CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Bài Biên tập: Nguyễn Phú Khánh Cho a, b, c số thưc dương thỏa mãn abc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P bc a (b  c )  ca b (a  c )  ab c (a  b )  Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy a  b  c  , P   Lời giải: Vì abc  nên đặt a  1 x2 y2 z2 , b  , c   xyz  , biểu thức P    x y z yz xz yx Bài toán trở thành: “ Cho x , y, z  thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ” x2 BĐT Cô-si: yz  yz  x, y2 xz  xz  y, yx z yx z2 1 Suy P  ( x  y  z )  x  y  z  P  ( x  y  z )  3 xyz  2 2 Đẳng thức xảy x  y  z  a  b  c  a  b  c   Bài tập tương tự: Vậy P  Cho a, b, c số thưc dương thỏa mãn ab  bc  ca  3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P   2 a (3a 1) b (3b 1) c (3c 1) TRƯỜNG THPT SỐ II PHÙ MỸ – BÌNH ĐỊNH  Hướng dẫn: 1 x3 y3 z3 Đặt x  , y  , z   x  y  z  3, biểu thức P    2 a b c  y  z  x  z   y  x  Bài toán trở thành: “ Cho x , y, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P ” P xyz 3  Đẳng thức xảy x  y  z  a  b  c  P  4 Bài Cho a, b, c số thực dương a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: P bc 3a  bc  ca 3b  ca  ab 3c  ab TRƯỜNG THPT SỐ AN LÃO – BÌNH ĐỊNH  Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy a  b  c  , P   Lời giải: Vì a  b  c  nên BĐT Cô-Si: bc 3a  bc  bc a ( a  b  c )  bc  bc (a  b )( a  c )  bc  1      a  b a  c  1   , đẳng thức xảy b  c a b a c ( a  b )( a  c ) ca Tương tự  ca  1       b  a b  c  ab  3b  ca 3c  ab bc  ca ab  bc ab  ca a b  c Suy P      2( a  b ) 2( c  a ) 2(b  c ) 2 ab  1       c  a c  b  Đẳng thức xảy a  b  c  Vậy P  a  b  c   Bài tập tương tự: Cho x , y, z số thưc dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x ( y  z ) y ( z  x ) z ( x  y)   yz zx xy TRƯỜNG QUỐC HỌC QUY NHƠN – BÌNH ĐỊNH Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  2b  c  a  b  c  ab  bc  ca  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a c 2 a  b 1  a (b  c )  a  b  ( a  c )(a  2b  c ) TRƯỜNG THCS &THPT iSCHOOL QUY NHƠN – BÌNH ĐỊNH  Hướng dẫn: Nhận xét: x  y  xy  xy với x , y   , x  y  xy ( x  y ) với x , y  hay x y2 y2 z z2 x2   x  y Tương tự:   y  z,  zx y x z y x z Khi đó: P  x x y y2 z z       2( x  y  z )  y z z x x y Đẳng thức xảy x  y  z  P  BĐT Cô-Si: ab  bc  ac   a  b  c  a  2bc  2ab  2ac   a  bc  ab  ac Khi đó: ab  ac    a  b a  c   a b  c   a  b   a  b a  c    a c 2  a b  c   a  b  a  b a  b 1 a  b 1 Lại có: a  c a  b  2c   a  c  a  b  2c   a  b    a  c a  2b  c  a  b 2 a  b 1 1 1  1           max P  2  a  b a  b  a  b a  b   a  b  4 Do đó: P  Bài Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn : a  b  c  P a  3b  b  3c  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : c  3a TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU QUANG – BÌNH ĐỊNH  Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy a  b  c   Lời giải: , P  1 1 Ta có: ( x  y  z )      3 xyz  x y z  P a  3b BĐT Cô-Si:  b  3c  c  3a  3 xyz 9 1    (*) x y z xyz a  3b  b  3c  c  3a (*) a  3b   1  a  3b  2 3 b  c   1 b  3c 1.1   b  3c  2 3 c  a   1 c  3a 1.1   c  3a  2 3  1 Suy a  3b  b  3c  c  3a   a  b  c   6    6   3  a  3b 1.1  Do P   a  b  c  Đẳng thức xảy  a b c   a  3b  b  3c  c  3a  1 Vậy P  a  b  c   Bài tập tương tự: Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b  c  a  3c 12 b  c  P   2a 3b 2a  3c TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG – BÌNH ĐỊNH  Hướng dẫn: Với x  0, y   P  11    1   * Đẳng thức xảy x  y x y xy b  c  2a  a  3c  12 b  c   1  8   3b  2a  3c 1 a  3b  3c a  3b  3c 4a  3b  3c      4a  3b  3c     2a 3b 2a  3c  2a 3b a  3c 1 4 16 1 16   ;       2a 3b 2a  3b 2a  3b 2a  3c a  3b  3c 2a 3b 2a  3c a  3b  3c Khi P  11  16  P  Vậy P  b  c  Bài 2a Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn : a  b  c 1 Chứng minh rằng: 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab TRƯỜNG THPT TAM QUAN – BÌNH ĐỊNH  Lời giải: Đặt : x  a  2bc ; y  b  2ac ; z  c  2ab 1 1 1   9    9 a  2bc b  2ac c  2ab x y z 1 Bài toán trở thành : Cho x , y, z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh :    x y z Khi : x  y  z  a  b  c   2 BĐT Cô-Si:  1 1 1 1    33   x  y  z .     (*)  x y z  x y z xyz x  y  z  3 xyz 1    ( đpcm ) x y z Vì x  y  z  nên (*) suy Đẳng thức xảy x  y  z  Bài tập tương tự: Cho a, b, c ba số thực không âm, chứng minh rằng: a3 a  b  c   b3 b  c  a   c3 c  a  b  1 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH ĐỊNH  Hướng dẫn: Xét BĐT: 1 x 1  x2 , x  Thật vậy, theo BĐT Cô - si, ta có:  x  1  x 1  x  x    x  1 x  x x2 1 2 Áp dụng vào toán : a3 a  b  c  Tương tự, có: b3 b  c  a     b  c     a  b2 a  b2  c 2 Đẳng thức xảy a  b  c  a2  a2  b2  c  b  c      a   2 ; c3 c  a  b   1 c2 a  b2  c2 3