BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Phương Nam CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Phương Nam CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm tôpô 1.2 Giới hạn ngược, số p – adic p – adic solenoid 12 1.3 Ánh xạ phủ, phép nâng, tập bất biến 18 Chương PHÂN HOẠCH 20 2.1 Tính chất S 20 2.2 Phân hoạch 22 Chương CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG NHÓM P – ADIC 28 3.1 Định nghĩa ký hiệu 28 3.2 Phân hoạch đẳng biến continuum Peano 29 3.3 Phép nâng cung phép đồng luân 35 3.4 Tập bất biến 39 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 MỞ ĐẦU Vào cuối kỷ XIX, bên cạnh loại số thông thường biết số tự nhiên  , số nguyên  , số hữu tỷ  , số thực  số phức  , nhà toán học Đức Kurt Hensen sử dụng ý tưởng tương tự ta xét hàm số đường cong đại số áp dụng vào lý thuyết số để sáng tạo loại số số thông thường biết lý thuyết số gọi số p adic (hay tổng quát nhóm p - adic) p số nguyên tố Các số bổ sung cho tập số phía theo Ostrowki vét cạn cách mở rộng số hữu tỷ Kể từ đến nay, số p - adic không ngừng tìm hiểu tính chất ứng dụng lĩnh vực khác toán học vật lý Những nghiên cứu nguyên cứu xây dựng giải tích p - adic, tức giải tích số p - adic: phép tính vi phân, phương trình vi phân, tích phân, hàm giải tích, biến đổi Fourier, lý thuyết nhóm tiến hành nhiều nhà toán học Các số p - adic dẫn đến mêtric không – Archimedean thích hợp cho mô tả không – thời gian rời rạc Cùng với vẻ đẹp toán học, số p - adic trở thành công cụ hữu hiệu giúp nhà vật lý mô tả xác giới khách quan nhiều lĩnh vực từ vi mô đến vĩ mô: học lượng tử, lý thuyết dây, môi trường đông đặc, vũ trụ học,… khoa học nhận thức Ngày 08 tháng 08 năm 1900, hội nghị toán học quốc tế tổ chức Paris, nhà toán học Đức David Hilbert đưa danh sách gồm 23 vấn đề (bài toán) toán học chưa có lời giải thời điểm ông tin quan trọng cấp thiết (một số toán sau có ảnh hưởng lớn đến toán học kỷ XX) Trong danh sách vấn đề số liên quan đến nhóm Lie liên tục Hilbert tin phép biến đổi nhóm mô tả theo cách mà chúng vi phân 2 Vào năm 1940, Paul A Smith tổng quát toán số mà Hilbert nêu (sau gọi đoán Hilbert – Smith) sau: “Nếu G nhóm compact địa phương tác động cách hiệu lên đa tạp nhóm biến đổi (tôpô) G có nhóm Lie hay không?” Phỏng đoán ông chứng minh tương đương với câu hỏi: “Với đa tạp M liệu có tồn tác động hiệu nhóm p – adic Ap lên đa tạp hay không?” Kể từ toán đưa có nhiều nhà toán học tham gia giải chứng minh tồn tác động hiệu như: - L.E.J Brouwer giải trường hợp dim M = vào năm 1919 - J Pardon với dim M = vào năm 2011 [7] - Bochner – Montgomery chứng minh nhóm Ap tác động vi phôi (năm 1946)   - Scepin - Repovs nhóm Ap tác động đồng phôi Lipschitz (năm 1997) Tuy nhiên, với số chiều lớn đoán toán mở quan trọng hình học tôpô triển khai nhà toán học theo nhiều hướng nhỏ khác Một hướng thay đa tạp đoán không gian mà nhóm p – adic tác động hiệu lên Năm 2005, Zhiquing Yang xây dựng lớp không gian cho tác động này[11] Trong viết này, đề cập đến kết liên quan đến tác động nhóm p – adic lên continuum Peano từ nêu kết tổng quát cho nhóm compact chiều tác động lên continuum Peano 3 Ngoài ra, nhóm p – adic Ap tác động cách hiệu lên số không gian X khác ta có kết số chiều đối đồng điều nguyên không gian quỹ đạo (không gian thương) sau: - Nếu X không gian Hausdorff liên thông địa phương ta có dim X Ap ≤ + dim X [10], dim X ký hiệu số chiều đối đồng điều nguyên - Nếu X compact bất đẳng thức thu hẹp thành dim X Ap ≤ + dim X [4] - Nếu X đa tạp không gian thương có số chiều đối đồng điều nguyên thỏa dim  X Ap = + dim  X [10] Đẳng thức X ANR (lân cận co rút tuyệt đối) tác động Ap tác động tự [5] - Không gian thương X Ap số chiều đủ [4],[5] Chúng ta bổ sung thêm kết vào danh sách X continuum Peano Nếu Ap tác động hiệu ta chứng minh tồn phép nâng cung từ không gian thương sinh tác động Tương tự, với continuum liên thông đơn không gian quỹ đạo phép nâng tồn Khi ta có đẳng cấu nhóm đồng luân bậc cao p n ( X ) ≅ p n ( X Ap ) với n ≥ Cuối cùng, luận văn trình bày kết thu tác động Ap từ hiệu thu hẹp lại thành tác động tự Nếu X continuum Peano không phân tích địa phương tập – chiều với điểm x ∈ X ta có tập bất biến đặc trưng X chứa x Các tập p − adic solenoid, p k p − adic solenoid phân biệt với k số tự nhiên bất kỳ, không gian Ap × S đường cong Menger µ Do luận văn chia làm ba chương sau: Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ chủ yếu trình bày khái niệm xuất luận văn Chương PHÂN HOẠCH trình bày khái niệm phân hoạch tập điều kiện để tập phân hoạch Chương CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG P – ADIC trình bày kết thu giới thiệu phía Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh, người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô tổ môn Hình học nói riêng toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn 5 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chủ yếu chương giới thiệu khái niệm tôpô đại cương dùng Chương Ngoài ra, chương nêu khái niệm giới hạn ngược, số p - adic số ví dụ làm rõ để từ Chương ta trình bày khái niệm nhóm p - adic 1.1 Các khái niệm tôpô 1.1.1 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian T1 với cặp điểm phân biệt x1 , x2 ∈ X tồn tập mở U ⊂ X cho x1 ∈U x2 ∉U 1.1.2 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian T hay không gian Tychonoff không gian tắc đầy đủ X không gian T1 với x ∈ X , tập đóng F ⊂ X cho x ∉ F tồn hàm liên tục f : X → I cho f ( x ) = f ( y ) = với y ∈ F 1.1.3 Định nghĩa Một ánh xạ f : X → Y gọi đồng phôi nhúng đồng phôi đồng thời phép nhúng; tức tồn không gian L Y đồng phôi f ′ : X → L cho f = iL f ′ 1.1.4 Định nghĩa Cho X không gian tôpô A không gian X Khi ánh xạ liên tục f : X → A phép co f thu hẹp vào A f ánh xạ đồng A; tức f ( a ) = a với a ∈ A Khi ta gọi A co X 1.1.5 Định nghĩa Nếu tồn tập mở U cho A ⊂ U ⊂ X A co U A gọi lân cận co X 1.1.6 Định nghĩa Một không gian X gọi lân cận co tuyệt đối với không gian định chuẩn Y nhúng vào X tập đóng X lân cận co Y 1.1.7 Định nghĩa Một tính chất tôpô  gọi di truyền với không gian X có tính chất  tập X phải có tính chất  1.1.8 Định nghĩa Hai tập A B không gian tôpô X gọi tách A∩ B =∅ = A∩ B 1.1.9 Định nghĩa Hai tập A B không gian tôpô X gọi phân tách hoàn toàn tồn hàm liên tục f : X → I thỏa f ( x ) = với x ∈ A f ( x ) = với x ∈ B Khi ta nói f tách hai tập A B 1.1.10 Định nghĩa Một họ A s∈S s { As }s∈S tập tập X gọi phủ X = X Nếu X không gian tôpô tập As tập mở (đóng) ta gọi phủ { As }s∈S phủ mở (đóng) 1.1.11 Định nghĩa Một phủ  = { Bt }t∈T khác tập X gọi lọc phủ  = { As }s∈S tồn s ∈ S cho t ⊂ s Khi ta nói  làm mịn  1.1.12 Định nghĩa Một phủ  ′ = { As′ }s′∈S ′ X phủ phủ  = { As }s∈S X S ′ ⊂ S As′ = As với s ∈ S ′ Nói riêng, phủ lọc 1.1.13 Định nghĩa Một phủ không gian tôpô gồm tập mở (đóng) phiếm hàm gọi phủ hàm mở (đóng) 1.1.14 Định nghĩa Gọi  = { As }s∈S phủ tập X Ta nói tập M ⊂ X liên hệ với  tập St ( M ,  ) = { As : M ∩ As ≠ ∅} Tập tập điểm {x} liên hệ với  gọi điểm x liên hệ với  ký hiệu St ( x,  ) Ta gọi phủ  = { Bt }t∈T tập X lọc phủ  = { As }s∈S với t ∈ T tồn s ∈ S cho St ( Bt ,  ) ⊂ As Nếu với x ∈ X tồn s ∈ S cho St ( x,  ) ⊂ As ta nói  lọc trọng tâm  Hiển nhiên lọc lọc trọng tâm lọc trọng tâm lọc 1.1.15 Định nghĩa Ảnh ngược tập điểm qua ánh xạ f gọi thớ f 1.1.16 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi compact phủ mở X có phủ hữu hạn Nghĩa với phủ mở {U s }s∈S không gian X tồn tập hữu hạn {s1 , s2 ,…, sk } ⊂ S cho X = U s1 ∪ U s2 ∪…∪ U sk 1.1.17 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi compact địa phương với x ∈ X tồn lân cận U x cho U không gian compact X Do không gian compact U không gian T1 nên tập { x} đóng U Điều suy { x} đóng X Tức không gian compact địa phương không gian T1 1.1.18 Định nghĩa Một ánh xạ đóng liên tục f : X → Y gọi hoàn chỉnh X không gian Hausdorff thớ f −1 ( y ) tập compact X 1.1.19 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thông X viết dạng X ⊕ X X X tập khác rỗng X ⊕ ký hiệu tổng trực tiếp 1.1.20 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thông địa phương với x ∈ X lân cận U điểm x tồn tập liên thông C ⊂ U cho x ∈ IntC 1.1.21 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông đường với cặp điểm x1 , x2 X tồn ánh xạ liên tục f : I → X từ đoạn đơn vị đóng I tới không gian X thỏa f ( ) = x1 f (1) = x2 1.1.22 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông đường địa phương với x ∈ X lân cận U x tồn lân cận V x cho với y ∈V tồn ánh xạ liên tục f : I → U thỏa f ( ) = x f (1) = y 1.1.23 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông cung với cặp điểm phân biệt x1 , x2 X tồn đồng phôi nhúng h : I → X từ đoạn đơn vị đóng I vào không gian X thỏa h ( ) = x1 h (1) = x2 1.1.24 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông cung địa phương với x ∈ X lân cận U x tồn lân cận V x cho với y ∈V \ { x} tồn đồng phôi nhúng h : I → U thỏa h ( ) = x h (1) = y 1.1.25 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông đơn liên thông đường với ánh xạ liên tục f : S = ∂D → X mở rộng thành f : D → X (trong D – đĩa S đường tròn biên) 1.1.25 Định nghĩa Thành phần liên thông liên thông điểm x không gian tôpô X hợp tất không gian liên thông chứa x X Thành phần liên thông liên thông hai điểm phân biệt không gian tôpô X trùng phân biệt Do thành phần liên thông liên thông tạo thành phân tích không gian X thành tập liên thông đôi rời gọi thành phần liên thông không gian X 1.1.27 Định nghĩa Thuật ngữ thành phần hầu liên thông điểm x không gian tôpô X dùng để giao tập vừa đóng vừa mở chứa x X Thành phần hầu liên thông tập đóng X Thành phần hầu liên thông hai điểm phân biệt không gian tôpô X trùng phân biệt Do tất thành phần hầu liên thông tạo thành phân tích không gian X thành tập đóng đôi rời gọi thành phần hầu liên thông không gian X 1.1.28 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không liên thông di truyền X không chứa tập liên thông có số phần tử lớn Do đó, không gian X không liên thông di truyền thành phần liên thông điểm x ∈ X chứa điểm x Vì thành 10 phần liên thông không gian đóng nên không gian không liên thông di truyền không gian T1 1.1.29 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi – chiều X không gian T1 không rỗng có sở gồm tập vừa đóng vừa mở Hiển nhiên, không gian – chiều không gian Tychonoff 1.1.30 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi – chiều mạnh X không gian Tychonoff khác rỗng phủ hàm mở {U i }i =1 X có lọc mở hữu hạn k {Vi }i=1 m cho Vi ∩ V j = ∅ Hiển nhiên, lọc {Vi }i =1 gồm tập vừa đóng vừa m mở phủ hàm mở X 1.1.31 Định nghĩa Một không gian X gọi hoàn toàn không liên thông cấu trúc thành phần hầu liên thông điểm x ∈ X chứa điểm x 1.1.32 Định nghĩa Một ánh xạ liên tục f : X → Y nhẹ (0 – chiều) thớ f −1 ( y ) không liên thông di truyền (0 – chiều rỗng) 1.1.33 Định nghĩa Cho f : X → Y g : X → Y ánh xạ liên tục hai không gian tôpô X Y Ánh xạ f g gọi đồng luân tồn ánh xạ liên tục H : X × [ 0,1] → Y cho H ( x,0 ) = f ( x ) H ( x,1) = g ( x ) với x ∈ X Ánh xạ H với tính chất gọi phép đồng luân f g 1.1.34 Định nghĩa Cho X không gian Tychonoff gọi n ký hiệu cho số nguyên lớn hay −1 Ta có : 11 (1) dim X ≤ n phủ hàm mở hữu hạn X có lọc hàm mở mà bậc nhỏ n (2) dim X = n dim X ≤ n bất đẳng thức dim X ≤ n − không xảy (3) dim X = ∞ bất đẳng thức dim X ≤ n không xảy với n Các điều kiện (1) – (3) gán cho không gian Tychonoff X mà số dim X số nguyên lớn −1 “số vô hạn” ∞ Số dim X gọi chiều Cech – Lebesgue hay chiều phủ không gian X Hiển nhiên hai không gian X Y đồng phôi dim X = dim Y Từ định nghĩa chiều phủ ta suy dim X = −1 X = ∅ dim X = X – chiều mạnh 1.1.35 Định nghĩa Cho G nhóm abel cố định khác rỗng với không gian tôpô X ta gọi chiều đối đồng điều X theo G, ký hiệu dimG X , số nguyên lớn – “số vô hạn” ∞ thỏa mãn điều kiện sau đây: (1) dimG X = −1 X = ∅ (2) n 0,1,… H n+i ( X , A; G ) = với tập dimG X ≤ n = đóng A ⊂ X với i = −1,0,1,… (3) dimG X = n dimG X ≤ n dimG X > n − (4) −1,0,1,… dimG X = ∞ dimG X > n với n = 1.1.36 Định nghĩa Một tập compact X gọi đủ giá trị chiều dimG X = dim  X với nhóm abel G 1.1.37 Định nghĩa Một không gian X gọi có tính chất cung phân biệt (DAP) với :I ε > với hai ánh xạ f , g= [0,1] → X tồn ánh xạ 12 ∅ ˆ ( f , f ′ ) < ε , ˆ ( g , g ′ ) < ε ˆ f ′, g ′ : I → X thỏa f ′ ( I ) ∩ g ′ ( I ) = chuẩn mêtric sup cảm sinh mêtric  X Nếu I định nghĩa thay đĩa n − chiều ta có tính chất n − đĩa phân biệt ( DD n P ) 1.1.38 Định nghĩa Cho X không gian metric Một ánh xạ liên tục p : [ 0,1] → X gọi đường Một đường đơn hay cung α song ánh liên tục α : [ 0,1] → X 1.1.39 Định nghĩa Một tập X gọi đường cong đóng đơn X đồng phôi với tập gồm điểm nằm đường tròn 1.1.40 Định nghĩa Một không gian X gọi (phân) tách cung α X \ α có hai thành phần liên thông Nếu x, y ∈ X ta nói cung α tách x từ y α tách X x, y nằm thành phần liên thông phân biệt X \ α 1.2 Giới hạn ngược, Số p – adic, p – adic solenoid 1.2.1 Định nghĩa Một dãy ngược "dãy đôi" { X i , fi }i =1 không gian X i gọi ∞ không gian thành phần liên thông hàm liên tục fi : X i +1 → X i gọi ánh xạ liên kết Ta thường viết dãy ngược sau: fi −1 fi fi +1 f1 f2 X ←  X ←  ←  X i ←  X i +1 ←  , Khi giới hạn ngược { X i , fi }i =1 không gian không ∞ gian tích Đêcac ∞ ∏X i =1 i xác định sau: ∞   ∞ lim {= X i , fi }i = xi )i ∈ ∏ X i : fi ( xi +1 ) = xi ,∀i  = (  ← i =1   ∞ 13 Trong lim { X i , fi }i =1 ký hiệu giới hạn ngược ∞ ← Trong phần tập trung giới thiệu cách xây dựng số p – adic khái niệm tính chất liên quan đến Vì thế, không sâu vào chứng minh cho mệnh đề định lý 1.2.2 Định nghĩa Cho ≠ x ∈  Khi thứ tự p – adic (hoặc giá trị p – adic) x ord p x = max {r : p r | x} Trong ký hiệu | nghĩa ước Với a a ∈  thứ tự p – adic b b ord p a = ord p a − ord pb b Lưu ý trường hợp ord p cho ta số nguyên định nghĩa thứ tự p – adic cho phân số a nêu tốt, nghĩa b a a′ = b b′ ord p a − ord pb = ord p a′ − ord pb′ Chúng ta quy ước ord p = ∞ 1.2.3 Mệnh đề Cho x, y ∈  Khi ord p có tính chất sau đây: (a) ord p x = ∞ x = 0; (b) ord p= ( xy ) ord p x + ord p y; (c) ord p ( x + y ) ≥ {ord p x, ord p y} 1.2.4 Định nghĩa Cho x ∈  Khi chuẩn p – adic x cho 14 − ord x  p p x p =  −∞  p x ≠ 0, x = khi 1.2.5 Mệnh đề Hàm p :  →  + có tính chất sau: (a) x p = x = 0; (b) xy p = x p y p; (c) x + y p ≤ max { x p , y p } 1.2.6 Định nghĩa Vành số p – adic mở rộng  theo chuẩn p – adic ký hiệu  p Chuẩn  p ký hiệu p p 1.2.7 Định nghĩa Đĩa đơn vị quanh ∈  p tập số nguyên p – adic {  p = α ∈ p : α p } ≤1 1.2.8 Mệnh đề Tập số nguyên p – adic  p vành  p Mọi phần tử  p giới hạn dãy số nguyên (không âm) ngược lại dãy Cauchy số nguyên  có giới hạn  p Bây mô tả phần tử  p cách rõ ràng cách dùng khai triển chữ số p – adic Chúng ta bắt đầu với phần tử  p Từ 1.2.7 ta suy có số nguyên α thỏa điều kiện α − α p < 1, ≤ α ≤ ( p − 1) 15 Số nguyên p – adic α − α có chuẩn ≤ / p số p – adic (α − α ) / p nằm  p Lặp lại bước cuối thu số nguyên α1 thỏa α − ( α + α1 p ) p < , ≤ α1 ≤ ( p − 1) p Cứ tiếp tục ta có dãy số nguyên α n thỏa α − ( α + α1 p +  + α n p n ) p < , ≤ α n ≤ ( p − 1) pn Dãy ( β n ) β n = α + α1 p +  + α n p n dãy Cauchy theo chuẩn p Hơn nữa, giới hạn α α − βn p < pn Như có khai triển α =α + α1 p + α p +  gợi lại khai triển thập phân số thực với vô số lũy thừa có p Đó khai triển p – adic (chuẩn tắc) α ∈  p α n gọi chữ số p – adic (chuẩn tắc) Khai triển có khác biệt tính so với khai triển thập phân Để thấy điều này, ta giả sử α =α 0′ + α1′ p + α 2′ p +  khai triển p – adic thứ hai α thỏa tính chất khai triển thứ Gọi d số nguyên cho α d ≠ α d′ Không tổng quát ta giả sử α d < α d′ ≤ α d′ − α d ≤ ( p − 1) Nếu β n′ = α 0′ + α1′ p +  + α n′ p n 16 β d′ − β d = (α d′ − α d ) p d Do β d′ − β d p = pd Lưu ý ( β d′ − aa ) + ( − βd ) p β d′ − β d p= { ≤ max β d′ − aa , − βd p p } , pd < điều mâu thuẫn với đẳng thức cuối Do d tồn có khai triển Bây với α ∈  p số p – adic Khi α biết cách tìm khai triển p – adic Nếu α p p ≤ > ta giả sử α p = pk với k > Xét β = p kα với β p = β có khai triển p – adic β =β + β1 p + β p +  phía Khi α= β0 p k + β1 p k −1 ++ β k −1 p + β k + β k +1 p +  + β k + r p r +  ≤ β n ≤ ( p − 1) với n Những lập luận nêu cho ta kết quan trọng 1.2.9 Định lý Mọi số p – adic α ∈  p có khai triển p – adic α =α − r p − r + α1−r p1−r + α 2−r p 2−r +  + α −1 p −1 + α + α1 p + α p +  với α n ∈  ≤ α n ≤ ( p − 1) Hơn nữa, α ∈  p α − r = với r > 17 Chúng ta tính toán  p theo cách tương tự dùng  với khai triển thập phân 1.2.10 Ví dụ Tính (1 / + + ⋅ + ⋅ 32 + ⋅ 33 + ) + ( / 32 + / + + ⋅ + ⋅ 32 + ⋅ 33 + ) Cách làm bên trái tiến dần bên phải Do đó, kết = a a−2 / 32 + a−1 / + a0 + a1 +  a−2 = 2, a −1 = 1, a0 = + = + ⋅ ≡ 0, a1 = + + = + ⋅ ≡ lấy từ số hạng 30 Tiếp tục ta có a2 = + + = 2, a3 = + = + ⋅ ≡ 0, ta có = α / 32 + / + + ⋅ + ⋅ 33 +  Lưu ý khai triển p – adic số p – adic khai triển thập phân số lại không Ví dụ 0.999 =  1.000 =  1.2.11 Định nghĩa Với = p 2,3,… xét f p : S → S cho f p ( z) = z p với z ∈ S ( S đường tròn đơn vị mặt phẳng z p ký hiệu lũy thừa p z ) Với p cho trước, đặt: ∑ = lim{ X , f } p ← i ∞ i i =1 = X i S= fi f p i 1,2,… với mọi= [...]... α p p ≤ 1 thì chúng ta > 1 thì ta giả sử α p = pk với k > 0 Xét β = p kα với β p = 1 thì β có một khai triển p – adic β =β 0 + β1 p + β 2 p 2 +  như phía trên Khi đó α= β0 p k + β1 p k −1 ++ β k −1 p + β k + β k +1 p +  + β k + r p r +  trong đó 0 ≤ β n ≤ ( p − 1) với mỗi n Những l p luận nêu trên cho ta một kết quả quan trọng 1.2.9 Định lý Mọi số p – adic α ∈  p đều có một khai triển p – adic. .. x + ord p y; (c) ord p ( x + y ) ≥ min {ord p x, ord p y} 1.2.4 Định nghĩa Cho x ∈  Khi đó chuẩn p – adic của x được cho bởi 14 − ord x  p p x p =  −∞  p x ≠ 0, x = 0 khi khi 1.2.5 Mệnh đề Hàm p :  →  + có các tính chất sau: (a) x p = 0 nếu và chỉ nếu x = 0; (b) xy p = x p y p; (c) x + y p ≤ max { x p , y p } 1.2.6 Định nghĩa Vành các số p – adic là sự mở rộng của  theo chuẩn p – adic ký...  p một cách rõ ràng bằng cách dùng khai triển chữ số p – adic Chúng ta bắt đầu với các phần tử trong  p Từ 1.2.7 ta suy ra có một số nguyên α 0 thỏa điều kiện α 0 − α p < 1, 0 ≤ α 0 ≤ ( p − 1) 15 Số nguyên p – adic α − α 0 có chuẩn ≤ 1 / p và do đó số p – adic (α − α 0 ) / p nằm trong  p L p lại bước cuối chúng ta thu được một số nguyên α1 thỏa α − ( α 0 + α1 p ) p < 1 , 0 ≤ α1 ≤ ( p − 1) p. ..  p Chuẩn trên  p cũng được ký hiệu là p p được 1.2.7 Định nghĩa Đĩa đơn vị quanh 0 ∈  p là t p các số nguyên p – adic {  p = α ∈ p : α p } ≤1 1.2.8 Mệnh đề T p các số nguyên p – adic  p là vành con của  p Mọi phần tử của  p là giới hạn của một dãy các số nguyên (không âm) và ngược lại mọi dãy Cauchy các số nguyên trong  luôn có một giới hạn trong  p Bây giờ chúng ta sẽ đi mô tả các phần... Trong phần ti p theo chúng ta sẽ chỉ t p trung giới thiệu cách xây dựng số p – adic cũng như các khái niệm và tính chất liên quan đến nó Vì thế, chúng ta sẽ không đi sâu vào chứng minh cho các mệnh đề và định lý dưới đây 1.2.2 Định nghĩa Cho 0 ≠ x ∈  Khi đó thứ tự p – adic (hoặc giá trị p – adic) của x là ord p x = max {r : p r | x} Trong đó ký hiệu | nghĩa là ước Với a a ∈  thì thứ tự p – adic. .. ≤ ( p − 1) Nếu β n′ = α 0′ + α1′ p +  + α n′ p n thì 16 β d′ − β d = (α d′ − α d ) p d Do đó β d′ − β d p = 1 pd Lưu ý ( β d′ − aa ) + ( − βd ) p β d′ − β d p= { ≤ max β d′ − aa , − βd p p } 1 , pd < điều này mâu thuẫn với đẳng thức cuối Do đó không có d nào tồn tại và vì vậy chỉ có duy nhất một khai triển Bây giờ với α ∈  p là một số p – adic bất kỳ Khi α đã biết cách tìm khai triển p – adic. .. ord p a = ord p a − ord pb b Lưu ý trong mọi trường h p thì ord p luôn cho ta một số nguyên và do đó định nghĩa về thứ tự p – adic cho phân số nếu a được nêu trên là tốt, nghĩa là b a a′ = thì b b′ ord p a − ord pb = ord p a′ − ord pb′ Chúng ta cũng quy ước ord p 0 = ∞ 1.2.3 Mệnh đề Cho x, y ∈  Khi đó ord p có những tính chất sau đây: (a) ord p x = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0; (b) ord p= ( xy ) ord p. .. 1 , 0 ≤ α1 ≤ ( p − 1) p Cứ ti p tục như vậy thì ta sẽ có một dãy các số nguyên α n thỏa α − ( α 0 + α1 p +  + α n p n ) p < 1 , 0 ≤ α n ≤ ( p − 1) pn Dãy ( β n ) trong đó β n = α 0 + α1 p +  + α n p n là dãy Cauchy theo chuẩn p Hơn nữa, giới hạn của nó là α do α − βn p < 1 pn Như vậy chúng ta có một khai triển α =α 0 + α1 p + α 2 p 2 +  gợi lại khai triển th p phân của một số thực nhưng với... triển th p phân của một số thực nhưng với vô số các lũy thừa có thể có của p Đó là khai triển p – adic (chuẩn tắc) của α ∈  p và các α n được gọi là chữ số p – adic (chuẩn tắc) Khai triển này có sự khác biệt về tính duy nhất so với khai triển th p phân Để thấy điều này, ta giả sử α =α 0′ + α1′ p + α 2′ p 2 +  là một khai triển p – adic thứ hai của α thỏa các tính chất như khai triển thứ nhất Gọi d là... tách bởi cung α nếu X \ α có ít nhất hai thành phần liên thông Nếu x, y ∈ X ta nói một cung α tách x từ y nếu α tách X và x, y nằm trong các thành phần liên thông phân biệt của X \ α 1.2 Giới hạn ngược, Số p – adic, p – adic solenoid 1.2.1 Định nghĩa Một dãy ngược là một "dãy đôi" { X i , fi }i =1 của các không gian X i gọi là ∞ các không gian thành phần liên thông và các hàm liên tục fi : X i +1