Chương 4: Ước lượng 4.1 Khái niệm: - Ước lượng dự đoán giá trị chưa biết dựa vào quan sát - Có hai loại ước lượng: + ước lượng điểm: giá trị ước lượng cho số cụ thể VD: người cao khoảng 165 cm + ước lượng khoảng: giá trị ước lượng cho khoảng (a,b) 4.2 Ước lượng điểm: - θ$gọi ước lượng điểm tham số θ (tỷ lệ p, trung bình µ, phương sai σ ) chưa biết, ta xem θ ≈ θ$ - Quy tắc thực hành: khó có mẫu cụ thể (x1 , x , , x n ) , ta lấy 2 m» x n , p » f n , s » s VD 4.1: Cân 100 sản phẩm xí nghiệp, ta tính x n = 502g , ta dự đoán trọng lượng trung bình sản phẩm xí nghiệp µ ≈ 502g 4.3 Ước lượng khoảng Tham số θ có khoảng ước lượng (hay khoảng tin cậy) ( θ1 , θ2 ) với độ tin q1 £ q£ $ q2 ] = 1- a , cậy là1- a, P[$ ε = ( θ2 − θ1 ) / : sai số (độ xác) khoảng ước lượng, α gọi mức ý nghĩa 4.3.1 Ước lượng tỷ lệ đám đông Bài toán: Giả sử tỷ lệ p (có tính chất A) đám đông chưa biết Với độ tin cậy1− α, tìm khoảng ước lượng cho p: P[p1 £ p £ p ] = 1- a Quy tắc thực hành: với mẫu cụ thể (x1 , x , , x n ) m với m số phần tử có t/c A * fn = n − α baûng B 1− α * 1− α ⇒ → t α , ϕ(t α ) = 2 (fn − ε; fn + ε) * khoảng ước lượng: fn (1 − fn ) ε = tα với n độ xác ước lượng *Chú ý: số giá trị đặc biệt tα ϕ(t α ) 0 0,68 0,95 0,99 1,96 2,58 VD 4.2: Kiểm tra 100 sản phẩm xí nghiệp phát có 20 sản phẩm loại A Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A xí nghiệp VD 4.3: Điều tra tiêu X (%) số sản phẩm, kết X 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 n i 12 20 25 18 12 Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm có tiêu X không 10% với độ tin cậy 98% 4.3.2 Ước lượng trung bình đám đông Bài toán: Giả sử đám đông có trung bình M(X) = µ chưa biết Với độ tin cậy 1- a , tìm khoảng ước lượng cho µ: P[m£ m £ m ] = a Quy tắc thực hành: mẫu cụ thể (x1 , x , , x n ) 1) n ≥ 30, σ biết * tính x n 2) n ≥ 30, σ2 chưa biết * tính x n , s2 − α baûng B − α baûng B *1 − α ⇒ → t α *1 − α ⇒  → tα 2 * khoảng ước lượng * khoảng ước lượng (x n − ε; x n + ε), ε = t α σ n (x n − ε; x n + ε), ε = t α s n 3) n < 30, X ∈ N(µ, σ ) 4) n < 30, X ∈ N(µ, σ ) σ2 biết σ2 chưa biết làm 1) * tính x n , s2 2 baûng C *1 − α ⇒ α → t n −1 α * khoảng ước lượng (x n − ε; x n + ε), ε = t n −1 α s n VD 4.4: Người ta đo chiều cao X (cm) 10 người đàn ông vùng địa lý, kết quả: 174, 176, 180, 163, 167, 185, 175, 157, 163, 170 Biết chưa biết Hãy ước lượng chiều cao trung bình người đàn ông với độ tin cậy 95% VD 4.5: Giá bán loại thiết bị (đơn vị USD) thị trường ĐLNN có phân phối chuẩn Một người định mua thiết bị này, khảo sát ngẫu nhiên cửa hàng bán giá trung bình 137,75 USD với độ lệch tiêu chuẩn 7,98 USD Với độ tin cậy 90%, ước lượng giá bán trung bình thiết bị VD 4.6: Chủ kho hàng cung cấp sơn muốn ước lượng lượng sơn chứa thùng sản xuất từ dây chuyền công nghệ đại Biết rằng, theo tiêu chuẩn dây chuyền đó, độ lệch tiêu chuẩn lượng sơn 0,08 thùng Điều tra 50 thùng, lượng sơn trung bình 0,97 thùng Với độ tin cậy 99%, ước lượng lượng sơn trung bình thùng 4.3.3 Ước lượng phương sai đám đông (giáo trình trang147) 4.4 Các tiêu toán ước lượng 4.4.1 Trường hợp ước lượng tỷ lệ đám đông: a Độ xác: fn (1 − fn ) ε = tα n b Độ tin cậy: ε n tα = ⇒ − α = ϕ(t α ) fn (1 − fn ) c Xác định cỡ mẫu: Giả sử có mẫu cỡ n1 tính fn1 , ta tính  fn1 (1 − fn1 )  n = tα +1  ε   cần điều tra thêm n = n − n1 VD 4.7: Kiểm tra ngẫu nhiên 130 sản phẩm kho hàng, thấy có 23 phế phẩm Ước lượng tỷ lệ phế phẩm kho hàng với độ tin cậy 95% Nếu muốn độ xác 3% với độ tin cậy phải kiểm tra thêm sản phẩm nữa? 4.4.2 Trường hợp ước lượng trung bình đám đông s a Độ xác: ε = t α n b Độ tin cậy: ε n tα = ⇒ − α = ϕ(t α ) s c Xác định cỡ mẫu: Giả sử có mẫu cỡ n1 tính s1 , ta tính  s12  n = tα  +  ε  cần điều tra thêm n = n − n1 VD 4.8: Kiểm tra tuổi thọ X(giờ) 50 bóng đèn nhà máy sản xuất, người ta thu kết X 3300 3500 3600 4000 ni 10 20 12 a Ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn nhà máy sản xuất với độ tin cậy 95% b Nếu yêu câu ước lượng phải đạt độ xác 50 độ tin cậy 95% cần phải điều tra thêm bóng nữa?