ⇒ B − ; − D ∈ DC 5 5 ⇒ Giải hệ phương trình ⇒ OD = OA D ; ⇒ B − 13 ; − 5 5 5 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 45 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 36: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, A(5; −7) , C ∈ d : x − y + = Đường thẳng qua D trung điểm M AB có phương trình ∆ : 3x − 4y − 23 = Tìm tọa độ B, C biết x B > PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI B C 3x-4y-23=0 I M x-y+4=0 D A(5;-7) + Ta có C ∈ d ⇒ C(x; x + 4) x = ⇒ C(1;5) + Do M trung điểm AB ⇒ d(C; ∆) = 2.d(A; ∆) , giải phương trình ⇒ x = −79 < 2m − 23 3m − , mà M trung điểm AB ⇒ B 2m − 5; 3m − 3m − + Mà AB ⊥ BC ⇒ BA.BC = ⇔ (10 − 2m )( − 2m ) + −7 − 5 − =0 m = ⇒ B ( −3; −3) 33 21 ⇔ 29 33 21 ⇒ B ; (do x B > ) m= ⇒ B ; 5 + Ta có M ∈ ∆ ⇒ M m; + Gọi I tâm hình chữ nhật ⇒ I trung điểm AC ⇒ I(3; −1) , I trung điểm BD 31 ⇒ D− ;− 5 33 21 31 Vậy A(5; −7) , B ; , C (1;5 ) , D − ; − 5 5 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 46 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2.AB Gọi M, N trung điểm AD BC Điểm K(5; −1) điểm đối xứng với M qua N, đường thẳng AC có phương trình 2x + y − = Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có tung độ dương PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI + Gọi I = AC ∩ KD + Ta chứng minh AID = 900 ⇒ KD ⊥ AC (xem Bài 33) Do ta lập phương trình đường thẳng KD qua K KD ⊥ AC là: x − 2y − = 13 11 + Do I = AC ∩ KD , giải hệ ta có I ; − 5 5 ID CD 2 = = ⇔ ID = IK ⇔ KD − KI = IK ⇔ KD = KI IK KE 3 3 Nếu giả sử D(x; y) , ta có KD = KI , giải phương trình ⇒ D(1; −3) + Gọi E = AC ∩ KM ⇒ A M D E I B C N K + Gọi n = (a; b) véc tơ pháp tuyến AD, AD qua D ⇒ AD : ax + by − a + 3b = ( ) + Ta có cos CAD = AD AD = = AC AD2 + DC2 AD = AD AD + b = ⇒ AD : x − = ( a; b ) ( 2;1) 2 ⇒ cos AD, AC = = ⇒ 4ab − 3b = ⇔ b = 4a ⇒ AD : 3x + 4y + = ( a; b ) ( 2;1) + Do A = AC ∩ AD , giải hệ phương trình ⇒ A (1;1) , y A > ( ) + Đường thẳng DC qua A vuông góc AD ⇒ DC : y + = ⇒ C = AC ∩ DC ⇒ C(3;3) + E trung điểm AC BD ⇒ E(2; −1) ⇒ B(3;1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 47 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 x y2 + = có tiêu điểm F1 ; F2 Giả sử M 25 điểm thuộc (E) cho bán kính đường tròn nội tiếp ∆F1MF2 M có tung độ Bài 38: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) : dương Viết phương trình đường thẳng (d) qua M tạo với hệ trục tọa độ tam giác có diện tích PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI M N O F1 F2 + Ta thấy (E) có a = 5; b = 3;c = x 02 y02 + = (1) 25 + Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp ∆F1MF2 , ta có: + Gọi M ( x ; y0 ) ∈ (E) ⇒ S∆MF1F2 = p.r = ( MF1 + MF2 + F1F2 ) r ⇔ F F d(M; Ox) = ( MF1 + MF2 + F1F2 ) r 2 2 y = −3 < 2a + 2c ⇔ 2c y = ⇒ (chú ý MF2 + MF2 = 2a ) 2 y = ⇒ x = ⇒ M(0;3) + Gọi N = (d) ∩ Ox ⇒ N(n; 0) , mà M(0;3) ∈ Oy + Vì S∆MON = ⇒ ON.OM = , giải phương trình ⇒ m = ±6 ⇒ N ( ±6;0 ) Vậy có đường thẳng (d) cần tìm : (d1 ) : x + 2y − = 0, (d ) : x − 2y + = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 48 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 2 Bài 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + 1) = hai điểm A ( 0; −4 ) , B ( 4; ) Tìm tọa độ điểm C, D cho ABCD hình thang (AB / /CD) đường tròn (C) nội tiếp hình thang PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A(0;-4) B(4;0) I(1;-1) R= C D + Đường tròn (C) có tâm I (1; −1) , bán kính R = x y + =1⇔ x − y − = −4 + Ta có AB / /CD ⇒ CD : x − y + c = (c ≠ −4) c = (loại c = −4 ) ⇒ CD : x − y = + Lại có d ( I; CD ) = R ⇒ c = −4 + Đường thẳng AD qua A ⇒ AD : a ( x − ) + b ( y + ) = ⇔ ax + by + 4b = ( a + b ≠ ) + Đường thẳng AB có phương trình + Mà d ( I; AD ) = R ⇔ a − 6ab − 7b2 = ⇔ ( a + b )( a − 7b ) = * Với a = − b (loại - AD ≡ AB ) 1 * Với a = 7b ⇒ AD : 7x + y + = ⇒ D = AD ∩ CD ⇒ D − ; − 2 1 1 + Lý luận tương tự ta có phương trình BC : x + 7y − = ⇒ C = BC ∩ CD ⇒ C ; 2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 49 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 40: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC với D ( −1; −2 ) , E ( 2; ) , F ( −1; ) chân đường cao kẻ từ A, B, C ∆ABC Lập phương trình cạnh ∆ABC tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI Để giải này, bạn cần vận dụng kiến thức sau Kiến thức 1: (tính chất hình học cấp THCS) Cho ∆ABC nhọn, gọi D, E, F chân đường vuông góc kẻ từ A, B, C ∆ABC Gọi H trực tâm ∆ABC ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF Hướng dẫn chứng minh: A E F H B D C + Ta có tứ giác BDHF nội tiếp ⇒ B1 = D1 (1) + Tứ giác ECDH nội tiếp ⇒ C1 = D2 (2) + Mà B1 = C1 (cùng phụ với BAC ) (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ D1 = D ⇒ DH phân giác ∆DEF (*) - Chứng minh tương tự ta có EH, FH tia phân giác ∆DEF (**) - Từ (*) (**) ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 50 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Kiến thức 2: (công thức chung để viết phương trình đường phân giác ) Cho ∆ABC biết tọa độ đỉnh A, B, C, để viết phương trình đường phân giác BAC , ta thực theo bước sau A m B n m+ n C d AB AC , cạnh AC chọn vec tơ n = AB AC + Do vec tơ m n có độ dài nên U = m + n vec tơ phương + Trên cạnh AB chọn vec tơ m = đường phân giác BAC + Đường phân giác BAC qua A có vec tơ phương U * Chú ý: chương trình hình học lớp 10 ta có phương pháp để viết phương trình phân giác (dựa vào vec tơ dựa vào công thức phân giác), nhiên áp dụng công thức ta phải lập phương trình cạnh AB, AC, phải lý luận để loại đường phân giác góc Phương pháp giới thiệu bên ngắn gọn hơn, điều tuyệt vời áp dụng cho hình học tọa độ không gian Trở lại tập này, dựa vào kiến thức ta chứng minh AD phân giác FDE , vận dụng tiếp kiến thức ta lập phương trình AD: 3x − y + = Đường thẳng BC qua điểm D vuông góc với AD ⇒ BC : x + 3y + = + Tương tự ta có BE : x − 2y + = ⇒ AC : 2x + y − = + Tương tự ta có CF : x + y − = ⇒ AB : x − y + = + Trực tâm H ∆ABC tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF (kiến thức 1), mà H giao điểm đường cao AD BE, giải hệ H = AD ∩ BE ⇒ H(0;1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 51 CHINH PHỤC HÌNH HỌC Oxy - PHIÊN BẢN 2016 Bài 41: Cho hình chữ nhật ABCD có M đối xứng với B qua C Điểm N(5; −4) hình chiếu vuông góc B DM Điểm C nằm đường thẳng 2x + y + = 0, A(−4;8) Tìm tọa độ B C PHÂN TÍCH HƯỚNG GIẢI A(-4;8) B I d:2x+y+5=0 D C N(5;-4) M + Vì điểm C ∈ d ⇒ C(x; −2x − 5) x − −2x + + Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD ⇒ I trung điểm AC ⇒ I ; + Ta dễ dàng chứng minh IN = IA , giải phương trình ⇒ x = ⇒ C (1; −7 ) + Đến ta lập phương trình AC (đi qua điểm A C), điểm B điểm đối xứng N qua AC ⇒ B(−4; −7) Cách khác: + Điểm C ∈ d ⇒ C(x; −2x − 5) , vẽ hình xác, dự đoán rằng: AN ⊥ NC (*) ⇒ AN.NC = + Giải phương trình ⇒ x ⇒ C + Để tìm tọa độ B ta giải hệ B ∈ BN (trong BN đường BC = CN thẳng qua N vuông góc với AC) * Chú ý: Ta chứng minh AN ⊥ NC (*) sau: Chứng minh ADMC hình bình hành ⇒ AC ⊥ NB Trong ∆ANM có C trung điểm BM, EC // NM ⇒ E trung điểm BN ⇒ ∆ABC = ∆ANC ⇒ ANC = 900 ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 52