BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Loan TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Loan TÍNH COMPACT VÀ TÍNH LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU PARETO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Tạ Duy Phượng Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Danh mục kí hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Giải tích lồi 1.1.1 Không gian metric không gian vectơ 1.1.2 Hàm lõm 1.1.3 Hàm lõm suy rộng 11 1.1.4 Hàm vectơ lõm hàm vectơ lõm suy rộng 14 Tính liên thông ánh xạ đa trị nửa liên tục 24 1.2.1 Tính liên thông tập hợp 24 1.2.2 Ánh xạ đa trị nửa liên tục 27 Tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto 2.1 32 Tối ưu Pareto 32 2.2 Tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto 34 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Danh mục kí hiệu R R+ Rn Rn+ Rn++ x∈M y∈ /M ∅ 2X M ⊆N M ⊂N M ⊂N M ∩N M \N M ×N M +N λM ∀x ∃x inf x∈K f (x) supx∈K f (x) Im(f) đường thẳng thực nửa đường thẳng thực không âm không gian Euclide n-chiều tập vectơ thành phần không âm Rn tập vectơ thành phần dương Rn phần tử x thuộc M phần tử y không thuộc M tập rỗng tập tất tập X M tập N M tập thực N M không tập thực N giao hai tập M N tập điểm thuộc M không thuộc N tích Descartes hai tập M N tổng hai tập M N vị tự tập M theo tỉ số λ ∈ R không gian vectơ với x tồn x infimum tập {f (x) : x ∈ K} supremum tập {f (x) : x ∈ K} ảnh tập f Mở đầu Tối ưu đa mục tiêu chuyên ngành quan trọng toán ứng dụng Về mặt toán học, tối ưu đa mục tiêu tối ưu với nhiều hàm mục tiêu, thường độc lập với nhau, chí đối nghịch miền chấp nhận X ⊆ Rn Hai nhà kinh tế Edgeworth Pareto từ cuối kỷ 19 đưa khái niệm nghiệm hữu hiệu hay điểm Pareto Đây khái niệm tảng tối ưu đa mục tiêu Tuy nhiên phải đến năm 50 kỷ 20, tối ưu đa mục tiêu trở thành chuyên ngành toán học phát triển mạnh mẽ vòng 30 năm qua Những vấn đề tối ưu đa mục tiêu quan tâm nghiên cứu là: i) Nghiên cứu định tính; ii) Xây dựng thuật toán xác định tập Pareto; iii) Tối ưu tập Pareto Cho đến nay, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu tuyến tính gần hoàn chỉnh Một số thuật toán xây dựng tập Pareto Pareto yếu công bố Tuy nhiên thuật toán hữu hiệu với toán có số chiều n nhỏ Bài toán tối ưu đa mục tiêu mô hình nhiều toán thực tế Thí dụ sản xuất ta cần tìm phương thức đạt chất lượng sản phẩm cao nhất, giá thành rẻ nhất, ô nhiễm môi trường thấp nhất, đồng thời đem lại lợi nhuận cao nhất, đầu tư thấp nhất, Đôi thực tế phương án tốt cho mục tiêu lại không tốt cho mục tiêu khác, từ hình thành khái niệm tối ưu Pareto Phương án tối ưu Pareto phương án mà không tồn phương án khác có tất mục tiêu không có mục tiêu tốt Các toán thực tế thường đòi hỏi tìm không một số, mà toàn phương án tối ưu Điều dẫn đến việc nghiên cứu cấu trúc toàn tập nghiệm, chí trường hợp chưa biết phương án tối ưu cụ thể Vì cần tối ưu nhiều mục tiêu lúc, nên hàm mục tiêu toán hàm vectơ Trong thực tế, mục tiêu thường hàm thuộc lớp hàm (hàm liên tục, hàm tuyến tính, hàm phân thức tuyến tính, hàm lồi (lõm), hàm tựa lồi (tựa lõm), hàm tựa lồi ngặt (tựa lõm ngặt), hàm nửa tựa lồi ngặt (nửa tựa lõm ngặt), ) Trong nghiên cứu định tính số vấn đề cần nghiên cứu để làm sáng tỏ cấu trúc tập nghiệm là: +) Tính đóng tập nghiệm; +) Tính compact tập nghiệm; +) Tính liên thông, liên thông đường, liên thông đường gấp khúc tập nghiệm; Mục đích luận văn trình bày số nghiên cứu tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto; Chủ yếu dựa tài liệu [14] Luận văn trình bày tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto, hàm mục tiêu hàm ràng buộc tựa lõm Do tính chất tựa lõm hàm mục tiêu hàm ràng buộc không đủ để khẳng định tính chất tôpô tập nghiệm nên ta cần thêm vài điều kiện để chứng minh tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto Luận văn chia làm hai chương với nội dung sau Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi ánh xạ đa trị, kiến thức chuẩn bị cho Chương Chương trình bày tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto mối quan hệ tính compact tính liên thông, dựa theo báo [14], có tham khảo thêm số tài liệu khác Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình thầy PGS TS Tạ Duy Phượng, với nỗ lực thân động viên bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng, tới thầy cô Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn tất bạn bè đặc biệt bạn lớp cao học K21 Viện Toán học quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình quan tâm động viên suốt trình học làm luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Loan Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số kiến thức giải tích vô hạn chiều như: không gian metric, không gian vectơ, hàm lồi, hàm vectơ lồi, hàm lõm, hàm lõm suy rộng khái niệm liên thông, ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 1.1.1 Giải tích lồi Không gian metric không gian vectơ Định nghĩa 1.1 Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập số thực R gọi metric X tiên đề sau thỏa mãn: i) d(x, y) > x = y, d(x, y) = x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Tập X với metric d trang bị X gọi không gian metric, kí hiệu (X, d) hay thường viết X Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm Định nghĩa 1.2 Cho X không gian metric, điểm a ∈ X B tập X Khoảng cách từ điểm a đến tập B xác định bởi: d(a, B) := inf d(a, b) b∈B Định nghĩa 1.3 Một tập M không gian R gọi compact dãy {xn } ⊂ M chứa dãy {xnk } hội tụ tới điểm thuộc M Định nghĩa 1.4 Một tập X gọi không gian vectơ R xác định phép cộng hai phần tử với phép nhân số với phần tử định nghĩa cho thỏa mãn tiên đề, tức với x, y ∈ X α ∈ R x + y αx thỏa mãn tiên đề sau: 1) x + y = y + x (tính chất giao hoán phép cộng vectơ); 2) (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp phép cộng vectơ); 3) Tồn phần tử cho x + = x, với x ∈ X (tính chất phép cộng vectơ có phần tử trung hòa); 4) Với x ∈ X có phần tử −x ∈ X cho x + (−x) = (phần tử −x gọi phần tử đối x) (tính chất phép cộng vectơ có phần tử đối); 5) · x = x (tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng); 6) α (βx) = (αβ) x (α, β số bất kỳ) (tính chất phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng); 7) (α + β) x = αx + βx (tính chất phép nhân vectơ phân phối với phép cộng vô hướng); 8) α(x + y) = αx + αy (tính chất phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vectơ) y∈ / ζ(x) suy f (y) = f (x) hay fk (y) = fk (x) với k ∈ {1, 2, , n} Vậy ζ(x) = ψ(x) Ngược lại, với ζ(x) = ψ(x) ta phải chứng minh x ∈ P O(X, f ) Giả sử x∈ / P O(X, f ) theo định nghĩa nghiệm tối ưu Pareto: tồn y ∈ X cho fi (y) ≥ fi (x) với i = 1, 2, , n tồn k ∈ {1, 2, , n} để fk (y) > fk (x) Từ fi (y) ≥ fi (x) với i = 1, 2, , n suy y ∈ ψ(x); fk (y) > fk (x) suy y ∈ / ζ(x) Do trái giả thiết ζ(x) = ψ(x) Vậy x ∈ P O(X, f ) − Sử dụng kết Bổ đề 2.1 ta xây dựng định nghĩa hàm đa trị r: X → →X cho r(X) ⊂ P O(X, f ) r(x) = Argmax (s(λ, ·), ψ(x)) , ∀x ∈ X Với x ∈ X áp dụng Bổ đề 2.1, x ∈ P O(X, f ) x = r(x) x∈ / P O(X, f ) x = r(x) Bổ đề 2.3 r(X) = P O(X, f ) Chứng minh Theo Bổ đề 2.1 ta chứng minh Argmax (s(λ, ·), ψ(x)) ⊂ P O(X, f ) suy r(x) ⊂ P O(X, f ) Theo Bổ đề 2.2: x ∈ P O(X, f ) ζ(x) = ψ(x) Và x ∈ P O(X, f ) suy x = r(x) = Argmax (s(λ, ·), ψ(x)) = max s(λ, y) Do x ∈ y∈ψ(x) r(P O(X, f )) = {r(x)|x ∈ P O(X, f )} Vậy r (P O(X, f )) = P O(X, f ) hay r(X) = P O(X, f ) Bây giờ, khảo sát tính chất hàm đa trị ψ Từ tính chất ta thấy hàm đa trị r nửa liên tục trên X Bổ đề 2.4 ψ liên tục X Chứng minh +) ψ nửa liên tục Theo định nghĩa nửa liên tục {xk }∞ k=1 ⊂ X cho lim xk = x0 ∈ X, k→∞ 38 {yk }∞ k=1 ⊂ X cho yk ∈ ψ(xk ), ∀k ∈ N ta phải chứng minh {yk }∞ k=1 → y0 ∈ ψ(x0 ) Thật vậy, {yk }∞ k=1 ⊂ X cho yk ∈ ψ(xk ) nên yk ∈ X compact ∞ → y0 ∈ X Mà Suy tồn dãy hội tụ {qk }∞ k=1 ⊂ {yk }k=1 cho qk {xk }∞ k=1 k→∞ ⊂ X cho lim xk = x0 ∈ X nên xk ∈ X compact Suy tồn dãy hội tụ k→∞ {pk }∞ k=1 → x0 ∈ X Theo giả ⊂ {xk }∞ k=1 cho pk k→∞ thiết yk ∈ ψ(xk ) với k ∈ N suy fi (yk ) ≥ fi (xk ) với i = 1, 2, , n với k ∈ N nên fi (qk ) ≥ fi (pk ) với i = 1, , n, với k ∈ N Do k → ∞ f liên tục fi (y0 ) ≥ fi (x0 ) Chứng tỏ từ định nghĩa hàm ψ y0 ∈ ψ(x0 ) +) ψ nửa liên tục Theo định nghĩa nửa liên tục {xk }∞ k=1 ⊂ X, xk → x0 y0 ∈ ψ(x0 ) ta phải chứng minh tồn {yk }∞ k=1 ⊂ X k→∞ cho yk ∈ ψ(xk ), ∀k ∈ N lim yk = y0 k→∞ Vì {xk }∞ k=1 ⊂ X lim xk = x0 suy ψ(xk ) compact Đối với y0 ta k→∞ xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu y0 ∈ ϕ(xk ) dk = d(y0 , ψ(xk )) = Trường hợp 2: Nếu y0 ∈ / ψ(xk ) tồn y ∈ ψ(xk ) để dk = d y, yk = ∞ d (y0 , ψ(xk )) > suy {dk }∞ k=1 ⊂ R+ Vì {yk }k=1 ⊂ X yk ∈ ψ(xk ), ∀k ∈ N nên dk = d(y0 , ψ(xk )) = d(y0 , yk ) theo Giả thiết 1: lim d(xk , x0 ) = k→∞ lim d(y0 , ψ(xk )) = k→∞ Mặt khác {dk }nk=1 hội tụ nên lim dk = lim d (y0 , yk ) = hay k→∞ k→∞ lim yk = y0 k→∞ Bổ đề 2.5 (Xem [10]) Giả sử S ⊂ Rn , Θ ⊂ Rm , hàm g : S × Θ → R − liên tục hàm đa trị D: Θ→ →S có giá trị compact liên tục Khi hàm g ∗ : Θ → R định nghĩa g ∗ (Θ) = max {g (x, Θ) |x ∈ D(Θ)} − liên tục Θ hàm đa trị D∗ : Θ→ →S định nghĩa D∗ (Θ) = {x ∈ D(Θ)|g(x, Θ) = g ∗ (Θ)} có giá trị compact, nửa liên tục trên Θ 39 − Bổ đề 2.6 (Xem [7]) Giả sử Θ ⊂ Rm compact hàm đa trị D: Θ→ →Θ nửa liên tục Nếu D(x) = ∅ compact với x ∈ Θ D(Θ) compact Nhận xét 2.3 (Xem [4], [6]) Giả sử {fi }ni=1 {gi }pi=1 tựa lõm Ta có điều sau: a) Nếu với {fi }ni=1 tựa lõm ngặt SP O(X, f ) = P O(X, f ) b) Nếu {fi }ni=1 tựa lõm ngặt P O(X, f ) = W P O(X, f ) Vậy SP O(X, f ) = P O(X, f ) = W P O(X, f ) với giả thiết P O(X, f ) compact Bổ đề 2.7 (Xem [2]) Giả sử Θ ⊂ Rm liên thông hàm đa trị D: − Θ→ →Θ nửa liên tục Nếu D(x) = ∅ liên thông với x ∈ Θ D(Θ) liên thông Chứng minh Giả sử D(x) nửa liên tục trên Θ D(x) = ∅ liên thông với x ∈ Θ Để chứng minh D(Θ) liên thông Ta chứng minh phản chứng Vì Θ liên thông nên không tồn hai tập mở U1 U2 cho U1 ∩U2 = ∅, U1 ∪ U2 = Θ U1 = ∅, U2 = ∅ Vì D(x) liên thông nên không tồn hai tập mở V1 V2 cho V1 ∩ V2 = ∅, V1 ∪ V2 = Θ V1 = ∅, V2 = ∅ Vì D(x) nửa liên tục x ¯ ∈ Θ Theo định nghĩa nửa liên tục với lân cận mở V1 D(¯ x), tồn lân cận mở U1 x¯ cho D(x1 ) ⊂ V1 với x1 ∈ Θ ∩ U1 Vì D(x) nửa liên tục x ∈ Θ Theo định nghĩa nửa liên tục với lân cận mở V1 D(x ), tồn lân cận mở U2 x cho D(x2 ) ⊂ V2 với x2 ∈ Θ ∩ U2 Giả sử D(Θ) không liên thông Đặt D1 = D−1 (V1 ) = {x ∈ Θ : D(x1 ) ⊂ V1 } ; 40 D2 = D−1 (V2 ) = {x ∈ Θ : D(x2 ) ⊂ V2 } Các tính chất sau nghiệm đúng: i D1 , D2 tập mở D(Θ); ii D1 = ∅, D2 = ∅; iii D1 ∩ D2 = ∅; iv D1 ∪ D2 = D(Θ) Thật vậy: +) Vì D(x) nửa liên tục x ¯ ∈ Θ nên D(x1 ) ⊂ V1 với x1 ∈ Θ ∩ U1 Suy x1 ∈ D−1 (V1 ) hay D1 = D−1 (V1 ) = {x ∈ Θ : D(x1 ) ⊂ V1 } Vì D(x) nửa liên tục x ∈ Θ nên D(x2 ) ⊂ V2 với x2 ∈ Θ∩U2 Suy x2 ∈ D−1 (V2 ) hay D2 = D−1 (V2 ) = {x ∈ Θ : D(x2 ) ⊂ V2 } Vậy D1 D2 hai tập mở D(Θ) +) Vì V1 = ∅ D(x1 ) ⊂ V1 nên D(x1 ) = ∅ hay D1 = ∅ Vì V2 = ∅ D(x2 ) ⊂ V2 nên D(x2 ) = ∅ hay D2 = ∅ +) Giả sử D(x1 ) ∩ D(x2 ) = ∅ nên tồn điểm x ∈ Θ cho x ∈ D1 x ∈ D−1 (V1 ) ⇒ x ∈ Θ Suy x ∈ D1 ∩ D2 ⇒ ⇒ x ∈ D2 x ∈ D−1 (V2 ) D(x) ⊂ V1 ⇒ D(x) ⊂ V1 ∩ V2 = ∅ mà D(x) = ∅ (mâu thuẫn D(x) ⊂ V2 D(x) = ∅) Vậy D1 ∩ D2 = ∅ x ∈ D−1 (V1 ) x ∈ D1 +) Chứng minh (iv): Lấy x ∈ D1 ∪D2 ⇒ ⇒ ⇒ x ∈ D2 x ∈ D−1 (V2 ) D(x ) ⊂ V1 ⇒ D(x ) ⊂ V1 ∪ V2 ⇒ x ∈ D−1 (V1 ∪ V2 ) ⇒ x ∈ D (Θ) D(x ) ⊂ V2 x ∈ D(x1 ) ⊂ V1 x ∈ D1 ⇒ ⇒ x ∈ D1 ∪ D2 Lấy x ∈ D(Θ) ⇒ x ∈ D(x2 ) ⊂ V2 x ∈ D2 Vậy D1 ∪ D2 = D(Θ) Ta chứng minh i−iv (mâu thuẫn giả thiết) Vậy D(Θ) liên thông Bây ta sử dụng kết Bổ đề để chứng minh Định lý 2.1 41 Chứng minh a) Theo Bổ đề 2.1 Bổ đề 2.3 ta có xây dựng hàm đa trị − r: X → →X cho r(X) = P O(X, f ) Áp dụng Bổ đề 2.5 với S = θ = X, D = ψ g = s(λ, ·) suy r = D∗ nửa liên tục trên X Hiển nhiên X compact Từ Bổ đề 2.5 suy r(x) = ∅ compact với x ∈ X Áp dụng Bổ đề 2.6 ta có r(X) = P O(X, f ) compact b) Từ Giả thiết 2.2.2 suy r(x) = ∅ tập lồi với x ∈ X Do r(x) liên thông Miền xác định X lồi nên X liên thông Theo Bổ đề 2.7 ta suy r(X) = P O(X, f ) liên thông c) Với x ∈ X x ∈ P O(X, f ) tương đương với lực lượng |f (ψ(x))| = Xét hàm b: X → P F (X, f ) cho b(x) = f (r(x)) với x ∈ X Rõ ràng b liên tục X Do X compact lồi nên X compact liên thông đường Khi b(X) = P F (X, f ) compact liên thông đường Nhận xét 2.4 Nếu Giả thiết 2.2.1 Giả thiết 2.2.2 m = P O(X, f ) lồi Chứng minh Từ Định lý 2.1 Nhận xét 1.6 P O(X, f ) khoảng đóng R Như P O(X, f ) lồi Nhận xét 2.5 (Xem [5]) Nếu {gi }pi=1 tựa lõm, X = {x ∈ Rm , gi (x) ≤ 0, i = 1, , p} {fi }ni=1 nửa tựa lõm ngặt số {fi }ni=1 tựa lõm ngặt P O(X, f ) liên thông đường Dễ dàng thấy P F (X, f ) liên thông đường Nhận xét 2.6 (Xem [4]) Nếu {gi }pi=1 tựa lõm {fi }ni=1 lõm P O(X, f ) P F (X, f ) liên thông Các ví dụ tính chất tựa lõm không đủ để bảo đảm tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto 42 Nhận xét 2.7 Giả sử X = [ − 2, 2] 0, x ∈ [−2, 0]; Nếu f1 (x) = f2 (x) = −x, x ∈ [−2, 2] x, x ∈ (0, 2] P O(X, f ) = {−2} ∪ (0, 2] không compact không liên thông Với f1 (x) tựa lõm không tựa lõm nửa ngặt f2 (x) tựa lõm ngặt Hình 1.9a Hình 1.9b Chứng minh +) Dễ thấy f1 hàm tăng nên f1 tựa lõm (theo Nhận xét 1.1) Nhưng f1 không tựa lõm nửa ngặt Lấy x1 = −2, x2 = λ = f1 (2) = Ta có xλ = 2 · (−2) + f1 (x1 ) = f1 (−2) = 0, f1 (x2 ) = · = suy f1 (xλ ) = f1 (0) = = {f1 (x1 ), f1 (x2 )} Vậy f1 không tựa lõm nửa ngặt X 43 +) Dễ thấy f2 hàm giảm nên f2 tựa lõm (theo Nhận xét 1.1) Ta chứng minh f2 tựa lõm ngặt Thật vậy: Với x1 = x2 ∈ X , không tính tổng quát ta giả sử −2 ≤ x1 < x2 ≤ xλ ∈ (x1 , x2 ) với λ ∈ (0, 1) f2 (xλ ) > {f2 (x1 ), f2 (x2 )} Nên f2 tựa lõm ngặt X +) P O(X, f ) = {−2} ∪ (0, 2] Thật vậy, vì: -) Xét x ¯ = −2, giả sử x ∈ [−2, 2] mà f1 (x) ≥ f1 (¯ x) −2 ≤ x ≤ ⇒ ⇒ x = −2 f2 (x) ≥ f2 (¯ x) x = −2 Chứng tỏ không tồn x ∈ [−2, 2] mà f1 (x) ≥ f1 (¯ x) hay x ¯ = −2 ∈ P O(X, f ) f2 (x) ≥ f2 (¯ x) -) Xét x ¯ ∈ (0, 2], giả sử x ∈ [−2, 2] mà x¯ ≤ x ≤ f1 (x) ≥ f1 (¯ x) ⇒ x = x¯ ⇒ −2 ≤ x ≤ x¯ f2 (x) ≥ f2 (¯ x) Chứng tỏ không tồn x ∈ [−2, 2] mà f1 (x) ≥ f1 (¯ x) hay x ¯ ∈ P O(X, f ) f2 (x) ≥ f2 (¯ x) -) Xét x ¯ ∈ (−2, 0] : f1 (x) ≥ f1 (¯ x) −2 ≤ x ≤ ⇒ ⇒ −2 ≤ x ≤ x¯ f2 (x) ≥ f2 (¯ x) −2 ≤ x ≤ x¯ Tồn x = −2 : f1 (x) ≥ f1 (¯ x) 0=0 ⇒ x¯ ∈ (−2, 0] không nghiệm P O(X, f ) ⇒ f2 (x) > f2 (¯ x) > x¯ +) Chứng minh P O(X, f ) không compact không liên thông − Xét ψ : X → →X mà ψ(x) = {y ∈ X : f (y) ≥ f (x)} tức i i f1 (y) ≥ f1 (x) y ≥ x, x ≤ y ≤ ⇒ ⇒ y = x, y = f2 (y) ≥ f2 (x) y ≤ x, − ≤ y ≤ x ≤ Theo Giả thiết 1: xk → x0 y0 ∈ ψ(x0 ) = x0 nên d (y0 , ψ(xk )) = d (x0 , xk ) → xk → x0 y0 ∈ ψ(x0 ) = nên d (y0 , ψ(xk )) = d (2, 2) → vô lý Do P O(X, f ) không compact không liên thông Nhận xét 2.8 Giả sử X = [ − 2, 2] Nếu 44 0, x ∈ [−2, 0]; −x, x ∈ [−2, 0]; f2 (x) = x, x ∈ (0, 2] 0, x ∈ (0, 2] P O(X, f ) = {−2} ∪ {2} compact không liên thông f1 (x) = Ở f1 (x) tựa lõm không tựa lõm nửa ngặt f2 (x) không tựa lõm ngặt không tựa lõm nửa ngặt Hình 1.10a Hình 1.10b Chứng minh +) Dễ thấy f1 hàm tăng nên f1 tựa lõm (theo Nhận xét 1.1) Nhưng f1 không tựa lõm nửa ngặt Lấy x1 = −2, x2 = λ = f1 (2) = Ta có xλ = 2 · (−2) + f1 (x1 ) = f1 (−2) = = f1 (x2 ) = · = suy f1 (xλ ) = f1 (0) = = {f1 (x1 ), f1 (x2 )} Vậy f1 không tựa lõm nửa ngặt X +) Dễ thấy f2 hàm giảm nên f2 tựa lõm (theo Nhận xét 1.1) Nhưng 45 f2 không tựa lõm ngặt Thật vậy, lấy x1 = = x2 = λ = có xλ = 12 · + 12 · = 2 f2 (x1 ) = f2 (1) = = f2 (x2 ) = f2 (2) Ta suy f2 (xλ ) = f2 ( 23 ) = = {f2 (x1 ), f2 (x2 )} Nên f2 không tựa lõm ngặt X Mà f2 không tựa lõm nửa ngặt [−2, 2] Thật Lấy x1 = −2 = x2 = λ = xλ = 2 f2 (−2) = = f2 (2) = Và · (−2) + 12 · = suy f2 (0) = = {f2 (−2), f2 (2)} Vậy f2 không tựa lõm nửa ngặt [−2, 2] +) P O(X, f ) = {−2} ∪ {2} Thật vậy, vì: -) Xét x ¯ = −2, giả sử x ∈ [ − 2, 2] mà −2 ≤ x¯ ≤ x ≤ f1 (x) ≥ f1 (¯ x) ⇒ x = −2 ⇒ x = −2 f2 (x) ≥ f2 (¯ x) Chứng tỏ không tồn x ∈ [ − 2, 2] mà f1 (x) ≥ f1 (¯ x) hay x ¯ = −2 ∈ P O(X, f ) f2 (x) ≥ f2 (¯ x) -) Xét x ¯ = 2, giả sử x ∈ [ − 2, 2] mà x=2 f1 (x) ≥ f1 (¯ x) ⇒ x = ⇒ −2 ≤ x ≤ x¯ ≤ f2 (x) ≥ f2 (¯ x) Chứng tỏ không tồn x ∈ [ − 2, 2] mà f1 (x) ≥ f1 (¯ x) hay x ¯ = ∈ P O(X, f ) f2 (x) ≥ f2 (¯ x) -) Xét x ¯ ∈ (−2, 0]: f1 (x) ≥ f1 (¯ x) −2 ≤ x ≤ ⇒ ⇒ −2 ≤ x ≤ x¯ f2 (x) ≥ f2 (¯ x) −2 ≤ x ≤ x¯ Tồn x = −2: f1 (x) ≥ f1 (¯ x) 0=0 ⇒ ⇒ x¯ ∈ (−2, 0] không nghiệm P O(X, f ) f2 (x) ≥ f2 (¯ x) ≥ x¯ Tương tự ta thấy x ¯ ∈ (−2, 0] x¯ ∈ (0, 2) không nghiệm P O(X, f ) +) Chứng minh P O(X, f ) compact không liên thông − Xét ψ : X → →X mà ψ(x) = {y ∈ X : f (y) ≥ f (x)} tức i f1 (y) ≥ f1 (x) ⇒ f2 (y) ≥ f2 (x) i y ≥ x, x ≤ y ≤ ⇒y=x y ≤ x, − ≤ y ≤ x 46 Theo Giả thiết 1: xk → x0 y0 ∈ ψ(x0 ) = x0 nên d (y0 , ψ(xk )) = d (x0 , xk ) → Vậy P O(X, f ) compact Do Ví dụ 12 s(λ, x) không tựa lõm Do Giả thiết bị vi phạm nên P O(X, f ) không liên thông Nhận xét 2.9 Giả sử X = [ − 2, 2] Nếu f1 (x) = x f2 (x) = (1 − x) P O(X, f ) = [0, 2] compact liên thông Ta thấy f1 (x), f2 (x) tựa lõm ngặt Hình 1.11a Hình 1.11b 47 Chứng minh +) Dễ thấy f1 hàm tăng [−2, 2] nên f1 tựa lõm (theo Nhận xét 1.1) tựa lõm ngặt Thật với x1 = x2 ∈ X không tính tổng quát ta giả sử −2 ≤ x1 < x2 ≤ xλ ∈ (x1 , x2 ) , với λ ∈ (0, 1) f1 (xλ ) = f1 (λx1 +(1−λ)x2 ) > {f1 (x1 ), f1 (x2 )} Vậy f1 tựa lõm ngặt +) Dễ thấy f2 hàm giảm [−2, 2] nên f2 tựa lõm (theo Nhận xét 1.1) tựa lõm ngặt Thật vậy, với x1 = x2 , không tính tổng quát ta giả sử −2 ≤ x1 < x2 ≤ xλ ∈ (x1 , x2 ), với λ ∈ (0, 1) f2 (xλ ) = f2 (λx1 + (1 − λ)x2 ) > {f2 (x1 ), f2 (x2 )} Vậy f2 tựa lõm ngặt X +) P O(X, f ) = [0, 2] Thật vậy, vì: Xét x ¯ ∈ [0, 2], giả sử x ∈ [−2, 2] mà ≤ x¯ ≤ x ≤ f1 (x) ≥ f1 (¯ x) ⇒ ≤ x¯ ≤ ⇒ −2 ≤ x ≤ ≤ x¯ ≤ f2 (x) ≥ f2 (¯ x) Chứng tỏ không tồn x ∈ [ − 2, 2] mà f1 (x) ≥ f1 (¯ x) hay [0, 2] ∈ P O(X, f ) f2 (x) ≥ f2 (¯ x) Với x ¯ ∈ [−2, 0) ≤ x¯ ≤ x ≤ f1 (x) ≥ f1 (¯ x) ⇒ x = x¯ ⇒ −2 ≤ x ≤ x¯ f2 (x) ≥ f2 (¯ x) Tồn x = −2 : f1 (x) ≥ f1 (¯ x) 0=0 ⇒ ⇒ x¯ ∈ [−2, 0) không nghiệm P O(X, f ) f2 (x) > f2 (¯ x) > x¯ +) Chứng minh P O(X, f ) compact liên thông − Xét ψ : X → →X mà ψ(x) = {y ∈ X : f (y) ≥ f (x)} tức i i f1 (y) ≥ f1 (x) y ≥ x, x ≤ y ≤ ⇒ ⇒y=x f2 (y) ≥ f2 (x) y ≤ x, − ≤ y ≤ x Theo Giả thiết 1: xk → x0 y0 ∈ ψ(x0 ) = x0 nên d (y0 , ψ(xk )) = d (x0 , xk ) → Theo Giả thiết 2: Với s (λ, x) = λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) n Λ = {λ ∈ R++ : λ1 + λ2 = 1} f1 (x) f2 (x) tựa lõm s (λ, x) tựa lõm 48 Xét f (x) = λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) hay f (x) = λ1 x + (1 − λ1 )(1 − x) = (2λ1 − 1)x + − λ1 Chứng minh f (x) tựa lõm với λ1 ∈ (0, 1) Lấy x1 = −2 suy f (−2) = −2(2λ1 − 1) + − λ1 = −5λ1 + = 5(1 − λ1 ) − > 0; x2 = suy f (2) = 2(2λ1 − 1) + − λ1 = 3λ1 + > Chọn α = ta có f (αx1 + (1 − α)x2 ) = f · (−2) + 21 · = f (0) Suy f (x) tựa lõm ngặt nên f (x) tựa lõm Vậy P O(X, f ) compact liên thông 49 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Trình bày số kiến thức giải tích lồi khái niệm hàm lõm, hàm lõm suy rộng, hàm vectơ lõm hàm vectơ lõm suy rộng; số khái niệm liên thông tính nửa liên tục (hoặc nửa liên tục dưới) ánh xạ đa trị - Trình bày khái niệm tối ưu Pareto mối quan hệ tập nghiệm toán tối ưu Pareto; Trình bày số bổ đề dẫn đến chứng minh Định lý 2.1 tính compact tính liên thông toán tối ưu Pareto Ngoài trình bày chi tiết số ví dụ Nhận xét 2.7 đến Nhận xét 2.9 để thấy rõ tính tựa lõm không đủ để đảm bảo tính compact tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu Pareto Qua thực luận văn, nhận thấy rằng, tính compact tính liên thông, rộng cấu trúc tập nghiệm toán tối ưu Pareto đề tài nhiều thú vị để khai thác 50 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm (Giải tích đại), Bộ sách toán cao cấp - Viện Toán học [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích lồi đa trị, Bộ sách toán cao cấp Viện Toán học [3] J Cohon (1978), Multiobjective Programming and Planning, Academic Press [4] M Ehrgott (2005), Multicriteria Optimization, Springer [5] N Q Huy (2002), Arcwise Connectedness of the Solution Sets of a Semi-strictly Quasi-concave Vector Maximization Problem, Acta Mathematica Vietnamica, 27, 165-174 [6] D T Luc (1989), Theory of Vector Optimization, Springer [7] A Mukherjea, K Pothoven (1978), Real and Functional Analysis, Plenum Press [8] P Naccache (1978), Connectedness of the Set of Nondominated Outcomes in Multicriteria Optimization, Journal of Optimization Theory and Application, 29, 459-466 [9] R Steuer (1986), Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Application, John Wiley 51 [10] R Sundaran (1996), A first Course in Optimization Theory, Cambridge University Press [11] Fu Wantao and Zhou Kunping (1993), Connectedness of the efficient solution sets for a strictly path Quasiconvex programming problem, Nonlinear Analysis, Theory, Method and Application, 21, 903-910 [12] A R Warburton (1983), Quasiconcave Vector Maximization: Connectedness of the Sets of Pareto Optimal and Weak Pareto Optimal Alternative, Journal of Optimization Theory, and Applications, 40, 537557 [13] A Wilansky (1998), Topology for Analysis, Dover Publications [14] Zdravko Slavov (2012), Compactness and Connectedness of the Pareto Optimal Set in Multicriteria Convex Maximization, Mathematica Balkanica-New Series, Vol 26, No 3-4, 400-407 52