VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– LÊ HỮU THIỆN NHÓM ĐỘT BIẾN (CRITICAL GROUP) VÀ ĐA THỨC TUTTE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn: PGS.TS Phan Thị Hà Dương Học viên thực hiện: Lê Hữu Thiện Lớp: Cao học K21 Hà Nội - 2015 Mục lục Lời nói đầu iii Bảng kí hiệu vii Danh sách hình viii MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Một số khái niệm mở đầu đồ thị 1.2 Cắt đồ thị MATROID VÀ ĐA THỨC TUTTE 2.1 2.2 2.3 13 Matroid 13 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 13 2.1.2 Cơ sở 14 2.1.3 Hạng 16 2.1.4 Circuit 17 Matroid đối ngẫu 18 2.2.1 Định nghĩa tính chất 19 2.2.2 Co xóa phần tử matroid 25 Đa thức Tutte 28 2.3.1 Đa thức Tutte matroid 28 2.3.2 Đa thức Tutte đồ thị 31 i MỤC LỤC MÔ HÌNH CFG TRÊN ĐỒ THỊ 35 3.1 Giới thiệu mô hình CFG đồ thị 35 3.2 Cấu hình đột biến 41 CẤU HÌNH ĐỘT BIẾN VÀ ĐA THỨC TUTTE 48 4.1 Cấu hình đột biến đa thức Tutte 48 4.2 Phức đơn hình shellable phức 57 4.2.1 Phức đơn hình 58 4.2.2 Đa thức shelling 59 4.2.3 Matroid phức 63 Về giả thuyết R Stanley 66 4.3.1 Giả thuyết R Stanley 66 4.3.2 Chứng minh giả thuyết R Stanley dựa 4.3 đa thức Tutte CFG Kết luận chung 68 73 Tài liệu tham khảo 75 Phụ lục 77 ii Lời nói đầu Cùng với phát triển nhanh chóng công nghệ thông tin, lí thuyết đồ thị trở thành lĩnh vực toán học quan trọng cần thiết cho nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học đồ thị nội dung thiếu nhiều nghiên cứu, mà số mô hình chip firing game (CFG) Mô hình CFG giới thiệu A Bj¨oner, L Lovász W Shor năm 1991 [5] Sau có nhiều nghiên cứu CFG đồ thị vô hướng lẫn có hướng Khi nghiên cứu hệ CFG, vấn đề thường nhà khoa học quan tâm tính đột biến cấu hình CFG có nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học, Vật lí, Khoa học tính toán Gần hệ CFG sử dụng công cụ để nghiên cứu số vấn đề liên quan đến đa thức Tutte giả thuyết h−véc tơ R Stanley Đa thức Tutte đa thức hai biến định nghĩa cho matroid đồ thị Một vấn đề khác liên quan đến đa thức Tutte giả thuyết h−véc tơ Stanley matroid Matroid cấu trúc đại số giới thiệu W Tutte năm 1948 Lí thuyết matroid sử dụng nhiều kiến thức đại số tuyến tính lí thuyết đồ thị Matroid ứng dụng hình học, tô pô, tối ưu hóa tổ hợp, lí thuyết mạng lí thuyết mã hóa Luận văn trình bày mối quan hệ ba khái niệm matroid, đa thức Tutte CFG đa đồ thị vô hướng, liên thông Mối liên hệ mô tả Hình Do tất đồ thị luận văn không nói thêm đa đồ thị vô hướng, liên thông G = (V, E), với V tập đỉnh, E tập cạnh Cấu trúc luận văn bao gồm phần mở đầu, bốn chương (chương 1-4), kết iii Lời nói đầu Hình 1: Minh họa cho mối quan hệ matroid, đa thức Tutte CFG luận, tài liệu tham khảo phụ lục Nội dung luận văn tóm tắt sau: Chương trình bày số kiến thức đồ thị Phần đầu chương trình bày số khái niệm kiến thức mở đầu đồ thị Phần cuối chương trình bày khái niệm, tính chất cắt đồ thị Chương trình bày matroid đa thức Tutte Phần đầu trình bày định nghĩa khái niệm liên quan tới matroid Phần trình bày matroid đối ngẫu, phần khái niệm đối ngẫu matroid làm rõ Phần cuối chương trình bày đa thức Tutte matroid xét đồ thị Chương trình bày mô hình CFG đồ thị Trong chương luận văn trình bày luật hoạt động, tính dừng CFG, cấu hình đột biến cấp Chương 4, phần đầu trình bày mối liên hệ hàm sinh cấu hình đột biến đa thức Tutte đồ thị Phần trình bày số kiến thức phức đơn hình, shellable phức Cuối luận văn trình bày giả thuyết R Stanley mối liên hệ h−véc tơ O−dãy thuần, mà CFG đa thức Tutte có vai trò quan trọng việc chứng minh giả thuyết R Stanley cho trường hợp cographic matroid Ngoài phần phụ lục luận văn trình bày chứng minh iv Lời nói đầu số định lí, mệnh đề, bổ đề, nhận xét nêu chương số ví dụ minh họa Những đóng góp luận văn: Những đóng góp luận văn trình bày khái niệm, định lí, mệnh đề cách chi tiết có hệ thống Đưa nhận xét dựa cách hiểu Đồng thời xây dựng ví dụ cụ thể để minh họa cho kết đưa ra, cụ thể: Trong chương 1, luận văn mối liên hệ khái niệm cắt, cắt tối thiểu tập cắt đồ thị Thiết lập mối liên hệ tập cắt tập bao trùm đồ thị Tự chứng minh Mệnh đề 1.29 Trong chương 2, luận văn trình bày cụ thể khái niệm tính chất matroid, đặc biệt matroid đối ngẫu, kiến thức trừu tượng Thiết lập mối liên hệ cocircuit matroid đồ thị tập cắt đồ thị Trình bày khái niệm tính chất đa thức Tutte matroid xét đồ thị Đồng thời luận văn trình bày nhiều ví dụ cụ thể minh họa cho kiến thức trừu tượng Trong chương 3, luận văn thiết lập mối liên hệ tập cấu hình đột biến, tập bao trùm, tập sở matroid đồ thị Luận văn trình bày Ví dụ 3.24 minh họa cho thuật toán Burning, cấp cấu hình đột biến biểu diễn chúng R2 Trong chương 4, luận văn thiết lập mối liên hệ nhóm cấu hình đột biến đa thức Tutte đồ thị Trong chương luận văn trình bày ví dụ cụ thể minh họa cho kết đưa ra, đặc biệt Ví dụ 4.2, 4.5, 4.10, 4.15, 4.18 Trong luận văn đưa nhận xét dựa cách hiểu Ngoài ra, kiến thức luận văn kiến thức trừu tượng (đối với tôi) để hiểu sâu sắc vấn đề, luận văn trình bày thêm ví dụ minh họa trình bày phần phụ lục v Lời nói đầu Với nhiều ví dụ nhận xét đưa sau định nghĩa, định lí, mệnh đề luận văn tài liệu bổ ích giúp độc giả (đặc biệt độc giả bước đầu tiếp cận kiến thức này) dễ hình dung Luận văn thực hoàn thành Viện Toán học hướng dẫn PGS.TS Phan Thị Hà Dương Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới cô Hà Dương, cô tận tình dạy bảo, động viên suốt trình học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo công nhân viên Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công Nghệ Việt Nam quan tâm, dạy bảo, giúp đỡ tạo điều kiện tốt suốt trình học tập nghiên cứu Viện Do điều kiện thời gian trình độ hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì mong bảo, góp ý tận tình thầy cô đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2015 Lê Hữu Thiện vi Bảng kí hiệu CFG Mô hình Chip-firing game deg(v) Bậc đỉnh v e(u, v) Số cạnh từ u đến v G = (V, E) Đồ thị G với tập đỉnh V, tập cạnh E G = (F, E) Đồ thị đối ngẫu đồ thị phẳng G M (G) Matroid đồ thị G M ∗ (G) Matroid đối ngẫu matroid M (G) M (G ) Matroid đồ thị đối ngẫu đồ thị G G\e Xóa cạnh e đồ thị G G/e Co cạnh e đồ thị G M \e Xóa e từ matroid M G/e Co e từ matroid M θ◦ Cấu hình ổn định cấu hình θ θ(v) Số chíp đỉnh v S(G) Tập cấu hình đột biến G Ev Phép cộng chíp đỉnh v vii Danh sách hình 1.1 Đồ thị vô hướng G 1.2 Đa đồ thị vô hướng G 1.3 Dùng để minh họa cho hành trình đồ thị 1.4 Dùng để minh họa cho đồ thị không liên thông 1.5 Dùng để minh họa cho đồ thị phẳng 1.6 Dùng để minh họa cho rừng 1.7 Dùng để minh họa cho bao trùm 1.8 Dùng để minh họa cho Ví dụ 1.20 1.9 Dùng để minh họa cho cắt đồ thị 2.1 Dùng để minh họa cho Ví dụ 2.8 15 2.2 Dùng để minh họa cho Ví dụ 2.17 Ví dụ 2.28 17 2.3 Dùng để minh họa cho Ví dụ 2.29 21 2.4 Đồ thị phẳng đồ thị đối ngẫu 23 2.5 Dùng để minh họa cho Ví dụ 2.40 26 2.6 Đồ thị G với đỉnh hút q 28 2.7 Dùng để minh họa cho Ví dụ 2.50 33 3.1 Hoạt động bắn hữu hạn CFG đồ thị 36 3.2 Hoạt động bắn vô hạn CFG đồ thị 37 3.3 Dùng để minh họa cho Ví dụ 3.12 40 3.4 Dùng để minh họa cho Ví dụ 3.24 44 3.5 Dùng để minh họa cho Ví dụ 3.26 46 4.1 Biểu diễn cấu hình đột biến R3 50 4.2→4.6 Dùng để minh họa cho chứng minh Định lí 4.4 51 → 54 viii Danh sách hình 4.7 Phức đơn hình hai chiều 58 4.8 Minh họa cho shelling 59 4.9 Dùng để minh họa cho Ví dụ 4.18 64 ix Phụ lục Từ (i), ta có: |A∗ | − r∗ (A∗ ) = r(E) − r(A) ⇒ r∗ (E) + r(E) − |A| − r∗ (A∗ ) = r(E) − r(A) ⇒ r∗ (E) − r∗ (A∗ ) = |A| − r(A) [A.1.13.] (Chứng minh mệnh đề 2.37) Chứng minh 1) Muốn chứng minh M matroid E\e, ta cần kiểm tra M thỏa mãn ba tiên đề (M1 ) − (M3 ) (M1 ) Hiển nhiên ∅ ∈ I (M2 ) Lấy X ∈ I ⇒ X ⊆ E\e X ∈ I Nếu Y ⊆ X Y ⊆ E\e Y ∈ I ⇒ Y ∈ I (M ) Lấy U, V ∈ I cho |U | > |V | ⇒  U ⊆ E\e U ∈ I  V E\e V ∈ I Vì |U | > |V | nên ∃x ∈ U \V, x = e cho V ∪ {x} ∈ I ⇒ V ∪ {x} ∈ I Vậy M matroid 2) Muốn chứng minh M matroid E \ e, ta cần kiểm tra M thỏa mãn ba tiên đề (M1 ) − (M3 ) (M1 ) Hiển nhiên ∅ ∈ I (M2 ) Lấy X ∈ I ⇒ X ⊆ E\e X ∪ {e} ∈ I Nếu Y ⊆ X ⇒ Y ⊆ E\e Y ∪ {e} ∈ I ⇒ Y ∈ I (M ) Lấy A, B ∈ I cho |A| > |B| ⇒  A ⊆ E\e A = A ∪ {e} ∈ I  B E\e B = B ∪ {e} ∈ I Vì |A| > |B| nên ∃x ∈ A \B , x = e cho C = B ∪ {x} ∈ I 84 Phụ lục ⇒ C = C \{e} ∈ I , hay B ∪ {x} ∈ I Vậy M matroid [A.1.14.] (Chứng minh mệnh đề 2.39) Chứng minh Trước hết ta định nghĩa matroid: M ∗ = (E, I ∗ ), I ∗ = {I ⊆ E | ∃B ∈ B : I ∩ B = ∅} (M/e)∗ = (E\e, (I )∗ ), (I )∗ = {A ⊆ E\ e| ∃B ∈ B : A ∩ B = ∅}, với B tập sở M/e M ∗ \e = (E\e, (I ∗ ) ), (I ∗ ) = {X ⊆ E\ e| X ∈ I ∗ } (M \e)∗ = (E\e, (I )∗ ), (I )∗ = {C ⊆ E \ e | ∃B ∈ B : C ∩ B = ∅}, với B tập sở M \e M ∗ /e = (E\e, (I ∗ ) ), (I ∗ ) = {Y ⊆ E\e| Y ∪ {e} ∈ I ∗ } Bây ta chứng minh kết luận mệnh đề: (1) Gọi B B∗ sở M M ∗ Nếu e khuyên M e ∈ / B, ∀B ∈ B ⇒ e ∈ B ∗ , ∀B ∗ ∈ B ∗ ⇒ e cầu M ∗ ngược lại (2) Ta cần chứng minh E((M/e)∗ ) = E(M ∗ \e) B((M/e)∗ ) = B(M ∗ \e) - Dễ thấy E((M/e)∗ ) = E(M ∗ \e) = E\e - Để chứng minh B((M/e)∗ ) = B(M ∗ \e), ta cần chứng minh B((M/e)∗ ) ⊂ B(M ∗ \e) B((M ∗ \e)) ⊂ B(M/e)∗ (⇒) Chứng minh B((M/e)∗ ) ⊂ B(M ∗ \e) Lấy Y ∈ B((M/e)∗ ) sở (M/e)∗ ⇒ Y có dạng Y = (E\e)\X , X sở M/e Ta cần chứng minh Y sở M ∗ \e 85 Phụ lục - Trước hết ta chứng minh Y tập độc lập M ∗ \e Vì X  sở M/e nên X tập độc lập cực đại M/e  e∈ /X ⇒X∈I ⇒  X ∪ {e} ∈ I ⇒ X ∪ {e} tập độc lập M Hơn X ∪ {e} tập cực đại M , X ∪ {e} không tập cực đại M ∃x ∈ E : X ∪ {e} ∪ {x} ∈ I ⇒ X ∪ {x} ∪ {e} ∈ I ⇒ X ∪ {x} ∈ I (mâu thuẫn với tính cực đại X ) ⇒ X ∪ {e} sở M ⇒ E\(X ∪ {e}) sở M ∗ ⇒ Y sở M ∗  e∈ /Y ⇒  Y ∈ I∗ ⇒ Y tập độc lập M ∗ \e - Chứng minh Y tập cực đại M ∗ \e Giả sử Y không cực đại M ∗ \e ⇒ ∃y ∈ E\e : Y ∪ {y} ∈ (I ∗ ) ⇒ Y ∪ {y} ∈ I ∗ (mâu thuẫn với tính cực đại Y ) ⇒ Y tập cực đại M ∗ \e ⇒ Y sở M ∗ \e ⇒ B((M/e)∗ ) ⊂ B(M ∗ \e) (⇐) Chứng minh B(M ∗ \e) ⊂ B(M/e)∗ Lấy Y sở M ∗ \e ⇒ Z = (E\e)\Y sở (M ∗ \e)∗ Ta cần chứng minh Z sở M/e - Chứng minh Z tập độc lập M/e Vì Y cơ sở M ∗ \e nên Y tập độc lập cực đại M ∗ \e  e∈ /Y ∗ ⇒ Y ∈ (I ) ⇒  Y ∈ I∗ ⇒ Y tập độc lập M ∗ Hơn Y tập cực đại M ∗ , Y không tập cực đại M ∗ ∃x ∈ E : Y ∪ {x} ∈ I ∗ e ∈ / Y ∪ {x} 86 Phụ lục ⇒ Y ∪ {x} ∈ (I ∗ ) (mâu thuẫn với tính cực đại Y ) ⇒ Y sở M ∗ ⇒ E\Y sở M ⇒ E\Y tập độc lập cực đại M , hay (E\e)\Y ∪ {e} ∈ I e ∈ / (E\e)\Y ⇒ (E\e)\Y ∈ I ⇒ Z tập độc lập M/e - Chứng minh Z tập cực đại M/e Giả sử Z không tập cực đại M/e ⇒ ∃x ∈ E\e : Z ∪ {x} ∈ I ⇒ Z ∪ {x} ∪ {e} ∈ I ⇒ (E\Y ) ∪ {x} ∈ I (Mâu thuẫn với tính cực đại E\Y ) Do Z tập cực đại M/e ⇒ Z = (E\e)\Y sở M/e ⇒ Y sở (M/e)∗ ⇒ B(M ∗ \e) ⊂ B(M/e)∗ Vậy (M/e)∗ = M ∗ \e (3) Ta cần chứng minh E((M \e)∗ ) = E(M ∗ /e) B((M \e)∗ ) = B(M ∗ /e) - Dễ thấy E((M \e)∗ ) = E(M ∗ /e) = E\e - Chứng minh B((M \e)∗ ) = B(M ∗ /e) (⇒) Chứng minh B((M \e)∗ ) ⊂ B(M ∗ /e) Lấy Y sở (M \e)∗ Do Y có dạng Y = (E\e)\X , X sở M \e Ta cần chứng minh Y sở M ∗ /e - Chứng minh Y tập độc lập M ∗ /e Vì X  sở M \e nên X tập độc lập cực đại M \e  e∈ /X ⇒X∈I ⇒  X∈I ⇒ X tập độc lập M Hơn X tập cực đại M , X không tập cực đại M ∃x ∈ E : X ∪ {x} ∈ I ⇒ X ∪ {x} ∈ I (mâu thuẫn với tính cực đại X ) ⇒ X sở M 87 Phụ lục ∗ ⇒ E\X  sở M  ((E\e)\X) ∪ {e} ∈ I ∗ ⇒ E\X ∈ I ∗ ⇒ ⇒ Y = (E\e)\X ∈ (I ∗ )  e∈ / (E\e)\X ⇒ Y tập độc lập M ∗ /e - Chứng minh Y tập cực đại M ∗ /e Giả sử Y không tập cực đại M ∗ /e ⇒ ∃x ∈ E\e : Y ∪ {x} ∈ (I ∗ ) ⇒ Y ∪ {x} ∪ {e} ∈ I ∗ ⇒ (E\e)\X ∪ {x} ∪ {e} ∈ I ∗ ⇒ (E\X) ∪ {x} ∈ I ∗ (mâu thuẫn với tính cực đại E\X ) ⇒ Y tập độc lập cực đại M ∗ /e ⇒ Y sở M ∗ /e ⇒ B((M \e)∗ ) ⊂ B(M ∗ /e) (⇐) Chứng minh B(M ∗ /e) ⊂ B((M \e)∗ ) Lấy X sở M ∗ /e, Z = (E\e)\X sở (M ∗ /e)∗ Ta cần chứng minh Z sở M \e Thật vậy, X sở M ∗ /e nên X tập độc lập cực đại M ∗ /e   X ∪ {e} ∈ I ∗ ∗ ⇒ X ∈ (I ) ⇒  e∈ /X ⇒ X ∪ {e} tập độc lập M ∗ Hơn X ∪ {e} tập cực đại M ∗ , X ∪ {e} không tập cực đại M ∗ ⇒ ∃x ∈ E : X ∪ {e} ∪ {x} ∈ I ∗ ⇒ (X ∪ {x}) ∪ {e} ∈ I ∗ ⇒ X ∪ {x} ∈ (I ∗ ) (mâu thuẫn với tính cực đại X ) ⇒ X ∪ {e} sở M ∗ ⇒ E\(X ∪ {e}) sở M ⇒ Z sở M ⇒ Z ∈ I , e ∈ / Z nên Z sở M \e ⇒ (E\e)\Z sở (M \e)∗ ⇒ X sở (M \e)∗ ⇒ B(M ∗ /e) ⊂ B((M \e)∗ ) 88 Phụ lục Do B((M \e)∗ ) = B(M ∗ /e) Vậy (M \e)∗ = M ∗ /e [A.1.15.] (Chứng minh Mệnh đề 2.43) Chứng minh Trước hết ta nhắc lại: (x − 1)r(E)−r(A) (y − 1)|A|−r(A) , T (M ; x, y) = A⊆E(M ) r(A) = max{|X|| X ⊆ A, X ∈ I}, ∀A ⊆ E 1) - Nếu A không sở M r(A) = r(E) ⇒ Trong biểu thức T (M ; x, y) có hạng tử chứa (x − 1)α (x − 1)α (y − 1)β , (α, β ∈ N∗ ) Do (x, y) = (1, 1) hạng tử - Nếu A sở M |A| = r(A) = r(E) ⇒ Trong T (M ; x, y), hạng tử chứa (x − 1)0 (y − 1)0 = (ngay (x, y) = (1, 1)), hạng tử ứng với A sở M ⇒ Khi (x, y) = (1, 1) hạng tử khác 1, hạng tử ứng với A sở M Vì T (M ; 1, 1) số sở M 2) Nếu A tập độc lập M |A| = r(A) ⇒ Trong T (M ; x, y) có hạng tử chứa (y − 1)β , (β ∈ N∗ ) Do y = hạng tử Nếu A tập độc lập M |A| = r(A) ⇒ Trong T (M ; x, y) hạng tử chứa (x−1)α (y −1)0 = (x, y) = (2, 1), (α ∈ N), hạng tử ứng với A tập độc lập M Vì T (M ; 2, 1) số tập độc lập M 3) Tương tự trên, ta có hạng tử khác T (M ; 1, 2) hạng tử có 89 Phụ lục r(E) = r(A), hạng tử ứng với A tập bao trùm M Vì T (M ; 1, 2) số tập bao trùm M 4) Khi (x, y) = (2, 2) tất hạng tử T (M ; 2, 2) 1, ∀A ⊆ E ⇒ T (M ; 2, 2) = số tập E = 2|E| [A.1.16.] (Chứng minh Nhận xét 2.46) Chứng minh Hiển nhiên E(G) = E(M (G)) Lấy A ⊆ E , ta cần chứng minh r(A) Định nghĩa 2.41 r(A) Định nghĩa 2.45 Giả sử GA = (V, A) đồ thị bao trùm G có k thành phần liên thông V1 , V2 , , Vk T1 , T2 , , Tk tương ứng bao trùm V1 , V2 , , Vk M (GA ) = (A, IA ) matroid GA , với IA rừng GA Ta có r(A) = max{|X|| X ⊆ A, X ∈ I} Không tính tổng quát, giả sử max{|X|| X ⊆ A, X ∈ I} = |X| ⇒ X rừng bao trùm GA ⇒ X = T1 ∪ T2 ∪ ∪ Tk ⇒ |X| = |T1 | + |T2 | + + |Tk | = (|V1 | − 1) + (|V2 | − 1) + + (|Vk | − 1) = |V | − k ⇒ r(A) = |V | − k [A.1.17.] (Ví dụ đa thức Tutte theo cách đệ quy) Cho đa đồ thị G Hình 4.10: Hình 4.10: Đa đồ thị G 90 Phụ lục Hình 4.11 cách khai triển đồ thị G việc tìm đa thức Tutte Hình 4.11: Cách khai triển đồ thị G việc tìm đa thức Tutte Từ cách khai triển đồ thị G Hình 4.11 ta có: T (G; x, y) = y + x + y + y + y + y(x + y + y ) + x(x + y + y ) +y(y + y + y + y + x) = y + 2y + 3y + (3 + x)y + (3x + 1)y + x2 + x Vậy đa thức Tutte đồ thị G cho Hình 4.10 là: T (G; x, y) = y + 2y + 3y + (3 + x)y + (3x + 1)y + x2 + x [A.1.18.] (Ví dụ đa thức Tutte theo cách đệ quy) Cho đồ thị G = (V, E) Hình 4.12 Hình 4.12: Đồ thị vô hướng G Hình 4.13 cách khai triển đồ thị G việc tìm đa thức Tutte Từ Hình 4.13 ta có đa thức Tutte G là: T (G; x, y) = x3 + 2x2 + x + 2xy + y + y 91 Phụ lục Hình 4.13: Cách khai triển đồ thị G việc tìm đa thức Tutte [A.1.19.] (Chứng minh Bổ đề 3.14) Chứng minh Cho trước cấu hình θ hai đỉnh v w Bất đỉnh bắn cấu hình θ + 1v bắn trong cấu hình θ = θ + 1v + 1w Áp dụng cho cấu hình θ dãy bắn làm cho θ + 1v ổn định, ta thu cấu hình Ev θ + 1w Làm ổn định cấu hình Ev θ + 1w ta thu cấu hình Ew Ev θ Do đó, Ew Ev θ cấu hình ổn định θ Đổi vai trò v w lặp lại lập luận ta có Ev Ew θ cấu hình ổn định cấu hình θ Do đó, có Ew Ev θ = Ev Ew θ [A.1.20.] (Chứng minh Định lí 3.17) Chứng minh Chúng ta thực cách bắn đỉnh theo luật bắn CFG Ta biết đỉnh v ∈ V \{q} bắn hữu hạn lần, q bắn đỉnh v = q không bắn Giả sử dãy bắn vô hạn đỉnh q không bắn Khi đó, G đồ thị liên thông nên đỉnh láng giềng q bắn vô hạn lần, vô hạn chíp Mà số chíp đỉnh hữu hạn (mâu thuẫn) Vì dãy bắn, ta bắn đỉnh q nhiều lần cần thiết ∗ Xuất phát từ cấu hình θ, ta có θ −→ θ cấu hình θ ổn định Bây ta bắn q đặt θ1 = θ + q 92 Phụ lục Nếu θ1 không bắn θ1 cấu hình đột biến ∗ Nếu θ1 bắn được, θ1 −→ θ1 , θ1 ổn định Đặt θ2 = θ1 + q lặp lại +q ∗ cách làm đến thời điểm ta thu θk −→ θk −→ θk , θk cấu hình đột biến [A.1.21.] (Ví dụ hàm sinh cấu hình đột biến đa thức Tutte) Cho đa đồ thị G có đỉnh hút q Hình 4.14 Từ Ví dụ 3.24, ta có hàm Hình 4.14: Đa đồ thị G với đỉnh hút q sinh cấu hình đột biến G là: Pq (G; y) = + 4y + 4y + 3y + 2y + y Trong Phụ lục [A.1.17] ta tìm đa thức Tutte G T (G; x, y) = y + 2y + 3y + (3 + x)y + (3x + 1)y + x2 + x Do đó, T (G; 1, y) = y + 2y + 3y + 4y + 4y + Mặt khác, hàm sinh cấu hình đột biến G Pq (G; y) = y + 2y + 3y + 4y + 4y + Qua cho ta thấy hàm sinh cấu hình đột biến G đa thức Tutte G ứng với x = 93 Phụ lục [A.1.22.] (Ví dụ shelling) (a) F1 ∩ F2 (b) (F1 ∪ F2 ) ∩ F4 (d) (F1 ∪ F2 ∪ F3 ∪ F4 ) ∩ F5 (c) (F1 ∪ F2 ∪ F4 ) ∩ F3 (e) (F1 ∪ F2 ∪ F3 ∪ F4 ∪ F5 ) ∩ F6 Hình 4.15: Minh họa cho shelling Cho ∆ phức đơn hình Ví dụ 4.8, với diện F1 = {a, b, c}, F2 = {a, b, d}, F3 = {a, c, d}, F4 = {b, d, e}, F5 = {c, d, e}, F6 = {b, c, d} Xét thứ tự tuyến tính diện ∆ F1 F2 F4 F3 F5 F6 , k = 2, 3, , 6, ta có: - k = (Hình 4.15(a)) F1 = {a, b, c} ⇒ F1 = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}; F2 = {a, b, d} ⇒ F2 = {∅, {a}, {b}, {d}, {a, b}, {a, d}, {b, d}, {a, b, d}} ⇒ B2 = F1 ∩ F2 = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ⇒ B2 dimB2 = = (dimF2 − 1) - k = (Hình 4.15(b)) F4 = {b, d, e} ⇒ F4 = {∅, {b},  {d}, {e}, {b, d}, {b, e}, {d, e}, {b, d, e}};   {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d},  (F1 ∪ F2 ) =  {b, c}, {b, d}, {a, b, c}, {a, b, d}  ⇒ B3 = (F1 ∪ F2 ) ∩ F4 = {∅, {b}, {d}, {b, d}} 94 Phụ lục ⇒ B3 dimB3 = = (dimF4 − 1) - k = (Hình 4.15(c)) F3 = {a, c, d} ⇒ F3 = {∅, {a}, {c},  {d}, {a, c}, {a, d}, {c, d}, {a, c, d}}; (F1 ∪ F2 ∪ F4 ) =   {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {a, b}, {a, c},            {a, b, d}, {b, d, e}     {a, d}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {d, e}, {a, b, c}, ⇒ B4 = (F1 ∪ F2 ∪ F4 ) ∩ F3 = {∅, {a}, {c}, {d}, {a, c}, {a, d}} ⇒ B4 dimB4 = = (dimF3 − 1) - k = (Hình 4.15(d)) F5 = {c, d, e} ⇒ F5 = {∅, {c}, {d}, {e},  {c, d}, {c, e}, {d, e}, {c, d, e}}; (F1 ∪ F2 ∪ F3 ∪ F4 ) =   {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {a, b}, {a, c},            {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {d, b, e}     {a, d}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {d, e}, ⇒ B5 = (F1 ∪ F2 ∪ F3 ∪ F4 ) ∩ F5 = {∅, {c}, {d}, {e}, {c, d}, {d, e}} ⇒ B5 dimB5 = = (dimF5 − 1) - k = (Hình 4.8(e)) F6 = {b, c, d} ⇒ F6 = {∅, {b}, {c}, {d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {b, c, d}};   {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {a, b}, {a, c},      {a, d}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {d, e}, (F1 ∪ F2 ∪ F3 ∪ F4 ∪ F5 ) =   {c, e}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d},      {d, b, e}, {c, d, e}                ⇒ B6 = B6 = Fi ∩ F6 = {∅, {b}, {c}, {d}, {b, c}, {c, d}, {b, d}} i=1 ⇒ B6 dimB6 = = (dimF6 − 1) Như kiểm tra thứ tự diện F1 F2 F4 F3 F5 F6 shelling ∆ 95 Phụ lục [A.1.23.] (Ví dụ thứ tự tuyến tính facet không shelling) Cho ∆ phức đơn hình Ví dụ 4.8, với diện F1 = {a, b, c}, F2 = {a, b, d}, F3 = {a, c, d}, F4 = {b, d, e}, F5 = {c, d, e}, F6 = {b, c, d} Xét thứ tự tuyến tính diện ∆ F1 F2 F5 F6 F4 F3 , k = 2, 3, , 6, ta có: (a) F1 ∩ F2 (b) (F1 ∪ F2 ) ∩ F5 Hình 4.16: Minh họa cho thứ tự diện không shelling - k = (Hình 4.16(a)) F1 = {a, b, c} ⇒ F1 = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}; F2 = {a, b, d} ⇒ F2 = {∅, {a}, {b}, {d}, {a, b}, {a, d}, {b, d}, {a, b, d}} ⇒ B2 = F1 ∩ F2 = {∅, {a}, {b}, {a, b}} ⇒ B2 dimB2 = = (dimF2 − 1) - k = (Hình 4.16(b)) F5 = {c, d, e} ⇒ F5 = {∅, {c},  {d}, {e}, {c, d}, {c, e}, {d, e}, {c, d, e}};   {∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d},  (F1 ∪ F2 ) =  {b, c}, {b, d}, {a, b, c}, {a, b, d}  ⇒ B3 = (F1 ∪ F2 ) ∩ F5 = {∅, {c}, {d}} ⇒ B3 dimB3 = = = (dimF5 − 1) Do thứ tự diện F1 F2 F5 F6 F4 F3 , ∆ không shelling 96 Phụ lục [A.1.24.] (Chứng minh Mệnh đề 4.13) Chứng minh Ta có: d hi xd−i = x|F1 −R(F1 )| + x|F2 −R(F2 )| + + x|Ft −R(Ft )| h∆ (x) = i=0 t x|Fi −R(Fi )| = i=1 t (1 + x)|Fi −R(Fi )| ⇒ h∆ (1 + x) = i=1 t d k C|F xk i −R(Fi )| = i=1 k=0 d t = i=1 k=0 k C|F xk i −R(Fi )| Mặt khác, ta có t k C|F i −R(Fi )| fd−k = i=1 d ⇒ h∆ (1 + x) = fd−k xk = d fi xd−i = f∆ (x) i=0 k=0 [A.1.25.] (Chứng minh nhận xét 4.14, ý (1)) Thật vậy: Các hạng tử h∆ (x + 1) biểu diễn dạng ma trận sau: i=0 xd xd−1 xd−2 xd−k x1 h0 Cd0 h0 Cd1 h0 Cd2 h0 Cdk h0 Cdd−1 x0 h0 Cdd i=1 k−1 d−2 d−1 h1 Cd−1 h1 Cd−1 h1 Cd−1 h1 Cd−1 h1 Cd−1 i=2 d−2 k−2 d−3 h2 Cd−2 h2 Cd−2 h2 Cd−2 h2 Cd−2 hd−1 C10 hd−1 C11 i=d−1 hd C00 i=d Từ ma trận trên, ta có hạng tử thứ k + h∆ (x + 1) có dạng hk xd−k = d i=0 k−i d−k hi Cd−i x 97 Phụ lục Mặt khác, d fi xd−i = f0 xd + f1 xd−1 + + fk xd−k + + fd f∆ (x) = i=0 Do đồng hệ số ta d k−i hi Cd−i , k = 0, 1, , d fk = i=0 [A.1.26.] (Ví dụ O−dãy thuần) Cho ∆ đa phức (trong k[x, y, z]) với đơn thức cực đại xy z x2 z Khi ta có đa phức: ∆=    xy z, x2 z , y z, xy z, xy , xz , x2 z ,            yz, y , xz, xy, z , x2 , x, y, z,     y z, y , xyz, xy , xz , z , x2 z, Do h = (1, 3, 6, 7, 5, 2) h−véc tơ ∆ Vì đơn thức cực đại có bậc nên ∆ đa phức Do h = (1, 3, 6, 7, 5, 2) O−dãy 98