BỘ GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN S ự TÔN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG • • • CỦA TOÁN TỬ K0 - LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN h - cực TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI TRƯƠNG THỊ HẢI DUYÊN S ự TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG • • • CỦA TOÁN TỬ uữ - LÕ M CH ÍNH QUY ĐỀU TÁC DỤNG TRONG KH Ô NG GIAN BA N A CH VỚ I NÓN h - cực TRI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy Hà Nội - 2015 Lòi cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy - người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho suốt trình thực đề tài nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; thầy, cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn tốt nghiệp Nhân dịp xin gửi lòi cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ủng hộ, động viên tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu, hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trương Thị Hải Duyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn: “Sự tồn điểm bất động toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h - cực trị” công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy giáo PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Học viên Trương Thị Hải Duyên Mục lục Mở đ ầ u Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach nửa thứ t ự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach 1.1.2 Dãy đơn điệu, cận ừên cận tập họp 1.2 Quan hệ thông ước phần t 10 1.3 M0 - chuẩn không gian Eu 11 1.4 Nón chuẩn tắc nón h - cực t r i 15 1.4.1 Nón chuẩn tắc tính ch ất 15 1.4.2 Nón h - cực ttị tính ch ất 18 1.5 Các không gian Banach nửa thứ tự: M i 20 1.5.1 Không gian Banach thực nửa thứ tự M 20 1.5.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự i 27 Chương Sự tồn điểm bất động toán tử u0 - lõm quỵ không gian Banach với nón h - cực trị 2.1 2.2 Khái niệm toán tử M0 - lõm quy tính c h ất 37 2.1.1 Khái niệm toán tử u0 - lõm quy đ ề u 37 2.1.2 Một số tính c h ất 38 Toán tử u0 - lõm quy tác dụng số không gian Banach 39 2.2.1 Toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Eukleide к 39 2.2.2 Toán tử u0 - lõm quy tác dụng ttong không gian Banach £ 2.3 42 Sự mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử u0 - lõm quy đ ề u 44 Áp dụng 48 Kết lu ân 50 Tài liệu tham khảo 51 2.4 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng dụng Lý thuyết điểm bất động nghiên cứu theo nhiều hướng khác gắn vói tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, Các nhà toán học xét toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Frese hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm Nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki nghiên cứu nghiệm dương phương trình toán tử (1962) GS - TSKH Bakhtin nghiên cứu phương trình không gian tuyến tính với toán tử lõm lõm (1959), nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm (1984) Các tác giả Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu công bố kết lớp toán tử lõm tác dụng không gian Banach vói nón cố định hai nón cố định, toán tử xét có chung tính chất u0 - đo Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy nghiên cứu điểm bất động toán tử lõm quy điểm bất động toán tử ( к , и 0) ~ lõm quy (2012) Tác giả mở rộng phát triển kết toán tử lõm cho lớp toán tử lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cố định, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo Để xét tồn điểm bất động toán tử lõm hay lõm quy, tác giả kể ừên bổ sung điều kiện phù hợp cho toán tử Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy giáo, PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy chọn nghiên cứu đề tài: “ Sự tồn điểm bất động toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Banach vói nón h - cực trị” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, mở rộng số định lý tồn điểm bất động toán tử u0 - lõm quy theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiều không gian Banach nửa thứ tự Tìm hiểu nón chuẩn tắc nón h - cực trị Tìm hiểu nón không gian Banach M t lìm hiểu tồn điểm bất động toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h - cực trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử u0 - lõm quy, tồn điểm bất động toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h - cực trị Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước có liên quan đến điểm bất động toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h - cực trị Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu báo điểm bất động toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón h - cực trị Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp luận văn Luận văn trình bày tổng quát không gian Banach nửa thứ tự, số tính chất toán tử u0 - lõm quy đều, toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian i ể , mở rộng định lý tồn điểm bất động toán tử M0 - lõm quy Các kết thu mở rộng cho số lớp toán tử khác Hy vọng luận văn làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ • 1.1 Không gian Banach nửa thứ tự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian Banach thực, K tập không gian E khác rỗng Tập K gọi nón không gian E , nếu: i, K tập đóng không gian E ; ii, V x t h ì a x +Py e K; iii, Vxe K : x ^ - x £ K (ớ phần tử không không gian E ) Định lí 1.1.2 Giao hai nón (chứa phàn tử khác ớ) nón Chứng minh: Giả sử Kl,K2 hai nón không gian E Ta chứng minh K = K1n K nón không gian E Thật vậy: Vì Ki,K2 hai nón không gian E nên KỊfK2 đóng ừong Esuy K đóng E V x,yeK ,V a,j3eR ^ K l7K2 => a x +P y € Kv a x +P y € K2 => a x + P y € K => a x + Py GK \/ x €:K, x ^ O ^ > x g K v x €:K2 Vì KỈ,K2 nón không gian E nên —X Ể Kv —X Ể ^ => —XỂ K Vậy giao hai nón (chứa phần tử khác ớ) nón □ Định lí 1.1.3 Giả sử F tập không gian E khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn không chứa phần tử không E Khi đó, tập: K(F ) = ịz - t x : X G F,t > 0} nón không gian E 36 => —tỉuk x ễ G *) Giả sử X e G ta có + Vói k g I uk = xk =0 => (Víi > 0)(VÍ2 > 0)ta có - t\Uk =Xk = Í2Uk+ Vói k G /i ứiì Uk > /i hữu hạn nên K } > Ẳs/ị Đặt: maxỊl^ll t1- 12 = > f0 1^1 ta có m - h u k = -— -r-Uk < - m a x { \ x k \} < Xk min{w^| kel keh m a x {|£fc|} = ~ T r— ĩ min{Ufcj k€l => > m a x { \ x k \} > x k keỉị 0)(3Í2> 0) —huo< X < Í2UQ = ìxel Vậy í Theo định lý (1.4.3), t không gian Banach thực ứieo u0 -chuân 37 CHƯƠNG S ự• TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ • • Uq- LÕM CHÍNH QUY ĐỀU TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN 2.1 h - c ự c TRỊ Khái niệm toán tử u0 - lõm quy tính chất Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón к E, phần tử u0 Gк ,и ф в 2.1.1 Khái niệm toán tử u0 - lõm quy Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A gọi u0 - lõm nón к , 1) A K ŒК Vjc, у e к cho x < y A x < Ay; 2) Vjc g к \ {в} Ax e K(u0); 3) V x e ^ :\{ } ,V íe (0 ;l) Atx > tAx; 4) V xg^(m 0),V î g(0;1),77 = ^ (jc,í)> tìù Atx>{\+rf)tAx Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A gọi u0 - lõm quy nón K, 1) AK с К Vx, ỵ Gк cho X < у Ax < Ay, 2) Vjc e К \ {ớ}, Ví e (0;l) Atx > tAx; 3) V x G K ịu 0),\/t e(0;l),377 = 77(*,i)>0 cho Atx>(l+ì])tAx Định nghĩa 2.1.3 Toán tử A gọi u0 - lõm quy đều, i AK с К Ух, У&К cho X < у Ax < Ay; ii V x G ^ T \|ớ |,V íe (0;l) A tx >tAx; iii V / / ,v g K thỏa mãn ỊẲ< v,V í e ( ; l ) 3rỊ-ĩ]ị^Ịj,,v,t) > cho Vjcg(/ìm0;vm0) = {VjcgE : juuữ (l+rj^tAx 38 2.1.2 Môt số tính chất ■ Định lí 2.1.4 Nếu Ả toán tử u0 - lõm quy V a e t có a A toán tử u0 - lõm quy Chứng minh: • A toán tử u0 — lõm quy => Vjc G к ta có Ax Gк Vì К nón a > nên a Ax Gк suy a AK \/x, y GK,x< y ta có Ах < Ay Theo định nghĩa quan hệ thứ tự ttong không gian E ta có A x< A y^A y-A xG K Vì К nón, а > nên a ị^A y-A x) G K o a A y - a A x G K Do a Ax < a Ay • V x e ^ r\{ } ,V íe (0 ;l) ta có Atx>tAx Vì к nón, a > nên a(Atx) > aịtAx) Suy ịa Á ) tx > t ịa Á ) x • V//,v eM thỏa mãn n < v,Ví e(0 ;l) 3ĩ] = ì](ju,v, í) > cho Vjcg(//m0;vm0) = {VjcgE :ụuữ (\+î])tAx, ^ aẢtx> a{\+ĩ])tAx hay ((aA)tx>ị\+iì)t(aA)x Vậy a A toán tử u0 — lõm quy □ Định lí 2.1.5 Nếu A,B hai toán tử u0 - lõm quy A + B toán tử u0 - lõm quy Chứng minh: • A,B hai toán tử uữ- lõm quy =>Vjc Gк ta có Axe к , Вх G К Do К nón nên Ах+Вх = (А + В ) х е к => (A + B)K а к 39 • A,B uữ- lõm quy => Vjc,;y G K,x< y ta có AxAx + BxV xe/ị:\{ tAx,Btx > tBx => Atx + Btx >tAx + tBx hay (A + B)tx> í (A + B ) x • V //,v g K thỏamãn ụ < v , V fe(0 ;l) 3rj = ĩ](ju,v,t')>0 cho Vx ( + 7 ) tBx => A tx+ Btx > ( + T])tAx+ ( + ĩ])tBx ^>(A+B)tx>(l+ ĩ])t(A+B)x Vậy A + B toán tử Uq — lõm quy □ 2.2 Toán tử u0 - lõm quỵ tác dụng số không gian Banach 2.2.1 Toán tử u[}—lõm quỵ tác dụng không gian Eukleỉde № V N - M - r R 1A / " ^2 k / Giả sử không gian M nửa thứ tự theo nón í c i , nón K xác định mục 1.5.1.3 Còn u0 = (ukỴk_ chọn sau: = {fce {1, , >o| ^ / 2= {l,2, ,n}\/r Xét toán tử A : M M 40 V* L ’ Го, V Ả :e /2 ừong wk = ị — IV**+1, ^kel, Ta chứng minh A toán tử UQ— lõm quy Thật vậy: • V x e K , x = (xkỴk^ gM ^>wk = +1 > 0, i,Vfc=l,n e /j ^ A x g K = > A K œ K • x ,y & K ,t có: *< JC= (xt )"=1 GM 'Vfc = 1, n, J = (y*)LieM IV*=1,7Ỉ = 1,и „ , у, _ Xét AX = W = (WJ M , w, = \ ự ^ +1 д , / ' Y* , Ay = w = (w; )-ы , _ Го И4 = t y j - +1 f 0vớiк G/2 il với k e l vb ik € * Với fc e / có w* = w* = о * Với fce/j có wk =ịf7k + l< lf ỹ ^ + l = wk (do **>*) Do đó, Ax < Ay • V jceíT \{ớ},V íe(0;l),tacó: A « = ( ZtL tron8 г* = { у Н Г + V« к I 'ỉ, tAx = t( y t ) l 1= (tyl ) l tyt = Ịt ( ỷ ^ +1) * Vói € / ứlì zk =tyk = I £ 41 * Vói k € /j zk = lỊtXi +1 = iĩt Ị [ \ +1 > t i Ị \ + t> tụ Ịx ~ +1)=tyk Từ suy Atx > tAx • Tiếp theo ta chứng minh V / / , v e i thỏa mãn //< v,Ví e(0;l)đều 3ĩj = ĩ](ju,v,t) > cho Vjce(//M0;vw0) = jVjceM x< vu 01 ứiì Atx>{\ + rị)tAx Thật vậy, X e (//m0;vm0) = |Vjc e M X < vuữI nên: * Với (k GI2)uk = => xk = * Với Ọc €=I^)uk > xk > Xét TỊ - -X=-1 > Ta có: Ví A tx-(1 + T])tAx = (zkỴk=1 - (1 + rj)t(yk)l=1 = (zk -(1 + ĩj)tykỴk=ỉ * V i k e I ứù zk - ( l + Tj)tyk =0 * V i k e I Zk- ị i + TỈ)tyk = ị t í f â + l } - ị l + Ặ - l ỷ ụ f c + i) - lltịíxk + 1- Chứng tỏ A tx- (l + T])tAx > Ohay Atx > (l + ĩ])tAx Vậy A toán tử u0 - lõm quy đều.D ~ 42 2.2.2 Toán tử u0 - ỉõm quy tác dụng không gian Banach i / f QO E í V N L ^2 14 n=1 \ k =1 Giả sử không gian l nửa thứ tự theo nón K 0}, /i ^ v I \ hữu hạn, h = [n N*: u„= 0} Xét toán tử A cho sau: Với X= (jcn)°°=1 e l , ta đặt Ax = [zn)°°=1 = z , ne/, 0, Do /i hữu hạn 00 ẳn=lk f =Z |V Í+1 Với n h, ta có Z n = Do z É ÆT, hay Ax E K, nghĩa AK ,yn > , nên 1п = 41 Хп+^ 41у~п+1 = ™пУП* 1V Còn vói n G/ có zn = wn = 0, Ax< Ay • Ух = [xn)°°=1 e ^ r\{ } ,V íe (0 ;l),ta c ó : í \°° / \0 0 / \0 với n e /2 -, ( tron®đó % = Ị t ( V ^ + 1) với 71 G /2 v ứ ín Л * Với HGl Ûà zn =tyn = * Với zn =ỊỊtxn +\ = ĩftỊ[x'n +\>t(ỊỊx'n + ^ = tyn (do í e(0 ;l),x n > ) Từ suy Atx > tAx 44 • Tiếp theo ta chứng minh V / / , v e t thỏa mãn jU cho V x e (fMữ\vu^Ị = ị\/xGỈ2\ỊMữ < x< VM0} Atx>{\ + T])tAx Thật vậy, X e (juuữ\vuữ) = {Vjc e ^ X< vu0} nên: * Với ( n e / 2)m„ = =>xn = * Vói (riGl1)un > => JC„ > Xét ĩ] = -X=- Ta có: ví A U - (1 + ri)tAx = (г, )", - (1 + n )‘ (y.T„ = (z» - (! + L * Vói и e / z„ - (l + ĩj)tyn - * Vói riGl, zn - { ĩ + i7)tyn = ( l l t l f c + ì ) - ị ĩ + Ặ - l j t ^ + ì) Chứng tỏ Atx - (l + rị)tAx > hay Atx > (l + rị)tAx Vậy A toán tử uữ- lõm quy đều.a 2.3 Sự mở rộng định lí tồn điểm bất động toán tử uữ — lõm quy Định lí 2.3.1 Toán tử u0 - lõm quy có không điểm bất động tậpK(u0) , u0 phần tử cố định, thuộc Chứng minh: Giả sử toán tử Ả có hai điểm bất động X, y G K(uữ) : Ax = X , Ay = y, X ф y 45 Tồn số dương a,b,c,d cho: au0 cu0 = —bu0 > - x ^ > y - —x > với —> b b b b hoăc x> au0 =ad~1duữ > ad~ly => X - — y > với —>0 d d Xét ánh xạ h : к 1—» ý —tx h liên tục, nhờ tính liên tục phép toán đại số không gian E Do nón К tập đóng không gian E , nên h~l{K) tập đóng không gian M với chuẩn thông thường Đăt t0 = suph~l{K), í0 > —> b Nếu í0 < 1, t0 e h~l(K) t0 e —;lj a = a(x,tữ)>0 cho у - t 0x > в ^ у = Ay > At0X > (1+a)t0Ax = (1+a)t0x => у - ( l + a ) t 0x > в, Mâu ứiuẫn với tính chất t0 , nên t0 > Từ suy ra, y - t 0x >в=> y > t 0x với t0 > (2.1) Bằng cách xét tương tự ánh xạ k :K s 1-4 x-sy, ta nhận bất đẳng thức: X > sữy với Sq > (2.2) Nếu tữ >1 £0 >1 hai bất đẳng thức (2.1), (2.2) mâu thuẫn Nên tữ =s ữ = từ (2.1) (2.2) ta nhận x = y Định lí 2.3.2 Giả sử A toán tử u0 - lõm quy tác dụng không gian Banach thực E nửa thứ tự theo nón к œ E , nón к nón h - cực trị Khi đó, 46 Toán tử A có điểm bất động K(u0) 3*0, y0 e K ( u 0),x0 < y0, cho *0 < Ax0,Ayữ < yQ Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử X* e к (и0) điểm bất động toán tử A tập K(uữ) Ta chọn x0 = =X ứiì x0,y0 e K (u 0),x0 < y0, x0 < Ax0, Ay0 < y0 Điều kiện cần thỏa mãn Điều kiện đủ: Giả sử Ebc0,;y0 e K ị u ữ) cho J0[...]... t (hay sp th t b phn) theo nún nh ngha 1.1.6 Khụng gian Banach thc E cựng vúi quan h sp th t xỏc nh trong nh ngha 1.1.4 gi l khụng gian Banach thc na sp th t (hay sp th t b phn) theo nún ấ 1.1.2 Dóy n iu, cn trờn ỳng v cn di ỳng ca mt tp hp Cho khụng gian Banach thc E na sp th t theo nún E nh ngha 1.1.7 Dóy im (; )= ... nún h - cc tr thỡ K l nún chun tc 1.5 Cỏc khụng gian Banach na sp th t: M Ê 1.5.1 Khụng gian Banach thc na sp th t R 1.5.1.1 Khụng gian tuyn tớnh thc N Kớ hiu M \ k =1 y M cựng vi 2 phộp toỏn: x+ y = (*! + J 15JC2 + y2, ,xn + yn), a x = a x ,a x1, ,axn} trong ú l M M l khụng gian tuyn tớnh thc vi phn t khụng l 6 - (0,0, ,0) 1.5.1.2 Khụng gian nh chun thc Ta a vo khụng gian tuyn tớnh thc R chun... thỡ mõu thun vi iu kin iii, ca nh ngha 1.1.1 Do ú X = x = Suy ra quan h "< " cú tớnh cht phn i xng + V x , y , z e E , x < y v y < z thỡ y - x & K v z - y e K Do z - x = ( z ~ y ) + ( y - x ) e K nờn X u0 = 0, khụng ỳng gi thit Vy, - u 0 e K ( F ) Do ú K ( F ) l nún ong khụng gian nh chun E u nh ngha 1.1.4 8 Vi hai phn t X,y GE ta vit X < y (hoc y > *), nuy - x e K inh lớ 1.1.5 s Quan h " < " xỏc nh trong nh ngha 1.1.4 l mt quan h sp th t trờn khụng gian E Chng minh : + VxeE, x - x = g K nờn X < X => quan h "< " cú tớnh cht phn x + , &,< v J < ; thỡ y - x & K v... Vn,m > n0 H thc trờn chng t, dóy im (*)" l dóy c bn trong khụng gian Banach E , nờn limX = x e E trong khụng gian E 71 >00 Cho m >00 trong h thc (1.6), ta c ÊU0 < x n x < ÊU0, V n > n 0 => ||jcb jc|| < s , V ô > n0 , X Xn G E ^ v X = (X x) \ n J + x n e E w0 Vy Eu l khụng gian Banach theo u0 - chun 1.4.2 Nún h - cc tr v tớnh cht nh ngha 1.4.4 Nún K c gi l h - cc tr, nu vúi mi dóy im khụng gim (jt... jc[m)} V hn: l i m m>00 ) l dóy s thc c bn nờn tn ti gii m =1 = xk, \/k = l,n t X = xl,x2, ,xn), ta c dóy im hi t ieo ta túi X \ ) m=1 Nhng s hi t ong khụng gian M tng ng vi s hi t theo ta Do ú M l khụng gian Banach > Nún trong khụng gian Tphp ^ = jc = (jc.)"= eM 1,2, ,n)xj > o| (1.8) l nún h - cc tr v chun tc Chng minh: + Ta chng minh l mt nún trong Tht vy, ta cú ' nờn 0, hin nhiờn c= M... nờn chui ú hi t trong khụng gian E t u = + y n \ Z n = x v + x 2 + - + xn ( n = n=1 lỡ k , +i - z B|| = b +i|| = l,V n eN Suy ra (zn)_j khụng l dóy Cauchy ong khụng gian E Tc l ( zn) 1 khụng hi t Mt khỏc, dóy (z )_1 b chn bi phn t li Hn na, n z ^ z n+1, zn < Y ,{ xj + y j ) ^ u =1 ngha l, dóy (zn)_1 khụng gim v b chn trờn bi phn t u , nhng theo trờn dóy (z )_ khụng hi t, iu ny mõu thun vi tớnh cht... mt chun trờn R Khụng gian nh chun tng ng kớ hiu l 1.5.1. Khụng gian Banach thc na sp th t M M l khụng gian Banach thc vi chun (1.7) Tht vy, gi s dóy c bn 0 ,3 n 0 e N > n,0 x {m) - x {p) c s h a y j ( xớm) ~ xớp))2 n0, k = l , Suy ra: 22 Chng t vi mi k -... ti) ca mt tp hp l duy nht: Gi s wv w2 GE l cỏc cn di ỳng ca M Khi ú: 10 wv w2 Wj v X > w2 nờn theo nh ngha cn di ỳng thi w2>wl,wl >w2^ w 1- w 2 Vy cn di ỳng (nu tn ti) ca mt tp hp l duy nht 1.2 Quan h thụng c gia cỏc phn t Gi s E l khụng gian Banach thc na sp th t theo nún E nh ngha 1.2.1 Gi s X, y GE Phn t X c gi l thụng c vúi phn t y nu tn ti hai s dng a - a ( X, y),j3