BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thị Hương TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thị Hương TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời mở đầu Cơ sở toán học 1.1 Hệ phương trình vi phân suy biến 1.1.1 Hệ suy biến tổng quát 1.1.2 Cấu trúc nghiệm 1.1.3 Hệ suy biến có trễ 12 1.2 Bài toán ổn định hữu hạn 14 1.3 Sự khác ổn định thời gian hữu hạn (FTS) 1.4 ổn định Lyapunov (LS) 16 Các mệnh đề bổ trợ 22 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân suy biến có trễ 23 2.1 Bài toán ổn định hữu hạn hệ suy biến có trễ 23 2.2 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn hệ suy biến có trễ 25 2.3 Ví dụ minh họa 44 Tài liệu tham khảo 48 i Ký hiệu toán học R+ Tập tất số thực không âm Rn Không gian thực n−chiều với tích vô hướng x y Rn×r Không gian ma trận thực cỡ (n × r) A−1 Nghịch đảo ma trận vuông A A Ma trận chuyển vị ma trận A diag(A1 , A2 , , Ar ) Ma trận chéo với khối A1 , A2 , , Ar nằm đường chéo Ir Ma trận đơn vị cỡ (r × r) λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A, λmax (A) = max{Re(λ) : λ ∈ λ(A)}, λmin (A) = min{Re(λ) : λ ∈ λ(A)} C([−h, 0], Rn ) Tập hàm liên tục [−h, 0], nhận giá trị Rn C ([a, b], Rn ) Tập hàm khả vi [a, b], nhận giá trị Rn ∗ Phần tử đối xứng ma trận A ≥ 0, A > Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương A≥B A − B ma trận nửa xác định dương A>B A − B ma trận xác định dương x Chuẩn Euclide véc tơ x ∈ Rn xác định x = n i=1 xi Lời mở đầu Nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển nội dung lý thuyết định tính hệ động lực, cuối kỷ XIX với công trình xuất sắc nhà toán học Nga A.M.Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mô hình kinh tế mô tả phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cho đến nay, tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng kinh tế, khoa học, kỹ thuật Từ xuất toán nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển Khái niệm ổn định hữu hạn (FTS) xuất vào cuối năm 1950 giới thiệu tài liệu nhà toán học Nga [8] Sau đó, suốt năm 1960, khái niệm xuất tạp chí phương Tây [5] Cụ thể hơn, hệ gọi FTS ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho Mới đây, khái niệm FTS gặp lại ánh sáng kết đến từ định lý bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMIs So sánh với ổn định Lyapunov, ổn định hữu hạn quan tâm tới tính bị chặn Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương hệ khoảng thời gian cố định Trong lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ tuyến tính có trễ phát triển rộng rãi nhiều thập kỷ gần ta có vài kết cho tính ổn định hữu hạn hệ tuyến tính có trễ Một vài kết thú vị tính ổn định hữu hạn cho hệ liên tục tuyến tính với trễ Phần lớn kết nghiên cứu với hệ suy biến tuyến tính trễ Với phương trình vi phân - đại số có trễ, vài điều kiện ổn định tiệm cận nhận từ [7] theo nghĩa ổn định Lyapunov Trong viết này, xét toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân - đại số có trễ Sự đóng góp viết việc đưa tiêu chuẩn ổn định cho hệ theo kết từ [10] Cơ sở phương pháp hàm Lyapunov kỹ thuật đánh giá tính bị chặn với hệ tuyến tính có trễ, tiêu chuẩn ổn định đưa thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Luận văn gồm hai chương Chương "Cơ sở toán học" trình bày số khái niệm kết liên quan hệ phương trình vi phân suy biến, giới thiệu toán ổn định hữu hạn đưa so sánh ổn định hữu hạn ổn định theo nghĩa Lyapunov Đồng thời trình bày tiêu chuẩn để hệ ổn định hữu hạn đưa mệnh đề bổ trợ dùng để chứng minh tiêu chuẩn ổn định chương hai Chương "Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân suy biến có trễ" trình bày tiêu chuẩn ổn định hữu hạn hệ có trễ đưa ví dụ minh họa Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Tác giả luận văn chân thành cảm ơn GS TSKH Vũ Ngọc Phát tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn ThS Nguyễn Trung Dũng, ThS Nguyễn Huyền Mười góp ý chi tiết cách trình bày số kết luận văn giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo cán nhân viên viện Toán học, thầy cô giáo đồng nghiệp khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Ứng dụng, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Cao học thực luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Phạm Thị Hương Chương Cơ sở toán học Trong chương này, tìm hiểu hệ phương trình vi phân suy biến, hệ suy biến có trễ, cấu trúc nghiệm hệ; tìm hiểu toán ổn định hữu hạn đưa so sánh ổn định hữu hạn ổn định theo nghĩa Lyapunov mệnh đề bổ trợ Nội dung chủ yếu lấy từ [2] [4] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân suy biến Hệ suy biến tổng quát Dựa vào mô hình không gian trạng thái, việc phân tích tổng hợp hệ thống đặc điểm nòng cốt lý thuyết điều khiển đại phát triển từ cuối năm 1950 đầu năm 1960 Để có mô hình trạng thái, ta cần chọn vài biến tốc độ, cân nặng, nhiệt độ gia tốc biến có đủ khả mô tả tầm quan trọng hệ thống xét Sau đó, vài phương trình thiết lập thông qua mối quan hệ biến Ta mô hình toán Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương học hóa hệ thống việc sử dụng hệ phương trình vi phân hệ đại số Hệ có cấu tạo sau f (x(t), ˙ x(t), u(t), t) = 0, t ≥ 0, (1.1) g(x(t), u(t), y(t), t) = 0, t ≥ 0, x(t) trạng thái hệ gồm biến, u(t) hàm điều khiển đầu vào, y(t) hàm đo đầu ra, f g hàm véc tơ x(t), x(t), ˙ u(t), y(t) t Công thức (1.1), theo thứ tự gọi hệ trạng thái hệ phương trình đầu Một trường hợp đặc biệt hệ (1.1) quan tâm E x(t) ˙ = H(x(t), u(t), t), t ≥ 0, y(t) = J(x(t), u(t), t), t ≥ 0, H, J hàm véc tơ x(t), u(t) t với số chiều thích hợp Các hệ có cấu tạo mô tả nói chung gọi hệ suy biến Nếu H, J hàm tuyến tính hệ số x(t), u(t), t hệ có dạng E x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, y(t) = Cx(t), t ≥ 0, Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương E x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, y(t) = Cx(t) + Du(t), t ≥ Khi hệ gọi hệ suy biến tuyến tính với x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , y(t) ∈ Rr ; E, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m C ∈ Rr×n ma trận số; E ma trận suy biến với rankE = r < n Việc nghiên cứu hệ suy biến cuối năm 1970 nhắc đến lần vào năm 1973 (Sing and Liu, 1973) Trong nhiều báo, hệ suy biến gọi hệ mô tả biến, hệ trạng thái tổng quát, hệ nửa ổn định, hệ phương trình vi phân đại số Hệ suy biến xuất nhiều hệ thống hệ kỹ thuật (hệ động lực, hệ thống điện, hàng không vũ trụ ), hệ kinh tế xã hội, công nghệ sinh học Ví dụ 1.1.1 (xem [4], trang 3) Xét lớp hệ thống kết nối quy mô lớn với hệ thống phụ có dạng x˙i (t) = Ai xi (t) + Bi (t), bi (t) = Ci xi (t) + Di (t), i = 1, 2, , N, xi (t), (t), bi (t) theo thứ tự hàm trạng thái thành phần, hàm điều khiển đầu vào đầu thứ i hệ thống phụ Giả sử rằng, kết Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương ta thu x (t)Q1 x(t) ≤ λmax (Q1 ) x (t)Rx(t) λmin (R) Điều dẫn đến 0 λmax (Q1 ) x (s)Rx(s)ds −h λmin (R) λmax (Q1 ) x (s)Rx(s)ds = λmin (R) −h λmax (Q1 ) = ψ (s)Rψ(s)ds λmin (R) −h λmax (Q1 ) sup ψ (t)Rψ(t) ≤h λmin (R) t∈[−h,0] x (s)Q1 x(s)ds ≤ −h (2.12) Kết hợp điều kiện (2.11), (2.12), ta có V (0, x0 ) = x (0)P Ex(0) + x (s)Q1 x(s)ds −h ≤ = λmax (P11 ) λmax (Q1 ) sup ψ (t)Rψ(t) + h sup ψ (t)Rψ(t) λmin (G RG) t∈[−h,0] λmin (R) t∈[−h,0] λmax (P11 ) λmax (Q1 ) +h λmin (G RG) λmin (R) sup ψ (t)Rψ(t) t∈[−h,0] Kết hợp (2.8) việc đặt α2 = λmax (P11 ) λmax (Q1 ) +h , λmin (G RG) λmin (R) ta V (0, x0 ) ≤ α2 c1 35 (2.13) Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Tiếp theo, ta α1 x (t)E REx(t) ≤ V (t, xt ), ∀t ∈ [0, T ], α1 = λmin (P11 ) (2.14) λmax (R11 ) Thật vậy, theo ta có r ||xi ||2 G E REGx, x ≤ λmax (R11 ) ∀x ∈ Rn , i=1 r ||xi ||2 G P EGx, x ≥ λmin (P11 ) ∀x ∈ Rn i=1 Do [α1 G E REG − G P EG]x, x ≤ Điều kéo theo G (P E − α1 E RE)G ≥ 0, từ G ma trận không suy biến dẫn tới P E ≥ α1 E RE Theo giả thiết t V (t, xt ) = x (t)P Ex(t) + x (s)Q1 x(s)ds t−h hàm toàn phương không âm nên V (t, xt ) ≥ x (t)P Ex(t) ≥ α1 x (t)E REx(t), Vậy ta (2.14) 36 ∀x ∈ Rn Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Tiếp theo, lấy đạo hàm V (t, xt ) ta có V˙ (t, xt ) = P E x(t), ˙ x(t) + P Ex(t), x(t) ˙ + Q1 x(t), x(t) − Q1 x(t − h), x(t − h) = x (t)P E x(t) ˙ + x˙ (t)E P x(t) + x (t)Q1 x(t) − x (t − h)Q1 x(t − h) = x (t)(P A + A P )x(t) + 2x (t)P Dx(t − h) + 2x (t)P Bw(t) + x (t)Q1 x(t) − x (t − h)Q1 x(t − h) (2.15) ¯ từ bên phải ý Hơn nữa, nhân hai vế (2.1) với 2x (t)Q2 M ¯ E = ta nhận M ¯ Bw(t) = ¯ Dx(t − h) + 2x (t)Q2 M ¯ Ax(t) + 2x (t)Q2 M 2x (t)Q2 M (2.16) Kết hợp điều kiện (2.15)-(2.16) ta V˙ (t, xt ) − ηV (t, xt ) ≤ x (t)(P A + A P )x(t) + 2x (t)P Dx(t − h) + 2x (t)P Bw(t) + x (t)Q1 x(t) ¯ Ax(t) − ηx (t)P Ex(t) + 2x (t)Q2 M ¯ Dx(t − h) + 2x (t)Q2 M ¯ Bw(t) + 2x (t)Q2 M (2.17) 37 Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Từ đánh giá 2x (t)P Bw(t) − w (t)w(t) ≤ x (t)P BB P x(t), ¯ Bw(t) − w (t)w(t) ≤ x (t)Q2 M ¯ BB M ¯ Q2 x(t), 2x (t)Q2 M từ (2.17) ta V˙ (t, xt ) − ηV (t, xt ) ≤ ξ (t)Φξ(t) + 2w (t)w(t), ∀t ∈ [0, T ], (2.18) ξ(t) = [x(t), x(t − h)] ¯ BB M ¯ Q2 ¯A+A M ¯ Q2 + Q2 M Φ11 = P A + A P + P BB P + Q2 M + Q1 − ηP E, Φ22 = −Q1 ,   ¯ Φ11 P D + Q2 M D  Φ= ∗ Φ22 Nếu bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.5) xảy theo Mệnh đề 1.1 phần bù Schur ta có Φ < Do đó, từ (2.18) ta có V˙ (t, xt ) − ηV (t, xt ) < 2w (t)w(t), ∀t ∈ [0, T ] (2.19) Nhân hai vế phương trình (2.19) với e−ηt lấy tích phân đoạn từ tới t, ta thu t e −ηt t −ηs V (t, xt ) − V (0, x0 ) < e w (s)w(s)ds < w (s)w(s)ds, với ∀t ∈ [0, T ] 38 Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Do w (t)w(t) ≤ d với ∀t ∈ [0, T ] nên ta có V (t, xt ) < eηt [V (0, x0 ) + 2td], ∀t ∈ [0, T ] (2.20) Kết hợp điều kiện (2.13), (2.14), (2.20), ta thu x (t)E REx(t) < eηT α2 c1 + 2T d = eηT α3 , α1 ∀t ∈ [0, T ], α1 = λmin (P11 ) , λmax (R11 ) α2 = λmax (P11 ) λmax (Q1 ) +h , λmin (G RG) λmin (R) α3 = α2 c1 + 2T d α1 Theo phép biến đổi y = G−1 x(t) ta có x (t)E REx(t) = y (t)G E REGy(t) = y (t)G E M M −T RM −1 M EGy(t)         y1 (t) I R R I y (t)   r   11 12   r    = y2 (t) 0 ∗ R22 0 y2 (t) = y1 (t)R11 y1 (t) 39 Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Vậy ta λmin (R11 ) y1 (t) = λmin (R11 )y1 (t), y1 (t) ≤ R11 y1 (t), y1 (t) = y1 (t)R11 y1 (t) ≤ eηT α3 Điều kéo theo y1 (t) ≤ eηT α3 , λmin (R11 ) ∀t ∈ [0, T ] (2.21) Bây giờ, ta ước lượng nghiệm thứ hai y2 (t) sau Trước hết ta đặt −1 p(t) = −A−1 22 A21 y1 (t) − A22 D21 y1 (t − h) Ta có p(t) ≤ A−1 22 A21 ≤( A−1 22 A21 y1 (t) + A−1 22 D21 + A−1 22 D21 ) y1 (t − h) eηT α3 λmin (R11 ) Hơn nữa, từ phương trình thứ hai (2.3) ta có −1 −1 −1 y2 (t) = A−1 21 y1 (t) − A22 D21 y1 (t − h) − A22 D22 y2 (t − h) − A22 B2 ω(t) −1 = p(t) − A−1 22 D22 y2 (t − h) − A22 B2 ω(t) Do y2 (t) ≤ p(t) + A−1 22 D22 y2 (t−h) + A−1 22 B2 ω(t) , 40 ∀t ≥ (2.22) Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Theo giả thiết ∃ d > : w (t)w(t) ≤ d, ∀t ∈ [0, T ], nên w(t) ≤ √ d Khi −1 A−1 22 B2 ω(t) ≤ A22 B2 √ d = b Nếu t ∈ [0, h] t − h ∈ [−h, 0] Ta có y2 (t) ≤ p(t) + A−1 22 D22 y2 (t − h) + A−1 22 B2 ω(t) ≤ p(t) + A−1 22 D22 G−1 ≤( A−1 22 A21 + + A−1 22 D22 ≤γ A−1 22 D21 G−1 ) ψ(t) + b eηT α3 λmin (R11 ) c1 +b λmin (R) eηT α3 + A−1 22 D22 λmin (R11 ) G−1 c1 + b, λmin (R) với −1 γ = A22 A21 + A−1 22 D21 , A−1 22 B2 √ d = b Nếu t ∈ [h, 2h] t − h ∈ [0, h] Do y2 (t − h) ≤ γ eηT α3 + A−1 22 D22 λmin (R11 ) 41 G−1 c1 + b (2.23) λmin (R) Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Từ (2.22), (2.23) ta nhận y2 (t) ≤ ( A−1 22 D22 + 1)γ + A−1 22 D22 G−1 eηT α3 λmin (R11 ) c1 + A−1 22 D22 b + b λmin (R) Như vậy, với t ∈ [(k − 1)h, kh], ta k−1 y2 (t) A−1 22 D22 ≤ b i + A−1 22 D22 k−1 G−1 i=0 +γ c1 λmin (R) k−1 eηT α3 λmin (R11 ) i A−1 22 D22 i=0 Do đó, với t ∈ [0, T ], ta có y2 (t) ≤α5 + γα4 eηT α3 , λmin (R11 ) với [ Th ]−1 i A−1 22 D22 , α4 = i=0 δ= max T i=1, [ h ]−1 i A−1 22 D22 , α5 = bα4 + δ G−1 42 c1 λmin (R) (2.24) Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương Cuối cùng, kết hợp (2.21) (2.24) ta có x (t)Rx(t) = y (t)G RGy(t) ≤ λmax (G RG)( y1 (t) ≤ eηT α3 + (α5 + γα4 λmax (G RG) λmin (R11 ) + y2 (t) ) eηT α3 ) λmin (R11 ) Đặt eηT α3 c2 = λmax (G RG) + (α5 + γα4 λmin (R11 ) eηT α3 ) λmin (R11 ) Khi x (t)Rx(t) ≤ c2 , t ∈ [0, T ] Định lý chứng minh Ta thấy điều kiện (2.6) bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) η Các điều kiện (2.4)-(2.5) bất đẳng thức ma trận tuyến tính Do vậy, để xét tính ổn định hữu hạn hệ có dạng (2.1), trước hết ta xác định vô hướng η từ LMIs (2.4)-(2.5), sau ta kiểm tra điều kiện (2.6) Định lý 2.1 mở rộng số kết tính ổn định Lyapunov hệ tuyến tính suy biến có trễ Ở ta xây dựng hàm V (·) giống hàm Lyapunov, sau ta ước lượng đạo hàm hàm Ta sử dụng công cụ LMIs Matlap để kiểm tra tính ổn định hữu hạn hệ 43 Luận văn Thạc sĩ toán học 2.3 Phạm Thị Hương Ví dụ minh họa Sau đây, việc sử dụng công cụ MATLAB, đưa số ví dụ minh họa cho việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân suy biến việc sử dụng Định lý 2.1 Ví dụ 2.3.1 (xem [10], trang 9) Xét hệ (2.1)       0.2 0.3 0.2 ,A =  ,D =  , E= 1 1.8 0.1 0.5     0.1 0.2 0.9 , R =  , B= 0.2 0.5 ψ(t) = [t2 , t3 ], ∀t ∈ [−0.4; 0], d = 10−2 , h = 0.4, c1 = 0.3, c2 = 60, T = 10 Bằng tính toán ta có ψ (t)Rψ(t) = 0.9t4 + t6 hàm nghịch biến [−0.4; 0], đạt giá trị lớn 0.271 t = −0.4, điều kéo theo ψ (t)Rψ(t) < c1 với t ∈ [−0.4; 0] Bằng tính toán đại số đơn giản, ta tìm  M =  1 −1   , G =   1  , −1 −2   −0.1 −0.4 −0.2 −0.4  , M DG =   M AG =  0.7 2.2 0.2 0.5 Sử dụng công cụ LMI Matlab, bất đẳng thức ma trận tuyến tính 44 Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương (2.3)-(2.4) điều kiện (2.5) thỏa mãn với η = 0.29     9.0239 −3.0692 1.5981 2.2658  , Q1 =  , P = 5.4689 −2.4916 2.2658 4.4685   1.0990 , Q2 =  −0.4074 b = 0.0144, P11 = 2.9773, α1 = 1.567, α2 = 4.1072, α3 = 0.9139, α4 = 1.2941, δ = 0.2273, α5 = 0.2309, γ = 0.2448, Theo Định lý 2.1, hệ ổn định hữu hạn với [0.3, 60, 10, R] Ví dụ 2.3.2 Xét hệ (2.1)  0.1 0.2 0.2 0.3 , ,D =  ,A =  E= 0.1 0.3 1.5     0.8 0.4 0.2 , , R =  B= −0.1 0.3 0.2      ψ(t) = [t2 , t], ∀t ∈ [−0.5; 0], d = 10−2 , h = 0.5, c1 = 0.1, c2 = 28, T = Bằng tính toán ta có ψ (t)Rψ(t) = 0.8t4 + 0.2t2 hàm nghịch biến [−0.5; 0], đạt giá trị lớn 0.1 t = −0.5, điều kéo theo ψ (t)Rψ(t) ≤ c1 với t ∈ [−0.5; 0] Bằng tính toán đại số đơn giản, ta tìm  M =    −2 , G =  , −1 −1 45 Luận văn Thạc sĩ toán học  Phạm Thị Hương    −0.1 0.3 0.1  , M DG =   M AG =  0.4 −1.2 −0.1 0.1 Sử dụng công cụ LMI Matlab, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.3)-(2.4) điều kiện (2.5) thỏa mãn với η = 0.29    0.2269 0.3584 0.2664 −0.1571 ,  , Q1 =  P = 0.3584 0.5710 0.5370 −0.2091   0.2327 , Q2 =  0.4361  b = 0.0042, P11 = 0.2664, α1 = 0.1093, α2 = 2.0015, α3 = 2.1974, α4 = 1.0909, δ = 0.0833, α5 = 0.2323, γ = Theo Định lý 2.1, hệ ổn định hữu hạn với [0.1, 28, 2, R] 46 Kết luận chung Luận văn đạt kết sau: Trình bày số kiến thức khái quát hệ phương trình vi phân suy biến, hệ suy biến có trễ, toán ổn định hữu hạn hệ đưa so sánh ổn định hữu hạn ổn định theo nghĩa Lyapunov Trình bày tiêu chuẩn ổn định hữu hạn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ dựa theo kết báo [10] Sự đóng góp luận văn tìm hiểu làm rõ nội dung toán nêu báo [10] đưa số ví dụ minh họa 47 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] F Amato, R Ambrosino, M Ariola, C Cosentino, G De Tommasi, Finite-Time Stability and Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences 453, Springer-Verlag London, 2014 [3] S Boyd, L El Ghaoui, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [4] L Dai, Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Berlin Springer-Verlag, 1989 [5] P Dorato, Short time stability in linear time-varying systems, Proc IRE Int Convention Record, Part 4, (1961), 83-87 [6] P Gahinet, A Nemirovskii, A.J Laub, M Chilali, LMI Control Toolbox For use with MATLAB, The MathWorks, Inc, 1995 48 Luận văn Thạc sĩ toán học Phạm Thị Hương [7] L.V Hien, An explicit criterion for finite-time stability of linear nonautonomous system with delays, Applied Mathematics Letters 30 (2014), 12-18 [8] Kamenkov, G On stability of motion over a finite interval of time, J Appl Math Mech 17 (1953), 529-540 (in Russian) [9] A Seuret, F Gouaisbaut, Wirtinger-based integral inequality: Application to time-delay systems, Automatica, 49(2013), 2860-2866 [10] V.N Phat, N.H Muoi, M.V Bulatov, Robus finite-time stability of linear differential-algebraic delay equations, Linear Algebra and its Applications 487 (2015), 146-157 49