I TÊN SÁNG KIẾN PHÉP ĐỒNG DẠNG VÀ HÌNH VUÔNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG II CÁC TÁC GIẢ CỦA SÁNG KIẾN Đỗ Thị Bích Thảo Chức danh: Tổ trưởng tổ Toán - Tin trường THPT Nho Quan B Học vị: cử nhân toán Địa chỉ: trường THPT Nho Quan B Hòm thư điện tử: toantinnqb@gmail.com Số điện thoại: 0975805618 Nguyễn Văn Sáng Chức danh: giáo viên Học vị: cử nhân toán Địa chỉ: trường THPT Nho Quan B Hòm thư điện tử: quangsang19@gmail.com Số điện thoại: 0947378873 III NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN Thực trạng giải pháp cũ thường làm- hạn chế giải pháp cũ 1.1 Thực trạng Các toán hình học giải tích Oxy đề thi THPT Quốc gia câu hỏi khó mang tính phân loại cao có xu hướng khai thác sâu Để giải toán học sinh phải nắm kiến thức phương pháp tọa độ mặt phẳng, tính chất học vận dụng linh hoạt phương pháp, công cụ khác để giải toán Trên thực tế học sinh trường THPT Nho Quan B trải qua trình học tập rèn luyện từ lớp 10 đến lớp 12 có học sinh giải thành thạo toán đề thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp trường tỉnh Nguyên nhân sâu xa vấn đề nằm việc kết hợp nhiều kiến thức hình học phẳng vào toán, vận dụng cách khéo léo phương pháp công cụ để giải toán 1.2 Giải pháp cũ thường làm Trong chương trình hình học lớp 10, nội dung phương pháp tọa độ mặt phẳng giải vấn đề đường thẳng, đường tròn, elip,… để đáp ứng toán thực tế, đề thi, diễn đàn,… kiến thức mở đầu, đòi hỏi người học phải tìm hiểu sâu nữa, nắm bắt nhiều kiến thức, kỹ năng, phương pháp công cụ hoàn thành toán cách thục Một số toán khó đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng, khả vận dụng cao như: phán đoán tính chất, chứng minh tính chất giải toán Điều đòi hỏi học sinh phải có kỹ vẽ hình, cảm nhận hình phán đoán xác, có kiến thức sâu học học để chứng minh giải vấn đề Ở khâu giải vấn đề (chứng minh tính chất) nhiều học sinh nhất sử dụng hình học túy đề chứng minh, điều đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc, kỹ phân tích hình học phải tốt, dẫn đến nhiều khó khăn Ví dụ toán sau: (khối A - 2012) Cho hình vuông ABCD,  11  ; ÷là trung điểm BC, N điểm thuộc cạnh CD cho CN = 2ND,  2 M phương trình AN: 2x - y - = Tìm tọa độ điểm A Phương pháp giải đáp án sau: + Gọi H = AN ∩ BD Chưng minh AH A B vuông góc với HM + Tìm A ∈ AN, tìm AM = 10 , từ M suy điểm A D N C Vấn đề đặt học sinh có phát mối quan hệ điểm A, H M cách đơn giản hay không? Nếu phát giải vấn đề nào? Hiện có nhiều phương pháp để giải vấn đề điểm A, H M như: sử dụng tính chất vectơ, tọa độ hóa, túy hình học phẳng, đại số hóa công cụ hệ thức lượng tam giác đường tròn,… Nhưng khó chỗ phát điểm H 1.3 Hạn chế phương pháp cũ Với toán hình vuông xuất nhiều tập, đề thi đơn giản có tính đối xứng cao nên xuất nhiều tính chất ẩn Người đề xuất phát từ tính chất dễ dàng toán khó cho học sinh Mà điều nói việc phát chứng minh tính chất không dễ dàng Khi thực phương pháp cũ, học sinh bắt buộc phải thực bước sau: Bước 1: vẽ hình (chính xác) Bước 2: + Phân tích đề - kiện, định hướng lời giải; + Phán đoán tính chất: có sẵn (nhìn thấy) phải dựng thêm hình (như ví dụ trên); Bước 3: chứng minh tính chất (bước khó nhất) Ở bước học sinh phải thục phương pháp, công cụ nêu trên; Bước 4: tiến hình giải toán theo tính chất chứng minh; Bước 5: loại nghiệm, kết luận Qua đó, thực tế dạy học thấy, hình vuông việc làm theo bước túy tạo nhiều khó khăn cho em, bước 2, bước có tính chất định cho toán Đôi lúc em nản toán không giải Những giải pháp yêu điểm giải pháp 2.1 Những nội dung giải pháp Thay gắn hệ trục vào hình đề bài, ta dựng hình vuông đồng dạng với hình cho Hình tọa độ hóa cụ thể, ta gọi hình sở Do ta giả sử hình vuông ABCD : A’B’C’D’ Khi ta có tỉ số đồng dạng: k = AB CD MA = = = = A'B' C'D' M'A' Khi tìm tỉ số đồng dạng, ta suy độ dài cạnh hình vuông Dựa vào giả thiết ta tìm tọa độ đỉnh cần tìm Ngoài từ hình vuông sở ta xác định góc, từ chứng minh tính chất vuông góc, số đo góc,… Vì qua phép đồng dạng biến góc thành góc với  11  ; ÷là trung điểm  2 Ví dụ 1: (khối A - 2012) Cho hình vuông ABCD, M  BC, N điểm thuộc cạnh CD cho CN = 2ND, phương trình AN: 2x - y - = Tìm tọa độ điểm A Phân tích: Bài toán cho điểm M cố định trung điểm BC, điểm N đặc biệt thỏa mãn CN = 2ND; Có thể tính khoảng cách từ M đến AN Như xét hình vuông sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông cho, điểm hình vuông biến thành điểm tương ứng Khi xác định khoảng cách từ M’ đến A’N’ Vì hai hình vuông đồng dạng nên có tỉ số đồng dạng k = d ( M, AN ) AB = , từ suy A ' B ' d ( M ', A ' N ' ) độ dài cạnh hình vuông Dựa vào giả thiết ban đầu ta tìm điểm A cách nhanh chóng Lời giải: Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y A B B'(1;1) A'(0;1) ( ) M' 1; D'(0;0) ( ) N' ;0 M x C'(1;0) D Phương trình A’N’: 3x + y - = Suy d ( M ', A ' N ' ) = Mà d ( M, AN ) = C N 10 15 Do hai hình vuông đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với theo tỉ số k = d ( M, AN ) AB = = ⇒ AB = 2A ' B ' = , BM = A ' B ' d ( M ', A ' N ' ) 3 10 AB = ⇒ AM = 2 Điểm A nằm AN: 2x - y - = nên A(t; 2t - 3), AM = 10 ⇔  t = t =  Vậy có hai điểm A(1; -1) A(4; 5) 2.2 Những ưu điểm giải pháp Giải pháp giúp học sinh giảm bớt gánh nặng phải phán đoán, tìm tòi tính chất chứng minh Điều nói khó khăn, học sinh thực Nếu phải chứng minh tính chất bước ta hoàn toàn áp dụng phương pháp để chúng minh cách nhanh chóng Khi tiếp cận phương pháp học sinh dễ dàng tự chủ động tìm tòi lời giải độc lập không máy móc dựa vào việc chứng minh tính chất cách khó khăn; Ở ví dụ nêu trên: để giảm tải bớt khó khăn việc tìm điểm H, phán đoán tính chất vuông góc, ta chuyển toán việc tìm độ dài cạnh hình vuông để tìm điểm A theo yêu cầu toán Cụ thể, biết độ dài hình vuông, ta suy AM suy điểm A cách nhanh chóng không thời gian tìm hiểu tính chất IV HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC Hiệu kinh tế Học sinh sử dụng nhiều tài liệu, kết hợp nhiều phươp pháp, không nhiều thời gian để giải toán hình vuông Từ áp lực kinh tế không vấn đề quan trọng Giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận cách nhanh chóng, không nhiều thời gian, công sức Giúp học giảm thời gian đầu tư cho việc học thêm tràn lan Hiệu xã hội Sáng kiến mang tính thực tiễn cao, kiến thức phù hợp cho học sinh Trung bình khá, giỏi Phù hợp cho giáo viên tham khảo áp dụng vào thực tế giảng dạy Giúp giải nhanh chóng toán hình vuông thi THPT quốc gia năm gần đây; Đề tài trải qua thực tế giảng dạy nhóm tác giả, đồng môn trường THPT Nho Quan B việc ôn thi THPT Quốc gia ôn thi học sinh giỏi bước đầu đạt hiệu cao; V ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài mà nhóm tác giả trình bày dễ dàng áp dụng thực tế, phù hợp với giáo viên học sinh THPT Kiến thức đề tài nằm hoàn toàn chương trình hình học lớp 10, đầu năm lớp 11 nên dễ dàng cho học sinh tiếp cận, giải vến đề Phù hợp với nhiều đối tượng VI NỘI DUNG CỦA GIẢI PHÁP Phần A: Kiến thức liên quan đề tài Phương pháp tọa độ mặt phẳng, SGK hình học lớp 10 hành; Phép dời hình phép đồng dạng, chương I SGK hình học 11 hành Phần B: Một số nguyên tắc trình tìm lời giải toán Hướng nhận định ban đầu: Dựa vào giả thiết toán hình vuông, phân tích tìm mối liên hệ yếu tố biết Xác định điểm cố định (hay không cố định) vị trí đặc biệt (hay không đặc biệt), tìm yếu tố khoảng cách, góc có sẵn (hoặc tính toán đơn giản) Nguyên tắc thực Vẽ mô tả hình học giả thiết Xét hình vuông sở (có tọa độ cố định), hình vuông đồng dạng với hình vuông đề Tìm mối quan hệ góc, khoảng cách xây dựng cách giải cụ thể Phần C: Một số kiến thức thường dùng Tính chất hình học học * Phép đồng dạng tỉ số k: + Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm ấy; + Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; + Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc nó; + Biến đường tròn thành đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính kR * Nhận xét: Hai hình vuông đồng dạng với Kiến thức hình học dạng tọa độ Lập phương trình đường thẳng qua điểm biết vtcp, vtpt; song song vuông góc với đường thẳng cho trước, biết góc hai đường, khoảng cách,… Bài toán tìm điểm bản: tìm giao điểm hai đường thẳng, điểm hình chiếu, điểm đối xứng,… Bài toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, góc hai đường thẳng: Bài toán vectơ: tích vô hướng, góc hai vectơ, độ dài vectơ Phần D: Mô tả trình thực nội dung xây dựng hoạt động học tập học sinh toán hình giải tích gắn với nội dung hình học Bước 1: vẽ hình Bước 2: phân tích hình vẽ, tìm yếu tố: khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách hai điểm, góc hai đường thẳng,… Bước 3: Xây dựng hình vuông sở (có tọa độ cụ thể) đồng dạng với hình vuông cho Các điểm biến thành điểm tương ứng hình vuông sở Bước 4: Tìm tỉ số đồng dạng xác định góc hai đường thẳng (quy góc hai vectơ) Bước 5: Chuyển toán ban đầu, giải toán Phần E: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Hình vuông có điểm hình xác định rõ tỉ lệ Ta tạm gọi hình vuông có điểm nằm cạnh có vị trí cụ thể có tỉ lệ cho trước Ví dụ Cho hình vuông ABCD có A(1;1), điểm M thuộc CD cho DM = 2CM Biết phương trình cạnh BM: x + 3y - 19 = Tìm tọa độ đỉnh C hình vuông biết C thuộc d: x - y = Phân tích: Bài toán cho điểm A điểm M có tỉ lệ nằm CD phương trình BM Dó ta hoàn toàn tính khoảng cách từ A đến BM, cách xét hình vuông sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông cho ta tìm cạnh hình vuông Bài giải: Ta có: d ( A, BM ) = 15 10 Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y B A B'(1;1) A'(0;1) D ( ) D'(0;0) M M' C Phương trình B’M’: 3x - y - = Suy ra: d ( A ', B'M ') = ;0 x C'(1;0) 10 Do hai hình vuông đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với theo tỉ số k = d ( A, BM ) AB = = ⇒ AB = 5A 'B' = ⇒ AC = A 'B' d ( A ', B'M ' )  c = −4 c = Khi gọi C(c,c)∈ d : x − y = Mà AC = ⇒  Vậy có hai điểm C(-4; 4) C(6; 6) Bình luận: toán mà điểm M thuộc CD có tỉ lệ cho trước, biết điểm đường thẳng cố định cho trước Ví dụ (Nho Quan B - 2016) Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M đối xứng với B qua C Từ D, C kẻ đường vuông góc với AM cắt AM P Q Biết Q(-1; 0), đường thẳng qua P tâm I hình vuông có phương trình d: x - y - = điểm P có hoành độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình vuông Phân tích: Hướng 1: giả thiết cho đường thẳng PI với P có vị trí cố định, I đặc biệt điểm Q cố định cho trước Do tính khoảng cách từ Q đến PI Nhưng xét hình vuông sở liệu có tìm P’ Q’ không? Câu trả lời có, lập phương trình A’M’, tìm hình chiếu C’ D’ Q’ P’ A’M’ Do tính khoảng cách từ Q’ đến P’I’ Cuối tìm tỉ số đồng dạng tìm độ dài PQ dựa vào tỉ số đồng dạng Hướng 2: quan sát thấy PI trung trực DQ Khi ta hoàn toàn chứng minh điều từ hình vuông sở Bài giải 1: (theo hướng 1) Ta có d ( Q,PI ) = Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y B A P A'(0;1) B'(1;1) P' Q ( ) I' D C M 1 ; 2 Q' x D'(0;0) C'(1;0) M'(2;0) Phương trình A’M’: x + 2y - = Đường thẳng qua D’ vuông góc với A’M’: 2x - y = Khi P’ giao điểm A’M’ đường thẳng trên, có tọa  x=   x + 2y − =  2 4 ⇔ ⇒ P ' ; ÷ độ nghiệm hệ:  5 5 2x − y = y =   10 Đường thẳng qua C’ vuông góc với A’M’ cắt A’M’ Q’ có phương trình:   2x - y - = Suy Q’  ; ÷ 5   Phương trình P’I’: 3x + y - = Ta có: d ( Q ', P 'I ' ) = 10 Do hai hình vuông đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với theo tỉ số k = d ( Q, PI ) AB = = ⇒ AB = 5A 'B' = A 'B' d ( Q ', P 'I ' ) Dễ dàng tính PQ = ⇒ P(3;0) Từ ta tìm M(-5;0) Tiếp tục ta tìm A(5;0), B(1;2), C(-1;-2), D(3;-4) Bài giải 2: (theo hướng 2) Bài toán xoay quanh điểm P, I Q Như hoàn toàn cho ta gợi ý: phải tìm mối liên hệ điểm này, quan hệ vuông góc, quan hệ tạo góc,… Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ Phương trình A’M’: x + 2y - = Đường thẳng qua D’ vuông góc với A’M’: 2x - y = Khi P’ giao điểm A’M’ đường thẳng trên, có tọa  x =   x + 2y − =  2 4 ⇔ ⇒ P ' ; ÷ độ nghiệm hệ:  5 5 2x − y = y =   Đường thẳng qua C’ vuông góc với A’M’ cắt A’M’ Q’ có phương   trình: 2x - y - = Suy Q’  ; ÷ 5   P 'Q ' = P 'D ' Khi dễ dàng thấy  uuur uuuuur nên P’I’ đường trung trực D’Q’ P 'I '.D 'Q ' = Do hai hình vuông đồng dạng nên ta suy PI đường trung trực DP Từ dễ dàng viết phương trình DQ, tìm giao điểm J = DQ ∩ PI Suy điểm D(3;-4) uuu r uuu r Mặt khác PD.PQ = ⇒ P(3;0) , suy điểm M(-5; 0), từ suy C(-1;-2) Tiếp tục ta tìm điểm lại cách dễ dàng Bình luận: Như qua ví dụ ta thấy việc sử dụn tính chất phép đồng dạng với nhận xét hai hình vuông đồng dạng giúp ta giải toán cách nhanh chóng Ngoài ta dùng hình vuông sở để chứng minh tính vuông góc, xác định góc hai đường 11 Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, đỉnh A(-1;2) Gọi N  19  ; − ÷ hình chiếu vuông góc B lên CN  5 trung điểm AD, điểm H  Xác định tọa độ đỉnh lại hình vuông, biết trung điểm M BC nằm đường thẳng x + 2y + = Phân tích: ta suy luận toán theo hai hướng sau Hướng 1: Rõ ràng toán cho biết điểm cố định A H hình chiếu B lên CN, N cho trước vị trí trung điểm AD Như lầm bì toán theo cách hình vuông sở A’B’C’D’ đồng dạng với ABCD ta hoàn toàn tìm H’ Do tính A’H’ tìm tỉ số đồng dạng Suy độ dài cạnh tính AM, tìm điểm M Hướng 2: ta thấy toán xoay quanh điểm A, H, M trực quan thấy AH vuông góc với HM Ta chứng minh điều hình vuông sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông cho ABCD Bài giải: Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y A B I B'(1;1) A'(0;1) N M N' ( ) 0; ( ) M' 1; H H' C D D'(0;0) x C'(1;0) Phương trình C’N’: x + 2y - = H’ hình chiếu B’ lên C’N’ nên có tọa   độ H '  ; ÷ 5 5 Lúc ta có hướng giải toán: Hướng 1: tính độ dài AH = 6, A’H’ = Do hai hình vuông đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với nên suy tỉ số đồng dạng k = AB AH = = ⇒ AB = A 'B' A 'H ' Suy ra: AM = AB2 + BM = Điểm M thuộc đường thẳng x + 2y + = nên từ suy điểm M Tương tự ta tìm điểm hình vuông 12 Hướng 2: Để ý thấy toán xoay quanh điểm H, A, M nên ta xét: uuuuur   uuuuur   uuuuur uuuuur A 'H ' =  ; − ÷, M 'H ' =  − ; − ÷⇒ A 'H '.M 'H ' = nên A’H’ ⊥ M’H’ 5 5  10  Do hai hình vuông đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với nên suy AH ⊥ MH Từ viết phương trình HM, suy tọa độ điểm M(2;-4) Do CH//AM nên CH: 2x + y - = Gọi N trung điểm AD, N thuộc CH AN ⊥ MN từ suy N(2;2) Suy D(5;2), B(-1; -4), C(5;-4) Bình luận: toán theo hai hướng đơn giản, dễ dàng khai thác ví dụ Ví dụ Trong hệ trục Oxy cho hình vuông ABCD, có điểm N(1; 2) trung điểm BC, trung tuyến kẻ từ A tam giác AND có phương trình d: 5x - y + = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông Phân tích: Giả thiết cho điểm N cố định có vị trí cho trước, đường trung tuyến kẻ từ A tam giác AND cho trước Vậy ta tính khoảng cách từ N đến đường trung tuyến Trong hình vuông sở ta viết đường trung tuyến tam giác A’N’D’ cách dễ dàng, tính khoảng cách từ N’ đến đường trung tuyến Bài giải: Hướng 1: dùng hình vuông đồng dạng Ta có d ( N,d ) = 26 Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ 13 y A B I A'(0;1) B'(1;1) M ( ) N' 1; C D x D'(0;0) C'(1;0) d Phương trình đường trung tuyến hạ từ A’ tam giác A’D’N’ d’: 3x + 2y - = Ta có: d ( N ',d ' ) = 13 Do hai hình vuông đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng với nên suy tỉ số đồng dạng k = Suy ra: AN = d ( N,d ) AB 2 = = ⇒ AB = A 'B' d ( N ',d ' ) 2 10 Vì A thuộc d nên A(a, 5a + 1), từ có phương trình AN = 10 Tìm A Từ tìm tọa độ đỉnh lại hình vuông Ví dụ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi F điểm cạnh AB thỏa mãn: 7BF = 5FA, đường thẳng qua trung điểm E cạnh AD trọng tâm G tam giác ABC có phương trình 11x - 7y + = 0, F  13   − ; ÷, điểm B có hoành độ âm Tìm tọa độ đỉnh hình vuông   Bài giải: Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh 12 Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ 14 y C D I D'(12;12) C'(0;12) I I' E E'(12;6) G G'(4;4) J J' L B F L' A B'(0;0) F'(5;0) x A'(12;0) uuuuu r G ' E ' = (8;2) G ' E ' ⊥ G ' F ' ⇔ GE ⊥ GF ⇒ r Ta có:  uuuuu G ' E ' : x − 4y + 12 = G ' F ' = ( 1; −4 ) Từ ta có sơ lược cách giải: Ta có: d(F’,G’E’) = 17 , d(F,GE) = 170 Hai hình vuông đồng dạng nên ABCD A’B’C’D’ đồng dạng theo tỉ số k= d ( F’, G’E’) AB 10 10 = = ⇒ AB = 12x = 10 A'B' d ( F, GE ) 6 Ta có B’J’ = 12 12 170 L ∈ GF ⇒ , suy BJ = k = Từ suy 17 17 17 GL = BJ phương trình BL, suy B BL = k B’L’ Với B suy A, suy AD, BC Suy C D Nhận xét chung: Qua ví dụ ta thấy hình vuông cho trước, có điểm thỏa mãn yêu cầu cho trước vị trí cố định tỉ lệ ta hoàn toàn giải toán nhanh chóng hướng giải nêu Phương pháp giúp học sinh nặng nề việc phát yếu tố vuông góc, tạo góc hay đường đặc biệt,… mà phải tính độ dài cạnh, khéo léo lồng ghép vào hình vuông để tìm lời giải ngắn gọn Ngoài với phương pháp xét hình vuông sở ta tìm góc, chứng minh vuông góc, đường trung trực, phân giác cách dễ dàng Hình vuông có điểm hình không xác định rõ tỉ lệ 15 Với hình vuông dạng này, việc tính toán có phức tạp số điểm không cố định ta phải xác định tọa độ điểm số thực chưa xác định Từ ta tiếp tục khai thác kiện để tìm khoảng cách, góc hay mối tương quan cần thiết khác Ta xét số ví dụ sau:  7 Ví dụ Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có C(1; -1), N  1; ÷  2 ( nằm AD, M thuộc AB cho AN + AM + MN = 2AB Điểm H − 5;1 ) hình chiếu B lên MN Tìm tọa độ điểm B Phân tích: Bài toán cố định điểm N, N không vị trí đặc biệt biết tỉ lệ rõ ràng Để tìm tính chất đặc biệt toán Ta thử N vào vị trí đặc biệt: N ≡ D ⇒ M ≡ A · Dễ thấy hai trường hợp góc NCM  = 45 Từ ta có N ≡ A ⇒ M ≡ D  · thể phán đoán góc NCM = 45 Bài giải: Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ y M A I B C'(1;1) D'(0;1) N' N b C D x a M' A'(0;0) B'(1;0) Đặt A’M’ = a, A’N’ = b Ta có: a + b + a + b = ⇔ a + b = − a − b ⇔ + ab = 2(a + b) · · · 'C ' D ' + M · ' B 'C ' = tan N ' C ' D ' + tan M ' B ' C ' = − a − b = Ta có tan N ( ) · ' C ' D '.tan M · 'B'C' − tan N · ' C ' N ' = 450 · 'C'D' + M · ' B ' C ' = 450 ⇔ M Vậy: N a + b + ab Do hai hình vuông đồng dạng nên ABCD đồng dạng với A’B’C’D’, suy · góc tương ứng MCN = 450 Ta có lược đồ cách giải: 16  M ∈ NH B ∈ HB r ⇒ M ⇒ B :   uuur uuu · BM.BC = cos NCM = cos 45 ( ) Ví dụ 8: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có điểm C thuộc đường x + 2y - = Điểm M ( 1; ) thuộc canh BD Hình chiếu M lên AB, AD nằm đường thẳng x + y - = Tìm tọa độ điểm C Phân tích: Gọi F, G hình chiếu M lên AB, AD Bài toán xoay quanh điểm C, M, G F Xây dựng hình vuông sở ta dê dàng suy CM vuông góc với GF Bài giải: Gọi F, G hình chiếu M lên AB, AD Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ u điểm M’(a G’ uuuur hình vẽ.uu uur ; a), F’ (a; 1) uuu,uu r ( u0; uuua) r Ta có: C 'M ' = ( a − 1; −a ) ;G 'F' = ( a;1 − a ) ⇒ C 'M ' ⊥ G 'F' hay suy CM ⊥ GF CM ⊥ GF uuuu rCuuu rthuộc đường uuuu r uurthẳng x + 2y - = nên gọi C(6-2t; t) Vì ⇒ CM.GF = ⇔ CM.u d = ⇒ C Bình luận: toán việc xác định độ dài cạnh khó khăn vướng tham số điểm không cố định Ví dụ 9: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, hai điểm E, F tương ứng thuộc hai cạnh AD AB cho AE = AF Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống BE CH cắt AD M Tính tọa độ đỉnh hình vuông, biết 7 7 M  ; − ÷, F(2; 0) C thuộc đường thẳng d: x - 2y + 1= 3 3 Phân tích: Bài toán xoay quanh điểm F, M C Bằng cách dựng hình vuông sở ta suy MF vuông góc với FC Bài giải: 17 y F' A'(0;1) F A B M' M E B'(1;1) H' E' H D'(0;0) D x C'(1;0) C Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ M’(0;b), F’(1-a;1), E’(0;a) Ta tìm tọa độ H’ sau: Phương trình B’E’: (a - 1) x + y - a = 0, phương trình C’M’: bx + y - b =  ( − a) ( − a) + ( − a) +  ; ÷ Khi H’ = B’E’ ∩ C’M’ ⇒ H’  2 ÷ + − a + − a ( ) ( )   ( Ta có H’∈ C’M’ ⇒ b = ( − a ) + ( − a ) + ⇒ M ' 0; ( − a ) + ( − a ) + ) uuuuur uuuur Từ tính F ' M '.F ' C ' = ⇔ F ' M ' ⊥ F ' C ' Do hai hình vuông đồng dạng nên: FM ⊥ FC Từ ta định hướng giải sau: + Tìm C + Giải sử CB: a ( x − x c ) + b ( y − y c ) = , CD: -b ( x − x c ) + a ( y − y c ) = + Ta có d(M, CB) = d(F, CD), suy a b tìm B, D, A Ví dụ 10: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, có đỉnh C(-4; -3) điểm M điểm nằm cạnh AB (M không trùng với đỉnh) Gọi E, F hình chiếu A, C lên DM I giao điểm CE BF Tìm tọa độ A, B, C biết I(2; 3) đỉnh B nằm đường thẳng x - 2y + 10 = Phân tích: Bài toán xoay quanh điểm B, I, C Dựng hình dự đoán CI vuông góc với IB Ta chứng minh điều dự đoán Bài giải: 18 y A'(0;1) M A B M' B'(1;1) E' E I' I F' F x D'(0;0) D C'(1;0) C Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh Gắn vào hệ trục tọa độ tọa độ điểm hình vẽ M’(a; 1)  a a2  ;1 − Ta có D’M’: x - ay = Từ suy điểm E’  ÷và F’ + a2  1+ a a   1 − + a2 ; + a2 ÷   uuuuu r uuuur Tính C ' E '.F ' B ' = ⇔ C’E’ ⊥ F’B’ Do hai hình vuông đồng dạng nên CE ⊥ BF Ta có định hướng cách giải sau: + Viết phương trình BI suy điểm B phương trình BA, CD + Có BA = CD = BC suy A D Nhận xét chung: với toán trên, điểm M N không vị trí đặc biệt vị trí xác định rõ tỉ lệ, thông thường ta thường đặt tọa độ theo tham số chứng minh, tính chất hình Việc sử dụng tính đồng dạng hai hình vuông để chứng minh tính chất nét điển hình việc giải toán hình học giải tích mặt phẳng Đối với toán tam giác ta hoàn toàn sử dụng phương pháp trên, nhiên hạn chế tam giác vuông, cân hay Đối với hình chữ nhật biết tỉ lệ độ dài hai cạnh toán xây dựng tương tự hình vuông, tỉ lệ độ dài hai cạnh ta cố định cạnh 1, cạnh lại tùy ý vấn đề giải hình vuông 1    Ví dụ 11: Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có tâm I  ;0 ÷, AB = 2AD đường thẳng AB có phương trình x - 2y + =0 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật, biết đỉnh A có hoành độ âm Phân tích: 19 Bài toán cho hình chữ nhật có tỉ lệ hai cạnh, có tâm I, đường thẳng AB Như ta hoàn toàn dựng hình chữ nhật sở đồng dạng với hình chữ nhật cho tính độ dài cạnh hình chữ nhật cho Bài giải: y A B A'(0;1) B'(2;1) I ( ) I' 1; C D x C'(2;0) D'(0;0) Dựng hình chữ nhật sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình chữ nhật ABCD Gắn vào hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có phương trình A’B’: y - = 0, d(I’, A’B’) = Mặt khác d(I, AB) = AB d(I, AB) = = ⇒ AB = 5A ' B ' = A ' B ' d(I ', A ' B ') BD = Vì A∈ AB ⇒ A(2t − 2;t) Suy AD = ⇒ BD = ⇒ IA = 2 Giải phương trình IA = ⇒ A(−2;0) , B(2;2), C(3;0),D(-1;-2) Từ suy tỉ số đồng dạng k = Bình luận: Đối với toán thuận lợi tỉ số hai cạnh biết, dễ dàng tìm đỉnh A suy đỉnh lại Ví dụ 12: Cho tam giác ABC vuông cân C Hai điểm D, E thuộc CA CB cho CD = CE Đường thẳng qua C vuông với AE cắt AB L Đường thẳng qua D vuông với AE cắt AB L Chứng minh LK = LB Hướng dẫn: 20 Xét tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC gắn vào hệ trục hình vẽ uuur A’B’: x + y - = 0, AE = ( a; −1) y A(0;1) C ' L ' : ax − y = D ' K ' : ax − y + a = K' Suy ra:  Gọi I’ trung điểm K’B’, K’ ∈ A ' B ' nên suy K’ D'(0;a) L' a   − a 2a    + a ; + a ÷ ⇒ I '  + a ; + a ÷ suy     ≡ ∈ C ' L ' ⇒ I ' ≡ L ' I’ hay I L Điều phải chứng minh x C'(0;0) E'(a;0) B'(1;0) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(−1;2) ; C (3; −2) Gọi E trung điểm cạnh AD, BM đường thẳng vuông góc với CE M ; N trung điểm củaBM P giao điểm AN với DM Biết phương trình đường thẳng BM: x − y − = Tìm tọa độ điểm P Bài Trên hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, hai điểm E, F tương ứng hai cạnh AB, AD cho AE = AF Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống BE CH cắt AD M Tìm tọa độ đỉnh hình vuông biết M 7 7  ; − ÷, F(2; 0), C thuộc đường thẳng d: x - 2y + =   Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết M (1; 2) N (2; −1) Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Gọi I giao điểm CM DN Chứng minh AI = AD 21 Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M , N   trung điểm cạnh AB CD Biết M  − ; ÷ đường   thẳng BN có phương trình x + y − 34 = Tìm tọa độ điểm A, B biết điểm B có hoành độ âm Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD Có đường chéo AC: x + y - = Trên tia đối tia CB lấy điểm M, tia đối tia DC lấy điểm N cho DN = AM Đường thẳng song song với AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt F(0; -3) Biết điểm M thuộc trục hoành, tìm đỉnh hình vuông Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có M(7; 3) trung điểm AB Gọi E giao điểm MC AD, N hình chiếu vuông góc A lên MC, I(2; 5) giao điểm AN BE Biết B thuộc đường thẳng d: 2x + 3y - 44 = 0, tìm tọa độ đỉnh hình vuông Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-1; 2)  19  ; − ÷ hình chiếu vuông góc B lên  5 Gọi N trung điểm AD; điểm H  CN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông, biết trung điểm M BC nằm đường thẳng: x + 2y + = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có A(4;6) · Gọi M, N điểm nằm BC, CD cho MAN = 450 , M(-4;0) đường thẳng MN có phương trình 11x + 2y + 44 = Tìm tọa độ điểm B, C, D Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I, gọi G  10 11  ; ÷ tâm đường tròn ngoại tiếp tam  3 trọng tâm tam giác ADC, điểm J   11  giác AGB, M  ; ÷ trung điểm đoạn BI Tìm tọa độ đỉnh hình  2 vuông, biết G có hoành độ số nguyên Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(1;2), C(3;-2) Gọi E trung điểm AD, BM đường thẳng vuông góc với CE M, N trung điểm BM P giao điểm AN DM Biết phương trình đường thẳng BM: 2x - y - = Tìm tọa độ điểm P 22 VII HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Trên số ví dụ điển hình sử dụng tính chất đồng dạng tọa độ hóa để giải toán hình học giải tích hình vuông, nhiên chưa thể diễn tả định người viết đề tài Tôi nhận thấy rằng: tập cụ thể ta phải linh hoạt sử dụng phương pháp cho hợp lí, việc chứng minh tính chất đó, tọa độ hóa làm cho toán trở nên phức tạp nhiều so với việc dùng hình học túy Trong trình giảng dạy hướng dẫn học sinh nắm ý tưởng, cách thức thực giải toán phương pháp trình bày Qua thực hành học sinh thích thú đam mê giải toán, toán hình vuông trở thành toán giải ngắn gọn, đơn giản không nhiều công sức suy nghĩ, phân tích chứng minh tính chất VIII KẾT LUẬN Sáng kiến trình bày số kiến thức phương pháp tọa độ hóa ứng dụng phép đồng dạng, nghiên cứu toán hình vuông hình học giải tích lớp 10 Sáng kiến xây dựng hệ thống câu hỏi tập Hình học 10 Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập, giúp em hiểu rõ chất, phương pháp giải dạng toán này, từ em tự xây dựng toán tương tự, toán Chính điều kích thích say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Sáng kiến trước hết có ý nghĩa tác giả nội dung quan trọng chương trình giảng dạy Hi vọng sáng kiến tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh, bạn đồng nghiệp Sáng kiến cố gắng trình bày vấn đề cách chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu, có nhiều hình vẽ minh họa thông qua hệ thống tập phong phú Qua mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp quan tâm đến toán học nói chung, hình học giải tích mặt phẳng nói riêng để hoàn thiện sáng kiến tốt Xác nhận quan Nho Quan, tháng năm 2016 Người viết sáng kiến Đỗ Thị Bích Thảo 23 Nguyễn Văn Sáng 24 [...]... số rồi chứng minh, chỉ ra các tính chất trong hình Việc sử dụng tính đồng dạng của hai hình vuông để chứng minh các tính chất cũng là một nét mới và điển hình trong việc giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Đối với các bài toán về tam giác ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp trên, tuy nhiên nó chỉ có thể hạn chế ở tam giác vuông, cân hay đều Đối với hình chữ nhật khi biết tỉ lệ độ dài hai... kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ hóa ứng dụng phép đồng dạng, nghiên cứu các bài toán về hình vuông trong hình học giải tích lớp 10 Sáng kiến đã xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập về Hình học 10 Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến Việc tự giải quyết hệ thống bài tập, giúp các em hiểu rõ bản chất, phương pháp giải dạng toán này, từ đó các em có thể tự xây dựng các... ta có thể thấy việc sử dụn tính chất của phép đồng dạng với nhận xét hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng giúp ta giải quyết bài toán một cách nhanh chóng Ngoài ra ta có thể dùng hình vuông cơ sở để chứng minh tính vuông góc, xác định góc của hai đường 11 Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, đỉnh A(-1;2) Gọi N  19 8  ; − ÷ là hình chiếu vuông góc của B lên CN  5 5 là trung điểm... A’H’ và tìm được tỉ số đồng dạng Suy ra độ dài cạnh và tính được AM, tìm ra điểm M Hướng 2: ta thấy bài toán xoay quanh 3 điểm A, H, M và bằng trực quan thấy AH vuông góc với HM Ta đi chứng minh điều này bằng hình vuông cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình vuông đã cho ABCD Bài giải: Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1 Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ y A B I B'(1;1) A'(0;1)... nhiều so với việc dùng hình học thuần túy Trong quá trình giảng dạy chúng tôi đã hướng dẫn học sinh nắm các ý tưởng, cách thức thực hiện giải toán đối với phương pháp đã trình bày ở trên Qua thực hành học sinh rất thích thú và đam mê giải toán, những bài toán trong hình vuông trở thành những bài toán giải ngắn gọn, đơn giản và không mất quá nhiều công sức suy nghĩ, phân tích và chứng minh các tính... đường thẳng vuông góc với CE tại M, N là trung điểm BM và P là giao điểm AN và DM Biết phương trình đường thẳng BM: 2x - y - 4 = 0 Tìm tọa độ điểm P 22 VII HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Trên đây là một số ví dụ điển hình về sử dụng tính chất đồng dạng và tọa độ hóa để giải bài toán hình học giải tích đối với hình vuông, tuy nhiên chưa thể diễn tả hết được ý định của người viết đề tài này Tôi nhận thấy rằng: trong những... khoảng cách từ N đến đường trung tuyến này Trong hình vuông cơ sở ta cũng viết được đường trung tuyến của tam giác A’N’D’ một cách dễ dàng, do đó cũng tính được khoảng cách từ N’ đến đường trung tuyến này Bài giải: Hướng 1: dùng hình vuông đồng dạng Ta có d ( N,d ) = 4 26 Xét hình vuông A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1 Gắn vào hệ trục tọa độ và tọa độ các điểm như hình vẽ 13 y A B I A'(0;1) B'(1;1) M ( )... hai cạnh, có tâm I, đường thẳng AB Như vậy ta hoàn toàn có thể dựng hình chữ nhật cơ sở đồng dạng với hình chữ nhật đã cho và tính được độ dài cạnh hình chữ nhật đã cho Bài giải: y A B A'(0;1) B'(2;1) I ( ) I' 1; 1 2 C D x 1 C'(2;0) D'(0;0) Dựng hình chữ nhật cơ sở A’B’C’D’ đồng dạng với hình chữ nhật ABCD Gắn vào hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có phương trình A’B’: y - 1 = 0, d(I’, A’B’) = Mặt khác... M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F(0; -3) Biết điểm M thuộc trục hoành, hãy tìm các đỉnh của hình vuông Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có M(7; 3) là trung điểm AB Gọi E là giao điểm của MC và AD, N là hình chiếu vuông góc của A lên MC, I(2; 5) là giao điểm của AN và BE Biết B thuộc đường thẳng d: 2x + 3y - 44 = 0, tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông. .. Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-1; 2)  19 8  ; − ÷ là hình chiếu vuông góc của B lên  5 5 Gọi N là trung điểm AD; điểm H  CN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông, biết trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng: x + 2y + 6 = 0 Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có A(4;6) · Gọi M, N là các điểm nằm trên BC, CD sao cho MAN = 450 , M(-4;0) và đường