BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Hoàng Quốc Công PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI MỘT ĐẦU BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2010 LỜI CẢM ƠN Lúc đầu nhận đề tài này, với vốn kiến thức hạn hẹp gặp phải nhiều khó khăn Tuy nhiên, với hướng dẫn tận tình mang tính khoa học Thầy hướng dẫn, TS Nguyễn Thành Long, dần khắc phục khó khăn để hoàn thành đề tài Trước tiên, xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long, người tận tình dìu dắt vượt qua nhiều trở ngại suốt thời gian thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh, người tạo điều kiện thuận lợi tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học tập làm việc Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô Hội đồng dành thời gian để đọc cho nhận xét có giá trị khoa học luận văn Cuối cùng, xin gửi lòng biết ơn đến gia đình bạn tôi, người tạo điều kiện tốt cho hoàn thành luận văn cho lời khuyên, lời động viên vô hữu ích Hoàng Quốc Công Chương PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, xem xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên điều kiện đầu utt    t  u xx  K u p2 u   ut q2 ut  f  x , t  ,  x  ,  t  T (1.1) t   t  u x  0, t    k  t  s  u  0, s  ds , u 1, t   (1.2) u  x,0   u0  x  , ut  x,0   u1  x  (1.3) p, q  2, K ,   số cho trước  , f , k , u0 , u1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Bài toán (1.1) – (1.3) có nhiều ý nghĩa Cơ học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu thời gian gần [3] – [10] Về mặt toán học, ta nói toán (1.1) – (1.3) kết hợp đặc điểm quan trọng hai báo công bố trước [3] [4] Trong [3], Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc nghiên cứu tồn nghiệm tính quy, tính ổn định khai triển tiệm cận nghiệm toán utt   (t )u xx  Ku   ut  f  x, t  ,  x  1,  t  T , (1.4) t   (t )u x (1, t )  K1 (t )u (1, t )  1 (t )ut (1, t )  g (t )   k (t  s )u(1, s )ds, (1.5) u (1, t )  0, u( x,0)  u0 ( x ) , ut ( x,0)  u1 ( x ), (1.6) K ,  số,  , f , K1 , 1 , g , k , u0 , u1 hàm cho trước Như vậy, số hạng K u p2 u   ut q2 ut (1.1) tổng quát hóa từ số hạng Ku  ut (1.4) Các điều kiện biên (1.2) – (1.3) (1.5) – (1.6) sau hoán đổi đầu biên x  x  , đồng thời làm triệt tiêu hàm K1, λ1 g Sự đặc biệt hóa tưởng chừng mang lại thuận lợi cho nghiên cứu (1.1) – (1.3), thật lại khiến gặp đôi chút khó khăn ước lượng mà điều kiện cực tiểu cho hàm λ1 lúc không giá trị dương Trong [5], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm khảo sát tồn nghiệm, tính quy, khai triển tiệm cận nghiệm toán sau utt  u xx  K u u   ut ut  f  x, t  ,  x  1,  t  T ,   (1.7) u x  0, t   P  t  , (1.8) u x 1, t   K1u 1, t   1ut 1, t   0, (1.9) u  x,0   u0  x  , ut  x,0   u1  x  , (1.10) K ,  , K1 , 1 ,  ,  số cho trước; f , u0 , u1 hàm cho trước; hàm u  x, t  cần tìm giá trị biên chưa biết P  t  thỏa mãn toán Cauchy cho phương trình vi phân thường  P  t    P  t   hutt  0, t  ,  t  T  P    P0 , P    P1  (1.11) với   0, h  0, P0 , P1 số cho trước Từ (1.11), ta giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số hằng, ta có t P  t   g  t   hu  0, t    k  t  s  u  0, s  ds g  t    P0  hu0    cos t     P  hu  0  sin t  , k  t   h sin t  1 Ta nhận xét thấy phương trình (1.1) mà ta đặt trường hợp tổng quát phương trình (1.7) toán (1.7) – (1.11), có cách thêm hàm hệ số   t  vào trước số hạng utt Hai điều kiện biên (1.3) (1.10) nhau, điều kiện biên (1.2) lại trường hợp đặc biệt (1.8) – (1.9), (1.11) Nội dung luận văn gồm chương mục trình bày theo thứ tự sau: Chương phần mở đầu tổng quan toán mà ta khảo sát luận văn, vài kết quan trọng có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương trình bày số kết chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại số không gian Sobolev, số kết phép nhúng compact không gian Chương nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3) Chương nghiên cứu tính trơn nghiệm kiện ban đầu Chương nghiên cứu tính ổn định nghiệm kiện ban đầu, tức hàm   , f , k , u0 , u1   u   , f , k , u0 , u1  , nghiệm yếu toán (1.1) – (1.3), liên tục theo nghĩa mà ta xem xét vấn đề Chương nghiên cứu toán nhiễu theo hai tham số bé  K ,   : P   K, utt   (t )u xx  K u p 2 u   ut q2 ut  f ( x, t ),  x  1,  t  T ,  t   ( t ) u 0, t    k  t  s  u  0, s  ds, u 1, t   0,  x  u  x,0   u  x  , u  x,0   u  x  , t  tham số  , f , k , u0 , u1 cho trước Cụ thể sau a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu u  uK , toán  PK ,  K  0   0 b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u  uK , toán  PK ,  theo hai tham số bé K, λ, có nghĩa xấp xỉ nghiệm uK , đa thức theo hai biến K, λ: u K ,   x, t    U  x, t  K  i ij j i j N  ij  x, t  thiết lập đánh giá theo nghĩa cần phải hàm U u K ,   i jN  ij  x, t  K i  j  C U N *  K  2  N 1 theo chuẩn thích hợp ||  ||* , với tham số dương K, λ đủ bé số CN độc lập tham số bé Chương trình bày toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tiệm cận toán nhiễu Sau phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Ta đặt kí hiệu:    0,1 , QT     0, T  , T  Chúng ta bỏ qua định nghĩa   không gian hàm C m  , Lp    , W m , p    Ta xem [1] Để tạo thuận lợi trình bày làm cho luận văn gọn gàng, ta quy ước vài kí hiệu vắn tắt sau: W m , p  W m, p    , Lp  Lp     W 0, p    , H m  W m ,2    ,  p  , m  0,1, Chuẩn L2 kí hiệu ||  || Kí hiệu ,  tích vô hướng L2 hay tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử không gian hàm Kí hiệu ||  || X dùng để chuẩn không gian Banach X, X / không gian đối ngẫu X Ta kí hiệu Lp  0, T ; X  không gian Banach hàm thực đo u :  0, T   X cho u Lp  0,T ; X  T    u t  0 p X p dt    với  p    u Ta L   0,T ; X  viết  ess sup u  t  0t T X   p   u  t  , u  t   ut  t  , u  t   utt  t  , u x  t  , u xx  t  để u  x, t  , u  2u u  2u  x, t  ,  x, t  ,  x, t  ,  x, t  , theo thứ tự t t x x Ta lại đặt V  v  H  0,1 : v 1  0 xét tích vô hướng u v  x    x  dx x x a  u, v    Khi đó, V không gian H1, V, chuẩn v V  a  v, v   vx tương đương với chuẩn v H1 cảm sinh V Từ ta có bổ đề sau   Bổ đề 2.1 Phép nhúng V ↪ C  compact v C  0,1  v V , v  V Bổ đề 2.2 (Bổ đề Gronwall) Giả sử  u hàm liên tục [a , b],  xác định không âm,  số dương (không phụ thuộc t) Khi đó, t u  t        s  u  s  ds , t   a, b  a t  u  t    exp     s  ds  , t   a, b  a  Bổ đề 2.3 [2] (Bổ đề tính compact Lions) Cho ba không gian X , X , X thỏa X , X phản xạ, X ↪ X compact, X ↪ X liên tục Với  T  ,  p, q   , ta đặt W  u  Lp  0, T ; X  : u  Lq  0, T ; X  trang bị cho W chuẩn vW  v Lp  0,T , X  Khi đó, phép nhúng W ↪ Lp  0, T ; X  compact  v Lq  0,T , X1  Chương SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Sau nghiên cứu tồn nghiệm toán (1.1) – (1.3) với giả thiết kiện đầu vào sau: (GT1) K ,   ; p, q  (GT2) u0  H  V , u1  V (GT3) k  W 2,1  0, T  (GT4)   H  0, T  ;   t   o  (GT5) f , f t  L2  QT  Định lý 3.1 Nếu giả thiết (GT1) – (GT5) thỏa toán (1.1) – (1.3) có nghiệm yếu u với tính chất u  L  0, T ;V  H  ; ut  L  0, T ; H  ; utt  L  0, T ; L2  u  0,   W 1,  0, T  Chứng minh Gọi w j  sở đếm không gian V  H Ta tìm nghiệm xấp xỉ theo phương pháp Galerkin toán (1.1) – (1.3) dạng m um (t )   cmj (t ) w j , j 1 đó, hàm hệ số cmj  t  thỏa mãn hệ phương trình vi phân thường t um  t  , w j    t  umx  t  , w jx  w j    k  t  s  um  0, s  ds  K um  t  p2 um  t    um  t  q2 um  t  , w j  f  t  , w j ;  j  m m um   ,0   u0 m    mj  w j   u0 mạnh H j 1 m um   ,0   u1m    mj  w j   u1 mạnh H (3.1) j 1 Với giả thiết (GT1) – (GT5) thỏa, hệ phương trình vi phân (3.1) có nghiệm um 0, Tm  tương ứng Các ước lượng sau cho phép ta chọn Tm  T với m   t  , sau cộng Ước lượng tiên nghiệm Nhân phương trình thứ j (3.1) với cmj vế tương ứng với lấy tích phân theo biến thời gian từ đến t, ta thu đẳng thức sau t t 0 S m  t   Sm    2um  0, t   k  t    um  0,  d  2k    um2  0, s  ds t t s 0      s  umx  s  ds   um  0, s   k   s    um  0,  d ds t 2 f  s  , um  s  ds (3.2) 2K um  t  p S m  t   um  t     t  umx  t   2 t p L p  2  um  s  q Lq ds (3.3) Từ (3.3) (GT4), ta thấy S m  t   um  t   0 umx  t  2 (3.4) Từ (3.4) bổ đề 1, ta có đánh giá um  x, t   um  t  C  0,1  Sm  t   umx  t   (3.5) 0 Dưới đánh giá vắn tắt cho số hạng vế phải (3.2) t 2um  0, t   k  t    um  0,  d  0 um  0, t    Sm  t   t 2k    um2  0, s  ds  k  0 t t     s  umx  s  ds   0 t s 0 t 02 t  k   d   Sm  s  ds (3.6) t  S  s  ds (3.7)  s  S m  s  ds 0 (3.8) 0 t      k  t    um  0,  d  0   m  um  0, s   k   s    um  0,  d ds s s   k  d  S  d     S m  s  ds         ds m 0 02 0  0  t t t t k    d   Sm   d    S m  s  ds   t 0 t t t t 0 t  f  s  , um  s  ds   f  s   um  s  ds   f  s  ds   S m  s  ds Từ (3.2) (3.6)–(3.10), đồng thời chọn tham số   t t S m  t   Sm    2 f  s  ds   (3.9)  s  S m  s  ds 0 ta có đánh giá (3.10)    0  t k    t k    2  d  k 0 0  t  3   Sm  s  ds  (3.11)   Do H1 ↪ C  , nên từ (3.1)2,3 (3.3) ta nhận Sm    M với m (3.12) số M1 phụ thuộc vào μ, K, u0 u1 Theo (3.12) (GT5) ta có t M  2 f  s  ds  AT với t   0, T  (3.13) Mặt khác, theo (GT3) ta lại có t 02 0  k    t k    2  d  k 0 0   BT với t   0, T  (3.14) Với đánh giá (3.11), (3.13) (3.14) vừa thu được, ta suy   s    BT  Sm  s  ds với t   0, T  S m  t   AT     0  0  t (3.15) Áp dụng bổ đề Gronwall cho (3.15), dựa vào (GT4) ta có kết quan trọng sau  t   s     BT  ds   CT với t   0, T  S m  t   AT  exp        0   (3.16) Ước lượng tiên nghiệm Đạo hàm vế (3.1)1 theo biến thời gian, ta có   t  , w jx um  t  , w j     t  umx  t  , w jx    t  umx t  w j    k   t  s  um  0, s  ds  w j   k   um  0, t  (3.17)  K  p  1 um  t  p2 um  t     q  1 um  t  q2 um  t  , w j  f   t  , w j ;  j  m   t  , sau cộng lại lấy tích phân vế theo biến thời Nhân phương trình thứ j với cmj gian từ đến t, ta có   t   2    u0 mx , u1mx X m  t   X m       t  umx  t  , umx t t   s  ds  3    s  umx   s  ds 2     s  umx  s  , umx t s t t 2 um  0, s   k   s    um  0,  d ds  2 k   um  0, s  um  0, s  ds 2 K  p  1   um  x, s  0 p2 um  x, s  um  x, s  dxds