Bài giảng về hàm số (1) Nguyễn Song Minh 27/1/2007 Mở đầu Cuộc sống đ ợc chúng ta nhận thức qua sự vận động của các thành tố trong nó, khi tồn tại và vận động để phát triển các đối t ợng tác động lên nhau theo những quy luật đ ợc xác định để rồi có những ảnh h ởng về giá trị của l ợng và chất t ơng ứng . Toán Học với nghĩa vụ giúp con ng ời chiêm bái và nghiệm xét đời sống vì thế mà cần đến một khái niệm về các quy luật tác động t ơng ứng đ ợc l ợng hóa giữa các đối t ợng trong đời sống. Nó ắt hẳn là một khái niệm quan trọng số một trong Toán Học! 1 Khái niệm Hàm Số: 1.1 định nghĩa1 M ột quy tắc tác động t ơng ứng g iữ a h a i t ậ p hợ p số g ọi l à m ột hàm số. Giả sử có hai tập số X ; Y ký hiệu: f : X R khi đó một hàm số giữa chúng ẵ Y và đ ợc hiểu rằng với Ă m ! ỗi giá trị x X (biến số) xác định một y Y t ơng ứng theo, ta viết y = f ( x ) có nghĩa là quy 2 tắc f đã tác động lên x để cho 2 ta giá trị t ơng ứng y . Ngoài tên gọi là giá trị hàm số f tại điểm x (t ơng ứng) ta cũng còn gọi y là ảnh của x ( x gọi là tạo ảnh của y ) qua f . 1.2 Vài nhận xét về cấu trúc một hàm số Tập X trong định nghĩa trên gọi là tập nguồn với ý nó chính là nơi khởi sinh (gây sự) nên sự tác động của quy tắc còn Y gọi là tập đích của hàm với ý nó là nơi hứng đỡ những giá trị sản phẩm (hậu quả) của sự tác động (bắn phá) của f lên X . Với một tập nguồn X cho tr ớc có rất nhiều quy tắc t ơng ứng có thể tác động lên, tuy nhiên với một quy tắc f xác định tr ớc thì không phải phần tử của một tập bất kỳ cứ thích là có thể khiêu gợi cho f thèm tác động vào. Vì thế ta rất cần quan tâm tới tập các giá trị biến số để f cho tr ớc có thể xác định tác động vào, th ờng ta hay ký hiệu là D f và đ ợc gọi là tập xác định của hàm f . Nếu đã viết f : X Y thì dĩ nhiên ta cần hiểu tập nguồn X là một bộ phận (tập con) của tập x Ă á ! c định cho f . 1 rsin Sau khi đ ợc phép thỏa mái (xác định) tác động lên khắp X , quy tắc f sẽ sinh ra t ơng ứng theo các giá trị f ( x ) để ta phải đi gom lại thành một tập. L u ý rằng tập đó là một tập con của Y , và ta gọi nó là tập giá trị của hàm số (nh chắc hẳn tên nó phải thế!). Chú ý: Nếu có một x X mà y 1 = y 2 Y thỏa mãn y 1 = f ( x ) và y 2 = f ( x ) thì f gọi là hàm đa 2 trị (tại đ 9 iểm x), tr 2 ong ch ơng trình phổ thông cũng nh phạm vi bài viết này ta không xét đến những hàm bệnh hoạn nh vậy. Nói khác đi chúng ta chỉ xét những hàm đơn trị tức là: hễ f ( x ) = y 1 và f ( x ) = y 2 thì y 1 = y 2 . Quy tắc (f) của một hàm là một luật tác động mà nhờ nó ta xác định đ ợc t ơng ứng giữa giá trị biến và hàm. Thông th ờng với chúng ta các hàm số (sơ cấp) có quy tắc (tác động t ơng ứng) đ ợc hình thành trên các phép toán (sơ cấp) cơ bản trên các tập số. Nói khác đi quy tắc hàm sơ cấp là một công thức tổ hợp của các phép toán d ới bảng sau. bảng các phép toán sơ cấp: Pt xuôi Pt ng ợc (ng ợc) (xuôi) (+) (-) (.) (:) ( ::: ) n n ( ::: ) cos( .) arcos( .) sin( .) a p ( .) a ( ::: ) l o g a ( ::: ) Tùy theo câú trúc hàm hình thành bởi những phép toán nào mà ta sẽ có tên gọi mặc định cho nó. Sau mỗi tác động t ơng ứng của hàm (lên một giá trị x X D f ) chúng ta xác định đ ợc một cặp giá trị ( x ; f ( x )) t ơng ứng với mộ 2 t cặp ẵ tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ hai chiều O x y . Tập hợp các điểm này lại chúng ta có một định nghĩa cho một đối t ợng hình học cơ bản và quan trọng. định nghĩa: Tập hợp điểm M ( x ; f ( x )) O x y : x X gọi là đồ thị của hàm số f : X Y tro f ng tài liệu này 2 tôi sẽ ký hiệ 2 u là g G f ( x ) Ă ! Nhận xét: Nhờ khái niệm đồ thị ta mô tả đ ợc sự t ơng ứng giữa giá trị biến và giá trị hàm bằng trực quan hình học. 2 1.3 Các phép toán trên hàm số Bản thân mỗi hàm số là một quy tắc tác động t ơng ứng lên các đối t ợng là các số, tuy nhiên mỗi hàm số lại là một đối t ợng trên tập hợp các hàm số, trên không gian ấy chúng lại có các quan hệ và tác động lên nhau qua các phép toán . Có các phép toán cơ bản trên các hàm số nh sau: Các phép quan hệ Những phép toán đ ợc kể ra sau là t ơng tác giữa các hàm có cùng cả tập nguồn và tập đích và sản phẩm sau t ơng tác ấy cũng là một hàm có chung tập đích và nguồn tức là với f ; g : X (1) Phép cộng: Y ta có Ă ! f + g = h : X Y gọi là hàm tổng với sự xác định giá trị cụ thể là h ( x ) = f ( x ) + g ( x Ă ) ! x X 8 2 (2)Phép trừ: f g = h : X Y gọi là hàm hiệu với sự xác định giá trị cụ thể là h ( Ă x ) = f ( x ) g ( x Ă ) ! x X Ă 8 2 (3)Phép nhân một hàm số với hằng số: k : f = h : X Y ở đây k : const với sự xác định giá trị cụ thể là h ( x ) = k : f ( x ) x Ă ! X 8 2 (4)Phép nhân hai hàm số : f : g = h : X Y gọi là hàm tíchvới sự xác định giá trị cụ thể là h ( x ) = f ( x ) : g ( x ) Ă ! x X 8 2 (5)Phép chia: f = g = h : X f ( x ) Y gọi là hàm th ơng với sự xác định giá trị cụ thể là Ă ! h ( x ) = ; x g ( x ) 8 X cùng với điều kiện g ( x ) = 0 ; x X 2 8 2 3 Buy Now to Create PDF without Trial Watermark!! Phép tác động có thứ tự kết hợp Với ba tập số X ; Y và Z ta luôn có thể xác định các hàm từ tập này đến tập kia vấn đề đặt ra là một quy tắc hàm trên hai tập sẽ xác định ra sao qua các quy tắc hàm với một tập trung gian. (6)Phép hợp hai hàm Cho hai hàm f : X Y ; g : Y Z khi đó ứng mỗi x X có y = f ( x ) Y do đó xác định g Ă ( ! y ) = g ( f ( x Ă )) ! = z Z . Tức là ta có 2 một luật tác độn 2 g trực tiếp h : X Z xác định bởi h ( x ) 2 = g ( f ( x )) có tính kết hợp có thứ tự hai quy tắc f v Ă à ! g kia, quy tắc h ấy gọi là quy tắc hợp hai quy tắc hai hàm f : X Y và g : Y Z ký hiệu Ă : ! f g (với ý f Ă t ! ác động tr ớc g tác động sau) quy tắc h ấy và hai tập X : tập ngu ồn và Z : tập đích tạo nên một hàm số gọi là hàm hợp của hai hàm f : X Y ; g : Y Z . Ă ! Ă ! Chú ý: Các hàm số sơ cấp của chúng ta nhờ các phép toán hàm cơ bản kể trên hoàn toàn đ ợc xác định qua các quy tắc hàm sơ cấp cơ bản 1.4 Mô tả một hàm số Mục đích của phần này chỉ là nói đến cách mô tả hình thức một hàm số, hẳn phải thế thôi chứ mà đặt ra âm m u tả t ờng minh một hàm bất kỳ là không t ởng. Con ng ời ta nh nhau cả thôi có ai biết tận hiểu cùng cái gì bao giờ mà tả rõ hết nó, mà thế nào là tả rõ hết một đối t ợng Toán Học thì tôi cũng chịu! Tất nhiên ăn nói AQ chút vậy chứ ta cũng có những cách thức ngiêm túc về việc cho (mô tả) một hàm. Có những kiểu thông th ờng cho một hàm nh sau (nh tôi biết). Mô tả kiểu liệt kê giá trị t ơng ứng Mô tả kiểu t ờng thuật quy tắc Mô tả theo bảng biến thiên Mô tả kiểu hình học qua đồ thị Mô tả qua ph ơng trình hàm Mô tả kiểu công thức t ơng ứng giá trị Kiểu này là phổ biến hơn cả khi ng ời ta muốn cho một hàm sơ cấp, với kiểu mô tả này quy tắc t ơng ứng giá trị sẽ là một công thức gồm tổ hợp các phép toán cơ bản tác động vào biến số và các phép toán với hàm số. 4 Created by eDocPrinter PDF Pro!! Buy Now to Create PDF without Trial Watermark!! Cho kiểu vv Bạn đọc thấy đấy thực ra trong những cách mô tả trên đã khối cách chồng chéo lên nhau rồi, và vì thế mong bạn thể tất cho sự r ờm rà của tôi dẫu sao thì tôi cũng chỉ cố làm rõ cái điều vốn biết không thể tận t ờng mà thôi. 1.5 Các lớp hàm số sơ cấp cơ bản ý t ởng và mục đích cho phần này phân loại (một cách sơ l ợc và chủ quan) các hàm số sơ cấp. Phân loại một đối t ợng ng ời ta th ờng xét những đặc điểm chung riêng giữa các yếu tố cơ bản tạo nên các đối t ợng ý t ởng cơ bản là bám vào các phép toán cơ bản có mặt trong công thức hàm. hàm đa thức Đây là lớp hàm với quy tắc t ơng ứng giá trị là một công thức tổ hợp của bốn phép toán cơ bản (+), (-), (.), ( ::: ) n cụ thể một đa thức là một hàm có công thức của quy tắc là: P ( x ) = a 0 + a 1 x + ::::: + a n x n hàm phân thức đại số Khi có sự tham chiến của phép chia hai hàm ta có hàm phân thức, nói khác một phân thức đại số là th ơng của hai đa thức: a 0 + a 1 x + ::::: + a n x n F ( x ) = b 0 + b 1 x + :::: + b m x m hàm vô tỷ Là hàm có quy tắc theo một công thức gồm 6 phép toán đầu tiên trong bảng gồm (+), (-), (.), (:), ( ::: ) n ; n ( ::: ) p các hàm l ợng giác đ ợc hình thành bởi các hàm l ợng giác cơ bản s i n ( ::: ) ; co s ( ::: ) các hàm mũ và logarit Công thức của quy tắc t ơng ứng các hàm này đ ợc thành hình từ a ( ::: ) ; l o g a ( ::: ) với a : const và trong phạm vi tìm hiểu của chúng ta thì thêm điều kiện 0 < a = 1 Chú ý: Với các hàm cơ bản trên cùng với các phép toán về hàm số đặc biệt là phép hợp các hàm chúng ta có đ ợc ầy đủ các hàm số sơ cấp quen biết. 5 Created by eDocPrinter PDF Pro!! . đích tạo nên một hàm số gọi là hàm hợp của hai hàm f : X Y ; g : Y Z . Ă ! Ă ! Chú ý: Các hàm số sơ cấp của chúng ta nhờ các phép toán hàm cơ bản kể trên. trị hàm bằng trực quan hình học. 2 1.3 Các phép toán trên hàm số Bản thân mỗi hàm số là một quy tắc tác động t ơng ứng lên các đối t ợng là các số,