Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài a) Vài nét sơ lược đề tài, thực trạng - Các toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp nội dung quan trọng chương trình Toán lớp 11 - Những năm gần đây, đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi, dạng toán xuất thường xuyên - Kiến thức trang bị SGK phần tổ hợp khai triển nhị thức Nui – tơn đơn giản, sơ sài - Mặc dù toán gây khó khăn cho không học sinh tính chất khai triển phức tạp việc phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải nhiều hạn chế - Khảo sát số trường THPT qua đợt thi học kì, thi thử ĐH, học sinh thường không làm câu hỏi tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp b) Vai trò tập dạy học Toán nhà trường THPT Bài tập toán học có vai trò quan trọng môn Toán Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Toán học Hoạt động học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung phương pháp dạy học, vai trò tập toán học thể ba bình diện này: Thứ nhất, bình diện mục tiêu dạy học, tập toán học trường phổ thông giá mang hoạt động mà việc thực hoạt động thể mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, tập thể chức khác hướng đến việc thực mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là: - Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo khâu khác trình dạy học, kể kỹ ứng dụng Toán học vào thực tiễn; - Phát triển lực trí tuệ: rèn luyện hoạt động tư duy, hình thành phẩm chất trí tuệ; - Bồi dưỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức người lao động Thứ hai, bình diện nội dung dạy học, tập toán học giá mang hoạt động liên hệ với nội dung định, phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức trình bày phần lý thuyết Thứ ba, bình diện phương pháp dạy học, tập toán học giá mang hoạt động để người học kiến tạo tri thức định sở thực mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt tập góp phần tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo thực độc lập giao lưu Trang 1/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Trong thực tiễn dạy học, tập sử dụng với dụng ý khác phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố kiểm tra, Đặc biệt mặt kiểm tra, tập phương tiện để đánh giá mức độ, kết dạy học, khả làm việc độc lập trình độ phát triển học sinh, Hệ thống câu hỏi tập hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự đến kiến thức Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “Cái thu hoạch học sinh kiến thức (đối với họ) kiến thức học sinh tự tìm ra, thứ yếu, có tầm quan trọng lên lớp họ học kỹ hơn, hệ thống hơn, mà đáng quý qua lao động tìm tòi, sáng tạo, họ nhuyễn dần với kiểu tư mà lâu nhà trường dạy cho họ với nhuyễn dần lòng tự tin vào khả sáng tạo mình, lòng ham muốn tìm tòi, phát minh” Như vậy, thông qua việc giải hệ thống tập cực trị hình học xếp phù hợp, học sinh rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo giải tập; rèn luyện thao tác tư tương tự hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, ; rèn luyện tính linh hoạt, tính mềm dẻo tư duy; nâng cao khả tự phân tích, tự tổng hợp tự đánh giá vấn đề Từ đó, giúp cho học sinh có hứng thú học tập, phát triển tư sáng tạo góp phần bỗi dưỡng lực tự học cho thân Từ thực tiễn kinh nghiệm thân để giúp em học sinh thầy cô phần tháo gỡ khó khăn tiếp cận với toán liên quan tới khai triển nhị thức Niu-tơn kỳ thi đến gần, thực sáng kiến “Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp” nhằm giải phần khó khăn cho học sinh tiếp cận dạng toán Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng quát hóa … toán với trợ giúp thích hợp giúp em nắm bắt cách giải dạng toán đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT Mục đích đề tài - Nhận dạng phân loại hệ thống tập xây dựng phương pháp giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp - Rèn luyện thao tác tư duy, bồi dưỡng lực tự học cho học sinh THPT Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phạm vi nội dung dạy học Đại số Giải tích lớp 11 lớp 12 trường THPT Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài Trang 2/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến học sinh, giáo viên thực trạng dạy học chủ đề trường phổ thông Thực nghiệm sư phạm: - Dạy thử nghiệm lớp ban A khối 11 khối 12 số trường THPT tỉnh, lớp ôn thi đại học cao đẳng, đội tuyển học sinh giỏi - Đánh giá tính khả thi hiệu hệ thống tập minh họa cho phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra thu hoạch học sinh - Đánh giá, thống kê kết học sinh thi đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi theo năm học Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, phần nội dung đề tài gồm chương Chương Một số kinh nghiệm giải pháp thực đề tài Chương Bài toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Chương Thực nghiệm sư phạm Trang 3/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp CHƯƠNG I MỘT SỐ KINH NGHIỆM VÀ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Để giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp cần lưu ý cho học sinh số vấn đề sau: k  Hiểu rõ ý nghĩa kí hiệu Cn ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn ( a + b ) , đặc điểm n số hạng khai triển  Hiểu vận dụng linh hoạt số tính chất thường gặp tổ hợp: Cnk = Cnn − k với ≤ k ≤ n Cnk + Cnk −1 = Cnk+1 kCnk = nCnk−−11 với ≤ k ≤ n Cnk C k +1 = n +1 với ≤ k ≤ n k +1 n +1  Xác định số hạng tổng quát tổng a) Nếu số hạng tổng quát chứa tích tổ hợp ta thường sử dụng khai triển Niu-tơn, xét tích k đồng sử dụng trực tiếp định nghĩa Cn số chọn k phần tử n phần tử (bài toán đếm) b) Nếu số hạng tổng quát chứa tổ hợp ta thường sử dụng khai triển Niu-tơn Khi lựa chọn khai triển phù hợp ta cần ý phân tích số hạng chứa tổ hợp số điểm sau: - Quan sát số tổ hợp: + Nếu số hạng chứa tổ hợp có số số tự nhiên liên tiếp, số không đổi ta thường sử dụng khai triển đầy đủ nhị thức Niu – tơn + Nếu số số tự nhiên đơn vị số hạng không đổi dấu ta thường sử dụng kết hợp hai khai triển Niu – tơn ( a + b ) ( a − b ) n n + Nếu số số tự nhiên đơn vị số hạng đổi dấu ta phải sử dụng số phức khai triển liên quan đến i = −1 + Nếu số số tự nhiên đơn vị, đơn vị, đơn vị, ta sử dụng số phức khai triển Khi cần nắm tính chất sau số phức Nếu z = cos 2π 2π + i sin , với n ∈ ¥ * Khi đó, n n k Với k = n.m , m ∈ ¥ * z = cos ( m2π ) + i sin ( m2π ) = ( ( n −1) k n k k k 2k Với k ≠ n.m , m ∈ ¥ * = − ( z ) = − ( z ) = ( − z ) + z + z + + z k Trang 4/33 n ) Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Vì − z k ≠ ⇒ + z k + z k + + z ( n −1) k = - Quan sát hệ số đứng trước tổ hợp: + Nếu hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa số tự nhiên (nghĩa xuất n−k k k dạng a b Cn ) ta sử dụng trực tiếp khai triển ( a + b ) với lựa chọn a, b, n hợp lí n + Nếu hệ số đứng trước tổ hợp xuất số tự nhiên liên tiếp tăng dần, tích k k k k số tự nhiên liên tiếp (nhưng không thay đổi số mũ) (Ví dụ: kCn ; ( k − 1) kCn ; ; k Cn ; k Cn ; ) ta k k −1 sử dụng tính chất kCn = nCn −1 với ≤ k ≤ n để biến đổi đưa dạng khai triển ( a + b ) n sử dụng đạo hàm cấp 1, tương ứng phù hợp + Nếu hệ số đứng trước tổ hợp xuất số hữu tỉ (không có dạng lũy thừa, số nguyên) (Ví dụ: Cnk k Cnk Cnk C k +1 Cnk Cnk ; ; ; ) ta sử dụng tính chất = n +1 ( k + 1) ( k + ) k +1 k + k +1 k +1 n +1 với ≤ k ≤ n để biến đổi đưa dạng khai triển ( a + b ) sử dụng tích phân n - Quan sát số tổ hợp + Nếu số tổ hợp không thay đổi số mũ khai triển nhị thức + Nếu số hạng có tổ hợp mà số thay đổi, ta cần khai triển tường minh công k thức số hạng tổng quát Cn = n! ( n − k ) !k ! để qui tổ hợp có số không thay đổi  Giải toán theo nhiều cách để so sánh thấy ưu, nhược điểm cách giải (Ví dụ toán sử dụng phương pháp đạo hàm, tích phân học sinh dễ dàng sáng tạo toán mới) II Giải pháp tiến hành thực - Xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng quát hóa … toán - Lựa chọn tập phù hợp với đối tượng học sinh, thời điểm khác (Ví dụ: Đối với học sinh lớp 11, bắt đầu học khai triển nhị thức Niu-tơn ta dừng lại Ví dụ 27.2, không hướng dẫn học sinh cách sử dụng đạo hàm… học sinh lớp 12 ôn thi THPT QG ta hướng dẫn em sử dụng tích phân số phức khai triển) - Hướng dẫn học sinh phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải gặp dạng toán + Dựa vào định nghĩa tính chất tổ hợp + Dựa khai triển Nhị thức Niu – tơn Trang 5/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp - Tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động nhóm, nhóm tự đề xuất đưa tập tương tự nêu cách giải trình học chủ đề CHƯƠNG II BÀI TOÁN TÍNH TỔNG VÀ CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC TỔ HỢP I Tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp dựa vào định nghĩa tính chất tổ hợp A – Kiến thức chuẩn bị - Định nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử k ∈ ¥ * ,1 ≤ k ≤ n Mỗi tập có k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử A Ank n ( n − 1) ( n − k + 1) n! = = - Số tổ hợp chập k n phần tử A C = k! k! k !( n − k ) ! k n Qui ước: Cn = - Tính chất tổ hợp + Cho số nguyên dương n số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi Cnk = Cnn − k + (Hằng đẳng thức Pascal): Cho số nguyên dương n số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi Cnk + Cnk −1 = Cnk+1 B – Ví dụ minh họa  Ví dụ 1.1 Rút gọn biểu thức S = Cn + 6Cn + 6Cn , với n số nguyên dương n ≥ Hướng dẫn Cách (Sử công thức khai triển tường minh tổ hợp) M = Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 = n ( n − 1) n ( n − 1) ( n − ) n +6 +6 = n3 1! 2! 3! Cách (Sử dụng đẳng thức Pa – xcan, trước sử dụng khai triển tường minh) M = Cn1 + 6Cn2 + 6Cn3 = Cn1 + ( Cn2 + Cn3 ) = Cn1 + 6Cn3+1 = ( n + 1) n ( n − 1) = n3 n +6 1! 3! k k −1 k −2  Ví dụ 2.1 Rút gọn biểu thức S = Cn + 2Cn + Cn , với ≤ k ≤ n; k , n ∈ ¥ Hướng dẫn Cách (Sử công thức khai triển tường minh tổ hợp) Cách Sử dụng tính chất tổ hợp (hằng đẳng thức Paxcal) S = Cnk + 2Cnk −1 + Cnk −2 = ( Cnk + Cnk −1 ) + ( Cnk −1 + Cnk − ) = Cnk+1 + Cnk+−11 = Cnk+ Cách Trang 6/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp - Trước hết ta để ý hệ số đứng trước trước tổ hợp 1, 2, viết lại dạng C2 , C2 , C2 - k k −1 k −2 Vậy S = C2 Cn + C2Cn + C2 Cn Xét hai tập B C không giao nhau, tập B có n phần tử, tập C có phần tử Đặt A = B ∪ C Khi S số cách chọn k tập A , nên S = Cnk+ k k −1 k −2 k −3 k  Ví dụ 3.1 Chứng minh Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = Cn +3 , với ≤ k ≤ n; k , n ∈ ¥ Cách Sử dụng tính chất tổ hợp (hằng đẳng thức Paxcal) k k −1 k −2 k −3 k k −1 k −1 k −2 k −2 k −3 - Ta có VT = Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = ( Cn + Cn ) + ( Cn + Cn ) + ( Cn + Cn ) = Cnk+1 + 2Cnk+−11 + Cnk+−12 = ( Cnk+1 + Cnk+−11 ) + ( Cnk+−11 + Cnk+−12 ) = Cnk+ + Cnk+−21 = Cnk+3 Cách Sử dụng định nghĩa tổ hợp - Xét hai tập B C không giao nhau, tập B có n phần tử, tập C có phần tử Đặt A = B ∪ C - Để chọn k phần tử A , ta thực theo phương án sau: + Phương án 1: Chọn k phần tử B k Phương án có Cn cách + Phương án 2: Chọn k − phần tử B , phần tử C k −1 Phương án có 3Cn cách + Phương án 3: Chọn k − phần tử B , phần tử C k −1 k −1 Phương án có Cn C3 = 3Cn cách + Phương án 4: Chọn k − phần tử B , phần tử C k −3 Phương án có Cn cách ⇒ Có Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk − + Cnk −3 cách chọn k phần tử tập A - k Mặt khác, có Cn +3 chọn k phần tử tập A - k k −1 k −2 k −3 k Vậy Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = Cn +3 k k −1 k −2 k −3 k −4 k  Ví dụ 4.1 Chứng minh Cn + 4Cn + 6Cn + 4Cn + Cn = Cn + , với ≤ k ≤ n Nhận xét: Trong Ví dụ toán cho dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp số tổ hợp giúp ta định hướng việc chọn số phần tử hai tập hợp B C Tuy nhiên toán cho dạng tính tổng S = Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk − + 4Cnk −3 + Cnk − , ta k k −1 k −2 k −3 k −4 viết lại S = C4 Cn + C4Cn + C4 Cn + C4 Cn + C4 Cn Trang 7/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Tổng quát, ta có toán sau: k k −1 k k  Ví dụ 5.1 Chứng minh Cn Cm + CnCm + + Cn Cm = Cm + n với ≤ k ≤ n, m Hướng dẫn + Cho hai tập hợp A gồm m phần tử B gồm n phần tử, A ∩ B = ∅ + Xét tập hợp C gồm tất phần tử A B ⇒ C = A ∪ B tập C có n + m phần tử k + Số cách lấy k phần tử từ C Cm+ n k k −1 k + Nếu lấy theo A B số cách lấy CmCn + CmCn + + CmCn II Tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp dựa khai triển Nhị thức Niu – tơn A – Kiến thức chuẩn bị Sử dụng khai triển Nhị thức Niu – tơn để tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp cần lưu ý số điểm sau: Chọn a,b,n hợp lí khai triển: ( a + b ) = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2b + + Cnn b n cho n ta đẳng thức tổ hợp Vấn đề ngược lại, đề cho ta đẳng thức tổ hợp tổng tổ hợp, phải hướng dẫn cho học sinh chọn khai triển ( a + b ) n để có đẳng thức cần chứng minh Phân tích biến đổi phần tử đại diện (số hạng tổng quát tổng) để đưa tổng cần tính dạng khai triển nhị thức Niu – tơn Ứng dụng đạo hàm khai triển: Với số toán tính tổng mà số hạng k n−k k dạng Cn a b mà có xuất thêm hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) ta phải sử dụng đạo hàm kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn Việc sử dụng đạo hàm (cấp cấp 2) khai triển nhị thức Niutơn hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng tổng cần tính Trong đặc biệt k ý đến hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) hệ số tổ hợp Cn tương ứng Thông thường ta áp dụng khai triển (a + x) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1.x + Cn2 a n − x + + Cnk a n − k x k + + Cnn x n k k −1 Với số hạng có lũy thừa x k ( x ) ' = k x , tức sau đạo hàm cấp ta hệ số tự k k nhiên k tương ứng với hệ số tổ hợp Cn Nếu hệ số tự nhiên tương ứng với Cn k + l > k ta phải tạo lũy thừa x k +l cách nhân hai vế với x l trước đạo hàm Ngoài ra, hệ số tự nhiên tích hai số ta áp dụng đạo hàm cấp hai Ứng dụng tích phân khai triển: Với số toán tính tổng mà số hạng k n−k k dạng Cn a b mà có xuất thêm hệ số hữu tỉ (không phải lũy thừa, không số nguyên) ta phải sử dụng tích phân kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn Việc sử dụng tích phân khai triển Trang 8/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp nhị thức Niutơn hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng tổng cần tính Trong đặc biệt k ý đến mẫu hệ số hữu tỉ hệ số tổ hợp Cn tương ứng Thông thường ta áp dụng khai triển (a + x) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1.x + Cn2 a n − x + + Cnk a n − k x k + + Cnn x n v k Với số hạng có lũy thừa x k ∫ x dx = u v k +1 − u k +1 , tức sau tích phân ta hệ số hữu k +1 k k tỉ có mẫu k + tương ứng với hệ số tổ hợp Cn Nếu mẫu hệ số hữu tỉ tương ứng với Cn k + l + > k + ta phải tạo lũy thừa x k +l cách nhân hai vế với x l trước đạo hàm Ngoài ra, ta nhìn vào dạng tử số số hạng hữu tỉ để chọn cận u; v phù hợp Ứng dụng số phức khai triển: Các toán ứng dụng số phức khai triển nhị thức Niu – tơn toán học sinh Dấu hiệu nhận diện tập trung chủ yếu vào thay đổi số tổ hợp thay đổi dấu số hạng tổng Thông thường ta sử dụng toán sau: Nếu z = cos 2π 2π + i sin , với n ∈ ¥ * Khi đó, n n k Với k = n.m , m ∈ ¥ * z = cos ( m2π ) + i sin ( m2π ) = ( ( n −1) k n k k k 2k Với k ≠ n.m , m ∈ ¥ * = − ( z ) = − ( z ) = ( − z ) + z + z + + z k n ) Vì − z k ≠ ⇒ + z k + z k + + z ( n −1) k = B – Ví dụ minh họa n  Ví dụ 1.2 Tính S = Cn + Cn + Cn + + Cn k Phân tích: Các số hạng tổng S có dạng Cn với ≤ k ≤ n Vì vậy, ta xét khai triển ( a + b) n với a = b = Đáp số: S = ( + 1) = 2n n n n  Ví dụ 2.2 Tính S = Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn k k Phân tích: Các số hạng tổng S có dạng Cn với ≤ k ≤ n Vì vậy, ta xét khai triển ( a + b) n với a = 1, b = Đáp số: S = ( + ) = 3n n n n −1 n  Ví dụ 3.2 Tính S = Cn + Cn + + Cn Trang 9/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp k n−k Phân tích: Các số hạng tổng S có dạng Cn với ≤ k ≤ n Vì vậy, ta xét khai triển ( a + b) n với a = 3, b = Đáp số: S = ( + 1) = 4n n  Ví dụ 4.2 Tính S = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnn n k Phân tích: Các số hạng tổng S có dạng Cn ( −1) với ≤ k ≤ n Vì vậy, ta xét khai triển k ( a + b) n với a = 1, b = −1 Đáp số: S = 1 + ( −1)  = n  Ví dụ 5.2 Tính S = 3n Cn0 − 3n −12Cn1 + 3n− 22 Cn1 − + ( −2 ) Cnn n k n−k Phân tích: Các số hạng tổng S có dạng Cn ( −2 ) k với ≤ k ≤ n Vì vậy, ta xét khai triển ( a + b ) với a = 3, b = −2 n Đáp số: S = 3 + ( −2 )  = n 2n n −1 n−2 2n  Ví dụ 6.2 Tính S = C2 n − C2 n + C2 n − + C2 n k n−k Phân tích: Các số hạng tổng S có dạng C2 n ( −1) với ≤ k ≤ 2n Vì vậy, ta xét khai k triển ( a + b ) 2n với a = 4, b = −1 Đáp số: S =  + ( −1)  2n = 32 n = 9n 2 4 3 5 Ví dụ 7.2 Tính S1 = Cn + Cn + Cn + S = 2Cn + Cn + Cn + Phân tích: Vì số tổ hợp tổng S1 chẵn, S2 lẻ nên xuất tổng đầy đủ số hạng khai triển nhị thức ta xét S1 + S S1 − S để tạo hệ phương trình ẩn số S1 , S2 n −1 Đáp số: S1 = S = Nhận xét: Qua ví dụ thấy - Hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa hai số viết dạng tăng giảm số mũ - Chỉ số số tự nhiên liên tiếp tăng dần - Chỉ số tổ hợp định số mũ khai triển nhị thức - Nếu số đơn vị (nghĩa chứa số số lẻ chẵn) xét thêm tổng (chỉ chứa chẵn lẻ) để tổng đủ khai triển Niu – tơn Vì vậy, cần hướng dẫn học sinh lựa chọn a, b, n hợp lí công thức khai triển nhị thức Niutơn giải toán đưa toán tương tự Trang 10/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Từ (1) (2) suy ( Cn1+1 ) + ( Cn2+1 ) + + ( Cnn++11 ) = C2nn++12 − Vậy S = ( n + 1) 2 ( C2nn++12 − 1)  Ví dụ 28.2 Chứng minh rằng, với n ∈ ¥ * ta có n a) Cn − Cn + Cn − Cn + Cn − = cos nπ n b) Cn − Cn + Cn − Cn + Cn − = sin c) ( 1− C n nπ + Cn4 − ) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ) = 2n 2  Ví dụ 29.2 Chứng minh rằng, với n ∈ ¥ * ta có 12 n −1 a) Cn + Cn + Cn + Cn + = + ( 2) 10 14 n −1 b) Cn + Cn + Cn + Cn + = − 13 n −1 c) Cn + Cn + Cn + Cn + = + ( 2) ( 2) 11 15 n −1 d) Cn + Cn + Cn + Cn + = − n−2 n−2 n−2 ( 2) cos cos sin n−2 nπ nπ nπ sin nπ  Ví dụ 30.2 Chứng minh rằng, với n ∈ ¥ * ta có 1 n nπ  a) Cn + Cn + Cn + Cn + =  + cos ÷ 3  1 n n +1  10 π÷ b) Cn + Cn + Cn + Cn + =  − cos 3  1 n n −1  11 π÷ c) Cn + Cn + Cn + Cn + =  − cos 3   Ví dụ 31.2 Chứng minh rằng, với n ∈ ¥ * ta có 1 nπ nπ  Cn0 + Cn6 + Cn12 + Cn18 + =  2n −1 + 3n cos + cos ÷ 3   Ví dụ 32.2 Tính tổng 10 15 a) S1 = Cn + Cn + Cn + Cn + 11 16 b) S = Cn + Cn + Cn + Cn +  Ví dụ 33.2 (Đạo hàm) Chứng minh rằng, với n ∈ ¥ * ta có a) Cn − 3Cn + 5Cn − 7Cn + = n ( 2) n −1 cos n −1 π Trang 19/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp b) Cn − 2Cn + 3Cn − 4Cn + = n ( 2) n −3 n −1 π sin nπ   n −1 13 n−2 c) Cn +1 + 5Cn +1 + 9Cn +1 + 13Cn+1 + = ( n + 1)  + cos    12 16 d) Cn +1 + 2Cn +1 + 3Cn +1 + 4Cn +1 + = ( n + 1) 2n−1 − 2n − sin  nπ    Ví dụ 34.2 (Tích phân) Chứng minh rằng, với n ∈ ¥ * ta có   n +  1 − 2n +1 cos  π ÷ a) Cn − Cn + Cn − Cn + =  n +1    b) Cn − Cn + Cn − Cn + = 10 n +1 ( 2) n +1 sin n +1 π  Ví dụ 35.2 (Tích phân) Chứng minh rằng, với n ∈ ¥ * ta có Cn + Cn + Cn + = ( n + 1) a)  n ( n + 1) π −   + cos ÷   b) Cn + Cn + Cn + Cn + = 10 ( n + 1) n −1   n π÷  + cos   1 10 Cn + Cn + Cn + Cn + = 11 ( n + 1) c) n−3   n π÷  + cos   Hướng dẫn  Xét khai triển nhị thức Newtơn ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + + Cnn −1 x n−1 + Cnn x n (*) Với x = i ta có ( + i ) = Cn0 + Cn1i + + Cnn −1i n −1 + Cnni n n n nπ nπ ⇔  cos + i sin 4   ÷ = ( Cn − Cn + Cn − ) + ( Cn − Cn + Cn − ) i (**)  n nπ  C − C + C − = cos n n n  Vậy ta có  n C1 − C + C − = sin nπ n n  n ( 1) ( 2) Nếu ta tính môđun hai số phức (**) ta ( 1− C n + Cn4 − ) + ( Cn1 − Cn3 + Cn5 − ) = 2n 2 Ta có lời giải cho Ví dụ 28.2 n n −1 n Nếu x = (*) ta = Cn + Cn + + Cn + Cn Nếu x = −1 (*) ta = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnn n Trang 20/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp ( 3) ( 4) Cn0 + Cn2 + Cn4 + = 2n −1 Vậy ta có  n −1 Cn + Cn + Cn + = n−2 Cộng (1) với (3) ta Cn + Cn + Cn + = + 10 n−2 Trừ (3) cho (1) ta Cn + Cn + Cn + = − ( 2) ( 2) n−2 n−2 cos cos nπ nπ Tương tự (2) (4) Ta có lời giải cho Ví dụ 29.2  Xét Ví dụ 30.2, ta thấy khoảng cách hai số liên tiếp nên ta xét số phức Đặt z = cos z k = cos 2π 2π + i sin Khi đó, 3 k 2π k 2π + i sin = ⇔ k = 3m 3 Với k ≠ 3m , = − ( z ) = − ( z k ) = ( − z k ) ( + z k + z k ) ⇒ + z k + z k = k Ta có ( + 1) = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn−1 + Cnn n ( + z ) = Cn0 + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn−1 z n−1 + Cnn z n ( 5) ( 6) ( 1+ z ) ( 7) n n = Cn0 + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn −1 z n −2 + Cnn z n n 2π 2π  nπ nπ n  n n π  Vì ( + z ) = 1 + cos + i sin + i sin ÷ = cos  cos 3  3 3  ( 1+ z ) n nπ nπ  + i sin ÷ = cos 3  n 4π 4π  2nπ 2nπ   n n 2π  =  + cos + i sin + i sin ÷ = cos  cos ÷ 3   3   π   nπ  nπ   = 2n cos n  π − ÷ cos  nπ − ÷+ i sin  nπ −      = 2n cos n π nπ nπ − i sin  cos 3 3 nπ nπ  − i sin ÷ = cos 3  Cộng theo vế (5), (6) & (7) ta có 2n + cos nπ = 3Cn0 + 3Cn3 + 3Cn6 +  Nhân thêm z vào hai vế (6) z vào hai vế (7) ta có ( + 1) = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn−1 + Cnn n z ( + z ) = Cn0 z + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn −1 z n +1 + Cnn z n + ( 5) ( 8) z ( + z ) = Cn0 z + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn −1 z n −1 + Cnn z n +1 ( 9) n n Trang 21/33  ÷  Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Vì 4π 4π  nπ nπ n  z ( + z ) =  cos + i sin + i sin ÷ cos 3  3   π + nπ   π + nπ  = − cos  ÷− i sin  ÷       4π + nπ ÷ = cos      4π + nπ  ÷+ i sin  ÷    n 2π 2π  nπ nπ   2π 2π    nπ  z ( + z ) =  cos + i sin − i sin + i sin ÷ cos ÷ =  cos ÷ cos  − 3  3   3      2π nπ   2π nπ   π nπ   π nπ  = cos  − − ÷+ i sin  ÷ = − cos  + ÷+ i sin  + ÷     3  3    nπ   ÷+ i sin  − ÷    Cộng (5), (8) & (9) theo vế ta có  π nπ  2n − cos  + ÷ = 3Cn + 3Cn + 3Cn + 3    Nhân thêm z vào hai vế (6) z vào hai vế (7) ta có ( + 1) = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn−1 + Cnn n z ( + z ) = Cn0 z + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn −1 z n + Cnn z n +1 ( 5) ( 10 ) z ( + z ) = Cn0 z + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn −1 z n + Cnn z n + ( 11) n n Vì 2π 2π  nπ nπ n  z ( + z ) =  cos + i sin + i sin ÷ cos 3  3   π − nπ   π − nπ  = − cos  ÷+ i sin  ÷       2π + nπ ÷ = cos    n 4π 4π  nπ nπ  z ( + z ) =  cos + i sin − i sin ÷ cos 3  3   π nπ   π nπ  = − cos  − ÷− i sin  − ÷ 3  3    2π + nπ  ÷+ i sin  ÷      4π nπ − ÷ = cos      4π nπ  − ÷+ i sin  ÷    Cộng (5), (10) & (11) theo vế ta có 1 n −1  Cn2 + Cn5 + Cn8 + Cn11 + =  2n − cos π÷ 3  Ta có lời giải cho Ví dụ 30.2  Xét Ví dụ 31.2, ta thấy khoảng cách hai số liên tiếp nên ta xét số phức Đặt z = cos z k = cos 2π 2π π π + i sin = cos + i sin Khi đó, 6 3 k 2π k 2π + i sin = ⇔ k = 6m 6 Trang 22/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Với k ≠ 6m , = − ( z ) = − ( z k ) = ( − z k ) ( + z k + z k + z 3k + z k + z k ) ⇒ + z k + z k + z k + z k + z k = k ( + 1) = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn−1 + Cnn n ( + z ) = Cn0 + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn−1 z n−1 + Cnn z n ( 5) ( 6) ( 1+ z ( 1+ z ( 1+ z ( 1+ z n ) ) ) ) n = Cn0 + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn −1 z n −2 + Cnn z n ( 7) n = Cn0 + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z + + Cnn −1 z 3n −3 + Cnn z n ( 12 ) n = Cn0 + Cn1 z + Cn2 z + Cn3 z12 + + Cnn −1 z n − + Cnn z n ( 13) n = Cn0 + Cn1 z + Cn2 z10 + Cn3 z15 + + Cnn −1 z n −5 + Cnn z 5n ( 14 ) π π   z = cos − i sin  π π Vì z = cos + i sin ⇒  z = −1 3   z = = z.z ⇒ = z z  ( 1+ z ) n n π π π nπ nπ  = 1 + cos + i sin ÷ = 2n cos n  cos + i sin 3 6 6  nπ nπ   n  + i sin ÷ =  cos ÷ 6    n ( 1+ z ) 2π 2π  nπ nπ  n n π  =  + cos + i sin + i sin ÷ = cos  cos 3  3 3  ( 1+ z ) =0 ( 1+ z ) 1  1  =  + z ÷ = 1 + ÷ = + z z   z   ( 1+ z ) 1  = 1 + z ÷ = + z z  n n n n n n n ( ) n ( ) n   2π = 1 + cos  −   nπ nπ  + i sin ÷ = cos 3    2π ÷+ i sin  −   n nπ nπ  − i sin ÷ = cos 3  nπ nπ   = 3n  cos − i sin ÷ 6   Cộng theo vế ( ) , ( ) , ( ) , ( 12 ) , ( 13) & ( 14 ) ta có nπ nπ    3n cos + cos + 2n −1 ÷ = 6Cn0 + 6Cn6 + 6Cn12 + 6Cn18 +   Ta có lời giải cho Ví dụ 31.2 Tương tự, yêu cầu học sinh làm Ví dụ 32.2  Lấy đạo hàm vế (*) ta n ( 1+ x) n −1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x + + ( n − 1) Cnn −1 x n −2 + nCnn x n −1 (15) n −1 n Với x = ta n.2 = Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn (16) Với x = −1 ta = Cn − 2Cn + 3Cn − (17) n −2 Cộng (16) với (17) ta Cn + 3Cn + 5Cn + = n.2 (18) Trang 23/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp 2Cn2 + 4Cn4 + = n.2n −2 Từ (17) ta có (19) n −1 n −1  C − C + C − = n cos π n n n  Với x = i ta có  n −1 n −1 C − 2C + 3C − 4C + = n sin π n n n n  ( ) ( ) n −3 Cộng (18) với (20) ta Cn + 5Cn + 9Cn + = n.2 + n ( 2) n −1 ( 20 ) ( 21) sin n −1 π Ta có lời giải cho Ví dụ 33.2  Lấy tích phân vế (*) với cận từ đến z ta có 1 1 1 n +1 n n +1 = zCn0 + z 2Cn1 + z 3Cn2 + + z nCnn −1 + z Cn , ∀z ∈ ¡ (**) ( 1+ z ) − n +1 n +1 n n +1 Vì (**) với z ∈ ¡ nên với z ∈ £ Vậy cho z = i , ta có 1 1 1 n +1 n n +1 = iCn0 + i 2Cn1 + i 3Cn2 + + i nCnn −1 + i Cn ( 1+ i) − n +1 n +1 n n +1 1 1 1   = − Cn1 + Cn3 − Cn5 + Cn7 − + i  Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + ÷ 10   Mặt khác n +1 1   1  n +1 2 +i ( 1+ i) =  ÷ n +1 n +1   2  n +1  n +1 n +1  = π + i sin π÷  cos n +1 4   ( ) n +1 n +1  1 − C + C − C + C − = cos π− n n n n  n +1 n +1 Suy  n + n +1 C − C + C − C + = sin π n n n n 10 n +1  ( ) ( ) 1 Cn0 + Cn3 + Cn6 + Cn9 + = 10 ( n + 1) n −1   n π÷  + cos   Ta có lời giải cho Ví dụ 34.2  Ta thấy số hai số hạng liên tiếp đơn vị Đặt Đặt z = cos z k = cos 2π 2π + i sin Khi đó, 3 k 2π k 2π + i sin = ⇔ k = 3m 3 Với k ≠ 3m , = − ( z ) = − ( z k ) = ( − z k ) ( + z k + z k ) ⇒ + z k + z k = k ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + + Cnn −1 x n−1 + Cnn x n (*) Lấy tích phân vế (*) với cận từ đến ta có Trang 24/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp 1 1 1 n +1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn −1 + Cnn ( + 1) − n +1 n +1 n n +1 (22) Lấy tích phân vế (*) với cận từ đến z ta có 1 1 1 n +1 n n +1 = zCn0 + z 2Cn1 + z 3Cn2 + + z nCnn −1 + z Cn ( 1+ z ) − n +1 n +1 n n +1 (23) Lấy tích phân vế (*) với cận từ đến z ta có n +1 1 1 1 2n + n 1+ z2 ) − = z 2Cn0 + z 4Cn1 + z 6Cn2 + + z nCnn −1 + z Cn ( n +1 n +1 n n +1 Vì ( + z ) ( 1+ z2 ) n +1 n +1 = cos (24) ( n + 1) π + i sin ( n + 1) π 3 ( n + 1) π ( n + 1) π   + i sin  cos ÷ 3   ( n + 1) π  + i sin  n + π − ( n + 1) π   π    = 2n cos n  π − ÷cos  ( n + 1) π − ) ÷ ( ÷    3      ( n + 1) π − i sin ( n + 1) π = cos 3 n +1 4π 4π   =  + cos + i sin ÷ 3   = n +1 cos n +1 2π Cộng theo vế (22), (23) (24) ta có ) ( n +1 1 n +1 1  2n + ( + z ) + ( + z ) − =  Cn2 + Cn5 + Cn8 + ÷ n +1 3  ⇔ ( n + 1) π −  = C + C + C +  n  + cos ÷ n n n ( n + 1)   Nhân hai vế (23) với z2, (24) với z cộng vế ta được: 1 Cn0 + Cn3 + Cn6 + Cn9 + = 10 ( n + 1) n −1   n π÷  + cos   Ta có lời giải cho Ví dụ 35.2  Tương tự, ta vừa lấy đạo hàm vừa lấy tích phân đẳng thức đẹp! Nhận xét: - Trong Ví dụ 7.2 ta thấy khoảng cách số nên ta giải tương tự toán với số phức z = cos 2π 2π + i sin = −1 2 - Trong Ví dụ 29.2 ta thấy khoảng cách số nên ta giải tương tự toán với số phức z = cos 2π 2π + i sin =i 4 Trang 25/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp III Bài tập tự luyện Bài tập Tính tổng S = 2n Cn0 2n −1 Cn1 21 Cnn−1 20 Cnn + + + + n +1 n Bài tập Tính tổng ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + ( Cn3 ) + + ( n − 1) ( Cnn −1 ) + n ( Cnn ) 2 2 HD: Sử dụng đồng thời đạo hàm phương pháp đồng hệ số Bài tập Tính tổng 1 k 2012 S = C2012 C2010 + (12 C2012 22011 − 22 C2012 22010 + + ( −1) k −1 k 2C2012 22012− k + − 20122 C2012 ) 2 n n Bài tập Tính tổng S = Cn − Cn + + ( −1) n Cn Bài tập Cho n, k số nguyên dương thỏa mãn: ≤ k ≤ n k k −1 k −2 k k Chứng minh rằng: Cn Cn − Cn Cn + Cn Cn + + (−1) Cn Cn − k = Bài tập (ĐHKA.2005) Tìm số nguyên dương n cho C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + ( 2n + 1) 22 n C22nn++11 = 2005 k ( Cn số tổ hợp chập k n phần tử) Bài tập Với n số nguyên dương, chứng minh rằng: Cn0 sin a + Cn1 sin 2a + Cn2 sin 3a + + Cnn sin( n + 1) a = n cos n a n+2 sin a 2 Bài tập Với n số nguyên dương, chứng minh rằng: Cn0 cos a + Cn1cos2a + Cn2 cos3a + + Cnn cos(n + 1)a = 2n cos n a n+2 cos a 2 Bài tập (Trích đề thi HSG lớp 12 - Ninh Bình, Vòng năm học 2010 - 2011) Cho m, n số tự nhiên < m < n Chứng minh n − m +1 n −i n + ∑ i.Cn −1 = Cnm i =1 m +1 Bài tập 10 (Trích đề thi HSG lớp 11 - Hà Tĩnh, năm học 2012 - 2013) Cho khai triển ( + x + x + + x10 ) = a0 + a1 x + + a110 x110 Chứng minh 11 C110 a0 − C111 a1 + + C1110 a10 − C1111a11 = 11 HD: Xét ( − x ) 11 ( 1+ x + x + + x10 ) = ( − x11 ) 11 11 Bài tập 11 Cho khai triển ( + x + x + x + + x 2010 ) 2011 = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + + a4042110 x 4042110 a) Tính tổng a0 + a2 + a4 + + a4042110 b) Chứng minh đẳng thức sau: 2010 2011 C2011 a2011 − C2011 a2010 + C2011 a2009 − C2011 a2008 + + C2011 a1 − C2011 a0 = −2011 Trang 26/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Hướng dẫn  a0 + a1 + a2 + + a4042110 = 20112011 a) Từ khai triển cho x = −1; x = ta   a0 − a1 + a2 − + a4042110 = Cộng vế hai đẳng thức chia hai vế cho ta A = a0 + a2 + a4 + + a4042110 = 20112011 + b) Xét x ≠ từ khai triển ta có ( − x 2011 ) 2011 = ( 1− x) 2011 (a + a1 x + a2 x + + a4042110 x 4042110 ) Hệ số x 2011 vế trái −C2011 = −2011 2010 2011 Hệ số x 2011 vế phải C2011a2011 − C2011a2010 + C2011a2009 − C2011a2008 + + C2011 a1 − C2011 a0 2010 2011 Từ ta có đẳng thức C2011a2011 − C2011a2010 + C2011a2009 − C2011a2008 + + C2011 a1 − C2011 a0 = −2011 2013 Bài tập 12 Xét khai triển: ( + x ) ( + x ) ( + 2013 x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a2013 x Tính a2 + + 22 + + 20132 ) ( Hướng dẫn    2013  Ta có ( + x ) ( + x ) ( + 2013 x ) = +  ∑ k ÷x +  ∑ i j ÷x + A.x  k =1   1≤i < j ≤2013  Suy a2 = ∑ i j = 1≤i < j ≤ 2013 1 ( + + + 2013) − ( 12 + 22 + + 20132 )   2  2013 × 2014  ( 2013 ×1007 ) 2 + + + 2013 = ( ) 2 ÷ = 2   ⇒ a2 + Bài tập 13 (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014) Tính tổng S = C2013 + 22 − 1 23 − 2 22014 − 2013 2013 C2013 + C2013 + + C2013 2014 4 n−2 4n n Bài tập 14 Với n số nguyên dương, chứng minh C4 n − C4 n + C4 n − − C4 n + C4 n = (−4) n −1 Bài tập 15 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C4 n + C4 n + C4 n + + C4 n = 1024 Bài tập 16 Với n số nguyên dương, chứng minh 1.22 C22n + 2.24 C24n + 3.26 C26n + + n.22 n C22nn = n ( 32 n −1 + 1) Bài tập 17 Tính tổng S = ( a − 1) Cn0 + a − 1 a3 − a n +1 − n Cn + Cn + + Cn với a ∈ ¡ n +1 Trang 27/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài tập 18 Tính tổng S = 1 Cn0 + Cn1 + + Cnn 1.2.3 2.3.4 ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) Trang 28/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi hiệu số hệ thống câu hỏi tập xây dựng nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Nội dung thực nghiệm Dạy thử nghiệm số hệ thống câu hỏi tập xây dựng chương II theo hướng phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng quát hóa … từ bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT Tổ chức thực nghiệm Thiết kế phiếu học tập cho tiết dạy minh họa: Phiếu học tập số 1) Viết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ( a + b ) ? n ………………………………………………………………………………………………… 2) Em chọn a, b, n hợp lí công thức khai triển để tính tổng sau: n a) S1.1 = Cn + Cn + Cn + + Cn n n b) S 2.1 = Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn n n −1 n c) S3.1 = Cn + Cn + + Cn d) S 4.1 = 3n Cn0 − 3n−12Cn1 + 3n− 22 Cn1 − + ( −2 ) Cnn n Tìm tòi, mở rộng (Phiếu học tập số 1) GV: Yêu cầu học sinh nhận xét hệ số đứng trước tổ hợp số hạng tổng cần tính? HS: Hệ số lũy thừa với số mũ tự nhiên tăng dần giảm dần GV: Bằng cách chọn a, b, n khai triển ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n −2b + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n Em đưa toán dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp GV: Yêu cầu học sinh nhận xét số tổ hợp tổng từ S1.1 → S 4.1 ? HS: Chỉ số số tự nhiên liên tiếp tăng dần GV: Với cách chọn a, b, n hợp lí khai triển, em tính tổng sau không? S5.1 = Cn0 + Cn2 + Cn4 + S5.2 = Cn1 + Cn3 + Cn5 + S6.1 = 32 n C20n + 32 n − 22 C22n + 32 n −4 C24n + + 22 n C22nn Trang 29/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Phiếu học tập số 2 n Cho S1.2 = Cn + 2Cn + 3Cn + 4Cn + + nCn a) Với cách chọn a, b, n tương tự Phiếu học tập số 1, em tính S1.2 không? b) Sử dụng đạo hàm khai triển Niu-tơn ( + x ) để tính tổng S1.2 n k c) Một học sinh nhận xét số hạng tổng quát tổng S1.2 có dạng kCn với ≤ k ≤ n k k −1 ta sử dụng công thức kCn = nCn −1 (1) với ≤ k ≤ n để tính S1.2 Theo em nhận xét có không? Nếu em chứng minh công thức (1) vận dụng để tính S1.2 k n−k d) Em sử dụng công thức Cn = Cn với k ≤ n để tính tổng S1.2 Tìm tòi, mở rộng (Phiếu học tập số 2) GV: Tương tự, yêu cầu học sinh chứng minh đẳng thức sau: 100 101 C101 + 2.31.C101 + 3.32.C 101 + + 100.399.C101 + 101.3100.C101 = 101.4100 GV: Em có nhận xét mối quan hệ hệ số số tổ hợp tổng S1.2 ? HS: Hệ số số tổ hợp tổng S1.2 ? GV: Qua cách tính tổng nhờ sử dụng đạo hàm, em đưa ví dụ tổng tương tự S1.2 mà có hệ số số tổ hợp k đơn vị? n HS: Tính S6 = kCn + ( k + 1) Cn + + ( k + n ) Cn , ta chọn k ∈ ¥ * cụ thể GV: Sử dụng đạo hàm cấp hai khai triển nhị thức ( + x ) tính tổng n S = 1.2Cn2 + 2.3Cn3 + 3.4Cn4 + + ( n − 1) nCnn GV: Sử dụng đạo hàm cấp khai triển nhị thức ( + x ) , tính tổng n S = 1.2.3Cn3 + 2.3.4Cn4 + + ( n − ) ( n − 1) nCnn k k −1 GV: Nhấn mạnh cách sử dụng công thức kCn = nCn −1 (1) với ≤ k ≤ n + Ta thấy sau sử dụng công thức (1) số hạng tổng S5 có hệ số đứng trước tổ hợp số không đổi, toán đưa dạng tính tổng tổ hợp Phiếu học tập số k k −1 + Áp dụng liên tiếp hai lần công thức kCn = nCn −1 ta có ( k − 1) ( kCnk ) = ( k − 1) nCnk−−11 = n ( k − 1) Cnk−−11  = n ( n − 1) Cnk−−22 n Từ tính tổng S = 1.2Cn + 2.3Cn + 3.4Cn + + ( n − 1) nCn k k −1 2 2 n + Sử dụng linh hoạt công thức kCn = nCn −1 , tính tổng S = Cn + Cn + + n Cn Trang 30/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp k 2Cnk = k kCnk = k nCnk−−11 = n ( k − 1) + 1 Cnk−−11 = n ( n − 1) Cnk−−22 + nCnk−−11 k k −1 + Sử dụng linh hoạt công thức kCn = nCn −1 ⇒ C 2015 + C 2015 + + C 2015 2015 = n k = k −1 , chứng minh đẳng thức k Cn Cn −1 1008  1   + + + 2014 ÷ 2015  C2014 C2014 C2014  GV: Qua cách giải ta thấy, điểm mạnh cách giải theo đạo hàm giúp ta sáng tạo toán Phiếu học tập số Cho S1.3 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn = + + + + n +1 a) Xác định số hạng tổng quát tổng S1.3 ? b) Tương tự Phiếu học tập số 2, em tìm cách biến đổi thích hợp số hạng tổng quát để đưa tổng S1.3 dạng tính tổng Phiếu học tập số 1? c) Ta có công thức nguyên hàm n ∫ x dx = x n +1 + C , n ∈ ¥ * Em sử dụng công thức kết n +1 hợp với khai triển nhị thức ( + x ) để tính tổng S6 n Tìm tòi, mở rộng: Hướng dẫn HS tiếp tục phát triển toán theo hướng Phiếu học tập số Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 12 số trường THPT Số lượng học sinh lớp 35 Lớp thực nghiệm 12A, lớp đối chứng 12B Trình độ nhận thức hai lớp đánh giá tương đương Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn Tiến trình tổ chức thực nghiệm: Tác giả trực tiếp giảng dạy hệ thống tập lớp lớp 11A, 12A (lớp chọn khối) từ năm 2014 đến năm 2016 Đánh giá thực nghiệm a) Kiểm tra Sau hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết thực nghiệm tác giả tiến hành cho học sinh hai lớp 12A, 12B (được đánh giá tương đương nhau) làm kiểm tra 45 phút Nội dung đề kiểm tra sau: Bài kiểm tra Thời gian làm bài: 45 phút Bài Chứng minh đẳng thức sau: 100 C100 + 3C100 + 32 C100 + 33 C100 + + 350 C100 = (1 + 3)100 + (12 Trang 31/33 3)100 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp 11 10 10 11 Bài S = C20C12 + C20C12 + + C20 C12 + C20C12 Bài Tìm số tự nhiên n ³ thỏa mãn hệ thức: n 2Cn0 + (n- 1) Cn1 + (n- 2) Cn2 + + 22 Cnn- + 12 Cnn- = 28160 Mục tiêu kiểm tra nhằm kiểm tra xem học sinh sau học tập chuyên đề (sáng kiến) có linh hoạt việc xử lý tình không; có vận dụng phương pháp giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp không; có biết cách phân tích giả thiết toán để lựa chọn phương pháp giải toán không b) Đánh giá kết thực nghiệm Về thái độ học tập học sinh Học sinh hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng lực tự học, học sinh người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh hút vào hoạt động cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số em nắm vững kiến thức có ý thức hoàn thành hoạt động công việc mà giáo viên giao cho Về kết kiểm tra Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 12B Thực nghiệm 21,3% 53,2% 14,9% 10,6% 6,4% 38,3% 34% 21,3% 12A Phân tích kết kiểm tra Lớp đối chứng có 78,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 25,5% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 93,6% đạt điểm từ trung bình trở lên, 55,3% đạt khá, giỏi Nhận xét Lớp đối chứng: Khả tiếp cận toán có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải nhiều thiếu xót Lớp thực nghiệm: Khả vận dụng linh hoạt hơn, có sáng tạo Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ Bên cạnh đó, hai lớp có học sinh dừng lại việc bắt chước số tập mẫu, chưa hiểu rõ chất vấn đề làm ý a) tập Kết luận Kết thực nghiệm bước đầu thể tính hiệu tính khả thi đề tài Trang 32/33 Kinh nghiệm dạy học giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp KẾT LUẬN Sáng kiến có kết sau đây: Sáng kiến trình bày kinh nghiệm, phương pháp giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập giúp học sinh hiểu rõ chất, phương pháp giải toán tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp Từ đó, học sinh tự xây dựng toán tương tự, toán Chính điều kích thích say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Sáng kiến kết tinh kinh nghiệm kiểm chứng qua hoạt động giảng dạy lớp ôn bồi dưỡng HSG nhiều năm đạt kết đáng khích lệ Xây dựng tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh ôn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, bạn đồng nghiệp Tuy nhiên chắn nội dung sáng kiến không tránh khỏi khiếm khuyết định Rất mong nhận góp ý, phê bình thầy, cô bạn bè đồng nghiệp Xác nhận BGH Tổ trưởng chuyên môn Ninh Bình, ngày tháng năm 2016 NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN Tống Thị Nguyệt Nguyễn Mạnh Hà Trang 33/33 Nguyễn Tử Phúc [...]... đã trình bày các kinh nghiệm, phương pháp giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp 2 Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến Việc tự giải quyết hệ thống bài tập giúp học sinh hiểu rõ bản chất, phương pháp giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Từ đó, học sinh có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới Chính điều đó... Trang 29/33 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Phiếu học tập số 2 1 2 3 4 n Cho S1.2 = Cn + 2Cn + 3Cn + 4Cn + + nCn a) Với cách chọn a, b, n tương tự như Phiếu học tập số 1, em có thể tính được S1.2 không? b) Sử dụng đạo hàm trong khai triển Niu-tơn ( 1 + x ) để tính tổng S1.2 n k c) Một học sinh nhận xét rằng số hạng tổng quát trong tổng S1.2 có... Trang 28/33 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số hệ thống câu hỏi và bài tập được xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh 2 Nội dung thực nghiệm Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập đã xây dựng... Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp ⇒ S = 2n.22 n − 2 + 22 n −1 k k −1 Trong các ví dụ trên, khi sử dụng công thức kCn = nCn −1 sẽ giúp đưa các bài toán về dạng cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn Tuy nhiên, nếu viết lại công thức đó dưới dạng n k = k −1 ta k Cn Cn −1 có thể tạo ra được một số bài toán khác Ta xét ví dụ sau:  Ví dụ 12.2 Chứng minh. .. những học sinh chỉ dừng lại ở việc bắt chước một số bài tập mẫu, chưa hiểu rõ bản chất vấn đề và chỉ làm được ý a) trong mỗi bài tập Kết luận Kết quả thực nghiệm bước đầu đã thể hiện tính hiệu quả và tính khả thi của đề tài Trang 32/33 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp KẾT LUẬN Sáng kiến đã có các kết quả chính sau đây: 1 Sáng kiến đã trình bày các kinh. .. dương, chứng minh 1.22 C22n + 2.24 C24n + 3.26 C26n + + n.22 n C22nn = n ( 32 n −1 + 1) Bài tập 17 Tính tổng S = ( a − 1) Cn0 + a 2 − 1 1 a3 − 1 2 a n +1 − 1 n Cn + Cn + + Cn với a ∈ ¡ 2 3 n +1 Trang 27/33 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp Bài tập 18 Tính tổng S = 1 1 1 Cn0 + Cn1 + + Cnn 1.2.3 2.3.4 ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3) Trang 28/33 Kinh nghiệm. .. kiểm tra như sau: Bài kiểm tra Thời gian làm bài: 45 phút Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau: 0 2 4 6 100 C100 + 3C100 + 32 C100 + 33 C100 + + 350 C100 = (1 + 3)100 + (12 Trang 31/33 3)100 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp 0 11 1 10 10 1 11 0 Bài 2 S = C20C12 + C20C12 + + C20 C12 + C20C12 Bài 3 Tìm số tự nhiên n ³ 2 thỏa mãn hệ thức: n 2Cn0 + (n-... đẳng thức đẹp! Nhận xét: - Trong Ví dụ 7.2 ta thấy khoảng cách giữa các chỉ số trên bằng 4 nên ta có thể giải tương tự các bài toán trên với số phức z = cos 2π 2π + i sin = −1 2 2 - Trong Ví dụ 29.2 ta thấy khoảng cách giữa các chỉ số trên bằng 4 nên ta có thể giải tương tự các bài toán trên với số phức z = cos 2π 2π + i sin =i 4 4 Trang 25/33 Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng. .. tiêu của bài kiểm tra này nhằm kiểm tra xem học sinh sau khi được học tập chuyên đề (sáng kiến) có linh hoạt trong việc xử lý các tình huống không; có vận dụng được phương pháp giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp không; có biết cách phân tích giả thiết của bài toán để lựa chọn phương pháp giải toán không b) Đánh giá kết quả thực nghiệm Về thái độ học tập của học sinh Học sinh.. .Kinh nghiệm trong dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp 1 2 3 4 n  Ví dụ 8.2 Tính S = Cn + 2Cn + 3Cn + 4Cn + + nCn k Phân tích: Vì các số hạng trong tổng S đều có dạng kCn với 0 ≤ k ≤ n nên không thể sử dụng trực tiếp khai triển ( a + b ) với a, b, n hợp lí để tính được S n Hướng dẫn: Cách 1 k + Ta có kCn = k ( n − 1) ! n! =