MỞ ĐẦU Môn Toán là môn học trang bị cho học sinh kiến thức, kĩ và phương pháp tư Thông qua môn học, giúp học sinh phát triển lực trí tuệ, khả tư duy, hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và có thói quen tự học thường xuyên, tạo tiền đề cho môn học khác và việc học tập sau phổ thông Vì vậy dạy học chúng trăn trở, tìm tòi phương pháp nhằm cuốn hút các em vào mỗi bài học Ở đó, các em nhận thức được vai trò trung tâm của mình, các em lĩnh hội tri thức thông qua tự giải quyết vấn đề, tự hướng dẫn, tìm tòi và cộng tác với bạn bè Bài toán hình học không gian dạng toán khó học sinh phổ thông bài toán thường xuất đề thi Tốt nghiệp, Đại học, Cao đẳng trước , đề thi THPT Quốc gia 2015 và các đề thi Học sinh Giỏi Bài toán hình học không gian toán tổng hợp nhiều kiến thức hình học không gian, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian từ quan hệ song song đến quan hệ vuông góc làm Có thể nói em giải toán hình học không gian điểm làm đề thi THPT Quốc gia môn Toán Nhưng thực tế phần lớn em không thích học hình không gian chuyên đề học sinh, đòi hỏi học sinh phải biết liên hệ với mảng kiến thức hình học phẳng học từ cấp hai chuyên đề khó học sinh nên có nhiều học sinh không học, có thành kiến học được, có đề thi bỏ Chính vậy, để giúp em xoá phần thành kiến đó, để em học sinh không giỏi tiếp cận với đề thi THPT Quốc gia tạo tâm lí nhẹ nhàng học tự tin thi, xin trình bày số sáng kiến đề tài: " Các hướng tiếp cận khác giải toán hình học không gian lớp 11, 12 " Đây mảng kiến thức cần thiết em học chương trình lớp 12, em phải sử dụng tổng hợp kiến thức hình học không gian lớp 11 Điều khó khăn học sinh trung bình em giải toán tính thể tích khối đa diện câu liên quan, câu hỏi thường xuất đề thi THPT Quốc gia Vì vậy, gặp toán làm để tiếp cận được? Có thể giải cách nào? Các toán có mở rộng không ? Để học sinh trung bình giải toán mà không cần phải sử dụng nhiều đến kiến thức hình học không gian, khắc phục cách cung cấp cho học sinh phương pháp toạ độ hoá Đó vấn đề mà trình bày sáng kiến NỘI DUNG A GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM Trước dạy học giải toán hình học không gian, thường dạy sau: Cung cấp lí thuyết Cho tập áp dụng Gọi học sinh lên bảng trình bày Giáo viên chữa nhận xét Vì thế mà thấy rằng phương pháp đó có những hạn chế là: Học sinh lúng túng, không biết vận dụng lí thuyết vào làm bài tập Học sinh được rèn luyện kĩ ít Học sinh không biết qui lạ về quen Học sinh không thấy mối liên hệ toán Học sinh gặp khó khăn giải bài toán, không B GIẢI PHÁP MỚI CẢI TIẾN Để khắc phục những hạn chế trên, đã cải tiến phương pháp dạy giải toán hình học không gian thông qua giải pháp sau: Cung cấp toán mở đầu Hướng dẫn thiết lập hệ tọa độ Oxyz cho số hình cụ thể cung cấp phương pháp tọa độ hóa để giải toán hình học không gian Hệ thống kiến thức liên quan Hệ thống tập vận dụng Hướng dẫn học sinh tìm hiểu toán, phân tích toán Định hướng giúp học sinh tìm cách giải khác khai thác, nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất toán tương tự Hệ thống bài tập tự luyện Ưu điểm của giải pháp mới: Học sinh được củng cố kiến thức cũ 2 Đứng trước một bài toán học sinh biết phân tích kiện toán, tìm mối liên hệ đại lượng biết đại lượng cần tìm để định hướng phương pháp giải Có nhiều hướng giải quyết toán nên linh hoạt việc giải toán Rèn luyện cho học sinh tư tổng hợp Biết giải toán hình học không gian phương pháp toạ độ hoá, từ ôn tập kiến thức hình giải tích không gian Cách khai thác bài toán, giúp học sinh hiểu toán sâu hơn, thấy mối liên hệ toán Học sinh không còn bỡ ngỡ giải các bài toán hình học không gian từ giúp học sinh biết qui lạ về quen, giúp học sinh tư sâu hơn, có nhìn rộng kiến thức cũ mới, tạo liên kết hai chiều xuôi ngược Hệ thống bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất cho từng bài Rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng linh hoạt, sáng tạo kỹ tính toán, trình bày thi C PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH I GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Để giải toán, khó khăn học sinh việc xác định kiện toán Vì vậy, trước toán có ý thức giúp học sinh tìm hiểu toán, tìm tòi lời giải toán, giải toán khai thác toán để tạo tư giải toán linh hoạt cho học sinh Bài toán mở đầu: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , BM vuông góc với DN, với M, N trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hướng dẫn học sinh tìm hiểu toán tìm lời giải cho toán Câu hỏi gợi mở H1 Bài toán cho gì? Yêu cầu gì? Yêu cầu đạt Đ1 Bài toán cho: ● S.ABCD hình chóp ● BM ⊥ DN Bài toán yêu cầu: Tính thể tích khối chóp S.ABCD H2 Hình chóp S.ABCD có tính Đ2 ABCD hình vuông chất gì? SO ⊥ ( ABCD ) với O giao điểm AC BD · , DN ) H3 Làm để xác định Đ3 Dựng ( BM BM ⊥ DN ? (Đây nói bước khó khăn học sinh) H4 Để tính thể tích khối chóp Đ4 Diện tích đáy đường cao S.ABCD cần tính đại lượng nào? H5 Yếu tố tính được? Đ5 Diện tích đáy H6 Còn phải tính yếu tố nào? Đ6 Đường cao SO Sau tìm hiểu toán giáo viên yêu cầu học sinh học sinh vẽ hình: · , DN ) tính SO Bài toán đặt học sinh vào tình huống: Dựng ( BM · , DN ) ta cần nhớ lại góc hai đường thẳng Để dựng ( BM Và từ kiến thức học giúp học sinh ghi nhớ Cách dựng (a¶ , b) Cách 1: Chọn O thuộc a (hoặc b), dựng b' qua O song song với b (hoặc a) Khi góc a b' (hoặc b b') góc a b Cách : Ta chọn ( P) ⊃ a,(Q) ⊃ b cho ( P ) ∩ (Q) = d dễ xác định Chọn O ∈ d , qua O dựng đường thẳng song song với a, b a’, b’ Khi góc a’ b’ góc a b Cách 3: Sử dụng phương pháp vectơ Cách 4: Sử dụng phương pháp toạ độ hoá · , DN ) Từ học sinh dựng ( BM · , DN ) làm để tính SO? Sau dựng ( BM Dẫn đến toán: Tính SO = 3OG = EF = 3OE Làm để tính EF? Lúc giáo viên vẽ riêng mặt đáy mặt phẳng toán quy toán tính toán hình học phẳng (bài toán trở nên đơn giản hơn, giải xong khó khăn cho học sinh) Học sinh dễ dàng phát cách tính EF Cách 1: Tính dựa vào tam giác OED theo định lý côsin Cách 2: Gọi J = EF ∩ CD ⇒ EF = IF Tính IF theo định lý Pitago tam giác IFC Và toán giải xong · , DN ) tính Giáo viên lại đặt tình ta không dựng ( BM SO? Việc gắn vào hình chóp S.ABCD hệ tọa độ Oxyz có đơn giản không? Học sinh nghĩ đến phương pháp tọa độ hóa Nếu sử dụng phương pháp tọa độ hóa ta cần phải làm bước nào? Câu hỏi gợi mở Yêu cầu đạt H1 Chọn hệ tọa độ Oxyz? Đ1 Ox ≡ OA; Oy ≡ OB; Oz ≡ OS H2 Đọc tọa độ điểm nào? Đ2 O, M, N Suy phải đọc toạ độ điểm B, D, S, A, C H3 Cách đọc tọa độ đỉnh hình chóp? Đ3 Dựng hình chiếu B, D, S, A, C Ox, Oy, Oz H4 Tính SO? Đ4 Đặt SO = h uuuur uuur BM ⊥ DN ⇒ BM DN = ⇒ h Hướng giải giúp học sinh cảm thấy nhẹ nhàng so với cách đồng thời giúp học sinh có nhiều hướng nhìn khác giải toán Sau yêu cầu học sinh trình bày lời giải toán theo cách mà em lựa chọn Nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất toán Sau hướng dẫn học sinh giải xong toán trên, dựa kết toán (Với giả thiết BM vuông góc với DN ta tính SO, hình chóp S.ABCD hoàn toàn xác định biết chiều cao diện tích đáy), đặt cho học sinh: I.1 Câu hỏi bổ sung: Câu hỏi 1: Hãy tính: Góc hai đường thẳng AB SC; BM SC Góc đường thẳng DN mặt phẳng (SBC) Góc hai mặt phẳng (BND) (SAC) Câu hỏi 2: Hãy tính: Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD) Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC Khoảng cách hai đường thẳng AN BD Rõ ràng, hướng dẫn học sinh giải toán phương pháp tọa độ, em đọc tọa độ đỉnh, điểm có liên quan, tìm vectơ phương đường thẳng, vectơ pháp tuyến mặt phẳng việc giải câu hỏi bổ sung đơn giản Trong đó, giải toán theo hướng hình học không gian tổng hợp thông thường khó Như vậy, việc giúp học sinh tiếp cận toán nhiều phương pháp khác giải toán hình học không gian cần thiết Giáo viên số lượng câu hỏi nhiều hơn, nhằm rèn luyện kỹ tính toán trình bày cho học sinh I.2 Thay đổi kiện đáy: Hướng 1: Ẩn điểm D cũ Thay điểm D1 giữ nguyên giả thiết ban đầu, D1 đối xứng với A qua D Ta có toán sau: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD1 có đáy ABCD1 hình thang vuông A B AD1 = a Gọi M, N, D, O trung điểm SA, SC, AD1, AC SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), BM vuông góc với DN Hãy tính: Thể tích khối chóp S.ABCD1 Góc hai đường thẳng AB SC; BM SC Góc đường thẳng D1N mặt phẳng (SBC) Góc hai mặt phẳng (BND1) (SAC) Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD1) Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC Khoảng cách hai đường thẳng AN BD1 Hướng 2: Bỏ điểm B, tạo đường thẳng song song với đường thẳng BM (vì lúc không điểm B) OK (với K trung điểm DM) Khi giả thỏa mãn: AB = BC = thiết BM vuông góc với DN toán gốc chuyển thành OK vuông góc với DN Ta có toán sau: Bài 2: Cho hình chóp S.ACD có mặt bên SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Đáy ACD tam giác vuông cân D thỏa mãn AD = CD = a Gọi M, N, O, K trung điểm SA, SC, AC DM, biết OK vuông góc với DN Hãy tính: Thể tích khối chóp S.ACD Góc hai đường thẳng AD SC Góc đường thẳng DM mặt phẳng (SCD) Góc hai mặt phẳng (CDM) (SAD) Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD) Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC Khoảng cách hai đường thẳng MN SD Tương tự, ta thay đổi đáy ABCD hình vuông mà đáy ABCD hình chữ nhật, hình thoi Từ ta có nhiều toán khác I.3 Thay đổi kiện chiều cao Trong toán gốc, học sinh dễ dàng thấy SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), với O tâm hình vuông ABCD Bây giữ nguyên giả thiết đáy, thay đổi hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) cách kéo đỉnh S di chuyển Hướng 1: Hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) A ta có toán sau: Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm SA, SC Biết BM vuông góc với DN Hãy tính: Thể tích khối chóp S.ABCD Góc hai đường thẳng AB SC; BM SC Góc đường thẳng DN mặt phẳng (SBC) Góc hai mặt phẳng (BND) (SAC) Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD) Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC Khoảng cách hai đường thẳng AN BD Hướng 2: Hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) G trọng tâm tam giác ABC, ta có toán sau: Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm SA, SC Biết BM vuông góc với DN Hãy tính: Thể tích khối chóp S.ABCD Góc hai đường thẳng AB SC; BM SC Góc đường thẳng DN mặt phẳng (SBC) Góc hai mặt phẳng (BND) (SAC) Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD) Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC Khoảng cách hai đường thẳng AN BD Tương tự, ta thay đổi vị trí hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) đến vị trí muốn Từ đó, ta có nhiều toán khác I.4 Thay đổi giả thiết BM vuông góc với DN Trong toán gốc, giả thiết cho BM vuông góc với DN, cho góc hai đường thẳng BM DN 90 Ta chọn góc hai đường thẳng BM DN α với α = 300 ,α = 450 , α = 600 ta có nhiều toán Chẳng hạn, chọn α = 600 ta có toán sau: Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M, N trung điểm SA, SC Biết BM tạo với DN góc 600 Hãy tính: Thể tích khối chóp S.ABCD Góc hai đường thẳng AB SC; BM SC Góc đường thẳng DN mặt phẳng (SBC) Góc hai mặt phẳng (BND) (SAC) Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD) Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC Khoảng cách hai đường thẳng AN BD I.5 Chuyển giả thiết thành kết luận ngược lại Với kết tính phần câu hỏi bổ sung, ta chuyển thành giả thiết giả thiết BM vuông góc với DN thành kết luận, ta có toán sau: Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a AB SC tạo với góc α thỏa mãn tanα = 11 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm SA, SC Tính góc hai đường thẳng BM DN Tính góc hai mặt phẳng (BND) (SAC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AN BD I.6 Lồng khối chóp vào khối lăng trụ Lồng khối chóp S.ABCD vào khối lăng trụ tứ giác với vai trò S A’ Ta có toán Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu A’ trùng với tâm O hình vuông Gọi M, N trung điểm AA’, CA’ thỏa mãn BM vuông góc với DN Hãy tính thể tích khối lăng trụ Với đề toán nêu trên, rõ ràng phương pháp tọa độ hóa phát huy tác dụng Vì thực tế, việc xác định góc cần tính, khoảng cách cần tính khó khăn với đa số học sinh, em học chương trình hình học lớp 11 nên dường quên nhiều Vì việc trang bị cho em kỹ giải toán hình học không gian phương pháp tọa độ cần thiết II GIẢI PHÁP 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THIẾT LẬP HỆ TỌA ĐỘ OXYZ CHO MỘT SỐ HÌNH CỤ THỂ VÀ CUNG CẤP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN II.1 Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho số hình cụ thể Trong nội dung đưa cho học sinh số hình thường gặp tập: hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương để em tự xây dựng gắn hệ toạ độ Oxyz cách thích hợp dạng hoạt động nhóm sau em học xong "Hệ toạ độ không gian" Sau nội dung hoạt động nhóm: Thiết lập hệ toạ độ hình sau: II.1.1 Hình chóp: II.1.1.1 Hình chóp 1.1 Hình chóp tam giác SABC 1.2 Hình chóp tứ giác SABCD 10 kẻ AH ⊥ A'N ⇒ AH ⊥ ( AA'N ) ⇒ AH = d ( A,( A ' BE )) 1 1 ⇒ = + = 2+ 2= 2 2 AH AA ' AN 9a 3a 9a 3a ⇒ AH = Tính d ( A ' C , BC ') Cách 1: Ta có AC // BE; AC = BE ⇒ A’C’// BE; A’C’ = BE ⇒ A’C’BE hình bình hành nên BC’//A’E ⇒ BC’//(A’EC) ⇒ d ( BC ', A ' C ) = d ( BC ',( A ' CE )) = d ( B,( A ' CE )) = d ( A,( A ' CE )) Gọi G = EC ∩ AM ⇒ G = AM ∩ ( A ' EC ) Mà AM ⊥ ( A ' EC ) ⇒ AA’EG tứ diện vuông A ⇒ d ( A,( A ' CE )) = d ( A,( A ' EG )) = h ⇒ 1 1 1 1 10 3a = + + = 2+ 2+ = + + = ⇒h= 2 2 h AA ' AE AG 9a 4a  9a 4a 4a 9a 10   a ÷ 3  Vậy d ( BC ', A ' C ) = 3a 3a 10 = 10 10 Cách 2: Gọi I = BC '∩ B ' C ⇒ I trung điểm BC’ B’C Gọi K trung điểm A’B’ ⇒ IK//A’C ⇒ A'C//(BKC') ⇒ d ( A ' C , BC ') = d ( A ' C ,( BKC ')) = d ( A ',( BKC ')) = d ( B ',( BKC ')) ( ABB ' A ') ⊥ C ' K ⇒ ( ABB ' A ') ⊥ ( BKC ') ; ( ABB ' A ') ∩ ( BKC ') = KB Trong ( ABB'A') kẻ B ' Q ⊥ BK ( Q ∈ BK ) ⇒ B ' Q ⊥ ( BKC') ⇒ B ' Q = d ( B ',( BKC ')) 41 ⇒ 1 1 10 3a 3a 10 = + = + = ⇒ B ' Q = = B ' Q B ' K BB '2 a 9a 9a 10 10 Tính d ( C ', ( ABD ) ) Để tính d ( C ', ( ABD ) ) học sinh gặp khó khăn dựng hình chiếu C’ (ABD) Vì giáo viên định hướng cho học sinh phương pháp gián tiếp Muốn cần yêu cầu học sinh tìm điểm mà khoảng từ điểm đến (ABD) dễ tính Câu hỏi gợi mở Yêu cầu đạt H1 Khoảng cách từ điểm đến Đ1 MA ⊥ MB; MD ⊥ ( ABC ) (ABD) dễ tính nhất? Tính ⇒ MABD tứ diện vuông M khoảng cách đó? ⇒ d ( M , ( ABD ) ) = h Dễ dàng tính 1 1 13 3a = + + = ⇒ h = h 3a a 9a 9a 13 H2 d(C’,(ABD)) d(M,(ABD)) có Đ2 C’M//BD ⇒ C’M//(ABD) mối quan hệ gì? ⇒ d (C ',( ABD)) = d ( M ,( ABD )) = Ta dùng thể tích để tính d ( C ', ( ABD ) ) 3a 13 Như với ý tính khoảng cách học sinh phải vẽ riêng hình trường hợp nhiều thời gian ( không vẽ riêng khó nhìn) Liệu có cách khắc phục điều đó? Và em giải câu hỏi phương pháp hình học thông thường phương pháp không? Vì em tiếp cận với loạt toán nên chắn em nghĩ đến phương pháp tọa độ hóa Và để tọa độ hóa em phải gắn hệ tọa độ vào hình lăng trụ đều, hệ tọa độ chọn nào? Vì toán quen thuộc nên em dễ thấy gắn hệ tọa độ Oxyz sau: 42 Chọn hệ tọa độ sau O ≡ M ; Ox ≡ MB; Oy ≡ MA; Oz ≡ MD Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( A 0; −a 3;0 ; B ( a;0;0 ) ; C ( −a;0;0 ) ; A ' −a 3;3a;0 ; B ' a;0; a ; C ' −a;0; a ) Khi cách dùng công thức học sinh dễ dàng tính khoảng cách Việc làm làm cho học sinh cảm thấy việc tích khoảng cách trở nên nhẹ nhàng hơn, với học sinh không giỏi Qua toán giúp cho học sinh nhớ tính chất lăng trụ để vận dụng giải toán Nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất toán Sau hướng dẫn học sinh trình bày xong lời giải toán trên, dựa kết đó, đặt ra: ● Câu hỏi bổ sung: Câu hỏi 1: Hãy tính: 1.Góc hai đường thẳng AM BN, với M, N trung điểm BC B’C’ 2.Tính góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ACC’A’) ● Chuyển giả thiết thành kết luận ngược lại Với giả thiết ban đầu cho góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 30 Yêu cầu tính khoảng cách hai đường thẳng A’B AC Khi đó, đảo lại ta có toán sau: Bài 5.1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy 2a, khoảng cách hai đường thẳng A’B AC 2a Hãy tính: 43 1.Thể tích lăng trụ 2.Góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 3.Khoảng cách hai đường thẳng A’C BC’ Gọi D trung điểm B’C’ Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (ABD) ● Thay đổi kiện đáy Mở rộng khối lăng trụ tam giác thành khối lăng trụ tứ giác ta có: Bài 5.2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách hai đường thẳng AB A’D độ dài đường chéo mặt bên Hãy tính thể tích lăng trụ Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD=a 3; hình chiếu ( ADD ' A ') , ( ABCD ) ) = 60 (· A’ (ABCD) trùng với O = AC ∩ BD , Tính thể tích khối hộp Tính d ( D ', ( A ' BD ) ) Hướng dẫn Tính thể tích khối hộp Câu hỏi gợi mở Yêu cầu đạt H1 Xác định đại lượng cần tính? Đ1 Đường cao diện tích đáy hình hộp H2 Xác định đường cao hình Đ2 A’O hộp? H3 Dựng góc (ADD’A’) Đ3 Kẻ OM ⊥ AD M (M trung 44 (ABCD)? điểm AD) A ' O ⊥ AD ⇒ ( A ' OM ) ⊥ AD ⇒ A ' M ⊥ AD ⇒ (· ( ADD ' A ') , ( ABCD ) ) = ·A ' MO = 600 H4 Tính thể tích khối hộp? Đ4 A ' O = OM tan 600 = a ; S ABCD = a ⇒ VABCD A ' B ' C ' D ' = A ' O.S ABCD 3a = 2 Tính d ( D ', ( A ' BD ) ) Câu hỏi gợi mở Yêu cầu đạt H1 Cách tính d ( D ',( A ' BD)) ? Đ1 Gián tiếp thông qua d ( A,( A ' BD)) H2 Hãy tính d ( A,( A ' BD)) ? Đ2 Kẻ AH ⊥ BD H, A ' O ⊥ AH ⇒ ( A ' BD ) ⊥ AH ⇒ d ( A, ( A ' BD)) = AH 1 1 = + = 2+ = 2 2 AH AB AD a 3a 3a ⇒ AH = H3 Khoảng cách d ( D ',( A ' BD)) ? a Đ3 A ' D ∩ AD = I ⇒ A ' D ∩ ( A ' BD ) = I , IA = ID ' ⇒ d ( D ',( A ' BD)) = d ( A,( A ' BD)) = a Ta dùng thể tích để tính d ( A,( A ' BD)) Từ tập trên, học sinh trung bình yếu dễ dàng chọn cách tọa độ hóa để tính d ( D ',( A ' BD)) sau: Chọn hệ tọa độ sau: O ≡ O; Ox ≡ ON ; Oy ≡ OM ; Oz ≡ OA ' (N trung điểm AB) Khi đó: a a  a a   a a   a 3 A ; ;0 ÷; B  ; − ;0 ÷; D  − ; ;0 ÷; A '  0;0; ÷   2     2   Khi cách dùng công thức học sinh dễ dàng tính khoảng cách d ( D ',( A ' BD )) 45 Nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất toán Sau hướng dẫn học sinh trình bày xong lời giải toán trên, dựa kết đó, đặt ra: ● Câu hỏi bổ sung: Câu hỏi 1: 1.Tính góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABCD) 2.Tính góc AA’ mặt phẳng (ABCD) ● Chuyển giả thiết thành kết luận ngược lại Với kết tính nội dung câu hỏi bổ sung, ta hoán đổi giả thiết cho kết luận ta có toán sau: Bài 6.1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a , AD = a Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450, 600 Biết AA ' = a Hãy tính: 1.Thể tích hình hộp 2.Khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng (A’BD) ● Thay đổi kiện đáy chiều cao Đồng thời thay đổi đáy ABCD hình chữ nhật thành ABCD hình thoi chọn lại vị trí hình chiếu A’ mặt phẳng (ABCD), ta có toán: Bài 6.2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi có ·ABC = 600 , AA’ = A’B = A’C Góc hai mặt phẳng (ABB’A’) (ABCD) 60 Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) 3a Tính thể tích khối hộp IV GIẢI PHÁP 4: HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang vuông A B Hình chiếu S lên (ABCD) trùng với I giao điểm AC BD Mặt phẳng (SAB) hợp với đáy góc 60o Biết AB = BC = a, AD = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ D đến (SAB) Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, AA’=a, gọi I giao điểm AB’ A’B Tính thể tích khối chóp A.CA’B’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CI Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a 46 · BAD = 45o , AA’ = a; O, O’ tâm ABCD A’B’C’D’ Tính thể tích khối hộp Tính khoảng cách từ C đến (A’BD) Tính khoảng cách AO’ B’O Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, SA=AB=a, AD=3a, M trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABMD Tính cosin góc mặt phẳng (ABCD) (SDM) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, M trung điểm AB, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SD=2a ; SC tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SA · Bài 6: Cho hình chóp S.ABC, AB=AC, BC=a , BAC = 120o Gọi I trung điểm AB, hình chiếu vuông góc S (ABC) trung điểm H CI, góc SA đáy 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy , SD = a Chứng minh tam giác SBC vuông Tính diện tích tam giác SBC Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA = h Tìm hệ thức a h để góc hai đường thẳng AB SC 60o Cho h = a Tính khoảng cách AB SC Tính góc (SBC) (SCD) Bài 9: Cho tứ diện S.ABC, ABC tam giác vuông A, SC vuông góc với (ABC), SC = AB = a Các điểm M, N thuộc SA, BC cho AM = CN = x ( < x < 2a ) Tính độ dài đoạn MN, tìm x để MN ngắn Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN đoạn vuông góc chung SA BC 47 Bài 10: Gọi O tâm hình thoi ABCD cạnh a, OB = a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) O lấy điểm S cho SB = a Chứng minh tam giác SAC vuông SC vuông góc với BD Tính góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) Tính khoảng cách SA BD Bài 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc với (ABCD), SO = a Trên cạnh SC lấy điểm M với SM = x ( < x < a ) Mặt phẳng(ABM) cắt cạnh SD N Chứng minh rằng: ABMN hình thang cân Tính diện tích hình thang theo a x Tìm x để hai mặt phẳng (ABMN) (SDC) vuông góc Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, cạnh bên AA' =2a , tam giác · ABC có AB = a, AC = 2a, BAC = 120o Gọi M trung điểm cạnh CC’ Chứng minh rằng: MB vuông góc với MA’ Tính khoảng cách từ A đến (A’MB) Bài 13: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a , hình chiếu vuông góc A’ lên (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính côsin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a · BAD = 60o , gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh rằng: điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vuông Bài 15: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M, N, trung điểm cạnh BC, DD’, P trung điểm BD’ Chứng minh: MN // (A’BD) Tính khoảng cách MN BD Tính khoảng cách A’B B’C Tính thể tích khối chóp A.PBB’ Bài 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính khoảng cách A’B B’D 48 Tính góc hai đường thẳng MP C’N Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, cạnh AA’, BC, C’D’ lấy đoạn AM = CN = D’P = x ( < x < a ) 1.Tính diện tích tam giác MNP theo a x Định x để diện tích nhỏ 2.Chứng minh rằng: x thay đổi (MNP) song song với mặt phẳng cố định Bài 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, cạnh BD, AD’ lấy điểm M, N cho DM = AN = k (0 < k < a ) Tính MN theo a, k Tìm k để MN ngắn Bài 19: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ = b (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm CC’ Tính thể tích tứ diện BDA’M theo a b Xác định tỉ số a để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc b Bài 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c (a > 0, b > 0, c > 0) Tính diện tích tam giác ACD’ theo a, b,c Giả sử M, N trung điểm AB BC Tính thể tích tứ diện D’.DMN theo a, b, c 49 D KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Kết giảng dạy đại trà Trong năm 2011-2012; 2012 - 2013; chưa áp dụng phương pháp vào giảng dạy, qua kiểm tra thu kết quả: Năm học 2011-2012 2012-2013 Kết Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A 4% 32% 52% 12% 12E 1,5% 28,5% 55% 15% 12M 2% 20% 48% 30% 12G 2% 30% 56% 12% 12E 3% 32% 55% 10% 12D 5% 55% 30% 10% Sau áp dụng phương pháp cải tiến vào việc giảng dạy ôn thi đại học năm học 2013 - 2014, 2014- 2015, 2015- 2016 qua kiểm tra thu kết quả: Năm học 2013-2014 Kết Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A 41% 42% 17% 0% 12B 39% 43% 18% 0% 12D 40% 40% 20% 0% 12P 35% 40% 25% 0% 12A 80% 20% 0% 0% 50 2015-2016 12H 32% 46% 22% 0% 12C 60% 28% 12% 0% 12A 86% 14% 0% 0% 12K 50% 24% 26% 0% 12M 42% 26% 32% 0% Kết kỳ thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng kỳ thi THPT Quốc gia Trong kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại học Cao đẳng, kết lớp giảng dạy tăng rõ rệt Với đối tượng trung bình em lấy điểm tập hình học không gian, số lượng điểm giỏi chiếm tỉ lệ cao Đặc biệt em đạt điểm 8, 9, 10 rơi vào lớp giảng dạy Trong năm học 2013-2014, toàn trường có 24 học sinh đạt điểm môn toán trở lên 24 em học sinh lớp 12A 12B, 12P trực tiếp đứng lớp Trong năm học 2014-2015, năm học nước thực lấy chung kết cho hai kỳ thi (còn gọi kỳ thi THPT Quốc gia), kết khả quan Điểm bình quân chung lớp giảng dạy cao Cụ thể sau: Lớp 12A, điểm bình quân 8.55, lớp 12C điểm bình quân 7.94, lớp 12H điểm bình quân 6.47 Kết góp phần vào thành tích chung trường THPT Yên Khánh A năm gần đứng tốp trường có điểm bình quân thi Đại học cao nước Kết giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Đặc biệt áp dụng phương pháp mới cải tiến vậy, lĩnh vực giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi đã thu được kết quả: Trước áp dụng 1) Năm học 2011 - 2012, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giải nhất, giải nhì, giải ba 2) Năm học 2011 - 2012, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giải nhất, giải nhì, giải ba Trong đó có em được chọn vào đội tuyển giải Toán Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và cả hai em đều đạt giải khuyến khích Sau áp dụng 51 1) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh để chọn đội tuyển Quốc gia có em dự thi đạt: giải ba, giải khuyến khích 2) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh em dự thi đạt: giải nhì, giải ba 3) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giải nhất, giải nhì Trong đó có em được chọn vào đội tuyển giải Toán Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và đạt giải nhất và giải khuyến khích 4) Năm học 2013 - 2014, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán mạng cấp Tỉnh có 25 em dự thi đạt 19 giải gồm: giải nhì, giải ba và 10 giải khuyến khích 5) Năm học 2014 - 2015, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh để chọn đội tuyển Quốc gia có em dự thi đạt giải ba 6) Năm học 2014 - 2015, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh em dự thi đạt: giải ba 7) Năm học 2014 - 2015, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giải nhì , giải ba Trong đó có em được chọn vào đội tuyển giải Toán Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và đạt giải nhì 8) Năm học 2015 - 2016, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh để chọn đội tuyển Quốc gia có em dự thi đạt giải: giải ba, giải khuyến khích 9) Năm học 2015 - 2016, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh em dự thi đạt: giải nhì, giải ba 10) Năm học 2015 - 2016, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có em dự thi đạt : giải , giải nhì, giải khuyến khích Trong đó có em được chọn vào đội tuyển giải Toán Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và đạt giải ba 11) Năm học 2015 - 2016, chúng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán mạng cấp Tỉnh có 17 em dự thi đạt 16 giải gồm: giải nhất, giải nhì, giải ba và giải khuyến khích Đặc biệt, có em tham dự thi quốc gia, em đạt giải, có Huy chương Bạc Huy chương Đồng 52 KẾT LUẬN Bản sáng kiến với đề tài: "Các hướng tiếp cận khác giải toán hình học không gian lớp 11, 12 " đã đạt được một số kết quả đã trình bày ở Với cách dạy vậy, các em có thể hiểu vấn đề một cách sâu sắc và có thể nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nên có thể dễ dàng suy luận để chuyển các bài toán lạ về bài toán quen thuộc Hơn nữa với cách dạy đó, làm cho học sinh thấy được sự phong phú các câu hỏi, thấy mối liên hệ toán Chính vì thế mà các em không cảm thấy nhàm chán, hào hứng, say mê học, tạo tâm lí thoải mái, nhẹ nhàng mỗi tiết học, đó là tiền đề tốt để học sinh tiếp thu bài, rèn luyện kĩ năng, nâng cao hiệu quả dạy và học Với cách dạy vậy, chúng tin rằng các em có thể tự tin các kì thi và nếu đề thi có xuất hiện các bài toán hình học không gian thì 90% học sinh có thể làm được Những nội dung được trình bày bản sáng kiến này, chúng tìm xuất phát từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học: lấy học sinh làm trung tâm và sự hiếu học của phần lớn học sinh trường là động lực lớn nhất để chúng không ngừng phấn đấu, học hỏi, nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Bản sáng kiến này, trước hết là tài liệu thiết thực cho bản thân chúng và cũng là tài liệu để các bạn đồng nghiệp, học sinh làm tài liệu tham khảo Rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đồng nghiệp Yên Khánh, tháng năm 2016 Người thực hiện Bùi Thị Lợi - Vũ Thị Diệp Tống Thị Hồng Luyến- Tô Thị Hường 53 XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG THPT YÊN KHÁNH A 54 55 [...]... ABCD là hình chữ nhật ( Khi đó lăng trụ trở thành hình hộp chữ nhật) 12 2.2 Đáy ABCD là hình thoi Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi thấy rằng, trước đây khi dạy bài "Hệ toạ độ trong không gian" chúng tôi chưa chý ý đến việc khai thác định nghĩa về hệ trục toạ độ trong không gian, chưa đưa các ví dụ vào trong bài giảng thì hầu hết các em không biết gắn hệ toạ độ vào trong các hình, chỉ một số ít các. .. như hình vẽ: D' C' B' A O D B y C x Cách chọn tương tự nếu ABCD.A'B'C'D’ trở thành hình lập phương 3.4 Lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D’ có đáy ABCD là hình thoi D' z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ: C' A' B' D y O A x C B Với các hình lăng trụ khác, giáo viên hướng dẫn học sinh dựa trên đường cao và tính chất của đa giác đáy để thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp Để giải được các bài toán hình học không. .. chất đại số và giải tích, đưa bài toán về bài toán đại số, giải tích Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp: Tính các yếu tố sau: • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Góc giữa hai đường thẳng • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng • Góc giữa hai mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách giữa hai... là hình chiếu của M trên (P) • Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy • Nếu hình chóp có các mặt bên tạo với với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của đỉnh hình chóp trên mặt đáy thuộc miền trong đa giác đáy thì hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy 19 Cách 2: Tính gián tiếp. .. ur uur n1 n2 Qua đây chúng tôi tổng kết cho học sinh: Nếu những bài toán nào mà việc xác định các dữ kiện bằng phương pháp hình học thông thường khó mà ta lại có thể dễ dàng gắn vào hình đó một hệ tọa độ thì ta có thể nghĩ đến phương pháp tọa độ hóa Nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất những bài toán mới Sau khi hướng dẫn học sinh trình bày xong lời giải bài toán trên, dựa trên kết quả đó, chúng tôi có... hình vẽ: A x S A O B D y C x 2.6 Hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ: Với các dạng khác, giáo viên hướng dẫn học sinh cần linh hoạt trong quá trình thiết lập hệ toạ độ Ngoài ra, trong các hình trên có thể có nhiều hình có 15 những phương án thiết lập hệ toạ độ khác nhau, giáo viên nên phân tích hướng các em vào phương án tốt nhất II.3... và (SCD) Sau khi cho bài tập trên, chúng tôi yêu cầu học sinh hãy phân tích tìm phương pháp giải phù hợp cho bài toán sau Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Tam giác SAB đều cạnh 2a, mặt (SAB) vuông góc với mặt (ABCD), góc giữa (SBC) và (SCD) bằng α sao cho cos α = 1 4 1 Tính VS ABCD 2 Tính d ( SA, BD) Như vậy khi gặp bài toán này, cái khó học sinh gặp phải là không xác định... lời giải, đề xuất những bài toán mới 34 ) ( ) 3;1; −1 Sau khi hướng dẫn học sinh trình bày xong lời giải bài toán trên, dựa trên kết quả đó, chúng tôi có thể đặt ra: ● Câu hỏi bổ sung: Câu hỏi 1: 1.Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) 2.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 3.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC ● Lồng khối chóp vào trong khối lăng trụ Ta có bài toán mới: Bài 3.1:... (SBD) và (SBC) Câu hỏi 2: Tính diện tích thiết diện khi cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC ● Thay đổi dữ kiện đáy 27 Hướng 1: Với giả thiết ban đầu ABCD là hình chữ nhật được thay bởi ABCD là hình vuông Khi đó SC tạo với mặt phẳng (SAB) và (SAD) các góc bằng nhau Ta có bài toán: Bài 1.1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng đáy SC... KH 3a a 3a 4 2 Cách 3: Gọi M là trung điểm của SC, N là giao điểm của AC và BD ⇒ MN / / SA ⇒ SA / /( MBD) ⇒ d ( SA, BD) = d ( A,( MBD)) = 3VMABD S ∆MBD Nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất những bài toán mới Sau khi hướng dẫn học sinh trình bày xong lời giải bài toán trên, dựa trên kết quả đó, chúng tôi có thể đặt ra: ● Câu hỏi bổ sung: Bằng phương pháp tọa độ hóa, sau khi đọc xong tọa độ các đỉnh và tính