HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC 11 I Phép biến hình: * Nếu phép biến hình F viết F(M) = M′ hay M′ = F(M), ta gọi M′ ảnh điểm M qua phép biến hình F * Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng II Phép tịnh tiến: Lý thuyết: uuuuu r r uuuuur uuuu r * Nếu Tvr (M) = M′ ⇔ MM′ = v * Nếu Tvr (M) = M′ Tvr (N) = N′ ⇔ M′N′ = MN ⇒ MN = M′N′  x′ = x * Phép tịnh tiến theo vectơ – không phép đồng tức   y′ = y r u r * Tvr (d) = d ⇔ v v′ phương r  x M′ = x M + a với v = (a; b)  y M′ = y M + b * Biểu thức tọa độ: Nếu Tvr (M) = M′ ⇒ M′ (xM + a; yM + b) M′ =  * Phép tịnh tiến: + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến tam giác thành tam giác + Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Bài tập mẫu: Bài 1: uCho tam giác ABC có G trọng tâm Xác định ảnh utam giác ABC qua phép tịnh tiến theo uur uur vectơ AG Xác định điểm D cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A uuur (B) = B′ Giải: * Dựng hình bình hành AB B′ G ⇒ TAG D u u u r ′ T (C) = C ⇒ Dựng hình bình hành AC C′ G AG uuur (A) = G uuur (ABC) = GB′C′ TAG A Vậy: TAG u u u r u u u r uuur (D) = A ⇔ * Ta có: TAG DA = AG Dựng điểm D cho A G trung điểm DG Bài 2: Tìm ảnh điểm A(0; 2), B(1; 3) qua phép C B r T tịnh tiến v trường hợp sau: r r r a) v = (1;1) b) v = (−2;1) c) v = (0; 0) C' B' r r r ′ ′ ′ Giải: a) Tv (A) = A (1;3) b) Tv (A) = A (−2;3) c) Tv (A) = A (0;2) a) Tvr (B) = B′(2; 4) b) Tvr (B) = B′(−1; 4) c) Tvr (B) = B′(1;3) Bài 3: Cho điểm A(1; 4) Tìm tọa độ điểm B cho A = Tvr (B) (tức A ảnh B), biết: r r r a) v = (2; −3) b) v = (−3;1) c) v = (0; 0) r xB = x A − a với v = (a; b) yB = y A − b Giải: Ghi nhớ: A = Tvr (B) ⇒ B(xA – a; yA – b) hay B =  a) A = Tvr (B) ⇒ B(-1; 7) b) A = Tvr (B) ⇒ B(4; 3) c) A = Tvr (B) ⇒ B(1; 4) r Bài 4: Tìm tọa độ vectơ v cho M′ = Tvr (M) , biết: a) M(-1; 0), M′ (3; 8) b) M(-5; 2), M′ (4; -3) c) M(-1; 2), M′ (4; 5) r Giải: a) Ghi nhớ: M′ = Tvr (M) ⇒ v = (x M′ − x M ; y M′ − y M ) r r r a) v = (4;8) b) v = (9; −5) c) v = (5;3) Bài 5: ra) Tìm tọa độ C” ảnh điểm C(3; -2) cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v = (−2;4) phép vị tự tâm O, tỉ số r b) Tìm tọa độ ảnh điểm D(-5; 1) cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;2) phép quay tâm O, góc 900 c) Tìm tọa độ E” ảnh điểm E(5; 2) cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số -3 phép quay tâm O, góc - 900 Giải: a) Gọi C” điểm cần tìm Ta có: Tvr (C) = C′(1;2) V(O,2) (C′) = C′′( 2; 4) b) Gọi D” điểm cần tìm Ta có: Tvr (D) = D′(−2;3) Q(O,90 ) (D′) = D′′(−3; −2) c) Gọi E” điểm cần tìm Ta có: V(O,−3) (E) = E′(−15; −6) Q(O,−90 ) (E′) = E′′(−6;15) r Bài 6: Tìm ảnh d qua phép tịnh tiến theo v , biết: r r a) d: x + 3y – = với v = (2; −1) b) d: 2x – y – = với v = (2; −1) Giải: a) * Cách 1: Gọi Tvr (d) = d′ Khi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x + 3y + C = Chọn A(1; 0) ∈ d Khi đó: Tvr (A) = A′(3; −1) ∈ d’ nên – + C = ⇔ C = Vậy: d’: x + 3y = * Cách 2: Chọn A(1; 0) ∈ d ⇒ Tvr (A) = A′(3; −1) ∈ d’ chọn B(-2; 1) ⇒ Tvr (B) = B′(0; 0) ∈ d’ x − x A′ x − y A′ x − y +1 = ⇔ = x B′ − x A′ y B′ − y A′ − +1 ⇔ x – = -3y – ⇔ x + 3y =  x′ = x +  x = x′ − ⇒  * Cách 3: Gọi M(x; y) ∈ d, Tvr (M) = M′ =   y′ = y −  y = y′ + ’ ’ Ta có: M ∈ d ⇔ x + 3y – = ⇔ x – + 3y + – = ⇔ x’ + 3y’ = ⇔ M’ ∈ d’: x + 3y = b) * Cách 1: Gọi Tvr (d) = d′ Khi d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 2x – y + C = Đt d’ qua điểm A’ B’ nên PT đt d’ là: Chọn A(0; -1) ∈ d Khi đó: Tvr (A) = A′(2; −2) ∈ d’ nên + + C = ⇔ C = -6 Vậy: d’: 2x – y – = * Cách 2: Chọn A(0; -1) ∈ d ⇒ Tvr (A) = A′(2; −2) ∈ d’ chọn B(1; 1) ⇒ Tvr (B) = B′(3; 0) ∈ d’ x − x A′ x − y A′ x−2 y+2 = ⇔ = x B′ − x A′ y B′ − y A′ 3−2 0+ ⇔ 2x – = y + ⇔ 2x – y – =  x′ = x +  x = x′ − ⇒  * Cách 3: Gọi M(x; y) ∈ d, Tvr (M) = M′ =   y′ = y −  y = y′ + Ta có: M ∈ d ⇔ 2x – y – = ⇔ 2x’ – – y’ – – = ⇔ 2x’ – y’ – = ⇔ M’ ∈ d’: 2x –ry – = r Bài 7: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – = với v = (−2; −1) Giải: * Cách 1: Gọi Tvr (d) = d′ Khi d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = Đt d’ qua điểm A’ B’ nên PT đt d’ là: Chọn A’(2; -1)∈ d’ Khi đó: Tvr (A) = A′ ⇒ A(4; 0) ∈ d nên + + C = ⇔ C = -8 Vậy: d: 2x + 3y – = * Cách 2: Chọn A’(2; -1) ∈ d’, Tvr (A) = A′ ⇒ A(4; 0)∈ d chọn B’(-1; 1)∈ d’, Tvr (B) = B′ ⇒ B(1; 2)∈ d x − xA x − yA x−4 y−0 = ⇔ = Đt d qua điểm A, B nên PT đt d là: xB − xA yB − yA 1− − ⇔ 2x – = -3y ⇔ 2x + 3y – =  x = x′ +  x′ = x − ⇒  y = y′ +  y′ = y − ’∈ ’ ⇔ ’ ’ Ta có: M d 2x + 3y – = ⇔ 2x – + 3y – – = ⇔ 2x + 3y – = ⇔ M ∈ d: 2x + 3y – = r Bài 8: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (d) = d′ với d: 3x – y + = d’: 3x – y – = r Giải: Chọn A(0; 1)∈ d B(0; -7) ∈ d’ Khi đó: Tvr (d) = d′ ⇒ v = (0; −8) r Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (C) = (C′) * Cách 3: Gọi M’(x’; y’)∈ d’, Tvr (M) = M′ ⇒ M =  a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = Giải: a) Từ (C), ta có: tâm I(2; -3) từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1) r Khi đó: Tvr (C) = (C′) ⇒ v = (−7; 4) b) Từ (C), ta có: tâm I(1;r -2) từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3) Khi đó: Tvr (C) = (C′) ⇒ v = (−3;5) r Bài 10: Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo v , biết: r r a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – = với v = (3; −4) b) (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = với v = (−3;1) Giải: a) * Cách 1: (C) có tâm I(2; -1) bán kính R = 2 Khi đó: Tvr (I) = I′(5; −5) R’ = R = Vậy: Tvr (C) = (C') : (x − 5) + (y + 5) =  x′ = x +  x = x′ − ⇒  y′ = y −  y = y′ + 2 ’ Ta có: M ∈ (C) ⇔ x + y – 4x + 2y – = ⇔ (x – 3) + (y’ + 4)2 – 4x’ + 12 + 2y’ + – = ⇔ x′2 − 6x′ + + y′2 + 8y′ + 16 − 4x′ + 12 + 2y′ + − = ⇔ x′2 + y′2 − 10x′ + 10y′ + 42 = * Cách 2: Gọi M(x; y) ∈ (C), Tvr (M) = M′ =  ⇔ M’ ∈ (C′) : x2 + y2 – 10x + 10y + 42 = b) * Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) bán kính R = 2 Khi đó: Tvr (I) = I′(−6;2) R’ = R = Vậy: Tvr (C) = (C') : (x + 6) + (y − 2) =  x′ = x −  x = x′ + ⇒  y′ = y +  y = y′ − Ta có: M ∈ (C) ⇔ (x’ + + 3)2 + (y’ – – 1)2 = ⇔ M’ ∈ (C′) : (x + 6)2 + (y – 2)2 = * Cách 2: Gọi M(x; y) ∈ (C), Tvr (M) = M′ =  r Bài 11: Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;m) Tìm m để đt d: 4x + 6y – = biến thành qua r phép tịnh tiến theo vectơ v r Giải: Từ đt d ⇒ VTCP d là: u = (−6;4) r r m = ⇔ 12 = -6m ⇔ m = -2 Để Tvr (d) = d ⇔ v phương u ⇔ −6 Bài tập tự luyện: uuur Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD uuur Xác định điểm F cho phép tịnh tiến theo vectơ AC biến F thành A Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh AB, CD, AD, MN Hãy tìm phép tịnh tiến biến ∆ AFM thành ∆ ENF r Bài 3: Tìm ảnh điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết: r r a) A(2; -3) với v = (7;2) ĐS: A’(9; -1) b) B(8; 2) với v = (−7;4) ĐS: B’(1; 6) r r c) C(1; 2) với v = (−4;3) ĐS: C’(-3; 5) d) D(-5; -6) với v = (4; −9) ĐS: D’(-1; -15) r Bài 4: a) Tìm tọa độ điểm C cho A(3; 5) ảnh C qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (−1;2) r b) Tìm tọa độ điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; −5) , biết Tvr (M) = N N(-7; 2) c) r Cho điểm D(-5; 6) Tìm tọa độ điểm E cho D ảnh E qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (−2; −8) r d) Cho điểm A(1; 4) Tìm tọa độ điểm B cho A = Tvr (B) với v = (−3;9) ĐS: a) C(4; 3) b) M(-10; 7) c) E(-3; 14) d) B(4; -5) r r Bài 5: Tìm tọa độ vectơ v cho Tv (A) = B , biết: a) A(-10; 1), B(3; 8) b) A(-5; 2), B(4; -3) c) A(-1; 2), B(4; 5) d) A(0; r0), B(-3; 4) e) A(5; -2), B(2; 6) f) A(2; 3), B(4; -5) r r ĐS: a) v = (13;7) b) v = (9; −5) c) v = (5;3) r r r d) v = (−3;4) e) v = (−3;8) f) v = (2; −8) r Bài 6: a) Cho đt d: 2x – y + = Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (4; −3) r b) Cho đt d: x – 4y – = Tìm PT đt d’ cho Tvr (d) = d′ với v = (−2;5) r c) Cho đt d: 5x + 3y + = Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (−2; −1) r d) Tìm ảnh đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3;7) , biết: đt d: 4x – y – = ĐS: a) 2x – y – = b) x – 4y – 20 = r c) 5x + 3y + 18 = d) 4x – y – = ’ Bài 7: Tìm đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v : d biến thành d : r r a) d’: 2x + 3y – = với v = (−2; −1) b) d’: 2x – 4y – = với v = (3; −1) r r c) d’: x – 6y + = với v = (−2;4) d) d’: 5x – 3y + = với v = (−2; −3) ĐS: a) 2x +3y – = b) 2x – 4y + = c)r x – 6y – 24 = d) 5x – 3y + = Bài 8: Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết: r a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – = với v = (3; −4) ĐS: (x – 5)2 + (y + 5)2 = r b) (C): x2 + y2 + 6x – 4y + = với v = (−3; −5) ĐS: (x + 6)2 + (y + 3)2 = 12 r c) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 16 với v = (−1;4) ĐS: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16 r d) (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = với v = (5;3) ĐS: (x – 1)2 + (y – 4)2 = r Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v cho Tvr (d) = d′ Tvr (C) = (C′) , biết: a) d: 3x – 2y + = d’: 3x – 2y – = b) d: 2x + y – = d’: 2x + y + = c) (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = (C’): (x – 5)2 + (y – 7)2 = 2 ’ 2 d) (C): (x r – 5) + (y + 4) = (Cr): (x + 2) + (y – 9) = r r ĐS: a) v = (−1; −4) b) v = (0; −8) c) v = (8;5) d) v = (−7;13) r Bài 10: Phép tịnh tiến theo vectơ v = (3m; −6) Tìm m để đt d: 4x + 2y – = biến thành r qua phép tịnh tiến theo vectơ v ĐS: m = -4 III Phép quay x′ = − y  y′ = x  x′ = y * Phép quay tâm O, góc -900: Q(O,−900 ) (M) = M′ =   y′ = −x  Lý thuyết: * Phép quay tâm O, góc 900: Q(O,90 ) (M) = M′ =  Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết: a) A(3; -4) b) B(-2; 1) c) C(4; 5) d) D(-2; -3) e) E(0; -5) ′ ′ Q (A) = A Q (B) = B Giải: a) (O,90 ) (4; 3) b) (O,90 ) (-1; -2) c) Q(O,90 ) (C) = C′ (-5; 4) d) Q(O,90 ) (D) = D′ (3; -2) e) Q(O,90 ) (E) = E′ (5; 0) 0 0 Bài 2: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) A(2; 5) b) B(-4; 2) c) C(-3; -1) ′ ′ (2; 4) Q (A) = A Q (B) = B Giải: a) (O,−90 ) (5; -2) b) (O,−90 ) c) Q(O,−90 ) (C) = C′ (-1; 3) Bài 3: Tìm tọa độ điểm A cho Q(O,90 ) (A) = B , biết: 0 0 a) B(3; -5) b) B(-2; 7) Giải: a) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(-5; -3) c) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(-1; 3) 0 c) B(-3; -1) d) B(4; 6) b) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(7; 2) d) Q(O,90 ) (A) = B ⇒ A(6; -4) 0 Bài 4: Tìm tọa độ điểm C cho D ảnh C qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết: a) D(-5; 1) b) D(-4; -7) c) D(2; 3) d) D(4; -8) Giải: a) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(-1; -5) b) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(7; -4) 0 c) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(-3; 2) d) Q(O,−90 ) (C) = D ⇒ C(8; 4) Bài 5: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết đt d: 5x – 2y – = Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d) = d′ 0 Chọn A(0; -1)∈ d ⇒ Q(O,90 ) (A) = A′ (1; 0)∈ d’ B(2; 4) ⇒ Q(O,90 ) (B) = B′ (-4; 2)∈ d’ x − x A′ y − y A′ x −1 y − = ⇔ ⇔ 2x + 5y – = = Đt d’ qua điểm A’, B’ là: x B′ − x A′ y B′ − y A′ −4 − − * Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d) = d′ ⇒ d ⊥ d′ nên PT đt d’ có dạng: 2x + 5y + C = Chọn A(0; -1)∈ d ⇒ Q(O,90 ) (A) = A′ (1; 0)∈ d’ Khi đó: + C = ⇔ C = -2 Vậy: d’: 2x + 5y – = 0 0 x′ = −y x = y′ ⇒ * Cách 3: Gọi M(x; y)∈ d ⇒ Q(O,90 ) (M) = M′ =  ′ y = x  y = −x′ ’ ’ ’ Ta có: M∈ d: 5x – 2y – = ⇔ 5y – 2(-x ) – = ⇔ 2x + 5y’ – = ⇔ M’∈ d’: 2x + 5y – = Bài 6: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết đt d: 2x – 5y + = Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,−90 ) (d) = d′ Chọn A(2; 1)∈ d ⇒ Q(O,−90 ) (A) = A′ (1; -2)∈ d’ B(-3; -1) ⇒ Q(O,−90 ) (B) = B′ (-1; 3)∈ d’ 0 0 x − x A′ y − y A′ x −1 y + = ⇔ ⇔ 5x + 2y – = = x B′ − x A′ y B′ − y A′ −1 − + * Cách 2: Gọi Q(O,−90 ) (d) = d′ ⇒ d ⊥ d′ nên PT đt d’ có dạng: 5x + 2y + C = Chọn A(2; 1)∈ d ⇒ Q(O,−90 ) (A) = A′ (1; -2)∈ d’ Khi đó: – + C = ⇔ C = -1 Đt d’ qua điểm A’, B’ là: 0 Vậy: d’: 5x + 2y – = x′ = y x = −y′ ⇒ * Cách 3: Gọi M(x; y)∈ d ⇒ Q(O,−90 ) (M) = M′ =  y′ = − x y = x′ ’ ’ Ta có: M∈ d: 2x – 5y + = ⇔ 2(-y ) – 5x + = ⇔ –5x’ – 2y’ + = ⇔ M’∈ d’: 5x + 2y – = Bài 7: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = b) x2 + y2 – 4x + 2y – = Giải: a) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -5) bán kính R = Khi đó: Q(O,90 ) (I) = I′ (5; 2) bán kính R’ = R = Vậy: Q(O,90 ) (C) = (C′) : (x – 5)2 + (y – 2)2 = x′ = −y x = y′ ⇒ * Cách 2: Gọi M∈ (x; y)∈ (C) ⇒ Q(O,90 ) (M) = M′ =  y′ = x y = −x′ Ta có: M∈ (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = ⇔ (y’ – 2)2 + (-x’ + 5)2 = ⇔ (x’ – 5)2 + (y’ – 2)2 = ⇔ M’∈ (C’): (x – 5)2 + (y – 2)2 = b) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -1) bán kính R = Khi đó: Q(O,90 ) (I) = I′ (1; 2) bán kính R’ = R = Vậy: (x – 1)2 + (y – 2)2 = x′ = −y x = y′ ⇒ * Cách 2: Gọi M∈ (x; y)∈ (C) ⇒ Q(O,90 ) (M) = M′ =  ′ y = x  y = −x′ 2 ’ ’ ’ Ta có: M∈ (C): x + y – 4x + 2y – = ⇔ (y ) + (-x ) – 4y + 2(-x’) – = ⇔ x′2 + y′2 − 2x′ − 4y′ − = ⇔ M’∈ (C’): x2 + y2 – 2x – 4y – = Bài 8: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16 Giải: * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) bán kính R = Khi đó: Q(O,−90 ) (I) = I′ (1; 4) bán kính R’ = R = Vậy: Q(O,−90 ) (C) = (C′) : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 0 0 0 0 x′ = y x = −y′ ⇒ * Cách 2: Gọi M∈ (x; y)∈ (C) ⇒ Q(O,−90 ) (M) = M′ =  y′ = − x y = x′ 2 ’ Ta có: M∈ (C): (x + 4) + (y – 1) = 16 ⇔ (–y + 4) + (x’ – 1)2 = 16 ⇔ (y’ – 4)2 + (x’ – 1)2 = 16 ⇔ M’∈ (C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16 Bài 9: Cho tam giác ABC, trọng tâm G a) Tìm ảnh điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900 b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900 C" A c) Tìm ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90 Giải: a) Dựng AB = AB’ (AB, AB’) = 900 Khi đó: B’ ảnh điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 900 b) Dựng AC = AC’ (AC, AC’) = 900 B' B Khi đó: B’C’ ảnh BC qua phép quay tâm A, góc quay 900 G c) Dựng GA = GA’và (GA, GA’) = 900, GB = GB” A' (GB, GB”) = 900, GC = GC” (GC, GC”) = 900 Khi đó: Tam giác A’B”C” ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G, góc quay 900 B" C Bài 10: Cho ∆ ABC có tâm O phép quay tâm O, góc quay 120 a) Xác định ảnh đỉnh A, B, C qua phép quay Q(O,120 ) b) Tìm ảnh ∆ ABC qua phép quay Q(O,120 ) C' 0 OA = OB ⇒ Q(O,120 ) (A) = B; Giải: a) Ta có:  (OA,OB) = 120  OB = OC OC = OA ⇒ Q(O,120 ) (B) = C;  ⇒ Q(O,120 ) (C) = A  0 (OB,OC) = 120 (OC,OA) = 120 b) Vậy: Q(O,120 ) ( ∆ ABC) = ∆ BCA A 0 120 O 120 120 0 Bài 11: Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 900 b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900 Giải: a) Dựng AE = AC (AE, AC) = 900 Vậy: Q(A,90 ) (C) = E b) Ta có: Q(O,90 ) (B) = C; Q(O,90 ) (C) = D B C D E C O 0 B A Vậy: Q(O,90 ) (BC) = CD Bài 12: Cho hình vuông ABCD tâm O, M trung điểm AB, N trung điểm OA Tìm ảnh A M ∆ AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900 B ’ ’ Giải: Gọi M , N trung điểm OA OD Ta có: Q(O,90 ) (A) = D; Q(O,90 ) (M) = N M' Q(O,90 ) (M’) = N’ N 0 0 O Vậy: Q(O,90 ) ( ∆ AMN) = ∆ DM’N’ N' D C Bài 13: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngoại tiếp Tìm ảnh ∆ OAB qua phép dời hình cóuuđược ur cách thực liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 60 qua phép tịnh tiến theo vectơ OE F Giải: Ta có: * Q(O,60 ) (O) = O; Q(O,60 ) (A) = B; Q(O,60 ) (B) = C ⇒ Q(O,60 ) ( ∆ OAB) = ∆ OBC 0 A E uuur uuur uuur * TOE (O) = E; TOE (B) = O; TOE (C) = D u u u r Vậy: TOE ( ∆ OBC) = ∆ EOD O D B C Bài 14: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngoại tiếp I trung điểm AB F Q a) Tìm ảnh ∆ AIF qua phép quay (O,120 ) A E b) Tìm ảnh ∆ AOF qua phép quay Q(E,60 ) 0 Giải: a) Gọi J trung điểm CD Ta có: Q(O,120 ) (A) = C; Q(O,120 ) (I) = J; Q(O,120 ) (F) = B Vậy: Q(O,120 ) ( ∆ AIF) = ∆ CJB 0 I O D B b) Ta có: Q(E,60 ) (A) = C; Q(E,60 ) (O) = D; Q(E,60 ) (F) = O Vậy: Q(E,60 ) ( ∆ AOF) = ∆ CDO 0 J C Bài 15: Cho hai hình vuông vuông ABCD BEFG (hình bên) Tìm ảnh ∆ ABG phép quay tâm B, góc quay -900 C D Giải: Ta có: Q(B,−90 ) (A) = C; Q(B,−90 ) (B) = B; Q(B,−90 ) (G) = E G F Q Vậy: (B,−90 ) ( ∆ ABG) = ∆ CBE 0 0 A E B Bài 16: Cho hình lục giác ABCDEF theo chiều dương, O tâm đường tròn ngoại tiếp F Tìm phép quay biến ∆ AOF thành ∆ CDO EA = EC A ⇒ Q(E,60 ) (A) = C E Giải: Ta thấy: *  (EA, EC) = 60  O EO = ED EF = EO ⇒ Q(E,60 ) (O) = D; *  ⇒ Q(E,60 ) (F) = O * 0 (EO, ED) = 60 (EF, EO) = 60   B D Vậy: Q(E,60 ) (∆AOF) = ∆ CDO 0 0 C Bài 17: Cho hai tam giác ABD CBE (hình bên) Tìm phép quay biến ∆ ACD thành ∆ BCE BA = BC C ⇒ Q(B,−60 ) (A) = C Giải: Ta thấy: *  (BA, BC) = −60 BD = BE ⇒ Q(B,−60 ) (D) = E * (BD, BE) = − 60  Vậy: Q(B,−60 ) (∆ABD) = ∆ CBE Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết: a) A(4; -2) b) B(-5; 3) c) C(-6; -7) ’ ’ ĐS: a) A (2; 4) b) B (-3; -5) c) C’(7; -6) * Q(B,−60 ) (B) = B D 0 A d) D(2; 9) d) D’(-9; 2) B E Bài 2: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết: a) E(3; 5) b) F(-4; 6) c) M(7; -2) d) N(-3; -8) ’ ’ ’ ĐS: a) E (5; -3) b) F (6; 4) c) M (-2; -7) d) N’(-8; 3) Bài 3: Tìm tọa độ điểm M cho Q(O,90 ) (M) = N , biết: a) N(-3; 2) b) N(4; -7) c) N(-5; -1) d) N(5; 9) ĐS: a) M(2; 3) b) M(-7; -4) c) M(-1; 5) d) M(9; -5) Bài 4: Tìm tọa độ điểm E cho F ảnh E qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết: a) F(4; 7) b) F(3; -2) c) F(5; -6) d) F(-3; -8) ĐS: a) E(-7; 4) b) E(2; 3) c) E(6; 5) d) E(8; -3) Bài 5: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay 90 , biết : a) d: 2x – 3y + = b) d: 3x + y = c) d: y – = d) d: x + = e) d: – 4x + 2y + = f) d: 2x + 5y – = g) d: x – 7y – = ’ ’ ĐS: a) d’: 3x + 2y + = b) d : x – 3y = c) d : x + = d) d’: y + = ’ e) d : 2x + 4y – = f) d’: 5x – 2y – = g) d’: 7x + y – = Bài 6: Tìm ảnh đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết : a) d: x + 3y – = b) d: 2x – y + = c) d: 3x – 2y = ’ ĐS: a) d’: 3x – y – = b) d : x + 2y – = c) d’: 2x + 3y = Bài 7: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết a) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = b) (C): x2 + (y – 2)2 = c) (C): x2 + y2 – 4x – 2y – = d) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = ĐS: a) (C’): (x + 1)2 + ( y + 1)2 = b) (C’): (x + 2)2 + y2 = ’ 2 c) (C ): (x + 1) + (y – 2) = d) (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16 Bài 8: Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25 2 c) (C): x + y – 6x + 4y – = d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – = ĐS: a) (C’): (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16 b) (C’): x2 + (y – 3)2 = 25 c) (C’): (x + 2)2 + (y + 3)2 = 16 d) (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 49 Bài 9: Cho tam giác ABC điểm O Xác định ảnh tam giác qua phép quay tâm O góc 60 Bài 10: Cho hình bình hành ABCD tâm O a) Tìm ảnh OC qua phép quay tâm B, góc quay 900 b) Tìm ảnh ∆ AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900 Bài 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O theo chiều âm a) Tìm ảnh điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900 b) Tìm ảnh đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900 Bài 12: Cho tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm phép quay biến ∆ ABC thành Bài 13: Cho hình vuông ABCD tâm O Tìm phép quay biến hình vuông ABCD thành Bài 14: Cho ∆ ABC Về phía tam giác, dựng ba tam giác BCA1, ACB1, ABC1 a) Tìm phép quay biến ∆ AC1C thành ∆ ABB1 b) Tìm phép quay biến ∆ ACA1 thành ∆ B1CB IV Phép vị tự: Lý thuyết: x′ = kx a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’ Ký hiệu: V(O,k ) (M) = M′ =  y′ = ky b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) Viết: V(O,k ) (C) = (C′) Gọi I, R I’, R’ tâm bán kính đường tròn (C) (C’) Khi đó: V(O,k ) (I) = I′ R’ = k R Bài tập mẫu: Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) A(-3; 4), k = -2 b) B(2; -6), k = c) C(4; 5), k = V (B) = B′ Giải: a) V(O,−2) (A) = A′ (6; -8) b) (O, ) (1; -3) c) V(O,3) (C) = C′ (12; 15) d) V (O, − ) (D) = D′ d) D(-3; -12), k = − (2; 8) Bài 2: Tìm tọa độ điểm A cho B ảnh A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) B(-2; 6), k = b) B(0; 3), k = c) B(3; -1), k = -3 d) B(-5; -2), k = − V (A) = B ⇒ Giải: a) V(O,2) (A) = B ⇒ A(-1; 3) b) (O, ) A(0; 9) V (A) = B ⇒ ) d) (O,− ) A(10; 4) Bài 3: Tìm tỉ số k, biết V(O,k ) (A) = A′ : a) A(-2; 4), A’(1; -2) b) A(4; 5), A’(-8; -10) c) A(-3; -8), A’(-9; -24) Giải: a) V(O,k ) (A) = A′ ⇒ k = − b) V(O,k ) (A) = A′ ⇒ k = −2 c) V(O,k ) (A) = A′ ⇒ k = Bài 4: Tìm ảnh đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) d: 4x – 3y + = 0, k = -3 b) d: x – 4y + = 0, k = ’ ’ ′ V (d) = d ⇒ d // d nên PT đt d có dạng: 4x – 3y + C = Giải: a) * Cách 1: Gọi (O,−3) Chọn A(2; 3)∈ d ⇒ V(O,−3) (A) = A′ (-6; -9) ∈ d’ Khi đó: -24 + 27 + C = ⇔ C = -3 Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – = * Cách 2: Chọn A(2; 3)∈ d ⇒ V(O,−3) (A) = A′ (-6; -9) ∈ d’ B(-1; -1) ∈ d ⇒ V(O,−3) (B) = B′ (3; 3) ∈ d’ x − x A′ y − y A′ x +6 y+9 = ⇒ ⇔ 12x – 9y – = = PT đt d’ qua điểm A’, B’ là: x B′ − x A′ y B′ − y A′ 3+ 3+9 ⇔ 4x – 3y – = V (d) = d′ ⇒ ’ b) * Cách 1: Gọi (O, ) d // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = c) V(O,−3) (A) = B ⇒ A(-1; V (A) = A′ Chọn A(-2; 0)∈ d ⇒ (O, ) (-1; 0) ∈ d’ Khi đó: -1 + C = ⇔ C = Vậy: PT đt d’ là: x – 4y + = V (A) = A′ V (B) = B′ * Cách 2: Chọn A(-2; 0) ∈ d ⇒ (O, 12 ) (-1; 0) ∈ d’ B(6; 2) ∈ d ⇒ (O, 12 ) (3; 1) ∈ d’ x − x A′ y − y A′ x +1 y − = ⇒ ⇔ x – 4y + = = x B′ − x A′ y B′ − y A′ +1 1− Bài 5: Tìm ảnh đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = − b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – = 0, k = ′ V (C) = (C ) Giải: a) Gọi (O,− ) Từ (C), ta có: tâm I(2; -4) bán kính R = PT đt d’ qua điểm A’, B’ là: 1 R = Vậy: (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 2 b) Gọi V(O,4) (C) = (C′) Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) bán kính R = Khi đó: V (O, − ) (I) = I′ (-1; 2) bán kính R’ = − Khi đó: V(O,4) (I) = I′ (12; -8) bán kính R’ = R = 16 Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256 Bài 6: Cho tam giác ABC Tìm ảnh B, C qua phép vị tự tâm A, tỉ số k, biết: a) k = b) k = c) k = − M uuur uuur uuur uuur V (B) = D V (C) = E B Giải: a) Dựng AD = AB , AE = AC ⇒ (A, ) (A, ) 2 2uuur D uuur uuuu r uuur b) Dựng AM = 2AB , AN = 2AC A P C E ⇒ V(A,2) (B) = M V(A,2) (C) = N Q uuur r uuur uuu uuur V (B) = Q V (C) =P c) Dựng AQ = − AB , AP = − AC ⇒ (A,− ) (A,− ) 3 3 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD (theo chiều âm) có tâm O Tìm ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = uuuu r uuur A' B' Giải: a) Dựng OA′ = 2OA ⇒ V(O,2) (A) = A′ A uuur uuur u u u u r u u u r B OB′ = 2OB ⇒ V(O,2) (B) = B′ ; OC′ = 2OC ⇒ V(O,2) (C) = C′ O uuuu r uuur C OD′ = 2OD ⇒ V(O,2) (D) = D′ D D' C' Vậy: A’B’C’D’ ảnh hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) A(-3; 5), tỉ số k = -3 b) B(4; -1), tỉ số k = c) C(-1; 3), tỉ số k = d) D(-2; -8), tỉ số k = − e) E(3; 9), k = f) F(3; -7), tỉ số k = 3 ĐS: a) A’(9; -15) b) B’(8; -2) c) C’(-4; 12) d) D’(1; 4) e) E’(2; 6) f) F’(1; − ) Bài 2: Tìm tọa độ điểm E cho F ảnh E qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: 1 a) F(-2; 8), tỉ số k = b) F(3; -2), tỉ số k = c) F(5; 1), tỉ số k = − ĐS: a) E(-1; 4) b) E(6; -4) c) F(-20; -4) Bài 3: Tìm ảnh đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) d: 5x – 2y + = 0, tỉ số k = b) d: 3x + y – = 0, tỉ số k = -2 c) d: 4x – y = 0, tỉ số k = d) d: x + 3y – = 0, tỉ số k = − 3 ’ ’ ’ ĐS: a) d : 5x – 2y + = b) d : 3x + y + = c) d : 4x – y = d) d’: 3x + 9y + = Bài 4: Tìm ảnh đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết: a) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3 b) (C): x2 + y2 – 2x + 6y – = 0, tỉ số k = 1 c) (C): (x + 2)2 + (y – 8)2 = 9, tỉ số k = d) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + = 0, tỉ số k = − ĐS: a) (C’): (x + 9)2 + (y – 3)2 = b) (C’): (x – 4)2 + (y + 12)2 = 12 c) (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = d) (C’): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 87 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, G trọng tâm tam giác Tìm ảnh tam giác ABC qua phép vị tự: a) Tâm G, tỉ số k = b) Tâm G, tỉ số k = c) Tâm A, tỉ số k = -2 10 N 11 [...].. .11