B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI N G U Y ỄN VĂN TU Y ÊN cực Đ IỀ U K IỆ N T R Ị VÀ Ổ n Đ ỊN H T R O N G TỐ I Ư U V É C T Ơ VỚ I T H Ứ T ự S U Y R Ộ N G L U Ậ N Á N T IẾ N SĨ T O Á N HỌC HÀ NỘI - 2016 B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI N G U Y Ễ N VĂN TU Y Ê N cực Đ IỀ U K IỆ• N T R Ị• VÀ Ổ n Đ ỊN H • • T R O N G TỐ I Ư U V É C T Ơ V Ớ I T H Ứ T ự S U Y R Ộ N G C h u y ê n n g n h : T o n G iả i tíc h M ã số: 2.46.01.02 L U Ậ N Á N T IẾ N S ĩ T O Á N H Ọ C NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PG S TS N G U Y Ễ N Q U A N G H U Y HÀ NỘI - 2016 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Quang Huy Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Tác giả luận án N g u y ễ n V ăn T u y ê n Tóm tắt Luận án trình bày số kết điều kiện cực trị ổn định tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Luận án gồm chương Chương nghiên cứu số đặc trưng nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng như: mối quan hệ khái niệm nghiệm với khái niệm nghiệm cổ điển, tồn nghiệm số tính chất tôpô tập nghiệm Chương nghiên cứu điều kiện cực trị cho tối ưu theo thứ tự suy rộng Chương nghiên cứu tính chất ổn định tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối Các kết luận án bao gồm: 1) Đưa phân tích chi tiết khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng 3) Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng lớp toán tối ưu véctơ lồi 4) Một số tính chất tôpô tính đóng, tính trù m ật tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 5) Thiết lập điều kiện đủ cho hội tụ hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painleve tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục theo nghĩa Berge ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối A bstract This thesis presents some new results on the optimality conditions and the stability analysis in vector optimization with generalized order The thesis consists of three chapters Chapter investigates some characterizations of the optim al solution with generalized order optimal­ ity such as: compares this notion with the traditional notions, the exis­ tence solution and some topological properties of solution set C hapter establishes some optim ality conditions for vector optimization problems with generalized order The goal of Chapter is to deal with the stabil­ ity analysis of a vector optimization problem using the notion of relative Pareto efficiency The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the notion of generalized order optimality 2) Existence theorems in vector optimization with generalized order 3) Some criteria for the closedness and connectedness of the set of generalized order solutions and some sufficient optim ality conditions in convex vector optimization problems 4) Some topological properties of the relative Pareto efficient set 5) Some sufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence in the sense of Kuratowski-Painleve of the relative Pareto efficient sets; some criteria for the lower semicontinuity in the sense of Berge of the relative Pareto efficient point multifunction M ục lục M đầu T ín h c h ấ t tô p ô c ủ a t ậ p n g h iệ m tr o n g tố i u v é c tơ với t h ứ t ự su y rộ n g 1.1 Khái niệm nghiệm 14 1.2 Sự tồn n g h iệ m 24 1.2.1 1.3 13 Sự tồn điểm hữu hiệu suy rộng 24 1.2.2 Áp dụng cho toán tối ưuvéctơ 28 Tính chất tôpô tập n g h i ệ m 31 1.3.1 Tính đ ó n g 31 1.3.2 Tính liên t h ô n g 33 Đ iề u k iệ n tố i u cho b i to n tố i u v é c tơ với t h ứ t ự su y rộ n g 40 2.1 Một số kiến thức chuẩn b ị 40 2.2 Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộ n g 47 2.3 Các điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véctơ với thứ tự suy r ộ n g 56 2.3.1 Điều kiện cần cực t r ị 57 2.3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn c ụ c 59 2.3.3 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương 61 T ín h ổ n đ ịn h n g h iệ m c ủ a b i to n tố i u v é c tơ 65 3.1 Khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đ ố i 66 3.2 Sự hội tụ tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 76 3.3 Sự hội tụ tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 86 3.4 Tính nửa liên tục ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối K ế t lu ậ n 91 99 C ác c ô n g t r ìn h liên q u a n đ ế n lu ậ n n 101 T ài liệu th a m k h ả o 101 M ột số ký hiệu N tập số tự nhiên К tập số thực К := К u { io o } tập số thực mở rộng không gian Euclide n-chiều MỊ tập véctơ không âm K71 М” tập véctơ không dương K71 X* không gian đối ngẫu tôpô không gian X (x*,x) cặp đối ngẫu X* ||я;|| chuẩn véctơ Ox véctơ không gian X số 0, véctơ không gian cho trước F : X =4 Y ánh xạ đa trị từ X vào Y dom F miền xác định F gphF đồ thị F { x n}, (x n) dãy số thực, dãy véctơ Bx hình cầu đơn vị đóng X В hình cầu đơn vị đóng không gian định chuẩn cho X X trước Вр(ж), B(a;,p) B( x, p) hình cầu đóng tâm x : bán kính hình cầu mở tâm X, p bán kính p N{x) tập tấ t lân N tập tấ t lân cận cân điểm b {x ) cận điểm X X Lim sup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski Lim inf giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N ( x ] Í2) nón pháp tuyến Mordukhovich N ( x ] í]) nón pháp tuyến Frechet v /(x ) đạo hàm Frechet / df(x) vi phân Mordukhovich / X d°°f (x) vi phân suy biến / ôf(x) vi phân Frechet / X D*F(x,ỹ)(-) đối đạo hàm Frechet F (x , ỹ ) D*NF(x, ỹ)(-) Í2 Í2 X X X X đối đạo hàm Mordukhovich F (x , ỹ ) X X X X X € rỉ X X X —ì X f ( x ) —>• f ( x ) Oí -ị Oí Oí —y Oí va Oí ^ Oí A c B A tập B A n B giao hai tập hợp A A uB hợp hai tập A B A XB tích Descartes hai tập A B A\B hiệu hai tập A B A +B tổng véctơ hai tập A B int A phần tập hợp A ri A phần tương đối tập hợp A A, cl A bao đóng tập hợp A bd (A) biên tập hợp A Ac phần bù tập hợp aff (A) bao aphin tập hợp A conv (i4) bao lồi tập hợp A cone (A) bao nón tập hợp □ kết thúc chứng minh A A B Mở đầu Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay gọi Tối ưu đa mục tiêu (M ulticriteria optimization) hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị F Edgeworth (1881) V Pareto (1906) Cơ sở toán học lý thuyết không gian có thứ tự G Cantor đưa năm 1897, F Hausdorff năm 1906 ánh xạ đơn trị đa trị có giá trị không gian có thứ tự thỏa mãn tính chất Từ năm 1950 trở lại đây, sau công trình điều kiện cần đủ cho tối ưu H w Kuhn A w Tucker năm 1951, giá trị cân tối ưu Pareto G Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ thực công nhận ngành toán học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế Lúc đầu người ta nghiên cứu toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide sang không gian Euclide khác mà thứ tự sinh nón orthant dương Sau người ta mở rộng cho toán không gian có số chiều vô hạn với nón lồi Khái niệm điểm hữu hiệu tập hợp không gian có thứ tự sinh nón lồi đưa theo nhiều cách khác dựa vào tính chất tôpô, đại số nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu Pareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực s ự Nhiều nhà toán học có tên tuổi J M Borwein, M I Henig, J Jahn, D T L u c có đóng góp quan trọng tồn điểm hữu hiệu loại này, điều dẫn tới việc nghiên cứu lớp toán tối ưu khác Với p € Ui lấy yp e [z + (W, n w 2) n Ш (ơ)] n F{p) (3.33) Do tính nửa liên tục Hausdorff tương đối F Pcb ta suy tồn Ư2 € Af(po)i Ư2 С Ư1 , cho F(p) С F( p0) + [{Wĩ n W 2) n W ( C ) ] Vp € u (3.34) Trước hết, giả sử tồn и € Af(po), и с i/o, cho Ур e ĩZ(p) + Wi Vp G u (3.35) Với p € U\ П U : từ (3.33) (3.35) ta suy tồn wp £ Wi П w 2, rjp € 7£(p) Wp G W\ thỏa mãn yp = z + wp = ĩ)p + Wp Vì r)p = z + Wp — Wp e Z + Wi + Wi С z + w Điều có nghĩa (z + W) n Щр) \/p e Vx n Ũ Vì vậy, trường hợp (3.31) nghiệm với uw = Uị п и Tiếp theo, giả sử với и G M{pữ), и с u 2, tồn p € и cho Ур ị n ( p ) + (3.36) Kết hợp (3.36) với (3.32) ta có yp G [F(p) \ (7Z(p) + Wi)] Do (3.32), tồn rjp € 7£(p) Cp G с thỏa mãn Ур = щ + Cp, {Cp + Wo) n aff ( С ) С C (3.37) Từ (3.34) ĩ]p G 7í(p) С F(p) ta suy tồn z0 G F(po ) Wo G (Wi П w 2) П aff (ơ ) cho ъ = z0 + 1Ũ0 94 (3.38) Từ (3.33), ta suy tồn Wp G {W\ П w2)П aff (с ) thỏa mãn (3.39) cp + w - w p £ c p + [{Wi n w 2) n aff (ơ)] - [{W, n w 2) n aff (ơ)] С Cp + № С {cp + Đặt ко := Cp n aff (ơ)] + w 0) n [W2 n aff (C)] aff ( ) С С + w — Wp Ta k € r i Zq = z — &0- Vì F(Po) •"> (z ~ n ) Ф 0, mâu thuẫn với z € И{р0) □ Chú ý rằng, ^ ri С &0 € ri c , th ì k Ỷ 0- Từ z —k0 £; F(pQ) k Ф suy (z —k0) e F( pữ) n ( z —TÌ с ) Do đó, F( p 0) n ( z —С) ф {z} Vì vậy, cách thay 1Z T có kết sau Đ ịn h lý 3.8 Giả sử С ỉà nón lồi với ri (7 ф 0; ị r i ( RCP) cho cặp ( Fi J7) quanh Pq Nếu F r-H-usc r-ỉsc p0) T ỉsc Pq H ệ q u ả 3.6 (xem [11, Theorem 4]) Giả sử с nón lồi, nhọn với i n t 7^ (C P ) cho cặp ( F, T ) quanh p0 Nếu F H-usc ỉsc pữ, T ỉsc p0 N h ậ n x é t 3.10 (i) Định lý 3.7 mở rộng [11, Theorem 4] từ ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto đến ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối (ii) Chúng nhấn m ạnh thêm điều kiện nón с Định lý 3.8 yếu [11, Theorem 4] Hơn nữa, i n t Ỷ 0) Định lý 3.8 trở thành [11, Theorem 4] 95 V í d ụ 3.5 Lấy p = [0,1], z = R 2, c = M+ X {0} Cho F : p =4 M2 xác định sau F( p) = {{zl: z 2) I f ( z i ) < z < - Z i + 1} với p £ [0,1], V —t + p t < p p < t < —t + t > với t € K Với p € [0,1] ta có F( p) = {(Z1 >Z2) ị z = - z + p ì z < p} u {( zu z2) ị z = - Z i + l, Zi > 1} Dễ dàng kiểm tra tính (locCP) (xem [23, Definition 3.1]) không cho F quanh pQ = Chú ý F r-H-usc r-lsc at pQ Bằng tính toán trực tiếp tính (R C P ) cho (F, T ) quanh pữ Vì T lsc p0 Cuối cùng, nhắc lại kết gần Chuong, Yao Yen [23, Theorem 3.2] Bằng cách sử dụng cách tiếp cận Bednarczuk [11,13] đưa khái niệm gọi tính chất bao hàm địa phương, kí hiệu (locCP), tác giả nhận kết tính nửa liên tục ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto Trong [23], tác giả “nếu (C P ) cho cặp ( F:T ) quanh Pũ, (locCP) cho cặp (FjJ7) quanh điểm này” Tuy nhiên, tính chất (locCP) (R C P ) độc lập với Để thấy điều này, xét ví dụ sau V í d ụ 3.6 Cho (F, p, z , c ) Ví dụ 3.5 Dễ thấy (locCP) (xem [23, Definition 3.1]) không cho (F J7) quanh Po = Trong đó, (R C P ) cho ( F, T ) quanh điểm 96 V í d ụ 3.7 (xem [23, Example 3.5]) Lấy Cho F: p =4 K2 xác p= [0,1], z = M2, c = Mị định sau -F(0) = {{z \ , z2) I — Zị < z < —Zi + 2} F( p ) = { ( z u z2) I f ( z i ) < z < - Z + 2} với p € p \ {0}, -t +p t < — p- p — p- p- < t < —-p + - p —t t > p- + —pư với t € M Ta có ^■(0) = {{zu z2) I = - Zi } , { F( p) = \ {zl: z2) I 2:2 = -2?! + p, Zi < ^ p u j (zi, z2) I z = —Zi + , Z ì > - + - p V {' Dễ thấy (R C P ) cho ( F , T ) Po } = Tuy nhiên (R C P ) không cho cặp ( F, T ) điểm p £ p \ {0} Vì vậy, (R C P ) không cho ( F , T ) quanh PQ Trong đó, dễ ràng kiểm tra tính (locCP) cho (F, F ) quanh pữ Chúng ta để ý rằng, tính (locCP) (R C P ) độc lập với nhau, điều kiện nón c Định lý 3.8 yếu [23, Theorem 3.2] K ế t lu ậ n c ủ a C h n g Các kết chương bao gồm: - Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính trù m ật tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 97 - Thiết lập điều kiện đủ cho hội tụ hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painleve tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục theo nghĩa Berge ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối 98 K ết luận Các kết luận án bao gồm: Đưa phân tích chi tiết khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng lớp toán tối ưu véctơ lồi Một số tính chất tôpô tính đóng, tính trù m ật tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Thiết lập điều kiện đủ cho hội tụ hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painleve tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục theo nghĩa Berge ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu: Các điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng toán tối ưu véctơ không lồi Tính chất liên thông tập nghiệm toán tối ưu với thứ tự suy rộng 99 Các điều kiện cực trị bậc cao cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Các đặc trưng cần đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục tính giả Lipschitz ánh xạ nghiệm toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng có tham số 100 CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN Q UAN ĐEN luận án Tuyen, N V., Yen, N D.: On the concept of generalized order op­ timality, Nonlinear Anal 75 (2012), 1592-1601 Tuyen, N V., Some characterizations of solution sets of vector op­ tim ization problems with generalized order, Acta M ath Vietnam (2016), DOI 10.1007/s40306-015-0162-8 Huy, N Q., Kim, D s., Tuyen, N V.: Existence theorems in vector optimization with generalized order, Vietnam J M ath, (submited) Tuyen, N V., Convergence of the relative Pareto efficient sets, Tai­ wanese J Math, (submited) 101 Tài liệu tham khảo [1] Aubin, J P., Frankowska, H.: Set-Valued Analysis, Birkhàuser, Boston, Massachusetts, 1990 [2] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Relative Pareto minimizers for multiobjective problems: existence and optim ality conditions, Math Program 122 (2010), 101-138 [3] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Extended Pareto optimality in multiobjective problems, Chapter 13 of the book Recent Advances in Vector Optimization (Q H Ansari and J.-C Yao, eds.), 467-516, Springer, Berlin, 2011 [4] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Sufficient conditions for global weak Pareto solutions in multiobjective optimization, Positivity 16 (2012), 579-602 [5] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: To dual-space theory of set-valued optimization, Vietnam J M ath 40 (2012), 131-163 [6] Bao, T Q., Tammer, C.: Lagrange necessary conditions for Pareto minimizers in Asplund spaces and applications, Nonlinear Anal 75 (2012), 1089-1103 [7] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Necessary nondomination condi­ tions in set and vector optimization with variable ordering struc­ tures, J Optim Theory Appl 162 (2014), 350-370 102 [8] Bao, T Q., Mordukhovich, B S.: Sufficient optim ality conditions for global Pareto solutions to multiobjective problems with equilibrium constraints, J Nonlinear Convex Anal 15 (2014), 105-127 [9] Bao, T Q.: Subdifferential necessary conditions in set-valued op­ tim ization problems with equilibrium constraints, Optimization 63 (2014), 181-205 [10] Bao, T Q., Pattanaik, S R.: Necessary conditions for £e-minimizers in vector optimization with empty interior ordering sets, Optimiza­ tion (2014), DOI: 10.1080/02331934.2014.926358 [11] Bednarczuk, E M.: Berge-type theorems for vector optimization problems, Optimization 32 (1995), 373-384 [12] Bednarczuk, E M.: Some stability results for vector optimization problems in partially ordered topological vector, in: Proceedings of the First World Congress of Nonlinear Analysts, Volume III, 23712382, Tampa, Florida, 1996 [13] Bednarczuk, E M.: A note on lower semicontinuity of minimal points, Nonlinear Anal 50 (2002), 285-297 [14] Bednarczuk, E M.: Upper Holder continuity of minimal points, J Convex Anal (2002), 327-338 [15] Bednarczuk, E M.: Continuity of minimal points with applications to param etric multiple objective optimization, European J Oper Res 157 (2004), 59-67 [16] Bednarczuk, E M.: Stability analysis for parametric vector opti­ mization problems, Diss M ath 442 (2007) [17] Berge, C.: Topological Spaces, New York, 1963 103 [18] Bishop, E., Phelps, R.R.: The support functionals of a convex set, Proceedings of the Symposium in Pure M athematics, vol 7, Con­ vexity, Amer Math Soc., 27-35, 1963 [19] Borwein, J M.: On the Existence of Pareto Efficient Points, M ath Oper Res (1983), 64-73 [20] Borwein, J M., Lewis, A S.: Partially finite convex programming, P art I: Quasi relative interior and duality theory, M ath Program 57 (1992), 15-48 [21] Borwein, J M., Goebel, R.: Notions of relative interior in Banach spaces, J Math Sci 115 (2003), 2542-2553 [22] Chicco, M., Mignanego, F., Pusillo, L., Tijs, S.: Vector optimization problems via improvement sets, J Optim Theory Appl 150 (2011), 516 529 [23] Chuong, T D., Yao, J C., Yen, N D.: Further results on the lower semicontinuity of efficient point multifunctions, Pacific J Optim (2010), 405-422 [24] Dolecki, S., Malivert, C.: Stability of efficient sets: Continuity of mobile polarities, Nonlinear Anal 12 (1988), 1461-1486 [25] Dolecki, S., El Ghali, B.: Some old and new results on lower semi­ continuity of minimal points, Nonlinear Anal 39 (2000), 599-609 [26] Ferro, F.: An optimization result for set-valued mappings and a stability property in vector problems with constraints, J Optim Theory Appl 90 (1996), 63-77 [27] Ferro, F.: Optimization and Stability Results Through Cone Lower Semicontinuity, Set-Valued Anal (1997), 365-375 104 [28] Flores-Bazan F., Hernandez E., Novo V.: Characterizing efficiency w ithout linear structure: a unified approach, J Glob Optim 41 (2008), 42-60 [29] Gong, X.H.: Efficiency and Henig efficiency for vector equilibrium problems, J Optim Theory Appl 108 (2001), 139-154 [30] Gutierrez, C., Jimenez, B., Novo, V.: Improvement sets and vector optimization, European J Oper Res 223 (2012), 304-311 [31] Ha, T X D., Optim ality conditions for various efficient solutions involving coderivatives: from set-valued optimization problems to set-valued equilibrium problems, Nonlinear Anal 75 (2012), 13051323 [32] Henig, M I., The domination property in multicriteria optimization, J M ath Anal Appl 114 (1986), 16 [33] Holmes, R B.: Geometric Functional Analysis and Its Applications, Grad Texts in Math 24, Springer-Verlag, New York, 1975 [34] Huy, N Q., Mordukhovich, B S., Yao, J C.: Coderivatives of fron­ tier and solution maps in param etric multiobjective optimization, Taiwanese J Math 12 (2008), 2083-2111 [35] Huy, N Q., Kim, D S., Tuyen, N V.: Existence theorems in vector optimization with generalized order, Vietnam J M ath, (submited) [36] Huy, N Q., Tuyen, N V.: New second-order optim ality conditions for C 1,1 optimization problems, J Optim Theory Appl (submited) [37] Jahn, J.: Vector Optimization Theory, Application, and Extensions, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2004 105 [38] Kruger, A.Y., Mordukhovich, B.S.: Extrem al points and the Euler equation in nonsmooth optimization, Dokl Akad Nauk 24 (1980), 684-687 (in Russian) [39] Kruger, A Y.: Weak stationarity: eliminating the gap between nec­ essary and sufficient conditions, Optimization 53 (2004), 147-164 [40] Luc, D T.: Structure of the efficient point set, Proc Amer M ath Soc 95 (1985), 433-440 [41] Luc, D T.: Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Econom and Math Systems 319, Springer-Verlag, Berlin, Heidel­ berg, 1989 [42] Luc, D T.: An existence theorem in vector optimization, M ath Oper Res 14 (1989), 693-699 [43] Luc, D T.: Contractibility of Efficient Point Sets in Normed Spaces, Nonlinear Anal 15(1990), 527-535 [44] Luc, D T., Lucchetti, R., Malivert, C.: Convergence of the efficient sets, Set-Valued Anal (1994), 207-218 [45] Lucchetti, R., Miglierina, E.: Stability for convex vector optimiza­ tion problems, Optimization (2004), 517-528 [46] Makarov, E K., Rachkovski, N N.: Efficient sets of convex compacta are arcwise connected, J Optim Theory Appl 110 (2001), 159-172 [47] Miglierina, E., Molho, E.: Well-posedness and convexity in vector optimization, Math M ethods Oper Res 58 (2003), 375-385 [48] Miglierina, E., Molho, E.: Convergence of the minimal sets in convex vector optimization SIAM J Optim 15 (2005), 513-526 106 [49] Mordukhovich, B S.: Variational Analysis and Generalized Differ­ entiation,, Vol I: Basic Theory, Springer, Berlin, 2006 [50] Mordukhovich, B S.: Variational Analysis and Generalized Differ­ entiation,, Vol II: Applications, Springer, Berlin, 2006 [51] Mordukhovich, B S., Necessary and sufficient conditions for lin­ ear suboptim ality in constrained optimization, J Global Optim 40 (2008), 225-244 [52] Mordukhovich, B.S.: Methods of variational analysis in multiobjec­ tive optimization, Optim ization 58 (2009), 413-430 [53] Naccache, P H.: Stability in m ulticriteria optimization, J M ath Anal Appl 68 (1979), 441-453 [54] Pappalardo, M., Stocklin, W., Necessary optim ality conditions in nondifferentiable vector optimization, Optimization 50 (2001), 233 - 251 [55] Penot, J P., Sterna-Karwat, A.: Param etrized multicriteria opti­ mization: Continuity and closedness of optimal multifunction, J M ath Anal Appl., 120 (1986), 150-168 [56] Rockafellar, R T.: Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [57] Sawaragi, Y., Nakayama, H., Tanino, T.: Theory of Multiobjective Optimization, M athematics in Science and Engineering, 176 Aca­ demic Press, Inc., Orlando, FL, 1985 [58] Song, W.: A note on connectivity of efficient point sets, Arch M ath 65 (1995), 540-545 [59] Song, W.: Connectivity of efficient solution sets in vector optimiza­ tion of set-valued mappings, Optimization 39 (1997), 11 107 [60] Sonntag, Y., Zalinescu, C.: Set convergences: A survey and a clas­ sification, Set-Valued Anal (1994), 339-356 [61] Sonntag, Y., Zalinescu, C.: Comparison of existence results for effi­ cient points, J Optim Theory Appl 105 (2000), 161-198 [62] Stadler, W.: Initiators of multiobjective optimization In: Stadler, W (ed.) M ulticriteria Optimization in Engineering and in Sciences, pp 3-25 Series in M athem atical Concepts and M athem atics in Sci­ ence and Engineering 37 Plenum Press, New York (1988) [63] Stoer, J., Witzgall, C., Convexity and Optimization in Finite Di­ mensions /, Springer-Verlag, New York, 1970 [64] Sterna-Karwat, A.: On existence of cone-maximal points in real topological linear spaces, Israel J M ath 54 (1986), 33-41 [65] Tanino, T., Sawaragi, Y.: Stability of nondominated solutions in multicriteria decision-making, J Optim Theory Appl 30 (1980), 229 253 [66] Tolstonogov, A A.: Differential Inclusions in a Banach Space, Mathematics and Its Applications, vol 524, Kluwer Academic, Dor­ drecht, 2000 [67] Tuyen, N V., Yen, N D.: On the concept of generalized order opti­ mality, Nonlinear Anal 75 (2012), 1592-1601 [68] Tuyen, N V.: Some characterizations of solution sets of vector op­ tim ization problems with generalized order, Acta M ath Vietnam (2016), DOI 10.1007/s40306-015-0162-8 [69] Tuyen, N V.: Convergence of the relative Pareto efficient sets, Tai­ wanese J Math, (submited) 108 [...]... cu s tn ti nghim l mt trong nhng vn quan trng nht khi nghiờn cu cỏc bi toỏn quy hoch toỏn hc v cỏc bi toỏn ti u vộct S tn nghim ca bi toỏn ti u vộct trong cỏc khụng gian vụ hn chiu ó c nhiu tỏc gi quan tõm v nghiờn cu (xem [2,19,26 28,37,41,42,61,64,71,74] v cỏc ti liu trớch dn c trớch dn trong ú) Theo hiu bit ca chỳng tụi, hu ht cỏc kt qu v s tn ti nghim trong ti u vộct u c xột trong cỏc khụng gian... Stcklin [54] ó s dng o hm suy rng ca Dini - Hadam ard a ra mt s iu kin ti u cho nghim Pareto yu, trong trng hp hu hn chiu vi th t sinh bi mt nún li cú phn trong khỏc rng Vi cỏc khỏi nim c bn nh nún phỏp tuyn khụng li ca cỏc tp hp trong khụng gian Banach, di vi phõn khụng li ca cỏc hm s thc, i o hm Frechet v i o hm Mordukhovich ca ỏnh x a tr, sau 35 nm phỏt trin, lý thuyt vi phõn suy rng do Giỏo s B s... khỏi nim nghim c in trong ti u vộct nh nghim Pareto, nghim Pareto tng i (hay nghim ti u theo ngha Slater) (xem [50,67]) Cn nhn m nh rng, tp sinh th t â khụng nht thit l tp li hay l nún iu ny ỏp ng ũi hi ngy cng tng trong thc t v c trong lý thuyt ỏp dng ca ti u vộct; c bit l trong cỏc mụ hỡnh kinh t (xem [62]) Ngoi khớa cnh m rng phm vi ỏp dng ca cỏc khỏi nim nghim, nghim ti u theo th t suy rng cũn l mt... mt s kt qu v s tn ti nghim ti u theo th t suy rng Mc 1.3 kho sỏt mt s tớnh cht tụpụ (tớnh úng v tớnh liờn thụng) ca tp nghim ca bi toỏn ti u vộct theo th t suy rng Chng 2 nghiờn cu cỏc iu kin ti u cho bi toỏn ti u vộct vi th t suy rng Mc 2.1 nhc li mt s kin thc c s ca gii tớch bin phõn Cỏc kin thc ny l c s a ra cỏc iu kin ti u trong cỏc mc tip theo ca chng ny Trong Mc 2.2, bng cỏch tip cn trờn khụng... trỡnh by mt s c trng ca nghim ti u theo th t suy rng Mc 1.1 trỡnh by mt s tớnh cht ca nghim ti u theo th t suy rng v mi liờn h gia khỏi nim nghim ny vi cỏc khỏi nim nghim c in trong ti u vộct Mc 1.2 trỡnh by mt s kt qu v s tn ti nghim ti u theo th t suy rng Mc 1.3 kho sỏt mt s tớnh cht tụpụ (tớnh úng v tớnh liờn thụng) ca tp nghim ca bi toỏn ti u vộct theo th t suy rng Chng ny c vit trờn c s cỏc bi bỏo... + 9) Vỡ (1.4) â* nờn {z*,0) < 0 iu ny v (1.4) suy ra (z*,z) < , z ) , trỏi vi nh ngha ca Z Mnh ó c chng minh Mnh sau ch ra rng, nu A + 0 l mt tp li vi phn trong khỏc rng, thỡ mi im hu hiu suy rng ca tp A cng l im ta ca tp hp ny M n h 1.2 Cho A l mt tp con khỏc rng trong khụng gian Banach z , v â c z cha 0Z Gi s rng, A + 0 l mt tp li v cú phn trong khỏc rng Khi ú, GMin (A I 0 ) = lJ{A (z*)... thỡ iu kin UA + 0 cú phn trong khỏc rng>: trong Mnh 1.2 cú th b c H q u 1.1 Cho A l mt tp con khỏc rng trong v 0 l mt tp bt kỡ cha gc Nu A + 0 li, thỡ GMin (A I 0 ) = 1J{A 0( ^ ) \z* 0} Chỳ ý rng cỏc kt qu trờn khụng ũi hi rng 0 phi l mt nún vi â \ /(â) 0 H qu 1.1 l mt m rng ca [71, Lemma 4.5] t im hu hiu (xem nh ngha 1.3 bờn di) sang im hu hiu suy rng V ớ d 1.2 Trong K2, cho Ai = {z = (zu... (A + 0 ) n bd (A + 0 ) (1.9) T (1.9) v + 0 ta suy GMin {( + 0 ) I 0 ) = [{ + 0 ) n bd { + 0)] = A nbd (A + 0) = GMin ( \ ) Mnh c chng minh 19 Trong nh ngha 1.1 chỳng ta khụng ũi hi 0 l mt nún li v cng khụng ũi hi â phi cú phn trong khỏc rng Nu 0 l mt nún li vi vi ri â ^ 0, thỡ khỏi nim im hu hiu suy rng bao ph cỏc khỏi nim im hu hiu c in trong ti u vộct n h n g h a 1.2 Gi s 0 l mt nún... t suy rng (locally generalized optimal solution) ca F tng ng vi tp sinh th t â trờn r, nu z GMin (F(Q n u ) I â), vi u l mt lõn c n n o ú c a X Nu trong nh ngha 1.7 cú th ly u = X , thỡ (x, z) c gi l nghim ti u ton cc (hay nghim ti u) theo th t suy rng Tp t t c cỏc nghim ti u theo th t suy rng ca F tng ng vi 0 trờn r c kớ hiu l GS (ớ], F) Khi F = f : X ỡ z l mt ỏnh x n tr, chỳng ta b qua Z trong. .. món U n A n { z - G - z k) = Q V k e N, (1.2) thỡ Z c gi l mt im hu hiu a phng suy rng (local generalư ized efficient point) ca A tng ng vi 0 n h lý 1.1 Cho A mt tp con khỏc rng trong z v 0 c z cha 0z- Kh ú GMin (A I 0 ) = A n bd (A + 0 ) (1.3) Hn na, GMin ( I 0 ) úng nu úng trong z Chng minh Gi s Z l mt im hu hiu suy rng bt kỡ ca A tng ng vi 0 Khi ú, tn ti mt dóy {z\ c z vi ||zfe|| ằ 0 khi