BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN - NGÔ THỊ PHƯƠNG THANH CÁC TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM SUY RỘNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian W k,p (Ω) 1.1.2 Các ví dụ 1.1.3 Không gian W0k,p (Ω) 1.2 Không gian Ho¨lder 1.3 Các định lý nhúng 1.4 Nguyên lý loại trừ Fredholm Các tính chất định tính nghiệm suy rộng 2.1 Nghiệm suy rộng 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Nguyên lý cực đại yếu 2.1.3 Tính giải toán Dirichlet 2.2 Tính khả vi nghiệm yếu 2.2.1 Tính khả tích đạo hàm cấp hai bên miền 2.2.2 Tính khả tích đạo hàm cấp cao bên miền 2.3 Tính bị chặn toàn cục nghiệm yếu 2.4 Bất đẳng thức Harnack yếu 2.5 Nguyên lý cực đại mạnh 2.6 Bất đẳng thức Harnack 2.7 Tính liên tục Ho¨lder nghiệm yếu 2.7.1 Tính liên tục Ho¨lder bên miền 2.7.2 Tính liên tục Ho¨lder lân cận biên KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 5 5 17 19 19 19 20 23 25 25 28 29 34 34 35 36 36 38 43 44 Mở đầu Lí chọn đề tài Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, việc nghiên cứu tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai cần thiết Thông thường phương trình suy từ định luật bảo toàn, nên chúng thường viết dạng bảo toàn Điều cho phép định nghĩa lớp nghiệm suy rộng toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn mà độ trơn hệ số nghiệm đòi hỏi cách tối thiểu Lớp nghiệm suy rộng thường tìm không gian Sobolev thích hợp Sau tồn nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính chất định tính chúng cần thiết, nhắc đến tài liệu tham khảo Để tìm hiểu vấn đề đó, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ "Các tính chất định tính nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp " Tài liệu tham khảo luận văn chương sách chuyên khảo [2] Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nghiệm suy rộng toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai tính chất định tính nghiệm suy rộng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Nguyên lý cực đại Tính khả vi nghiệm yếu Tính bị chặn toàn cục nghiệm yếu - Bất đẳng thức Harnack - Tính liên tục Ho¨lder nghiệm yếu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu tính chất định tính nghiệm suy rộng nguyên lý cực đại, đánh giá địa phương toàn cục nghiệm suy rộng Luận văn gồm hai chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức không gian Sobolev, không gian Ho¨lder, định lý nhũng Nguyên lý loại trừ Fredholm Chương Các tính chất định tính nghiệm suy rộng Đây nội dung luận văn, trình bày khái niệm nghiệm suy rộng, điều kiện đủ để nghiệm suy rộng tồn nhất, nghiên cứu tính chất định tính nghiệm suy rộng nguyên lý cực đại, bất đẳng thức Harnack, tính liên tục Ho¨lder Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nghiên cứu tổng quan tính chất định tính nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hại Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Viện Toán Học, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 - 2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Ngô Thị Phương Thanh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian W k,p (Ω) Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên ∂Ω, không gian W k,p (Ω) định nghĩa sau Với k ∈ N; ≤ p < +∞, đặt W k,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u ∈ Lp (Ω); ∀α : |α| ≤ k} (1.1) α = (α1 , α2 , , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 +α2 + +αn Dα u = Dxα11 Dxα22 Dxαnn ; ∂ Dxj = ∂x j Khi chuẩn u ∈ W k,p (Ω) định nghĩa   p1 u k;p;Ω = u W k,p (Ω) |Dα u|p dx (1.2) p Lp (Ω) (1.3) = Ω |α|≤k Một chuẩn khác tương đương u p W k,p (Ω) Dα u = |α|≤k Nhận xét: Nếu k1 < k2 W k2 ,p ⊂ W k1 ,p 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.1.1 Cho k = Khi đó, ta có: W 0,p = Lp (Ω) Ví dụ 1.1.2 Cho k = Khi đó, ta có: W 1,p (Ω) = u(x); u(x) ∈ Lp (Ω); Dxj u ∈ Lp (Ω), ∀j , n u p W 1,p (Ω) = u(x) p Lp (Ω) Dxj u + p Lp (Ω) j=1 Ví dụ 1.1.3 Cho k = Khi đó, ta có: W 2,p (Ω) = u(x) ∈ Lp (Ω); Dxj u, Dxj xk u ∈ Lp (Ω) , n n u p W 2,p (Ω) = u(x) p Lp (Ω) Dxj u + j=1 1.1.3 p Lp (Ω) Dxj xk u + p Lp (Ω) j,k=1 Không gian W0k,p (Ω) Không gian Banach W0k,p (Ω) phát sinh việc lấy bao đóng C0k (Ω) W k,p (Ω) Các không gian W k,p (Ω), W0k,p (Ω) không trùng miền Ω bị chặn Đặc biệt, p = 2, W k,2 (Ω), W0k,2 (Ω) (đôi kí hiệu H k (Ω), H0k (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng Dα uDα vdx (u, v)k = (1.4) Ω |α|≤k Dùng kiện tích hữu hạn không gian đóng không gian Banach tách (phản xạ) không gian Banach tách (phản xạ) ta suy không gian W k,p (Ω), W0k,p (Ω) tách với ≤ p < ∞ (phản xạ < p < ∞) Kí hiệu: W0k,p (Ω) = C0k (Ω) Khi W0k,p (Ω) = u(x); u(x) ∈ W k,p (Ω), Dα u |∂Ω = 0, |α| ≤ k − (1.5) Trường hợp p = +∞, không gian Sobolev Lipchitz có mối quan hệ với nhau, cụ thể là: k,∞ Wloc (Ω) = C k−1,1 (Ω) với Ω tùy ý W k,∞ (Ω) = C k−1,1 (Ω) với Ω đủ trơn 1.2 Không gian H¨ older Cho x0 điểm Rn f hàm định nghĩa tập bị chặn D chứa x0 Nếu < α < 1, ta nói f liên tục Ho¨lder với lũy thừa α x0 đẳng thức [f ]α;x0 = sup D |f (x) − f (x0 )| |x − x0 |α (1.6) hữu hạn Ta gọi [f ]α;x0 α – hệ số Ho¨lder f x0 tập D Rõ ràng f liên tục Ho¨lder x0 f liên tục x0 Khi (1.6) xác định với α = 1, f gọi liên tục Lipschitz x0 Ví dụ 1.2.1 Hàm f B1 (0) cho f (x) = |x|β , với < β < 1, liên tục Ho¨lder với lũy thừa β x = 0, liên tục Lipschitz β = Chú ý liên tục Ho¨lder sẵn sàng mở rộng toàn tập D (tập D không thiết bị chặn) Ta gọi f liên tục Ho¨lder với lũy thừa α D đẳng thức |f (x) − f (y)| ,0 < α |x − y|α x,y∈D [f ]α;D = sup 1, (1.7) hữu hạn Và f liên tục Ho¨lder địa phương với lũy thừa α D f liên tục Ho¨lder với lũy thừa α tập compact D Hai khái niệm hiển nhiên trùng D compact Hơn nữa, ý liên tục Ho¨lder địa phương có đặc tính mạnh liên tục Ho¨lder theo điểm tập compact Một hàm liên tục Ho¨lder địa phương liên tục Ho¨lder theo điểm tập D, miễn hàm bị chặn D Sự liên tục Ho¨lder chứng tỏ tiêu chuẩn định lượng tính liên tục Điều phù hợp với phương trình vi phân cục Hiển nhiên, khả vi phân đoạn Điều mở rộng không gian hàm khả vi Cho Ω tập mở Rn k số nguyên không âm Không gian C k,α Ω (C k,α (Ω)) định nghĩa không gian C k Ω (C k (Ω)), bao gồm hàm có đạo hàm riêng thứ k liên tục Ho¨lder (liên tục Ho¨lder địa phương) với lũy thừa α Ω Để đơn giản, ta kí hiệu: C (Ω) = C(Ω); C 0,α Ω = C α Ω ; C 0,α (Ω) = C α (Ω) với < α < Hơn nữa, cách đặt C k,0 Ω = C k Ω ; C k,0 (Ω) = C k (Ω), ta có không gian C k (Ω)(C k (Ω)) nằm không gian C k,α (Ω)(C k,α (Ω)) với ≤ α ≤ Ta kí hiệu C0k,α (Ω) không gian hàm C k,α (Ω) compact Ω Ta đặt: [u]k,0;Ω = Dk u 0;Ω [u]k,α;Ω = Dk u α;Ω = sup sup Dβ u , k = 0, 1, 2, |β|=k Ω = sup Dβ u α;Ω |β|=k (1.8) Với nửa chuẩn này, ta định nghĩa chuẩn liên kết sau: k k u C k (Ω) = |u|k;Ω = |u|k,0;Ω = C k,α (Ω) 0;Ω , (1.9) j=0 j=0 u Dj u [u]j,0;Ω = = |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + [u]k,α;Ω = |u|k,Ω + Dk u α;Ω , theo thứ tự không gian C k (Ω), C k,α (Ω) Nếu Ω bị chặn, với d = diam Ω, ta đặt: k u C k (Ω) k j = |u|k;Ω = dj D j u d [u]j,0;Ω = j=0 u C k,α (Ω) 0;Ω ; (1.10) j=0 = |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + dk+α [u]k,α;Ω = |u|k;Ω + dk+α Dk u α;Ω Không gian C k (Ω), C k,α (Ω) với chuẩn không gian Banach Chú ý tích hàm liên tục Ho¨lder liên tục Ho¨lder Thực tế, u ∈ C α (Ω), v ∈ C β (Ω) uv ∈ C γ (Ω) với γ = min(α, β) 1.3 uv C γ (Ω) ≤ max(1, dα+β−2γ ) u uv C γ (Ω) ≤ u C α (Ω) v C α (Ω) v C β (Ω) ; C β (Ω) Các định lý nhúng Định lý 1.3.1 Giả sử Ω miền bị chặn Khi ta có phép nhúng sau np W01,p (Ω) ⊂ với p < n với p > n L n−p (Ω) C (Ω) Hơn nữa, tồn số c = c(n, p) cho với u ∈ W01,p (Ω) thì: u np n−p ≤ c Du p với p < n, p với p > n sup |u| ≤ c |Ω| n − p Du (1.11) Chứng minh Chúng ta thiết lập đánh giá (1.11) cho hàm C01 (Ω) Trường hợp p = Rõ ràng với u thuộc C01 (Ω) i bất kì, ≤ i ≤ n, xi |u(x)| ≤ |Di u| dxi , −∞ đó:   n−1 +∞ n n |Di u| dxi  |u(x)| n−1 ≤  (1.12) i=1−∞ Bất đẳng thức (1.12) lấy tích phân liên tục với biến xi , i = 1, , n Sau áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder tổng quát cho m = p1 = = pm = n − cho tích phân, ta có:   n1 n u n n−1 |Di u| dx ≤ ≤ n i=1 Ω n (1.13) |Di u| dx i=1 Ω ≤ √ Di u n Do đó, bất đẳng thức (1.11) thiết lập cho trường hợp p = Các trường hợp lại nhận cách thay u lũy thừa |u| đánh giá (1.13) Theo cách nhận được, với γ > u γ ≤√ n n n−1 |u|γ−1 |Du| dx Ω γ ≤ √ |u|γ−1 n p Du bất đẳng thức Ho¨lder Bây với p < n, ta chọn γ thỏa mãn: γn (γ − 1) p = , n−1 p−1 tức là: γ = (n−1)p n−p Và vậy, ta được: u np n−p γ ≤ √ Du n cần tìm p, p Định lý 2.3.1 Cho toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq (Ω), i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với vài q > n Khi đó, u W 1,2 (Ω) nghiệm (nghiệm trên) phương trình (2.3) Ω thỏa mãn u ≤ 0(≥ 0) ∂Ω, ta có: sup u(−u) ≤ C( u+ (u− ) + k) (2.31) Ω với k = λ−1 ( f q + g q/2 ) C = C(n, ν, q, |Ω|) Chứng minh Ta giả sử u nghiệm phương trình (2.3) Với β ≥ N > k , ta định nghĩa hàm H ∈ C [k, ∞) cách đặt H(z) = z β − k β với z ∈ [k, N ] H tuyến tính với z ≥ N Tiếp theo, ta đặt w = u+ = u+ + k cho w v = G(w) = (2.32) H (s) ds k bất đẳng thức (2.27) Bởi quy tắc dây chuyền, v hàm kiểm tra (2.27) sử dụng (2.30), thay vào ta có: (bG (w)w2 + G(w) |B(x, u, Du)|)dx λ |Dw|2 G (w)dx ≤ Ω Ω G (w) |Dw|2 dx + + ≤ε ε Ω bG (w)w2 dx Ω G(s) ≤ sG (s) Du = Dw v = G(w) > Do đó, cho ε = 21 , ta có: G (w) |Dw|2 dx ≤ Ω bG (w)w2 dx, Ω theo (2.32) |DH(w)|2 ≤ Ω b H (w)w dx Ω Từ H(w) ∈ W01,2 (Ω) ta áp dụng bất đẳng thức Sobolev bất đẳng thức Ho¨lder để thu  1/2 H(ω) 2n/(n−2) ≤C b H (ω)ω dx Ω ≤C b 1/2 q/2 H (ω)ω 2q/(q−2) n = n với n > 2, < < q, C = C(n) với n > C = C(2, |Ω|) với n = Cấu trúc (2.30) đánh giá tiếp tục với k = (2.29) kéo theo 30 f g tập không Chọn k giả thiết định lý, ta có: H(ω) 2n/(n−2) ≤ C ωH (ω) 2q/(q−2) (2.33) C = C(n, ν, |Ω|) Hơn nữa, ta dùng định nghĩa H cho N → ∞ đánh giá (2.33) Điều kéo theo, với β tùy ý, β ≥ 1, bao hàm ω ∈ L2βq/(q−2) (Ω) bao hàm mạnh hơn, ω ∈ L2β n/(n−2) (Ω), nữa, đặt q∗ = 2q/(q − 2), X = n(q − 2)/q(n − 2) > 1, ta thu ω βX q∗ ≤ (Cβ)1/β ω (2.34) βq∗ Kết thu lặp lại đánh giá (2.34) Bởi phép quy nạp, ta có Lp (Ω) Ta đặt β = X m , m = 0, 1, 2, , (2.34), ta có: thể giả sử ω ∈ 1≤p n Khi u W 1,2 (Ω) nghiệm (nghiệm trên) phương trình (2.3), ta có: sup u(−u) ≤ sup u+ (−u) + Ck Ω k = λ−1 f q + g q/2 (2.36) ∂Ω C = C(n, ν, q, |Ω|) Chứng minh Giả sử u nghiệm (2.3) Bởi giả thiết (2.8), l = sup u+ nghiệm không tính tổng quát, giả sử ∂Ω l = Tiếp tục chứng minh Định lý 2.1.1, ta có: (aij Dj uDi v − (bi + ci )vDi u)dx ≤ Ω (f i Di v − gv)dx (2.37) Ω với v không âm W01,2 (Ω) cho uv ≤ Bất đẳng thức yếu (2.37) thỏa mãn điều kiện (2.28) với bi = d = với c thay b + c Ta giả sử k > đặt M = sup u+ Trong (2.37), ta chọn hàm thử Ω v= u+ ∈ W01,2 (Ω) M + k − u+ 32 dùng (2.28), ta thu Du+ dx ≤ (M + k − u+ )2 λ Ω |b + c| u+ Du+ u+ |g| (M + k) |f |2 + + (M + k − u+ ) (M + k − u+ ) 2λ(M + k − u+ )2 M +k dx Ω Bởi định nghĩa k , ta có |b + c| Du+ dx, C = C(|Ω|) (M + k − u+ ) Du+ dx ≤C+ + (M + k − u ) λ Ω Ω Bây ta định nghĩa ω = log M +k , M + k − u+ từ bất đẳng thức Schwarz, ta thu  |Dω|2 dx ≤ C 1 + λ−2 Ω  |b + c|2 dx Ω ≤ C(ν, |Ω|), bất đẳng thức Sobolev, ta có: ω ≤ C(n, ν, |Ω|) (2.38) Chứng minh hoàn thành việc ω nghiệm phương trình dạng (2.3) Lấy η ∈ C01 (Ω) thỏa mãn η ≥ 0, ηu ≥ Ω, ta thay vào hàm thử (2.37) v=− η (M + k − u+ ) Khi đó, ta thu được: (aij Dj ωDi η + ηaij Di ωDj ω − (bi + ci )ηDi ω)dx Ω −ηg (Di η + ηDi ω)f i + (M + k − u+ ) (M + k − u+ ) ≤ dx Ω Do đó: (aij Dj ωDi η − (bi + ci )ηDi ω)dx + λ Ω |g| |f | + k 2λk ≤ η+ η |Dω|2 dx Ω i f Di η (M + k Ω − u+ ) dx + λ η |Dω|2 dx Ω 33 (aij Dj ωDi η − (bi + ci )ηDi ω)dx ≤ Ω gη + f i Di η dx (2.39) Ω g= g q/2 ≤ 2λ, f |f |2 i fi |g| + , f = k 2λk (M + k − u+ ) ≤ λ q Khi ta áp dụng Định lý 2.3.1 để thu sup ≤ C(1 + w ), C = C(n, ν, q, |Ω|) Ω ≤ C (M +k) k ≤ C (2.36) thỏa mãn Kết cho nghiệm u(x), tức Lu ≤ g + Di f i , thu việc thay u −u 2.4 Bất đẳng thức Harnack yếu Các đánh giá mục 2.3 đưa tới định lý sau Định lý 2.4.1 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq (Ω), g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Giả sử u W 1,2 (Ω) nghiệm phương n trình (2.3) Ω, không âm hình cầu B4R (y) ⊂ Ω ≤ p < n−2 Khi đó, u thỏa mãn bất đẳng thức Harnack yếu sau R−n/p u Lp (B2R (y)) ≤C (2.40) inf u + k(R) BR (y) C = C(n, Λ/λ, νR, q, p) k = k(R) = λ−1 Rδ f 2.5 q + R2δ g q/2 (2.41) Nguyên lý cực đại mạnh Định lý sau làm mạnh thêm nguyên lý cực đại yếu Định lý 2.5.1 Lấy toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) (2.8) và: aij (x)ξi ξj ≥ λ |ξ|2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn , aij (x) ≤ Λ2 , λ−2 bi (x) (dv − bi Di v)dx ≤ 0, ∀v ≥ 0, v ∈ C01 (Ω), Ω 34 + |ci (x)|2 + λ−1 |d(x)| ≤ ν , u ∈ W 1,2 (Ω) thỏa mãn Lu ≥ Ω Khi đó, với hình cầu B ⊂⊂ Ω ta có: sup u = sup u ≥ 0, (2.42) B Ω hàm u số Ω Chứng minh Ta viết B = BR (y), không tính tổng quát giả sử B4R (y) ⊂ Ω Lấy M = sup u áp dụng bất đẳng thức Harnack yếu Ω R −n p u Lp (B2R (y)) ≤C inf u + k(R) (2.43) BR (y) với p = tới nghiệm v = M − u, ta thu được: R−n (M − u)dx ≤ C inf (M − u) = B B2R Suy u ≡ M B2R ta thu u ≡ M Ω 2.6 Bất đẳng thức Harnack Định lý 2.6.1 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq (Ω), i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Giả sử u W 1,2 (Ω) nghiệm phương trình (2.3) Ω, với hình cầu B2R (y) ⊂ Ω p > ta có sup u(−u) ≤ C R−n/p u+ (u− ) BR (y) Lp (B2R (y)) + k(R) (2.44) C = C(n, Λ/λ, νR, q, p), u+ = max(u, 0), u− = max(−u, 0) Kết hợp Định lý 2.6.1 Định lý 2.4.1, ta thu bất đẳng thức Harnack đầy đủ sau Định lý 2.6.2 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) giả sử u ∈ W 1,2 (Ω) thỏa mãn u ≥ Ω Lu = Ω Khi với hình cầu B4R (y) ⊂ Ω, ta có sup u ≤ C inf u (2.45) BR (y) BR (y) C = C(n, Λ/λ, νR) Hệ 2.6.1 Giả sử L u thỏa mãn giả thiết Định lý 2.6.2 Khi với Ω ⊂⊂ Ω ta có sup u ≤ C inf u (2.46) Ω Ω C = C(n, Λ/λ, ν, Ω , Ω) 35 2.7 2.7.1 Tính liên tục H¨ older nghiệm yếu Tính liên tục H¨ older bên miền Định lý 2.7.1 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq (Ω), i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Khi đó, u W 1,2 (Ω) nghiệm phương trình (2.3) Ω, u liên tục Ho¨lder địa phương Ω, với hình cầu B0 = BR0 (y) ⊂ Ω, R ≤ R0 ta có R0−α sup |u| +k osc u ≤ CRα BR (y) (2.47) B0 C = C(n, Λ/λ, ν, q, R0 ) α = α(n, Λ/λ, νR0 , q) số dương, k = λ−1 f q + g q/2 osc u = sup u − inf BR (y) BR (y) BR (y) Chứng minh Không tính tổng quát giả sử R ≤ R40 Ta viết M0 = sup |u| , M4 = sup |u| , m4 = inf |u| , M1 = sup |u| , m1 = inf |u| Khi đó, ta có: B0 B4R B4R BR BR L(M4 − u) = M4 (Di bi + d) − Di f i − g, L(u − m4 ) = −m4 (Di bi + d) + Di f i + g Do đó, ta đặt k(R) = λ−1 Rδ f q + M0 b q + λ−1 R2δ g q/2 + M0 d q/2 , δ = − n/q, áp dụng bất đẳng thức Harnack yếu với p = cho hàm M4 − u, u − m4 B4R , ta thu R−n (M4 − u)dx ≤ C(M4 − M1 + k(R)), B2R R−n (u − m4 )dx ≤ C(m1 − m4 + k(R)) B2R Bởi phép cộng, ta có: M4 − m4 ≤ C(M4 − m4 + m1 − M1 + k(R)) Từ đó, viết: ω(R) = osc u = M1 − m1 , BR (y) ta có ω(R) ≤ γω(4R) + k(R) γ = − C −1 , C = C(n, Λ/λ, νR0 , q) Bổ đề đơn giản sau kết mong muốn 36 Bổ đề 2.7.1 Giả sử ω hàm không giảm nửa khoảng (0, R0 ] thỏa mãn, với R ≤ R0 , bất đẳng thức ω(τ R) ≤ γω(R) + σ(R) (2.48) σ không giảm < γ, τ < Khi đó, với µ ∈ (0, 1) R ≤ R0 , ta có α R R0 ω(R) ≤ C ω(R0 ) + σ Rµ R01−µ (2.49) C = C(γ, τ ) α = α(γ, τ, µ) số dương Chứng minh Ta cố định ban đầu số R1 mà R1 ≤ R0 Khi đó, với R ≤ R1 , ta có ω(τ R) ≤ γω(R) + σ(R) Từ đó, σ không giảm Bây ta lặp lặp lại đẳng thức để có với số nguyên dương m bất kì, m−1 m m γi ω(τ R1 ) ≤ γ ω(R1 ) + σ(R1 ) i=0 ≤ γ m ω(R0 ) + σ(R1 ) 1−γ Với bât kì R ≤ R1 , ta chọn m cho τ m R1 < R ≤ τ m−1 R1 Do ω(R) ≤ ω(τ m−1 R1 ) ≤ γ m−1 ω(R0 ) + ≤ γ R R1 σ(R1 ) 1−γ log γ/ log τ ω(R0 ) + σ(R1 ) 1−γ Lấy R1 = R01−µ Rµ để ta có từ trước ω(R) ≤ γ R R0 (1−µ) log γ/ log τ ω(R0 ) + σ R01−µ Rµ Định lý 2.7.1 suy việc chọn µ cho (1 − µ) log γ/ log τ < µδ 37 1−γ Bổ đề 2.7.2 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq (Ω), i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Khi đó, u W 1,2 (Ω) nghiệm (nghiệm dưới) phương trình (2.3) Ω, ta có, với hình cầu B2R (y) ⊂ Ω p > 1, sup u(−u) ≤ C R−n/p u+ (u− ) p (B2R (y)) + k(R) L C = C(n, Λ/λ, νR, q, p) Định lý 2.7.2 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.6) (2.7) giả sử f i ∈ Lq (Ω), i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Khi đó, u W 1,2 (Ω) nghiệm thỏa mãn phương trình (2.2) Ω, với Ω ⊂⊂ Ω ta có u C α (Ω ) ≤C u L2 (Ω) (2.50) +k C = C(n, Λ/λ, ν, q, d ), d = dist(Ω , ∂Ω), α = α(n, Λ/λ, νd ) > k = λ−1 f q + g q/2 Chứng minh Đánh giá (2.50) việc đặt R0 = d Định lý 2.7.1 sử dụng Định lý 2.6.1 để đánh giá sup |u| 2.7.2 Tính liên tục H¨ older lân cận biên Giả sử T tập Ω u hàm W 1,2 (Ω) Khi ta nói u ≤ T theo nghĩa W 1,2 (Ω) u+ giới hạn W 1,2 (Ω) dãy hàm C01 (Ω − T ) Ta thấy với u liên tục T, định nghĩa thỏa mãn u ≤ T theo nghĩa thông thường Ta thiết lập mở rộng sau Định lý 2.6.1 Định lý 2.4.1 Định lý 2.7.3 Giả sử toán tử L thỏa mãn (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq , i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Khi u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm phương trình (2.3) Ω, ta có với y bất kì, y ∈ Rn , R > p > 1: −n/p sup u+ u+ M ≤ C(R M BR (y) Lp (B2R (y)) + k(R)), M = sup u+ , ∂Ω∩B2R u+ M (x) = sup {u(x), M } , x ∈ Ω M ,x ∈ / Ω, k cho (2.41), C = C(n, Λ/λ, νR, q, p) 38 (2.51) Định lý 2.7.4 Giả sử toán tử L thỏa mãn (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq , g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Khi u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm phương trình (2.3) Ω không âm Ω ∩ B4R (y) với hình cầu B4R (y) ⊂ Rn , với p cho ≤ p < n/(n − 2), ta có: R−n/p u− m Lp B2R (y) ≤ C( inf u− m + k(R)) (2.52) BR (y) m = inf u, ∂∩B4R u− m = inf {u(x), m} , x ∈ Ω m ,x ∈ / Ω, C = C(n, Λ/λ, νR, q, p) Chứng minh Sự rút gọn chứng minh Định lý 2.6.1 Định lý 2.4.1 − tạo sau: T a đặt u = u+ m + k u nghiệm u = um + k u nghiệm Khi hàm thử bất đẳng thức tích phân (2.27), ta chọn v = η2 uβ − (M + k)β , β > uβ − (m + k)β , β < 0, (2.53) η ∈ C01 (B4R ) cụ thể hóa Khi cấu trúc   |A(x, z, p)| ≤ |a| |p| + 2(b)1/2 z |p|2 − 2bz ε |p|2 + 1ε bz p.A(x, z, p) ≥ zB(x, z, p) ≤  xác định giá v, với z = u p = Du, v ≤ η uβ , ta trở lại đánh giá sau cho u η uβ−1 |Du|2 dx ≤ C(|β|) Ω bη + + |a|2 |Dη|2 uβ+1 dx (2.54) Ω Đánh giá (2.51) (2.52) thu chứng minh Định lý 2.6.1 Định lý 2.4.1 Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện nón điểm x0 ∈ ∂Ω tồn nón tròn hữu hạn V = Vx0 với đỉnh x0 cho Ω ∩ Vx0 = x0 Điều kiện nón thỏ a mãn ∂Ω trơn Ta có mở rộng sau đánh giá Ho¨lder (2.47) Định lý 2.7.5 Giả sử toán tử L thỏa mãn (2.5), (2.6) giả sử f i ∈ Lq (Ω), i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n Khi u ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm 39 phương trình (2.3) Ω Ω thỏa mãn điều kiện nón x0 ∈ ∂Ω, ta có với R R0 bất kì, < R ≤ R0 B0 = BR0 (x0 ), Rα osc u ≤ C Ω∩BR σ (R) = osc ∂Ω∩BR (x0 ) R0−α sup |u| + k +σ RR0 , (2.55) Ω∩BR u, C = C (n, Λ/λ, ν, q, R0 , Vx0 ) α = α (n, Λ/λ, νR0 , q, Vx0 ) số dương Trong phần sau ta viết gọn Ω ∩ BR (x0 ) = ΩR với R bất kì, ∂Ω ∩ BR (x0 ) = (∂Ω)R , điểm x0 hiểu x0 ∈ ∂Ω Chứng minh Ta từ chứng minh Định lý 2.7.1 Giả sử ban đầu R ≤ inf {R0 /4, height Vx0 } đặt M0 = sup |u| , M4 = sup u, m4 = inf u, M1 = sup u, m1 = inf u, ΩR0 Ω4R Ω4R ΩR ΩR height Vx0 chiều cao nón Vx0 Khi đó, áp dụng đánh giá (2.52) cho hàm M4 − u, u − m4 B4R (x0 ), ta thu (M4 − M ) |B2R (x0 ) − Ω| ≤ R−n Rn (M4 − u)− M4 −M dx B2R (x0 ) ≤ C(M4 − M1 + k(R)) (m − m4 ) |B2R (x0 ) − Ω| ≤ R−n Rn (u − m4 )− m−m4 dx B2R (x0 ) ≤ C(m1 − m4 + k(R)), M = sup u, m = inf u Dùng điều kiện nón đều, ta có (∂Ω)4R (∂Ω)4R M4 − M ≤ C(M4 − M1 + k(R)) m − m4 ≤ C(m1 − m4 + k(R)) Khi đó, phép cộng ta osc u ≤ γ osc u + k (R) + osc u, ΩR Ω4R (∂Ω)4R γ = − 1/C, C = C(n, Λ/λ, νR0 , q, Vx0 ) Đánh giá (2.55) từ Bổ đề 2.7.1 Nếu giả thiết Định lý 2.7.5 thỏa mãn σ(R) → R → 0, đánh giá (2.55) u(x0 ) = lim u(x) định nghĩa tốt Kết x→x0 40 tính liên tục toàn cục cách trực tiếp từ Định lý 2.7.1 Định lý 2.7.5 Hệ 2.7.1 Thêm vào giả thiết Định lý 2.7.5, ta giả sử Ω thỏa mãn điều kiện nón tất điểm x0 ∈ ∂Ω osc u → R → ∂Ω∩BR (x0 ) với mội x0 ∈ ∂Ω Khi hàm số u liên tục Ω Đánh giá Ho¨lder thu từ Định lý 2.7.5 miền Ω bị hạn chế thêm Giả sử Ω thỏa mãn điều kiện nón T ⊂ ∂Ω Ω thỏa mãn điều kiện nón điểm x0 ∈ T nón Vx0 nón cố định V Ta vững đánh giá Định lý 2.7.2 Định lý 2.7.6 Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.5), (2.6) f i ∈ Lq (Ω), i = 1, , n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n, giả sử Ω thỏa mãn điều kiện nón phần biên T Khi u ∈ W 1,2 (Ω) thỏa mãn phương trình (2.3) Ω tồn số K , α0 > cho osc ∂Ω∩BR (x0 ) u ≤ KRα0 với x0 ∈ T, R > 0, u ∈ C α (Ω ∪ T ) với α > với Ω ⊂⊂ Ω ∪ T, u C α (Ω ) ≤ C(sup |u| + K + k), (2.56) Ω α = α(n, Λ/λ, νd , V, q, α0 ), C = C(n, Λ/λ, ν, V, q, α0 , d ), d = dist(Ω , ∂Ω − T ) k = λ−1 ( f q + g q/2 ) Nếu Ω = Ω, d thay diam Ω Chứng minh Giả sử y ∈ Ω , δ = dist(y, ∂Ω) < d Từ Định lý 8.22 với R0 = δ , ta có với x bất kì, x ∈ Bδ |u(x) − u(y)| ≤ C(δ −α sup |u| + k) |x − y|α Bδ Bây ta chọn x0 ∈ ∂Ω cho |x0 − y| = δ Bằng đánh giá (2.55) với R = 2δ, R0 = 2d ta thu δ −α osc u ≤ δ −α osc u ≤ C Bδ B2δ sup |u| +k + K , Ω với < 2α ≤ α0 Do với x ∈ Bδ (y) bất kì, đặt u(x0 ) = 0, ta có |u(x) − u(y)| ≤ C(sup |u| + k + K) |x − y|α Ω (2.57) Tiếp tục áp dụng đánh giá (2.55), với R = 2|x − y|, R0 = 2d , ta thấy (2.57) xác định với d ≥ |x − y| ≥ δ 41 Các định lý liên kết đánh giá Ho¨lder rời rạc miền biên thành đánh giá Ho¨lder cục toàn cục Chú ý u, v ∈ W 1,2 (Ω) u − v ∈ W01,2 (Ω), osc u → R → với y ∈ ∂Ω với điều kiện v∈ C (Ω), osc u≤ ∂Ω∩BR (y) KRα0 với y ∈ ∂Ω, R > với điều kiện v ∈ C α0 (Ω) ∂Ω∩BR (y) 42 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Khái niệm không gian Sobolev W k,p (Ω) W0k,p (Ω), không gian Ho¨lder, định lý nhúng Nguyên lý loại trừ Fredholm - Khái niệm nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, nguyên lý cực đại yếu tính giải toán Dirichlet - Nghiên cứu tính chất định tính nghiệm suy rộng như: tính khả vi, tính bị chặn, bất đẳng thức Harnack, nguyên lý cực đại mạnh tính liên tục Ho¨lder nghiệm yếu 43 Tài liệu tham khảo [1] J Nash, (1958), Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations Amer J Math 80, 931 - 954 [2] David Gilbarg, Neil Trudinger, (1998), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order 1977 [3] O.A Ladyzhenskaya, N.N Uraltseva Linear and Quasilinear Elliptic Equations Moscow: Izdat "Nauka" 1964 [Russian] English Translation: New York: Academic Press 1968 2nd Russian ed 1973 44