T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com K ộĂộG S D ộG CỌSIO TROộG GI I TOỦộ Bùi Th Vi t THPT Chuyên Thái Bình) Trong d ng c h c t p đ c phép mang vào phòng thi k thi đ i h c k thi THPT Qu c Gia máy tính c m tay d ng c không th thi u giúp tính toán nhanh chóng Tuy nhiên máy tính c m tay s tr th đ c l c đ gi i toán đ c bi t gi i Ph ng Trình H Ph ng Trình ” t Ph ng Trình hay k c ” t Đ ng Th c Mình (tác giá - ”ùi Th Vi t m t ng i r t đam mê v i nh ng k th thu t s d ng máy tính c m tay gi i toán Mình áp d ng vào đ thi THPT Qu c Gia Ch phút, đ a l i gi i xác cho câu Ph ng Trình Vô T c)ng ch g n gi hoàn thành xong làm v i m s t đ i ng i đ c m t i đa V y s d ng cho hi u qu Hãy đ n v i chuyên đ K ộăng S D ng CỌSIO Trong Gi i Toán Chuyên đ ch a ph i t t c nh ng Th Thu t mà đ a t i cho b n đ c Tuy không nhi u nh ng th thu t d i s mang t i s k di u mà chi c máy tính C“SIO có th mang l i Chuyên đ s gi i thi u th thu t C“SIO hay dùng vi c gi i toán  Th thu t s d ng C“SIO đ rút g n bi u th c  Th thu t s d ng C“SIO đ gi i ph ng trình b c  Th thu t s d ng C“SIO đ tìm nghi m ph ng trình  Th thu t s d ng C“SIO đ phân tích đa th c thành nhân t m t n  Th thu t s d ng C“SIO đ phân tích đa th c thành nhân t hai n  Th thu t s d ng C“SIO đ gi i h ph ng trình  Th thu t s d ng C“SIO đ tích nguyên hàm, tích phân  Th thu t s d ng CASIO đ gi i b t đ ng th c T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com TH THU T : TH THU T S D NG CASIO Đ RÚT G N BI U TH C Bài 1: Gi i Ph ng trình: 2x   x2  3x   đ thi Đ i H c kh i D năm 1  Đi u ki n xác đ nh: x   ;   2  Thông th ng v i d ng toán này, ta s bình ph ph ng trình b c  H ng ”ình ph ng hai v ng ho c đ t n đ đ a v 2x   x  3x    2x   ( x  3x  1)2   H ng  x  6x3  11x  8x   t2  Đ t n ph Đ t t  2x    x  ta đ 2x   x  3x   c  t2    t2    t     1  2     t4   t2  t   4 Làm th đ rút g n bi u th c m t cách nhanh chóng : 2x   (x2  3x  1)2  x4  6x3  11x2  8x  2  t2    t2   t4 t    t t    4     N u b n ch a bi t Th Thu t S D ng Casio Đ Rút G n ọi u Th c, ch c h n b n s ph i k công ng i nháp Và b n c)ng s g p nh ng sai sót Tuy nhiên n u b n s d ng C“SIO m i chuy n s đ n gi n h n b n nghĩ Ý t ng : Ta s xét bi u th c x  1000 D a vào ch s hàng đ n v hàng nghìn hàng tri u hàng t ta s tìm đ c h s t ng ng v i h s t h s x h s x2 h s x3 , T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ví d xét f(x)  ax3  bx2  cx  d f (1000)  a 00b00c00d  109 a Suy a  f 1000  109 Làm th đ tính giá tr bi u th c x  1000 Cách nhanh nh t s d ng phím C“LC đ gán giá tr Ví d ta nh p m t bi u th c n X , ta n CALC cho X  1000 n máy tính s hi n th k t qu c a bi u th c X  1000 Đ hi u rõ h n vui lòng xem cách làm d i Th c hi n : a) Ta mu n rút g n bi u th c f(x)  2x   (x2  3x  1)2 ta l n l t tính nh sau Ta có : f 1000   9 , 94010992 1011  1012  x f 1000   x  5989007998  109  6x3 f 1000   x  6x3  10992002  11 106  11x f 1000   x  6x3  11x  7998  103  8x f 1000   x  6x3  11x  8x  2  f  x   x  6x3  11x  8x  V y đáp s   2x   x  3x   x  6x3  11x  8x   x2    x2   b) Ta mu n rút g n bi u th c f  x   x     3   ta s 2     nhân bi u th c v i đ h s c a f ( x) đ u s nguyên Ta có : 4f 1000   9, 99996004 1011  1012  x 4f 1000   x  3996001  4  106  4x 4f 1000   x  4x  3999   103  4x 4f 1000   x  4x  4x  1  4f  x   x  4x  4x   f  x  x4  x2  x  4 V y đáp s  x2    x2   x4 x  x2  x    3  1  4     T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Phân tích h ng gi i Làm th đ gi i quy t n t toán ? Hãy t t đ c h t chuyên đ r i xem l i toán trên, ch c ch n b n đ c s có nhìn hoàn toàn khác v nh ng t p d ng Hãy th xem qua l i gi i sau Cách Nhân liên h p hoàn toàn: Ta có : 2x   x  3x     x  1 x      2x        x  1  x   0 1 x      2x      x  1  x     1 x       2    x  1 1  0    2x     Cách : Nhân liên h p không hoàn toàn Ta có :  2x   x  3x     x  1 x                   2x       2x   2x    x    2x     2x   2x    x      2x   2x    x  1  2x    2    2x    x  1  2x    0 2x      2x    x  1 2x    2x     Cách Phân tích thành nhân t không hoàn toàn        2x   x  3x    Cách   2x   x    2x   x  Phân tích thành nhân t hoàn toàn T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 2x   x  3x    2x   x  2x    Cách Bình ph ng hai v 2x   x  3x         2x   x  3x      x  x   x  1  Cách Đ t n ph hoàn toàn t2 1 Đ t t  2x 1  x  V y ta có 2  t2    t2   2x   x  3x    t       1  2      t  t   t  1  Cách Đ t n ph không toàn toàn   Đ t t  x  V y ta có 2x   x  3x    x2  t  x  t   t  x  t  x  1  Cách Đ t n ph đ a v h ph Đ t y  x  Ta có h ph ng trình ng trình  x  3x   y    y  x   L y PT (1)  PT (2) ta đ x c     3x   y  y2  2x     x  y  1 x  y   cách làm có khác v cách trình bày nh ng v b n ch t gi ng Đó xu t phát t m t th g i nhân t Khi có nhân t bi t đ c bi u th c c n nhóm đ đ t n ph nhân liên h p phân tích nhân t Đ hi u rõ h n b n đ c đ c th thu t ti p theo r i quay l i xem toán th làm nh ng t p t ng t M t s t p t ng t : x2  2x   x x   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 2 x2  15 x    x  11 x  x2  24 x  35  4 x   x  4 x2  13 x  14  4 x   x  Bài 2: Gi i ph ng trình  x  2  x3  3x  13 đ thi th Đ i H c l n kh i B THPT Ngô Gia T B c Ninh năm Đi u ki n xác đ nh x  0,   Ý t ng T ng t ta c)ng s s d ng máy tính C“SIO đ rút g n ph trình b c sau  f  x    x    13  36 x3  3x   Th c hi n Ta làm b Ta có : ng  c nh f 1000   9, 8006994  1011  1012  x f 1000   x  1, 993005999  1010  20  109  20x3 f 1000   x  20x3  69940009  70  106  70x f 1000   x  20x3  70x  59991  60  103  60x f 1000   x  20x3  70x  60x   f 1000   x  20x3  70x  60x    K t lu n  x    13  36 x3  3x  x  20x3  70x  60x    Phân tích h ng gi i : V y toán cho ch đ n gi n vi c gi i ph ng trình b c x4  20x3  70x2  60x   Cách gi i ph ng trình b c b ng máy tính c m tay th thu t ti p theo Ngoài có cách gi i khác t ng t nh Tuy nhiên nên đ cách gi i ph ng trình b ng vi c phân tích nhân t t ng đ c a r t nhi u toán khó Cách : Bình ph ng hai v : Ta có : T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  x  2  x3  3x  13     x    13  36 x3  3x     x  20x  70x  60x       x  1 x  3 x  16x   Cách Ta có : Phân tích thành nhân t  x  4  M t s t p t   x2   x  x2   x  ng t : x2  15 x   x3  x x2  x   x3  x x2  13 x   x  x   4 x2  x   x2  x2  x Bài 3: Gi i ph   x x2   13 ng trình x5  x  x3  29 x  16 x   Đi u ki n xác đ nh x  Ý t ng : Thông th ng nh ng t p gi i ph ng trình ki u th ng có m t h ng gi i nhanh g n Đó Phân Tích Thành Nhân T Mu n phân tích đ c ta ph i bi t đ c nhân t c a toán Làm th đ tìm nhân t c a toán ? B ng th thu t CASIO, ta d dàng tìm nhân t c a toán x  6x   Nh ng đ tìm đ c b n đ c đ i t i th thu t sau Tóm l i ta mu n tìm nhân t l i c a toán th c a phép chia x5  x  x3  29 x  16x  f  x  x  6x  Th c hi n: ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x5  x  x3  29 x  16 x  Ta coi bi u th c ch m t đa th c n x x  6x  làm t ng t f 1000   999995001  109  x3 f 1000   x3  4999  5 103  5x f 1000   x3  5x  V y ta đ c x5  x  x3  29 x  16 x   x3  5x  x  6x  Phân tích h ng gi i Sau chia đa th c ta đ c   x5  x  x3  29 x  16 x   x3  5x  x  x   Đ gi i ph ng trình b c x3  5x   đón xem th thu t gi i ph ng trình b c d i V y ta có l i gi i nh sau L i gi i Ta có : x5  x  x3  29 x  16 x       x3  5x  x  x   Xét đa th c : g  x   x3  5x  Vì g ( x) b c nên g ( x)  có t i đa nghi m Ch nghi m :    1  15   15cos  arccos     3    1  15  2 15cos  arccos   x2    3    1  15  2 x3  15cos  arccos     3    x1  ”ài toán đ         c gi i quy t hoàn toàn Hy v ng qua toán c b n trên, b n đ c hình dung đ c l i ích c a vi c s d ng máy tính c m tay vi c rút g n bi u th c gi i toán M t s t p t ng t : T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x4  x3  x2  x   x5  x4  3x2  x   x5  x4  x3  x2  x   x6  x5  x4  24 x3  72 x2  64 x 16  TH THU T : TH THU T S D ộG CỌSIO Đ TÌM NGHI Ộ PH ộG TRÌộH Bài 1: Gi i B t Ph ng Trình: 300x  40x   10x    10x 0 1 x  1 x  (đ thi th Đ i H c l n THPT Qu nh L u Ngh An năm 1 3 Đi u ki n xác đ nh x   ;  / 0  10 10  Ý t ng 1 3 Ta có :  x   x  1  x   x   2x   ;  10 10  Quan tr ng nh t bây gi gi i quy t b t ph ng trình 300x2  40x   10x    10x  Thông th ng v i d ng toán ta s nhân liên h p v i nghi m c a toán Làm th đ tìm nghi m c a ph ng trình 300x2  40x   10x    10x  S d ng phím SOLVE đ tìm nghi m nh ng có l v i m t s b n, phím SOLVE cho ta m t nghi m c a toán V y v i toán có nhi u nghi m ? Làm th đ bi t toán ch có m t nghi m nh t ? Đ hi u rõ h n b n đ c xem cách làm d i Th c hi n  Ta vi t bi u th c 300x2  40x   10x    10x  lên máy tính n SOLVE đ tìm nghi m máy h i X ?  Nh p  1 đ tìm nghi m g n nh t 10 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com     Máy cho nghi m x  0.2  n SOLVE đ tìm nghi m máy h i X ? 3 đ tìm nghi m g n nh t 10 10 Máy cho nghi m x  0.2  Nh p V y ta có th k t lu n Ph ng trình 300x2  40x   10x    10x  có nghi m nh t x  Phân tích h Khi bi t x  ng gi i nghi m nh t c a ph ng trình ta ch c ch n s d ng đ c ph ng pháp nhân liên h p Ngoài n u b n đ c th thu t gi i ph ng trình vô t b ng C“SIO ta có th có thêm nh ng cách làm khác Cách Nhân liên h p hoàn toàn Ta có : 300x  40x   10x    10x  1    10x    30x    0 10x    10x      10x  1  10x    30x      10x    10x    Cách : Phân tích thành nhân t Ta có : 300x  40x   10x    10x   300x  40x    10x      10 x  30x  2   10x       10 x  30 x     30 x    10 x  30 x    10x     0    10 x 10x       30 x  1  10 x  30 x  10x    10x     0     x x 10 10 1     M t s t p t ng t : x2  x   2 x    x   10x    T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  Khi x   y :  2  x  y  x  y  xy   y  1 y    x x2  y  12  9x   y  1 y     Suy 2PT(1)  PT(2)   K t lu n Ta l y 2PT(1)  PT(2) r i phân tích thành nhân t Phân tích h ng gi i Ta s s d ng th thu t phân tích thành nhân t L i gi i Phân tích thành nhân t : L y 2PT(1)  PT(2) ta đ c n đ gi i toán (x  y  3)(x  xy  x  2y  4)  xy3 Vì :  x  xy  y  x  y  2 y  7  10   x  xy  x  y    x      y     2  4 7  L i gi i chi ti t dành cho b n đ c Bài 5: Gi i H Ph ng Trình: xy  x  y   3 4x  12x  9x  y  6y   Ý t ng Ta làm t ng t Th c hi n  Tìm nghi m c a h ph nghi m    ng trình b ng C“SIO ta đ c b  3  17  17  (x, y)   ,    y M i liên h gi a x y x   y Khi x   : 2  xy  x  y   y y4   4x3  12x  9x  y3  y    y  1 y  y       T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  Suy 3(y  1)PT(1)  PT(2) K t lu n Ta l y 3(y  1)PT(1)  PT(2) r i phân tích thành nhân t Phân tích h ng gi i Ta làm t ng t toán tr c L i gi i Phân tích thành nhân t : L y 3(y  1)PT(1)  PT(2) ta đ c (x  y  1)( 2x  y  2)2  L i gi i chi ti t dành cho b n đ c Bài 6: Gi i H Ph ng Trình: x3  y3  91  2 4x  3y  16x  9y Ý t ng Ta làm t ng t Th c hi n  Tìm nghi m c a h ph ng trình b ng C“SIO ta đ nghi m (x, y)  ( 4, 3);(3, 4)  M i liên h gi a x y x   y  Khi x   y :  3  x  y  91  21 y   y  3  2  4x  3y  16x  9y   y   y  3 Suy PT(1)  3PT(2)  K t lu n Ta l y PT(1)  3PT( 2) r i phân tích thành nhân t Phân tích h ng gi i Ta làm t ng t toán tr Cách Hàm đ c tr ng: L y PT(1)  3PT( 2) ta đ c c x3  12x  48x    y   12   y   48   y  Xét hàm đ c tr ng: f  t   t  12t  48t  f '  t    t    L i gi i chi ti t dành cho b n đ c Cách : Phân tích thành nhân t : L y PT(1)  3PT( 2) ta đ c c b T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com x3  12x  48x  (  y)3  12(  y)2  48(  y)     x  y   x  xy  y  5x  y  13  2  y 5  y 3    x  y     x     3      2  2    L i gi i chi ti t dành cho b n đ c Bài 7: Gi i H Ph ng Trình: 2 3x  xy  9x  y  9y  2x  x y  20x  20y Ý t ng Ta làm t ng t Th c hi n  Tìm nghi m c a h ph nghi m ng trình b ng C“SIO ta đ c b (x, y)  (0, 0);(2, 1)  M i liên h gi a x y x  2y  Khi x  2y :  3x2  xy  9x  y  9y  9y  y  1   2x  x y  20x  20y  20y  y  1 y  1   Suy 20(y  1)PT(1)  9PT(2)      K t lu n Ta l y 20(y  1)PT(1)  9PT(2) r i phân tích thành nhân t Phân tích h ng gi i Ta ph i làm thêm m t h ph ng trình n a: Cách : Phân tích thành nhân t : L y 20(y  1)PT(1)  9PT(2) ta đ c (x  y)(18x  10 y  15xy  60x  80 y)  L y 8PT(1)  PT(3) ta đ  c    3x  xy  9x  y  9y  18x  10y  15xy  60x  80y    2x  y   3x  2y   L i gi i chi ti t dành cho b n đ c Cách Phân tích thành nhân t : L y  2x  y  5 PT(1)  9PT(2) ta đ c T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  2y  x3x  2y  2x  y  4  L i gi i chi ti t dành cho b n đ c TH THU T : TH THU T S D ộG CỌSIO Đ TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 1: Tính Tích Phân: I  Ýt x 2dx x  1 ng Ta c n vi t d i d ng f  x   x x2  1  a  x  1  b c d v i   x   x  1 x 1 a,b,c,d Khi ta s tìm a , b, c, d b ng lim Th c hi n  Ta l n l t tìm lim c a bi u th c sau  a  lim f  x  x  1   x 1    a    b lim f x x          x 1   x  12      c  lim f  x  x  1  x 1    c      x  1   d lim f x      x 1   x  1    K t lu n Ta đ c x2 1 1     2  x  1  x  1  x  1  x  1 x2    Phân tích h ng gi i Công vi c c a đ n gi n r i Chúng ta s tách nh tính tích phân t ng ph n L i gi i Tích phân t ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ta có : I  3 x 2dx x  1  1 1  dx       x  12  x  1  x  12  x  1  2   1 1     ln x    ln x    ln  x 1  x 1  48 Bài 2: Tính Tích Phân:  I tan xdx   cos x  2 (đ thi th Đ i H c l n THPT Kim Thành Ý t ng Đ t t  cosx dt   sin xdx Đ i c n ta đ  tan xdx K t lu n Ta đ 2 i d ng f t  Th c hi n  Ta l n l dt  Ta c n vi t d c   cos x  2  t  t  2 I H iD t  t  2  a  t  2  b c  t2 t t tìm lim c a bi u th c sau   a lim f t t        t 2    a     t  2   b lim f t      t 2   t        c  lim f  t  t  t 0  c 1 1    4t  t    t   t  t  2 Phân tích h ng gi i Ta s trình bày nh sau L i gi i Tích phân t ng ng năm T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ta đ t t  cosx dt   sin xdx Khi I  tan xdx 1 dt  1      dt    4 t t    2 t   1    cos x    t  t     2 1  1   ln t  ln t     ln  2 t    30 4 Bài 3: Tính Tích Phân: 1  x  dx I x 1  x  5 Ýt ng 1  x  dx  1  t  dt I  t 1  t  x 1  x  Đ t t  x  dt  5x dx V y Đ t f t  1 t t 1  t  Th c hi n  Ta l n l K t lu n Ta đ  a 1  t   32 2 b c  v i a,b,c 1 t t Ta s tìm a,b,c t tìm lim c a bi u th c sau  a  lim f  t 1  t   2 t 1    a      t   1 b lim f t       t 1  t        c  lim f  t  t   t 0  c 1 t 1     t 1  t  1  t 2  t t Phân tích h ng gi i Ta s trình bày nh sau : L i gi i Tích phân t ng Ta đ t t  x5  dt  5x4dx Khi T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com 1  x  dx  1  t  dt    I  t 1  t    1  t  x 1  x   32 32 1    ln  t  ln  t 1  1   dt 1 t t   32 64 31  t   ln  33 165 1 Bài 4: Tính Tích Phân: I x  33   x  3  x  1  x  1dx Ýt Đ t f(x)  ng x2  33  a  x  3  x  1  x  1  x  3 Th c hi n  Ta l n l  b  x  3  c d e f    x 1 x 1 x   x  1 t tìm lim c a bi u th c sau 3  a lim f x x         x 3    a    b lim f x x          x 3   x  33       b  a   x  3  2 c lim f x        x 3  3 x x           d  lim f  x  x  1   x 1    15 d    x  1  e  lim  f  x    x 1   x  1      f  lim f  x  x  1  x 1  K t lu n Ta đ c 3 x2  33 2 15        x  33  x  12  x  1  x  33  x  32 x   x  12  x  1  x  1 Phân tích h ng gi i Ta s trình bày nh sau L i gi i Tích phân t ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Ta có : I   x  3 x  33 dx  x  12  x  1 5 3 2 15  dx          x  33  x  32 x   x  12  x  1  x  1  4     15           ln x ln x ln x 1   x  32  x  3  x 1 8  4 15 35  ln  ln  ln  48 Bài 5: Tính Tích Phân: I   x  1  x 2 Ýt Đ t dx  1 ng f(x)   x  1 x  1  a  x  1  b c  x 1 x 1 Th c hi n  Ta l n l t tìm lim c a bi u th c sau  f  x  x  1  a  lim x 1     b  lim  f  x   a   x  1   x 1    x  12     Ta s tìm c nh sau Xét x  1000 :  a b  x  c x      50   x  12 x   x  12 x     K t lu n Ta đ c 1 x    2  x  1 x2   x  1  x  1 x2    Phân tích h ng gi i Ta s trình bày nh sau       T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com L i gi i Tích phân t ng Ta có : I   x  1  2 3 x 1 dx       x  1 x  x2    x  1      dx     1 1 ln     ln|x  1| ln|x2  1|   4   x  1 2 Bài 6: Tính Tích Phân: I  x x3  2x  x  Ýt Đ t   x  2x  dx  ng : f(x)  x x3  2x  x    x  2x    a b  x  x  2x  Th c hi n  Ta bi t i , 1  2i l n l t nghi m c a x2  2x    Ta l n l t tìm lim c a bi u th c sau : a  lim f  x  x   0, 25  0, 25i  x i  b  lim f  x  x  2x    1, 060660172i x 1 2i  1  x 1  a    i   b   i    x  1  3x   4 K t lu n Ta đ c x  2x  x  x 1 3x    x  x  2x  x  x  x       Phân tích h ng gi i Ta s trình bày nh sau L i gi i Tích phân t ng Ta có :       x2   , T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com I  1 3x   x 1  dx   x  x  2x  x  2x   x 1 x3  2x  x          dx   1   arctan  x  1     ln x   arctan x  ln x  x    8          2  ln arctan  arctan   2 16 2 TH THU T : TH THU T S D ộG CỌSIO Đ GI I B T Đ NG TH C Bài 1: Cho a,b,c  a  b  c  Tìm GTLN c a P Ýt 4a  4b2  4c    a3  b 1 c 1 ng 4a   ka  m v i m i a  Ta c n tìm k,m cho: a 1 D u b ng ch a  a0  Đ t ng quát v n đ ta c n tìm k,m cho f(x)  mg(x)  k ho c f(x)  mg(x)  k v i m i x Khi k, m s nghi m c a h ph ng trình sau f  x0   kg  x0   m  f '  x0   k 'g  x0  V i x  x0 m r i Th c hi n  Ta s tìm k m t cách nhanh chóng b ng cách d  4x   k    dx  x   x 1  Và m s đ c tìm b ng cách 4a0  m  ka0  a0  V i a0  m r i c a toán T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  4a  a  đ ch ng minh  a3  Ta s phân tích thành nhân t không d ng v i m i a  K t lu n Ta có (a  11a  5)(a  1)2 4a  a     0a  a3  a3    Phân tích h ng gi i Ta s làm t ng t v i b, c r i c ng l i đáp án L i gi i B t đ ng th c Ta có : (a  11a  5)(a  1)2 4a  a  4a  a          a 3 4  a3  a a 1   4b  b  4c  c    Ch ng minh t ng t ta có , suy ra: 4 b 1 c 1 4a  4b2  4c2  a  b  c  15 P       4 a 1 b 1 c 1 15 V y Pmax  ch a  b  c  Bài 2: Cho a,b,c  Ch ng minh r ng a  b3 b3  c3 c3  a abc    2 2 2a  ab  b b  bc  c c  ca  a Ýt ng Ta c n tìm k,m cho: a  b3 x3  b  ka  m   kx  m v i 2a  ab  b2 2x2  x  m i a  xb Th c hi n  Ta s tìm k, m b ng cách k  d  x3     dx  x2  x    x 1 Ta s phân tích thành nhân t K t lu n Ta có x 03  19 15 kx m    16 16 x0  x0  a  b3 19a  15b  2 16 2a  ab  b T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a  b3  6a  b  a  b   0a, b  19a  15b    16 2a  ab  b2 16 2a  ab  b2   a  b3 19a  15b   16 2a  ab  b2 Phân tích h ng gi i Ta s làm t ng t v i b, c r i c ng l i đáp án L i gi i B t đ ng th c Ta có : a  b3  6a  b  a  b   0a, b  19a  15b   2 16 2a  ab  b 16 2a  ab  b2   a  b3 19a  15b   16 2a  ab  b Ch ng minh t ng t ta có : c3  a b3  c 19c  15a 19b  15c   16 16 c2  ca  a 2 b2  bc  c2 Suy ra: a  b3 b3  c3 c3  a abc    2 2 2a  ab  b b  bc  c c  ca  a Bài 3: Cho a,b,c  th a mãn abc  Tim GTNN c a P a2  b2  c2    a(a  1)2 b(b  1)2 c(c  1)2 Ý t ng Ta th y lnabc  lna  ln b  ln c nên ta tìm k,m cho : a2   k ln a  m a(a  1)2 D u đ ng th c a  Th c hi n   1 m  2 a 1 1  ln a   0a  Ta c n ch ng minh f(a)  2 a(a  1) T ng t toán tr c ta tìm đ c k T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com a2  1 K t lu n Ta s ch ng minh f(a)   ln a   0a  2 a(a  1) Phân tích h ng gi i Ta ch ng minh b ng đ o hàm cách t t nh t L i gi i B t đ ng th c Ta có b đ a2  1    0a  f(a)  ln a a(a  1)2 Ch ng minh f '(a)   a3  a  3a   a  13 a2   a  1 a  2a  7a    2a  a  1 a V y f '(a)   a  f'(a) đ i d u t âm sang d Suy f(a)  f(1)  đpcm  ng qua Ch ng minh t ng t , suy ra: a2  b2  c2  3 ln abc P      ln a  ln b  ln c     2 2 2 2 a(a  1) b(b  1) c(c  1) V y Pmin   a  b  c  Bài 4: Cho a,b,c  th a mãn a  b  c  Ch ng minh r ng 1 a2  b2  c2    a b c Ýt ng Ta c n tìm k,m cho a   ka  m a2 Th c hi n  T ng t toán tr  c ta tìm đ c k  4,m  4 Ta c n ch ng minh f(a)  a   4a  a   a  2a   a  1 0  Tuy nhiên a   4a   a a2  ”ĐT ch n u  a   K t lu n Ta s chia tr ng h p đ áp d ng 2 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com   a  2a   a  1 a   4a   0 a a2 Phân tích h ng gi i Ta s làm nh sau L i gi i B t đ ng th c Không m t tính t ng quát gi s a  b  c TH1: a  b  c   vô lý TH2: a  b    c vô lý TH3: a    b  c 2c  b  c   a   suy c  2 Còn b  b  c  3  2 D th y f(a) đ ng bi n (0, ) nên ta có:    80 f(a)  f(b)  f(c)  f(3)  f   f   10          a  2a   a  1  TH4:   a  b  c a   4a   a a2 V y f(a)  f(b)  f(c)  4(a  b  c)  12  Tóm l i ”ĐT đ c ch ng minh Bài 5: Cho x, y,z  th a mãn 2x  4y  7z  2xyz Tìm GTNN c a P xyz Ý t ng N u b n đ c t ng xem đáp án th c l i gi i c a toán r t khó đ th c hi n Tuy nhiên có cách khác d dàng h n r t nhi u ch c n s d ng máy tính C“SIO Ta s tìm m r i c a toán Cách tìm m r i b ng ph ng pháp nhân t Lagrange Th c hi n  Xét hàm f(x, y,z)  x  y  z  k( 2x  4y  7z  2xyz) Ta có h T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com  7k   xy  2k    k(  2yz)   yz   2k   k(  2xz)   2k     4k   k(  2yx)   zx  k 2x  4y  7z  2xyz    2    yz xz xy 8k 14k 4k    2k   2k  4k  k  T ta đ c xy  15   , yz  5,zx  hay (x, y,z)   3, ,      K t lu n Đi m r i c a toán (x, y,z)   3, ,    Phân tích h ng gi i Ta s áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i m r i có s n L i gi i Ph ng pháp nhân t Lagrange Ta có : 7 105   5 15   3 15  15 P  x y  x z   y z xy xz yz 12 10 12 10        33 7 105 5 15 3 15 15 15  33 x  z   33 y  z    x y 12 10 8xy 12 2xz 10 4yz V y Pmin  15    (x, y,z)   3, ,   