Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ (dành cho bạn đọc muốn thử sức với số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp thử sức giải phƣơng trình bậc 3) Bài viết xin đƣợc giới thiệu phƣơng trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax  bx  c  k P( x) ,với a,b,c số nguyên Sau thí dụ đơn giản dạng (phƣơng pháp tìm biểu thức nêu chuyên đề phần sau thí dụ) Thí dụ Giải phƣơng trình 5x  10 x    12 x3  x  12  x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  3x   5x  10 x  x    12 x  x  12 PTcó nghiệm x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình 3x  x   x  x  3x   x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  x   3x  x  x   8x  x  x  PTcó nghiệm x   17 Thí dụ Giải phƣơng trình 18x  5x   64 x  16 x  23  x  3x  Biểu thức cần tìm x  x   18x  5x  x  x   64 x  16 x  23 PTcó nghiệm x  1 17   33 ; x 4 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Thí dụ Giải phƣơng trình 14 x  11x   32 x  32 x   x  3x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  x   14 x  11x  x  x   32 x  32 x  PTcó nghiệm x  1 1 17 ; x  1; x  Thí dụ Giải phƣơng trình 8x  10 x   24 x  36 x  17  x  3x  Biểu thức cần tìm x  x   8x  10 x  x  x   24 x  36 x  17 PTcó nghiệm x   17 Thí dụ Giải phƣơng trình 8x  10 x   ( x  1)(8x  21x  17)  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  x   8x  10 x  x  3x   ( x  1)(8x  21x  17) PTcó nghiệm x   17 Thí dụ Giải phƣơng trình 8x  10 x   8x3  37 x  44 x  20  x  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  x   8x  10 x  x  3x   8x3  37 x  44 x  20 PTcó nghiệm x   17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Thí dụ Giải phƣơng trình (3x  1) x   14 x  x  x  1 4x2  x 1 Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  x   (3x  1) x  x  14 x  x  x  PT cho có nghiệm: x  ; x   359  12 78  359  12 78 Thí dụ Giải phƣơng trình (3x  1) x   14 x  x  x  1 4x2  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  x   (3x  1) x  x  14 x  x  x  PT cho có nghiệm: x  ; x   359  12 78  359  12 78 Thí dụ 10 Giải phƣơng trình ( x  1) 3x   x  x  x  1 2x2  x  Hƣớng dẫn Biểu thức cần tìm x  x   ( x  1) 3x  x   x  x  x  PT cho có nghiệm: x  ; x  27  633  27  633 18 Thí dụ 11 Giải phƣơng trình ( x  2) 3x    x  x  10 x  1 4x2  x  Hƣớng dẫn Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Biểu thức cần tìm x  x   ( x  2) 3x  x    x  x  10 x  PT cho có nghiệm: x  ; x    5(281  18 249 )  5(281  18 249 ) 12 Thí dụ 12 Giải hệ phƣơng trình 2   x  y  xy   2  ( x  2) 3x   x  x  x   x  y Hƣớng dẫn Phƣơng trình thứ hệ tƣơng đƣơng với x  x  y   2 Với x=2 bạn tự xử lí trƣờng hợp dễ Với x  y   2 thay vào PT thứ hệ ta đƣợc ( x  2) 3x   x3  x  8x   x  x  2(*) Biểu thức cần tìm 3x  x   ( x  2) 3x  x  x  x  8x  PT(*) có nghiệm: x  ; x  1 3 183  31 3 183  31  4 Đến bạn tự giải tiếp Thí dụ 13 Giải hệ phƣơng trình  x  y2  0  x y y      2 2  y 3x  13  x  16 x  41  3x  y  Hƣớng dẫn Sử dụng Hàm đặc trƣng có Phƣơng trình thứ hệ tƣơng đƣơng x  y   2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Với x  y   2 thay vào PT thứ hệ ta đƣợc ( x  2) 3x  13  x  16 x  41  3x  3x  11(*) Biểu thức cần tìm x  3x   ( x  2) 3x  13 x   x  16 x  41 PT(*) có nghiệm: x  ; x    23 57   23 57  Đến bạn tự giải tiếp Thí dụ 14 Giải hệ phƣơng trình 2   x  xy  x  y    2 2   y 3x  13  x  10 x  67  3x  3x  15 Hƣớng dẫn Phƣơng trình thứ hệ tƣơng đƣơng với x  x  y   2 Với x=1 bạn tự xử lí trƣờng hợp dễ Với x  y   2 thay vào PT thứ hệ ta đƣợc ( x  2) 3x  13  x  10 x  67  3x  3x  15(*) Biểu thức cần tìm x  3x   ( x  2) 3x  13 x   x  10 x  67 PT(*) có nghiệm: x  ; x    17  681  17  681 Đến bạn tự giải tiếp Sử dụng lí thuyết chuyên đề dƣới tìm biểu thức cần xuất Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Chuyên đề PHƢƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Một kĩ hữu ích giúp ta giải đƣợc phƣơng trình vô tỉ kĩ tìm nhân tử chung tìm biểu thức nhân liên hợp Đôi việc tìm biểu thức khó khăn ta máy tính cầm tay trợ giúp Bài viết xin đƣợc giới thiệu kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp có dạng ax  bx  c  k P( x) ,với a,b,c số nguyên Sau thí dụ Thí dụ Giải phƣơng trình x  3x  3x  x  10 x   x  3x  2 Lời giải Phƣơng trình(PT) cho tƣơng đƣơng với PT: x  3x  3x  8x  x  12  x  3x   0(1) Ta tìm nghiệm PT(1) máy tính CASIO fx-570VN PLUS nhƣ sau: Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2 Ấn nút sang trái để quay lại PT(1) Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm  10 =, máy cho ta nghiệm X  2,546818277 Bấm SHIFT STO A (lƣu nghiệm vừa tìm vào A) Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax  bx  c  x  3x  chứa nghiệm vừa tìm Nghiệm X=2 suy 4a  2b  c    c  4a  2b  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Nhân tử PT(1) trở thành: ax  bx  4a  2b   x  3x   a( x  2)( x  2)  b( x  2)   x  3x  Xét a( x  2)( x  2)  b( x  2)   x  3x   suy b  x  3x    a( x  2) (2) x2 Vì A nghiệm PT(2) nên ta tìm a,b số nguyên cách bấm máy tính nhƣ sau: MODE máy f(X)= ,ta nhập A2  A    ( A  2) X bấm = A2 Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1=a F(X)=0=b số nguyên Nhƣ a=1,b=0,c=  Nên nhân tử cần tìm x   x  3x  Suy PT xuất 4( x   x  3x  ) Biểu thức lại x  3x  3x3  12 x  x  Biểu thức chứa nhân tử cần tìm nên chứa nhân tử sau: ( x  2)  ( x  3x  6)  x  5x  3x  Thật vậy,sử dụng kĩ chia đa thức ta đƣợc x  3x  3x3  12 x  x   ( x  5x  3x  2)( x  2) Do PT (1)  ( x  5x  3x  2)( x  2)  4( x   x  3x  )   ( x   x  3x  )( x   x  3x  )( x  2)  4( x   x  3x  )  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016)    ( x   x  3x  ) x  ( x  2) x  3x    x  3x   x  2(3)   x  ( x  2) x  3x   0(4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm 2   x   x    PT (3)      x  3x   x  x  ( x  2)( x  x  x  1)  Giải tiếp ta đƣợc nghiệm x  x  23 Vậy PT cho có nghiệm: x  ; x  61  29 61  29  2 23 61  29 61  29  2 Thí dụ Giải phƣơng trình 2x  x  2x  6x  ( x  2) x  x  1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x  x   ( x  2) 8x  x   0(1) Nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm SHIFT STO A Nhập biểu thức VT (1) : ( X  A) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm = , chờ gần phút máy Can’t Solve Khi ta chuyển sang hƣớng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT cách đổi dấu trƣớc PT cho.Dẫn tới tìm nghiệm PT sau: x  x  x  x   ( x  2) 8x  x   0(2) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(2) nhƣ sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi xem bảng ta thấy X  `1 F(X)=0 Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm x= -1 Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax  bx  c  8x  x  Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nghiệm PT: ax  bx  c  8x  x   suy a  b  c    c  a  b  Nhân tử PT(*) trở thành: ax  bx  a  b   8x  x   a( x  1)( x  1)  b( x  1)   8x  x  Xét a( x  1)( x  1)  b( x  1)   8x  x   suy b  8x  x    a( x  1)  Z x 1 Ta tìm a,b cách bấm máy tính nhƣ sau: MODE máy f(X)= ,ta nhập A3  A    ( A  1) X bấm = A 1 Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1 F(X)=3 số nguyên Nhƣ a=1,b=3,c=0.Ta đƣợc nhân tử x  3x  8x  x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Mà ( x  3x)  (8x  x  3)  x  x  PT(1) trở thành: x  x   ( x  2)( x  3x  8x  x  )   ( x  3x  8x  x  )(2 x  3x   8x  x  3)   x  x   x  3x(3)   2( x  )   x  3x   0(4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm   x  3x   x  1 PT (3)    (  ) (  )   x x    Vậy PT cho có nghiệm x  1 Thí dụ Giải phƣơng trình x  3x   x  36 x  44 x  17 x  x  1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: 5x  3x   36 x  44 x  17 x  x   x   0(1) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(1) nhƣ sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi ta thấy X=1 F(X)=0 Nhập biểu thức VT(1):( X-1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi X=? ta bấm =, máy cho ta nghiệm X  0,629960524 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) x  3x    a( x  1) x 1 Làm tƣơng tự thí dụ ta đƣợc: b  b 36 x  44 x  17 x  x    a( x  1) x 1 5x  3x   (2 x  x  1) x  3x   36 x  44 x  17 x  x  Nên biểu thức cần xuất phƣơng trình PT(1) trở thành: 2( 5x  3x   x  x  1)  (4 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  )   2    4 x x  3x   x  x  x  3x   x  x   4 x  x  x  1[   3x   36 x  44 x  17 x  x  4 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  2 2 x  3x   x  x   5 4 x  3x   36 x  44 x  17 x  x  x   x  x  x    ( x  1)(4 x  1)     x  3  4 3 Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy PT cho có nghiệm x  1; x  3 Thí dụ Giải phƣơng trình x  x  14  x  x  x  x  x   x  x  16 x  12 x  11 1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x   x  x  16 x  12 x  11  x  x  x  5x   0(1) Bấm máy tính nhƣ thí dụ để tìm nghiệm nguyên ta thấy Tìm lƣu nghiệm ta đƣợc nghiệm 11 0 ]0 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) A  2,732050808 ; B  1,414213562 ; C  0,732050807 Chú ý: Nếu máy Continue:[=] ta bấm = ,đợi lúc ta đƣợc nghiệm Giả sử biểu thức thứ có dạng ax  bx  c  x  x  x  Do A,B,C nghiệm biểu thức nên ta có aA2  bA  c  A3  A2  A  aB  bB  c  4B  B  2B  aC  bC  c  4C  7C  2C  Bấm MODE bấm để giải hệ ẩn a,b,c gồm PT trên.Ta đƣợc a=1;b=1;c=1 Nhƣ biểu thức thứ cần tìm x  x   x  x  x  Tƣơng tự biểu thức thứ hai cần tìm x   x  x  16 x  12 x  11 PT (1)  x  x   x  x  x   x   x  x  16 x  12 x  11  x  x  x  x    ( x  x  x  x  4) P( x)  0(2) với P( x)  x  x   4x  x  2x   x   x  x  16 x  12 x  11 1  x   Suy PT (2)  x  x  x  x    ( x  x  2)( x  2)     x   Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy PT cho có nghiệm x   ; x   Chú ý: Do A  C  ; AC  2 nên PT có nhân tử x  x  Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c nghiệm PT số hữu tỉ ta đƣa tìm biểu thức dạng nk P( x)  ( px  qx  r ) ,với p,q,r số nguyên n số nguyên dƣơng ta tìm đƣợc ta thử chọn Vấn đề đặt liệu có phƣơng trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp chẳng hạn nhƣ k P( x)  (ax  bx  cx  d ) Hãy làm tập dƣới bạn rõ 12 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Bài tập Giải phƣơng trình 1) x  13x  x  x  16 x  x  1 x  7x3   x3  9x  2)  3 x  3x  3) x  x  3x  x  ( x  x  1) x  3x  14 3x  x  x   3x  x  1 3x  x  4) 5) 6) 7) 8) 9) 1 16 x  12 x  x  24 x  23  x 3x  x  14 x  13  x   x  12 x  x  1  12 x  x  x  3  x  x  3x  x   x  x  3x  x  1 1 1 x  x   x  27 x  x  20 x  x   x  26 x  x  1 x  x  x  x  10 x  x  3  ( x  2)3 x  x  12 x  x 1 18 x  12  20 x  x  30 x  20 10) 2 x  x   x  3x  x  11) 12) ( x  x) x  x  x  x  x  1 3x  x  x  x  x  x  x  3x  21x  15 x  27 x  x  14 x   x  11x  x  11x  13 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 13) (28 x  29 x  11) x  43x  x   x x x   (36 x  25 x  11) x  35 x  x  1 14) 21x  19 x  13x  x  x  x   x  x  20 x  19 x  19 x  12 x  x  x  Chuyên đề PHƢƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Điều kiện sử dụng phƣơng pháp: Bấm máy tính tìm đƣợc nghiệm A,B phân biệt Nếu PT có chứa P(x) giả sử biểu thức cần xuất có dạng: ax  bx  c  P( x) ,trong a,b,c số nguyên Do A,B nghiệm biểu thức nên aA2  bA  c  P( A)  0(*) aB  bB  c  P( B)  Chú ý: Nếu B nghiệm ngoại lai ta có aB  bB  c  P( B)  (các bạn tự xử lí TH này) Trừ vế với vế ta đƣợc: a( A  B)( A  B)  b( A  B)  P( A)  P( B) Suy b  P( A)  P( B)  ( A  B)a A B Trƣờng hợp 1: A  B  b  Nhập biểu thức P( A)  P( B) A B P( A)  P( B) bấm = máy giá trị b cần tìm A B 14 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Từ (*) suy c  P( A)  aA2  bA Ta tìm a,c máy tính nhƣ sau: Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  XA  bA bấm = Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Suy a=X,c=F(X) Trƣờng hợp 2: A  B  Do b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b máy tính nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Từ suy a=X,b=F(X) Từ PT(*) ta tìm c  Nhập biểu thức P( A)  aA2  bA P( A)  aA2  bA bấm = máy giá trị c cần tìm Sau thí dụ Thí dụ Giải phƣơng trình x  x  6x  6x  2x  2x  1 3x  12 x  x  10 Lời giải 15 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  x  3x  12 x  x  10  0(1) Với P( x )  x  x  x  x  x  Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lƣu VT(1) Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lƣu nghiệm vào A Bấm nút mũi tên lên để VT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệm X  2,25992105 Bấm SHIFT STO B Bấm máy A+B máy suy b  Nhập biểu thức P( A)  P( B) A B P( A)  P( B) bấm = máy -1 Vậy b=-1 A B Do b= -1 nên c  P( A)  aA2  (1) A  P( A)  aA2  A Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  A X  A bấm = Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=3 F(X)=1 nguyên Suy a=3,c=1 Biểu thức cần tìm là: x  x  x  x  x   (3x  x  1) PT(1) trở thành P( x)  (3x  x  1)  x  3x  x   16 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016)  P( x)  (3x  x  1)  [ P( x)  x  x  x  3x  x  P( x)  x  x   x  3x  x    x  3x  x   P( x)  x  x   1]( x  3x  x  9)   x  3x  x    ( x  3x)  (3x  3)   ( x  3x  3x  3)( x  3x  3x  3)   ( x  1)  2( x `1) ( x  1)  2     2 ( x  1)   x  (1  ) Vậy PT cho có nghiệm x  (1  ) Thí dụ Giải phƣơng trình x  x   x  x  x  5x  x  x  x  x  x  10 x  12 x  1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  Q( x)  3x  x  4(1) Với P( x)  x  x  x  10 x  12 x  Q( x)  x  x  x  5x  x  Tìm lƣu nghiệm nhƣ thí dụ ta đƣợc nghiệm A  0,793700526 ; B  1,25992105 Ta có A  B  0,4662205239  Có b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b nhƣ sau: A B 17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 X=1 Suy a=1,b= -2 Khi c  P( A)  A2  A Nhập biểu thức P( A)  A  A bấm = máy số Ta đƣợc c=3 P( x)  ( x  x  3) Biểu thức cần tìm Tƣơng tự biểu thức cần tìm Q( x)  (2 x  x  1) PT(1) trở thành   P( x)  ( x  x  3)  Q( x)  (2 x  x  1)  P( x)  ( x  x  3) P( x)  x  x  x  3x  P( x)  x  x   ( x  2)(2 x  1)[   Q( x)  (2 x  x  1) Q( x )  x  x  x  3x  Q( x)  x  x  1 P( x)  x  x   0 0 ]0 Q( x)  x  x   x  3   ( x  2)(2 x  1)     x  Vậy phƣơng trình có nghiệm x  3 ; x  Vấn đề đặt liệu với biểu thức P(x) có có nhiều lựa chọn biểu thức 18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) dạng ax  bx  c  P( x) hay không.Ví dụ sau làm sáng tỏ điều Thí dụ Giải phƣơng trình x  2x  x  2x  12 x  24 x  x   12 x  51x  1 Lời giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với PT: x  x  x  x   P( x)  Q( x)  0(1) Với P( x)  12 x  24 x  x  Q( x)  12 x  51x  Tìm lƣu nghiệm ta đƣợc nghiệm A  3,449489743 ; B  1,449489743 Bấm máy tính có A  B   ; AB  5 (Theo Định lí Vi-ét PT có nhân tử x  x  ) Có b  P( A)  P( B)  ( A  B)a nên ta tìm a,b nhƣ sau: A B P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức Máy Start? Ta bấm  = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy tất giá trị F(X) nguyên Vì ta chọn cặp X=2;F(X)= Suy a=2,b=1  c  P( A)  A2  A Nhập biểu thức P( A)  A2  A bấm = máy số 1.Ta đƣợc c=1 Suy x  x   P( x) biểu thức cần tìm Tƣơng tự ta chọn đƣợc 3x  x   Q( x) biểu thức cần tìm 19 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Phƣơng trình(1) tƣơng đƣơng với PT: x  x   P( x)  3x  x   Q( x)  x  x  x  x    x  x   P( x)  3x  x   Q( x)  ( x  x  5)( x  1)    4x  9x   ( x  x  5)   x  1   x  x   P ( x) x  x   Q( x )     x  x    x  1 Vậy phƣơng trình có nghiệm x  1 Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạn x  3x   P( x) ; 3x  x   Q( x) ta giải đƣợc PT theo cách nhân liên hợp Chú ý: +Việc chọn biểu thức thí dụ tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng đƣợc cách nhân liên hợp Xin dành cho ngƣời tìm hiểu điều + Một số phƣơng trình ta tìm biểu thức phức tạp chẳng hạn P( x)  (ax  bx  cx  d ) giải theo cách viết nêu điều kiện nghiệm PT ta tìm đƣợc nhiều hơn(kể nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội) Bài tập Giải phƣơng trình 3x  24 x  x  x  1) 1 x  8x  x  2) 3) 4) 5) x  x  5x  x  x  x  12 x  x   3x x  x  18 x  x  12 x  3x  10 x   x 2 x  x  1 x  x   x  16 x  x  x  x  20  16 x  49 x  26 x  21 x  x   x  x  x  12 x  x   x  x 11x  x  15 1 1 20 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 6) 7) 8) 9) x  3x   x  x  x  x  17 x  x  x 5 x  x  20 x  x  x  x  14  x  x  x  3x  x   1 3x  3x   x  x  x  x  `1  x  x 5 x  x  x  3x  24 x  x  x   x  33x  x  x  x  10) 11) 12) 1 1  x3 3x  3x   x  x  x  12 x  16 x  x  x 4 x  x  x  15 x  x  x  18 x  x  16 x  x  x  18 x  3x  x  15 1  2x  x  15 x  18 x  x  11x  x  x  x  x  19 x  22 x  14 x  x  21 1 [...]... www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 13) (28 x 2  29 x  11) x  43x 2  4 x  5  4 x x 4 x  1  (36 x 2  25 x  11) x  35 x 2  6 x  6 1 14) 21x 6  19 x 5  13x 4  9 x 3  5 x 2  4 x  3  4 x 8  4 x 7  20 x 6  19 x 5  19 x 4  12 x 3  5 x 2  4 x  5 Chuyên đề 2 PHƢƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ Điều... aA2  bA P( A)  aA2  bA bấm = máy hiện giá trị của c cần tìm Sau đây là các thí dụ Thí dụ 1 Giải phƣơng trình x 6  x 6  6x 4  6x 3  2x 2  2x  8 1 3x 4  12 x 2  x  10 Lời giải 15 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  x 6  3x 4  12 x 2  x  10  0(1) Với P( x )  x 6...  1)  0   1 3  x  2 Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm x  3 2 ; x  3 Vấn đề đặt ra là liệu với một biểu thức 1 2 P(x) có khi nào có nhiều lựa chọn biểu thức 18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) dạng ax 2  bx  c  P( x) hay không.Ví dụ sau sẽ làm sáng tỏ điều này Thí dụ 3 Giải phƣơng trình x 4  2x 3  x 2  2x  3 12 x... ta cũng giải đƣợc PT theo cách nhân liên hợp Chú ý: +Việc chọn biểu thức trong thí dụ 3 là tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng đƣợc cách nhân liên hợp Xin dành cho mọi ngƣời tìm hiểu điều này + Một số phƣơng trình ta có thể tìm biểu thức phức tạp hơn chẳng hạn P( x)  (ax 3  bx 2  cx  d ) và có thể giải quyết theo cách bài viết đã nêu khi điều kiện về nghiệm của PT ta tìm đƣợc nhiều hơn(kể cả nghiệm... các số hữu tỉ thì ta đƣa về tìm các biểu thức dạng nk P( x)  ( px 2  qx  r ) ,với p,q,r là số nguyên và n là số nguyên dƣơng ta tìm đƣợc hoặc ta thử chọn Vấn đề nữa đặt ra là liệu có phƣơng trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp hơn chẳng hạn nhƣ k P( x)  (ax 3  bx 2  cx  d ) Hãy làm bài tập dƣới đây các bạn sẽ rõ 12 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT... nhƣ sau: A B 17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Bấm MODE 7 máy hiện f(X)= ta nhập P( A)  P( B)  ( A  B) X bấm = A B Máy hiện Start? Ta bấm  9 = Máy hiện End? Ta bấm 9 = Máy hiện Step? Ta bấm 1 = Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 khi X=1 Suy ra a=1,b= -2 Khi này c  P( A)  A2  2 A Nhập biểu thức P( A)  A 2  2 A bấm =...  2( x `1) 3 ( x  1)  2  0   3  2 3 ( x  1)  2  x  (1  3 2 ) Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x  (1  3 2 ) Thí dụ 2 Giải phƣơng trình 4 x 2  x  4  2 x 6  4 x 4  7 x 3  5x 2  2 x  1 x 2  2 x 6  x 4  x 3  10 x 2  12 x  7 1 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: P( x)  Q( x)  3x 2  x  4(1) Với P( x)  2 x 6  x 4  x 3  10 x 2  12 x  7 Q( x)  2 x 6  4...  0    x  3 1  4 4 3 3 Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x  1; x  3 1 4 Thí dụ 4 Giải phƣơng trình x 4  2 x 3  14  4 x 3  7 x 2  2 x  3 x 2  5 x  8  x 4  6 x 3  16 x 2  12 x  11 1 Lời giải Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với PT: 4 x 3  7 x 2  2 x  3  x 4  6 x 3  16 x 2  12 x  11  x 4  2 x 3  x 2  5x  6  0(1) Bấm máy... Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 5 x 2  3x  2  2  a( x  1) và x 1 Làm tƣơng tự các thí dụ trên ta đƣợc: b  b 36 x 4  44 x 3  17 x 2  x  4  2  a( x  1) x 1 5x 2  3x  2  (2 x 2  x  1) và 4 x 2  3x  1  36 x 4  44 x 3  17 x 2  x  4 Nên là các biểu thức cần xuất hiện trong phƣơng trình PT(1) trở thành: 2( 5x 2  3x... = Quan sát bảng ta thấy tất cả các giá trị F(X) đều nguyên Vì thế ta chọn 1 cặp là X=2;F(X)= 1 Suy ra a=2,b=1  c  P( A)  2 A2  A Nhập biểu thức P( A)  2 A2  A bấm = máy hiện số 1.Ta đƣợc c=1 Suy ra 2 x 2  x  1  P( x) là biểu thức cần tìm Tƣơng tự ta chọn đƣợc 3x 2  x  1  Q( x) là biểu thức cần tìm 19 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du,