B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI ===bdBIg8 === HONG TUYT NHUNG NH Lí GI TR TRUNG BèNH XP x V NG DNG Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS TRN VN BNG H NI, 2015 Li cm n Trong quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun vn, tỏc gi ó nhn c s ng viờn, giỳp ca bn bố, ng nghip, ngi thõn, cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Toỏn, cỏc thy, cụ phũng sau i hc v cỏc thy cụ trc tip ging dy Tụi xin c by t lũng bit n t t c mi ngi ó h tr tụi hon thnh Lun ny c bit, tụi xin cm n TS Trn Vn Bng, ngi thy ó nh hng v ch bo tn tỡnh tụi hon thnh Lun ny Tụi xin trõn trng cm n ! H Ni, 15 thỏng nm 2015 Tỏc gi H o n g T u yt N h u n g Li cam oan Tụi xin cam oan Lun ny l kt qu ca bn thõn tụi t c quỏ trỡnh hc v nghiờn cu, di s hng dn ca TS Trn Vn Bng v s giỳp ca cỏc thy, cụ khoa Toỏn trng HSP H ni v cỏc thy, cụ ó trc tip ging dy Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, hon thnh lun ny tụi ó tham kho mt s ti liu ó ghi phn ti liu tham kho Tụi xin khng nh kt qu ca ti n h lý giỏ tr tru n g b ỡn h x p x v ng d n g khụng cú s trựng lp vi kt qu ca cỏc ti khỏc H Ni, 15 thỏng nm 2015 Tỏc gi H o n g T u yt N h u n g M c lc B n g ký h iu M u M t s kin th c chun b 10 1.1 Mt s khỏi nim v khụng gian B a n a c h 10 1.2 Hm trờn khụng gian B a n a c h 12 1.3 Di vi phõn F r ộ c h e t 15 1.4 Quy tc tng m 19 1.5 Bt ng thc giỏ tr trung bỡnh a hng 28 n h lý giỏ tr tru n g bỡnh xp x v ng d n g 2.1 nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x 2.2 n g dng 30 30 33 2.2.1 Tớnh L ip s c h i t z 33 2.2.2 Tớnh n iu theo nún v tớnh n iu yu 2.2.3 Tớnh ta li v tớnh l i 36 2.2.4 Tớnh n iu cc i .39 K t lun Ti liu th a m kho 34 40 41 B n g kớ hiu R Rn R = M u {00 , + 00 } / : X -> R d o m (/) e p i(/) / ( 3) v (x\ v v E* int^4 A ,clA f / [x \ df(x) ng thng thc khụng gian Euclid n - chiu s thc suy rng ỏnh x i t X vo R hu hiu ca / trờn th ca / o hm ca / ti X gradient ca / ti X ma trn Hessian ca / ti X khụng gian liờn hp ca E phn ca bao úng ca A o hm Frộchet ca / ti X di vi phõn ca / ti X chun khụng gian Banach M u Lý chn t i Gii tớch khụng trn i nhng nm 70 ca th k 20 cỏc nh iu khin hc mun tỡm iu kin cn ti u cho bi toỏn vi d kin khụng trn, nh vi cỏc d kin Lipschitz hay vi cỏc d kin ch na liờn tc Cho ti ó cú khỏ nhiu khỏi nim o hm suy rng ó c a v thng c gi vi cỏi tờn di vi phõn nh: di vi phõn suy rng Clarke, di vi phõn Frechet, di vi phõn Mordukhovich, Cỏc o hm suy rng ú ó ỏp ng c phn no cỏc yờu cu t Tuy nhiờn cũn rt nhiu liờn quan ti chỳng cn c tip tc tỡm hiu v khai thỏc c bit l vic m rng cỏc kt qu ó bit i vi o hm c in sang cho cỏc o hm suy rng ny (xem [3], [4], [6], [7]) Cỏc nh lý giỏ tr trung bỡnh c in (nh lý Rolle, Lagrange, Cauchy) l nhng kt qu quan trng ca Gii tớch toỏn hc ú l nhng cõy cu kt ni cỏc tớnh cht ca hm s kh vi vi o hm Nm 1988, D Zagrodny [7] ó a mt kt qu m rng ca nh lý giỏ tr trung bỡnh cho cỏc hm khụng kh vi v gi l nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x Kt qu ú c coi l mt nhng cụng c then cht (theo ỏnh giỏ ca J.M Borwein v Q J Zhu [4]) cú vai trũ tng ng vi qui tc tng m v nguyờn lý cc tr, nghiờn cu cỏc hm khụng trn c s hng dn ca TS Trn Vn Bng, tụi ó chn ti nghiờn cu: n h lý giỏ tr tru n g b ỡn h xp x v ng d n g M c ớch n g h iờn cu Tỡm hiu v nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x v ng dng ca nú vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ca cỏc hm s khụng trn nh: tớnh Lipschitz, tớnh n iu, tớnh l i, N h i m v n g h iờn cu -Tỡm hiu v di vi phõn Frộchet v cỏc tớnh cht ca di vi phõn -Tỡm hiu v nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x -Tỡm hiu kh nng ng dng ca nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x i t n g v p h m v i n g h iờn cu - i tng: nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x v ng dng - Phm vi: Nghiờn cu lp hm na liờn tc di P h n g p h ỏp n g h iờn cu Tng hp kin thc thu thp c qua nhng ti liu liờn quan n ti, s dng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca gii tớch hm v gii tớch khụng trn D kin ún g gúp c a t i Trỡnh by mt cỏch h thng v khỏi nim di vi phõn Frộchet, ớnh lý giỏ tr trung bỡnh xp x v ng dng 10 Chng M t s kin th c chun b Trong chng ny ta s trỡnh by nhng khỏi nim c bn v khụng gian Banach, hm trờn khụng gian Banach, di vi phõn Frộchet, qui tc tng m v bt ng thc giỏ tr trung bỡnh a hng 1.1 M t s khỏi nim v khụng gian B anach Trong lun ny, núi ti khụng gian Banach chỳng ta luụn hiu ú l mt khụng gian Banach thc, thng kớ hiu l X , vi chun ||.||x hay n gin l ||.|| Cho X l khụng gian Banach Kớ hiu hỡnh cu n v (úng) v mt cu n v X ln lt l cỏc hp Bx := {x e X : ||a:|| < 1}, sx := {x e X : |x| = 1} V d 1.1 ([4]) Ta cú: Khụng gian tuyn tớnh R k vi chun ||;c|| = l3^ ) ! l khụng gian Banach Cho c l o c Lebesgue Khi ú khụng gian tuyn 11 tớnh L p(ớỡ) (1 < p < oo) t t c cỏc hm s thc o c X = x ( t ) trờn ớỡ cho f fỡ \x(t)\pdt < oo vi chun \\x\\ = ( f fỡ \ x t ) ^ dÊ^v l khụng gian Banach Khụng gian tuyn tớnh L(2) t t c cỏc hm s thc o c X = x t ) trờn cho esssup^ \x(t)\ < + 0 vi chun |x| = supn \x(t)\ l khụng gian Banach Khụng gian tuyn tớnh lp (1 < p < 00 ) t t c cỏc dóy s thc X = 00 / 00 \ /p (x(i)) cho chui hi t vi chun ||:c|| = ) i=1 i= l khụng gian Banach Khụng gian tuyn tớnh z t t c cỏc dóy s thc X = {x(i)) cho sup^c() < + 0 vi chun |:c| = supi |rc(i)I l khụng gian Banach Khụng gian tuyn tớnh C[a,b] cỏc hm thc liờn tc trờn mt on [a, 6] vi chun ||a:|| = m ax |a;(ớ)| l khụng gian Banach [a,ũ] Vi khụng gian nh chun X , kớ hiu X* l hp t t c cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn X v gi l khụng gian i ngu ca X Nu X* X * v X X thỡ giỏ tr ca X* ti X c kớ hiu l {x*,x} n h lý 1.2 ([1], nh lý 2.6, trang 78) Khụng gian i ngu X * ca khụng gian nh chun X vi chun xỏc nh bi x*\\ = sup x^O l mt khụng gian Banach 27 Do ú, g2{x2 + te 3k0) - g2( x 2) < / 2(2 + te 3fc0) - f 2{x2) = _ t ~ t Do m < n, nờn ợ/! + ie 3fco G F m, v a 3fc > nờn llợ/1 4- ớe 3fc011^ > |1H qu l 9\{?1 + f e 3fc) - f lip E i) < / i ( ^ + te 3fc0) - f i ( x ) < t ~ t ~ Chng t {x*2, e3feo) < - v { x \ , e zh) < Vy ||a;ỡ + x > Vớ d sau cho thy, iu kin v tớnh na liờn tc di u l cha cht V d 1.35 Cho X l mt khụng gian Banach vụ hn chiu v e X , = 1, , tha |ej| = v \\e ej 11 > / vi % j t o ^ +00 nu X = 0, nu X = nu trỏi li v (0 f 2(x) := { ^ +00 nu X = 0, nộu I = ^ ỡ , nu trỏi li, ú l = , , Khi ú ( / i, / 2) khụng na liờn tc di u a phng ti T h t vy, vi mi h > 0, gi l l mt s nguyờn dng nh nht cho y < h Ta cú = infxehB( / i + / 2) {x) -2 > lim inf { / i ( x i ) + f 2{x2) : ||xi - x 2\\ < T,XU X2 G h B } = J7-ằ0 I D thy rng D~ f i ( e / l ) = D ~ f 2((ei + e i / i ) / ) = X * nờn quy tc tng m a phng tha ti X = 1.5 B t ng th c giỏ tr trun g bỡnh a hng Kt qu ny ca Clarke v Ledyaev cho phộp ta ỏnh giỏ cỏc giỏ tr cc tr ca mt hm trờn cỏc hp Kớ hiu \x, Y ] l bao li ca {a;} u y, tc l [x, Y ] := { x + t( y - x) : t e [0,1], y e Y } v d ( Y , x) := inf { |a? - y\\ : y e Y } l khong cỏch t X ti Y Trc ht ta trỡnh by bt ng thc giỏ tr trung bỡnh a hng trng hp li n h lý 1.36 (Bt ng thc giỏ tr trung bỡnh a hng li, [4], nh lý 2.13) Cho X l khụng gian Banach, Y l li úng, khỏc rng ca X , X e X v f : X > K l mt hm li liờn tc Gi s f b chn di trờn [x, Y] v inf f ( y ) - f ( x ) > r yeY Khi ú, vi bt k Ê > 0, tn ti z E [x ,y ] v z* E d f ( z ) i di vi phõn li ca f ti z , cho r < {z*, y x) + ey x|| vi mi y E Y Hn na, ta cú th chn z tha 29 n h lý 1.37 (Bt ng thc giỏ tr trung bỡnh a hng, [4], nh lý 2.14) Cho Y l li úng, khỏc rng ca X ca khụng gian Banach X , X G X v f : X > R l mt hm na liờn tc di Gi s vi mt h > 0, / b chn di trờn [, Y] + h B v lim inf f ( y ) - f ( x ) > r ?j-ằ0 ytY +rBx Khi ú, vi bt k Ê > 0, tn ti z G [x,Y] + e B v z * G D ~ f ( z ) cho < {z*, ) + sy || vi mi E V Hn na, ta cú th chn z tha f ( z ) < lim inf f + \ r \ + Ê 7j->0 ytY+rỡBx 30 Chng n h lý giỏ tr tru n g bỡnh xp x v ng dng nh lý giỏ tr trung bỡnh i vi cỏc s kh vi thng c bit n vi cỏi tờn nh lý Lagrange õy l mt nhng kt qu cú nhiu ng dng c bit l vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm s i vi hm khụng kh vi, núi chung ta khụng cú nh lý giỏ tr trung bỡnh "chớnh xỏc" m ch cú mụ hỡnh "xp x" (xem [7]) Trong chng ny chỳng tụi tỡm hiu v mt nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x c trỡnh by [4] v ng dng ca nú trong vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm s Trong chng ny, chỳng ta luụn gi thit X l mt khụng gian Banach vi chun trn Frộchet 2.1 nh lý giỏ tr trun g bỡnh xp x tin theo dừi, chỳng ta nhc li nh lý giỏ tr trung bỡnh i vi hm s kh vi: n h lý 2.1 Cho uc X l li m, f : u > M l hm kh vi Khi 31 ú vi mi a,b E u, tn ti E (a, ) cho m - f { a ) = v / ( c ) ( a) Chng minh t g ( t ) = / ( ( t)a + tb), t E [0,1] Theo gi thit, hm g tha cỏc gi thit ca nh lý Lagrange i vi hm s mt bin s trờn on [0,1] nờn tn ti t E (0,1) g( ) - g{ ) = g'{t) hay /(& )-/(ô ) = v /(c ).(ũ -a ), ú = (1 to)a + tob G (a, ) Di õy l mt dng ca nh giỏ tr trung bỡnh xp x trỡnh by theo di vi phõn Frộchet n h lý 2.2 (nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x, [4], trang 27) Cho f : X R l mt hm na liờn tc di xỏc nh trờn X v cho a,b G X l hai im phõn bit vi f ( a ) < oo v gi r E l cho r < /(&) Khi ú tn ti G [a, b) v dóy s x n vi x n > c, f ( x n) > / ( c ) v X* G D~ f ( x n) cho (i) lim inf (x*n, c - x n) > n - Ơ 00 (ii) lim inf {x*n , b a) > r / ( a ) n>oo 32 Chng minh Ly V E X * cho ( v, a b) = r / (a) Khi ú g ( x ) := /( ) + ( v ,X) + ]() t cc tiu ti E [a, b) bi vỡ g(b) > (7(a) p dng quy tc tng m a phng ca nh lý 1.30, tn ti dóy s x n: yn, x*n, ( x n j ( x n)) -ằ {c,f(c)),x*n D ~ f ( x n), [a, 6] yn tha v y*n G iVF ([a, ], yn) cho IKII || - ợ/n || < l / n , ||i/*|| || - ợfoll < / n v I K + ợ/n + u ll < V n Khi ú ta thu c (i) mt cỏch trc tip thụng qua lim inf (*, x n ) = lim inf (* + V, ) ằ 71 ằ00 = lim inf { - * + v , c - y n) > ằ00 chng minh (ii) ta chỳ ý rng G [a, ) kộo theo y n G [a, ũ) vi n ln Khi ú ô + V, b - a) = (x*n + V, b - l\\ b \\ Chuyn qua gii hn ta c lim inf (x* + v , b a) = lim inf {x* + v , b - yn) n Ơ 00 n Ơ 00 = lim inf { - * , - ) n -to o |6-a| \\b-yn ajj > ||0 I Do ú lim inf (*, ) > ( v, a b) = f ( a) > Vy ta cú (ii) 33 N h n x ộ t 2.3 Bng cỏch chuyn qua dóy ta cú th thay gii hn di nh lý 2.2 bng gii hn 2.2 n g dng 2 T ớn h L ip sch itz Trc ht chỳng ta nhc li khỏi nim hm s Lipschitz n h n g h a 2.4 Hm s f : X > R c gi l liờn tc Lipschitz trờn X vi nu tn ti hng s L > cho vi mi x : y ta cú If ( y ) - { x )I < L\\y - x\\ i vi hm s kh vi, ta d dng suy t nh lý giỏ tr trung bỡnh (nh lý 2.1) mt iu kin hm s ú Lipschitz l: nu hm ú cú o hm vi chun b chn trờn thỡ hm ú liờn tc Lipschitz trờn u i vi hm khụng kh vi, ta cú th s dng nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x t c iu kin theo cỏch tng t n h lý 2.5 Cho X l mt li m cho d o m ( /) v L > Khi ú f l Lipschitz vi hng s Lipschitz L trờn v ch vi mi X G u , sup{|x*| : X* Ê D~ f ( x ) } < L Chng minh Phn ch l hin nhiờn Ta chng minh phn Gi a, b G u vi a G d o m (/) v a b, gi r G M cho r < /(&), v gi Ê > T nh lý 2.2 (ii) suy tn ti X G v X* G D f ( x ) cho r f ( a ) < (X*, b a) + Ê < L\\b a| + Ê 34 Vỡ < /(&) v Ê > l tựy ý, ta suy /(&) f { ) < L\\b o|| Do ú, f ( b ) < 00 Thay i vai trũ ca a v & ta cú th kt lun rng / l Lipschitz vi hng s Lipschitz L trờn u H qu 2.6 Cho X l mt m liờn thụng ng cho d o m ( /) Khi ú f l mt hm hng trờn v ch vi mi X Ê u, D~f ( x) {0} 2 T ớn h n i u th e o n ú n v tớn h n i u y u Trong mc ny chỳng ta cp ti hai kt qu v tớnh n iu theo nún v tớnh n iu yu ca hm n h n g h a 2.7 Tp X c gi l mt nún (vi nh ti 0) nu vi mi X & K , vi mi t > ta u cú t x E K Nu l mt nún thỡ ( K ) = ( - K ) l khụng gian tuyn tớnh nh nht nm v c gi l phn tuyn tớnh ca nún K Nu l mt nún, ú ta cú mt quan h th t tng phn trờn X theo nún xỏc nh bi X, y G X , X > y nu X y G hay y G X + V d 2.8 i) Trong R, = [0,+oo) l mt nún Quan h th t theo nún ny chớnh l quan h th t thụng thng trờn K ii) Trong R n, = { x = (xi, , x n) : Xi > 0, Vi = 1,2, , n } l mt nún v c gi l nún orthant dng 35 n h n g h a 2.9 Cho K l mt nún X Hm / : X > K c gi l K khụng tng nu vi mi x , y G X tha y G X + K ta u cú f{y) < {x) V d i) Khi X = M v K = [0, oo) thỡ khỏi nim K khụng tng trờn õy tr thnh khỏi nim hm khụng tng theo ngha thụng thng ii) Khi X = K v K l nún orthant dng thỡ hm f ( x ) = X \ + x l mt hm K khụng tng n h lý 2.11 ([4], trang 28) Cho K l mt nún X Nu vi mi X, D ~ f ( x ) c K ~ := {X* G X* : (x * , k ) < , VA; e K } thỡ / l X-khụng tng Chng minh Gi X, y e X cho f ( x ) < f ( y ) Theo nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x suy tn ti d o m ( /) v Do ú y X khụng thuc K e D~ f ( x ) vi {z*,y x} > Tip n l mt kt qu v tớnh n iu yu c rỳt tng t bng cỏch thay nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x bi bt ng thc giỏ tr trung bỡnh a hng n h lý 2 ([4], trang 28) Gi D l mt li, compact, khỏc rng ca X v cho f : X > M l mt hm na liờn tc di Gi s rng vi bt k u G X , u* G D ~ f ( u ) kộo theo miiideo (u * ,d } < Khi ú, vi 36 bt k X v bt k t > 0, ta cú m in f ( y ) < f ( x ) y ầ iX + t D Chng minh Nu f ( x ) = + 0 thỡ khụng cú gỡ chng minh Nu f ( x ) < + 0 ỏp dng bt ng thc giỏ tr trung bỡnh a hng vi Y := X + t D ta cú lim inf f(y) - f(x) = ^O y(zY-\-T)Bx f ( y ) - f ( x ) yx+ tD Chn bt k r < m m yx+w f ( y ) - f ( x ) nh lý 2.14 v Chý ý 2.14 (c) khng nh rng tn ti v D~ f ( z ) cho r < m in (z*, d) < deD Cho r > m m yex+tD f ( y ) f ( x ) ta cú iu phi chng minh 2 T ớn h t a l i v tớn h li n h n g h a 2.13 Hm / : X > c gi l ta li nu vi bt k X, y G d o m ( /) v z [X, y] ta cú f{z) < m ax { f { x ) J { y ) } Hm a tr F : X X* c gi l ta n iu nu X* e F ( x ) , y* E F ( y ) v (x*, y x) > =>- (y*, y x) > V d 2.14 i) Theo nh ngha, hm / l ta li nu vi mi x , y E d o m ( /) , giỏ tr ca hm / ti im bt kỡ nm gia X v y u khụng 37 vt quỏ c hai giỏ tr ca / ti hai u mỳt Do vy, d thy rng mi hm mt bin n iu u l hm ta li ii) Mi hm li u l hm ta li iii) Hm / : R ) M xỏc nh bi f ( x ) = lnổ l hm ta li (do hm ny n iu) nhng khụng l hm li Thc t / l mt hm lừm iv) Hin nhiờn nu hm a tr F : X > X* n iu F ta n iu T h t vy, theo nh ngha, F n iu nu vi mi X* E F ( x ) , y * E F( y ) ta cú (y* - x * , y - x) > nờn ( y * , y - x) > ( x * , y - X) T õy ta cú iu phi chng minh n h lý 2.15 ([4], trang 28) Nu D~ f l ta n iu thỡ f l ta li Chng minh Ta chng minh bng phn chng Gi s tn ti x , y , z Ê i X cho G [x , y ] v f ( z ) > m a x { f ( x ) , f ( y ) } p dng nh lý 2.2 vi a = X v b = z, tn ti cỏc dóy x n v x*n Ê D~ f ( x n) cho x n y X ầ [x, z), lim infn^oo (*, X x n) > v lim in f^ o o (*, z x) > Kt hp I\y x\\ vi X = X) ta cú \\z x\\ lim inf (x*n, y - x n) > n>00 (2.1) Gi G (0,1) cho = X + A(y x) v t zn := x n + (y x n ) Khi 38 ú zn > z Vỡ / l na liờn tc di, h thc (2.1) ta cú th chn mt s nguyờn n cho f ( z n) > f ( y ) v (x*n, y - x n) > ( 2 ) p dng nh lý 2.2 mt ln na vi a := y v b := z n, tn ti cỏc dóy y v y*k e D ~ f ( y k) cho y k -> e [y, zn), lim inffe^oo (y*k, - yk) > v lim inffc-Kx, (y*k, zn - y ) > Chỳ ý rng zn - y v x n - nm cựng hng ta thu c lim inf (y*k, x n - yk) > (2.3) k 00 Bi Vè Ê [x n, y ) bt ng thc (2.2) suy lim inf ( x *n , y k - x n) = ( x *n , - x n) > k oo (2.4) Bt ng thc (2.3) v (2.4) kộo theo vi ln, ta cú c (y, x n y) > v (*, x n) > 0, tc l D~ f khụng phi ta n iu, mõu thun Tip n l mt kt qu v tớnh li n h lý 2.16 ([4], trang 29) Nu D~ f l n iu thỡ f l li Chng minh Nu D~ f l n iu thỡ vi mi Ê X* toỏn t X > D~ f ( x ) + Ê = ~ + ( ) l n iu, ú ta n iu Theo nh lý 2.15, vi mi Ê G X*, hm ( / + Ê) l ta li iu ny tng ng vi tớnh li ca / 39 2 T ớn h n i u c c i nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x cng c dựng chng minh tớnh n iu cc i ca di gradient li ca hm na liờn tc di li n h n gh a 2.17 Hm a tr F : X > 2X c gi l n iu cc i nu th ca F khụng cha thc s th ca bt k hm a tr n iu no n h lý 2.18 ([4], trang 29) Cho f : X y M l mt hm na liờn tc di, chớnh thng Nu d o m / v D~ f l n iu thỡ D~ f n iu cc i Chng minh Ly E X v * G X* cho b* D~ f(b) Chỳng ta cn ch rng tn ti X Ê X v X* Ê D~ f ( x ) tha (X* b*, X ) < Ta thy rng D ~ ( f &*)(&) v ú b khụng l cc tiu ca f b*, tn ti a & X cho ( / b*)(a) < ( / b*)(b) Khi ú t nh lý 2.2 tn ti mt dóy x n hi t ti G [a, b) v x*n G D ~ f ( x n) cho := x*n - b* G D ~ - b*)(xn) tha lim in f^ o o (*, - x n) > v l i m i n f ^ ^ ( y * , b - ) > Suy lim inf (* &*,& x n) n - Ơ 00 > lim inf (y*n, b - ) + lim inf (y*n, - x n) n >00 - 11ỹ ~ n >00 lim T>00 b - a) + lim inf { y * , c - x n) > n >00 Ch cn t X := x n v X* := x*n vi n ln 40 K t lun Lun ny chỳng tụi ó tỡm hiu v trỡnh by mt cỏch h thng mt s ni dung chớnh sau: Di vi phõn Frộchet ca hm na liờn tc di trờn khụng gian Banach vi chun trn Frộchet Qui tc tng m a phng: Qui tc cho phộp chỳng ta ỏnh giỏ c ca di vi phõn Frộchet ca tng hai hm na liờn tc di nh lý giỏ tr trung bỡnh xp x v ng dng vic nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hm na liờn tc 41 Ti liu th am kho Ti liu tin g V it [1] Vn Lu (2000), Gii tớch Lipschitz, NXB Khoa hc v K thut, H ni [2] Hong Ty (2003),Hm thc v Gii tớch hm, NXB HQG H ni [3] Nguyn ụng Yờn (2007), Giỏo trỡnh Gii tớch a tr, NXB KH T nhiờn v Cụng ngh, H ni Ti liu tin g A nh [4] J M Borwein and Q J Zhu (1999), survey of subdifferential calư culus with applications , Nonlinear analysis: Theory, methods and apư plications, Vol 38, Issue [5] H.Brezis (2011), Functional analysis, Sobolev spaces and partial difư ferential equations, Springer [6] A Ya.Kruger(2003), On Frechet subdifferential, Journal of Mathermatical Sciences 9, pp.3325-3358 [...]... ytY+rìBx 30 Chương 2 Đ ịn h lý giá trị tru n g bình xấp xỉ và ứng dụng Định lý giá trị trung bình đối với các số khả vi thường được biết đến với cái tên định lý Lagrange Đây là một trong những kết quả có nhiều ứng dụng đặc biệt là trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số Đối với hàm không khả vi, nói chung ta không có định lý giá trị trung bình "chính xác" mà chỉ có mô hình "xấp xỉ" (xem [7]) Trong chương... tôi tìm hiểu về một định lý giá trị trung bình xấp xỉ được trình bày trong [4] và ứng dụng của nó trong trong việc nghiên cứu các tính chất của hàm số Trong chương này, chúng ta vẫn luôn giả thiết X là một không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet 2.1 Đ ịnh lý giá trị trun g bình xấp xỉ Để tiện theo dõi, chúng ta nhắc lại định lý giá trị trung bình đối với hàm số khả vi: Đ ịn h lý 2.1 Cho uc X là tập... f ( y ) Theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ suy ra tồn tại 2 € d o m ( /) và Do đó y — X không thuộc K e D~ f ( x ) với {z*,y — x} > 0 □ Tiếp đến là một kết quả về tính đơn điệu yếu được rút ra tương tự bằng cách thay định lý giá trị trung bình xấp xỉ bởi bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng Đ ị n h lý 2 1 2 ([4], trang 28) Gọi D là một tập con lồi, compact, khác rỗng của X và cho f : X —>•... ta có thể sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ để đạt được điều kiện đủ theo cách tương tự Đ ị n h lý 2.5 Cho и С X là một tập lồi mở sao cho и П d o m ( /) ị 0 và L > 0 Khi đó f là Lipschitz với hằng số Lipschitz L trên и khi và chỉ khi với mọi X G u , sup{Ị|x*Ị| : X* £ D~ f ( x ) } < L Chứng minh Phần “chỉ khi” là hiển nhiên Ta chứng minh phần ”khi” Gọi a, b G u với a G d o m (/) và a Ỷ b, gọi... các ứng dụng Kết luận (1.2) cho ta điểm tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới Trong các ứng dụng, điều này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm x n Ta sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau V í d ụ 1.27 (Tính trù m ật của tập các điểm dưới khả vi) Cho / : X —> K là một hàm nửa liên tục dưới, X €E d o m / và £ €E (0,1) Áp dụng Định lý 21 2.1 đối với /1 = / + àx+Bx và. .. thứ c giá trị trun g bình đa hướng Kết quả này của Clarke và Ledyaev cho phép ta đánh giá các giá trị cực trị của một hàm trên các tập hợp Kí hiệu \x, Y ] là bao lồi của {a;} u y, tức là [x, Y ] := { x + t( y - x) : t e [0,1], y e Y } và d ( Y , x) := inf { |Ịa? - y\\ : y e Y } là khoảng cách từ X tới Y Trước hết ta trình bày bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng trong trường hợp lồi Đ ị n h lý 1.36... 2.2 (Định lý giá trị trung bình xấp xỉ, [4], trang 27) Cho f : X R là một hàm nửa liên tục dưới xác định trên X và cho a,b G X là hai điểm phân biệt với f ( a ) < oo và gọi r E l sao cho r < /(&)■ Khi đó tồn tại с G [a, b) và dãy số x n với x n —> c, f ( x n) —> / ( c ) và X* G D~ f ( x n) sao cho (i) lim inf (x*n, c - x n) > 0 n - ¥ 00 (ii) lim inf {x*n , b — a) > r — / ( a ) n—>oo 32 Chứng minh... bất kỳ X và bất kỳ t > 0, ta có m in f ( y ) < f ( x ) y Ç iX + t D Chứng minh Nếu f ( x ) = + 0 0 thì không có gì để chứng minh Nếu f ( x ) < + 0 0 áp dụng bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng với Y := X + t D ta có lim inf f(y) - f(x) = ĨỊ—^O y(zY-\-T)Bx min f ( y ) - f ( x ) y€x+ tD Chọn bất kỳ r < m m y€x+w f ( y ) - f ( x ) Định lý 2.14 và Chý ý 2.14 (c) khẳng định rằng tồn tại 2 và € D~... Chứng minh Đặt g ( t ) = / ( ( 1 —t)a + tb), t E [0,1] Theo giả thiết, hàm g thỏa mãn các giả thiết của định lý Lagrange đối với hàm số một biến số trên đoạn [0,1] nên tồn tại t ữ E (0,1) để g( 1 ) - g{ 0 ) = g'{tữ) hay /(& )-/(« ) = v /(c ).(ò -a ), trong đó с = (1 — to)a + tob G (a, ồ) □ Dưới đây là một dạng của định giá trị trung bình xấp xỉ trình bày theo dưới vi phân Fréchet Đ ị n h lý 2.2 (Định. .. dưới trong Định lý 2.2 bằng giới hạn 2.2 ứ n g dụng 2 2 1 T ín h L ip sch itz Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm hàm số Lipschitz Đ ị n h n g h ĩ a 2.4 Hàm số f : X —> R được gọi là liên tục Lipschitz trên tập и С X với nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x : y € и ta có If ( y ) - ỉ { x )I < L\\y - x\\ Đối với hàm số khả vi, ta dễ dàng suy ra từ định lý giá trị trung bình (Định lý 2.1) một