BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Hồng Hiệp MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM TỔ HỢP Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM VÀ PHÁP Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60.14.1 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN ÁI QUỐC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Ái Quốc, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh nhiệt tình giảng dạy, truyền cho chúng tơi tình u Didactic Toán, trang bị đầy đủ cho công cụ cần thiết hiệu để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Annie Bessot, PGS.TS Claude Comiti, TS Alain Birebent nhiệt tình giải đáp thắc mắc truyền đạt cho kiến thức Didactic quý báu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu suốt khóa học - Tập thể lớp Didactic Tốn K18 tơi chia sẻ niềm vui, thử thách học tập nghiên cứu Đặc biệt bạn Dương Thị Lan Phương, Hoàng Nguyên Lý, Lê Thị Huỳnh Liên, Phan Thị Hương Loan lớp trưởng Đinh Quốc Khánh chia sẻ ngày tháng học tập vui vẻ, động viên, giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn - BGH trường THPT Trường Chinh THPT Trần Quang Khải (TP Hồ Chí Minh) tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tiến hành thực nghiệm luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân u gia đình ln động viên nâng đỡ mặt Tạ Thị Hoàng Hiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 2T T MỤC LỤC 2T T MỞ ĐẦU 2T T Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát 2T 2T Mục đích nghiên cứu 2T 2T Phạm vi lý thuyết tham chiếu phương pháp nghiên cứu 2T T Cấu trúc luận văn 2T 2T CHƯƠNG 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN KHÁI NIỆM TỔ HỢP 10 2T T 1.1 PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM TỔ HỢP 11 2T T 1.1.1 Từ thời Cổ đại (Antiquité) đến nửa đầu kỉ XVII: Bài toán đếm cấu hình khác tập hợp 11 T T 1.1.1.1 Động tơn giáo, bói tốn, trị chơi cờ tướng Trung Quốc 11 T T 1.1.1.2 Nền văn hóa Ả Rập 12 T 2T 1.1.1.3 Nền văn minh phương Tây 14 T 2T 1.1.2 Nửa sau kỉ XVII đến đầu kỉ XVIII: lý thuyết tổ hợp hình thành ngành toán học mới, phát triển mạnh mẽ với lý thuyết xác suất 17 T T 1.1.3 Đầu kỉ XVIII đến cuối kỉ XIX : tốn tồn cấu hình mối liên hệ với lý thuyết đồ thị 19 T T 1.1.4 Thế kỉ XX : đối tượng toán học rời rạc 21 T T 1.2 MỘT SỐ KẾT LUẬN 21 2T 2T 1.2.1 Các giai đoạn nảy sinh phát triển 21 T T 1.2.2 Phạm vi tác động khái niệm tổ hợp tốn có liên quan 21 T T 1.2.3 Các đối tượng có liên quan 22 T 2T 1.2.4 Các toán đặc trưng Đại số tổ hợp 22 T T Chương : KHÁI NIỆM TỔ HỢP TRONG PHẠM VI TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC 24 2T T 2.1 Khái niệm tổ hợp giáo trình [a] 24 2T 2T 2.2.Khái niệm tổ hợp giáo trình [b] 26 2T 2T 2.3 Kết luận chương 33 2T 2T Chương : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM TỔ HỢP 38 2T T Tổ hợp CT SGK Pháp 38 2T 2T 3.1.1 Đại số Tổ hợp chương trình Pháp 38 T T 3.1.2 Đại số Tổ hợp sách giáo khoa Pháp 42 T T 3.1.3 Kết luận 51 T 2T Tổ hợp CT SGK Việt Nam 51 2T 2T 3.2.1 Chương trình SGK ban 51 T 2T 2.1.1 Phân tích chương trình 51 T 2T 3.2.1.2 Phân tích sách giáo khoa 53 T 2T 3.2.1.3 Kết luận 56 T 2T Chương : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 58 2T T 4.1 Đối tượng hình thức thực nghiệm 58 2T 2T 4.2 Phân tích thực nghiệm 58 2T 2T 4.2.1 Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm 58 T 2T 4.2.2 Phân tích A priori 59 T 2T 4.2.2.1 Câu hỏi 59 T 2T 4.2.2.2 Câu hỏi 63 T 2T 4.2.2.3 Câu hỏi 65 T 2T 4.2.3 Phân tích A posteriori 66 T 2T KẾT LUẬN 68 2T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 2T 2T PHỤ LỤC 71 2T T MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài câu hỏi xuất phát Đại số tổ hợp xuất vào kỉ 17, phát triển cách mạnh mẽ từ có xuất máy tính điện tử Hiện nay, lý thuyết tổ hợp áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau: lý thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số khơng giao hốn, q trình ngẫu nhiên, thống kê xác suất, quy hoạch thực nghiệm,… Vì ứng dụng rộng rãi đại số tổ hợp khoa học kĩ thuật đại, với mục đích dạy học gắn liền với thực tiễn, phần đại số tổ hợp ln chiếm vị trí cần thiết chương trình tốn THPT sau nhiều lần thay đổi chương trình sách giáo khoa Ở Việt Nam, Đại số tổ hợp đưa vào chương trình mơn tốn trường phổ thông trung học lớp 12 từ năm học 1992-1993 Sách giáo khoa giai đoạn giới thiệu sơ lược khái niệm như: tổ hợp, chỉnh hợp, hốn vị, nhị thức Newton Trong chương trình Tốn thí điểm dành cho phân ban KHTN giai đoạn 1995-1997, lý thuyết xác suất giới thiệu lần lớp 12 chương Đại số tổ hợp-Xác suất Sau giới thiệu đầy đủ khái niệm đại số tổ hợp, sách giáo khoa đưa vào khái niệm cơng thức tính xác suất Đến giai đoạn chỉnh lí năm 2000, Đại số tổ hợp trình bày độc lập thành chương, xác suất khơng đưa vào chương trình giảng dạy Ở giai đoạn nay, sách giáo khoa hành đưa khái niệm xác suất vào giảng dạy đại trà phần đại số tổ hợp trình bày trước làm sở cho việc tiếp cận lý thuyết xác suất Sách giáo viên Đại số giải tích 11do Trần Văn Hạo chủ biên dẫn ra: “Có nhiều định nghĩa xác suất, định nghĩa xuất sau mở rộng định nghĩa trước định nghĩa xác suất tiên đề đầy đủ Tuy vậy, giáo trình này, ta dừng lại định nghĩa cổ điển xác suất, tính hữu hạn khơng gian mẫu tính đồng khả kết yêu cầu cần thiết Tuy định nghĩa đơn giản thực hành lại khó Nó địi hỏi học sinh phải có kiến thức đại số tổ hợp vững vàng để đếm n(A) n( Ω )” Chúng nhận thấy chương trình sách giáo khoa Việt Nam, hai đối tượng tổ hợp xác suất chọn trình bày mối quan hệ với Từ dẫn chúng tơi đến việc tìm câu trả lời cho câu hỏi: Có mối liên hệ khái niệm tổ hợp khái niệm xác suất trình tiến triển lịch sử khái niệm này? Tại khái niệm tổ hợp ln trình bày trước khái niệm xác suất sách giáo khoa Việt Nam? Có thể dạy học xác suất mà khơng cần đến kiến thức tổ hợp? Trong đó, chương trình sách giáo khoa Pháp giới thiệu khái niệm xác suất từ lớp troisième (tương đương lớp Việt Nam), khái niệm xác suất chọn cách tiếp cận từ thí nghiệm đơn giản mà học sinh quan sát số lần xuất kết Tiếp nối lớp secondaire (tương đương lớp 10 Việt Nam), chương trình giới thiệu xác suất tập hữu hạn, xác suất biến cố, xác suất đồng khả Trong phần hướng dẫn kèm theo chương trình mơn tốn lớp secondaire Bộ giáo dục Pháp có đề cập đến việc tính xác suất cách sử dụng sơ đồ cây, biểu đồ bảng Ở lớp Première (tương đương lớp 11 Việt Nam), Đại số tổ hợp diện chương Xác suất với việc sử dụng sơ đồ qui tắc nhân việc đếm số phần tử biến cố hay không gian mẫu Các qui tắc tính xác suất tiếp tục trình bày lớp terminale (tương đương lớp 12 Việt Nam), đại số tổ hợp đưa vào giới thiệu phần với mục đích phục vụ cho việc đếm số kết với công cụ sơ đồ bảng biểu Vì có khác biệt lớn việc giới thiệu hai khái niệm tổ hợp xác suất sách giáo khoa hai chương trình tốn Việt Nam Pháp ? Chúng tơi nhận thấy, chương trình Pháp, sơ đồ xem cơng cụ hữu ích cho việc tính số phần tử khơng gian mẫu hay biến cố Trong sơ đồ vắng mặt chương trình Việt Nam Những ghi nhận dẫn tới việc đặt câu hỏi xuất phát sau: - Khái niệm tổ hợp khái niệm xác suất nảy sinh tiến triển lịch sử toán học? - Lý mà thể chế Việt Nam ln chọn trình bày khái niệm tổ hợp trước khái niệm xác suất? Nói cách khác: Những lựa chọn sư phạm tác động đến việc Đại số tổ hợp đưa vào để làm sở trình bày xác suất thể chế Việt Nam? - Có khác biệt giống việc dạy học khái niệm tổ hợp chương trình hai nước Việt Nam Pháp ? - Tại khái niệm sơ đồ không giảng dạy chương trình Việt Nam ? - Với lựa chọn thể chế Việt Nam, có khó khăn trở ngại ảnh hưởng đến giáo viên học sinh việc dạy học khái niệm tổ hợp xác suất ? Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tổng quát luận văn tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, triển khai cụ thể sau: - Làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm tổ hợp - Phân tích lựa chọn sư phạm khái niệm tổ hợp xác suất hai thể chế Việt Nam Pháp Đánh giá thuận lợi khó khăn lựa chọn - Thu thập phân tích kết thực nghiệm để làm rõ tác động, ràng buộc hệ thống dạy học ảnh hưởng đến ứng xử GV HS dạy học khái niệm tổ hợp, xác suất Phạm vi lý thuyết tham chiếu phương pháp nghiên cứu Didactic toán quan tâm đến việc xây dựng tri thức toán học, đến hoạt động điều kiện việc học tập kiến thức môn học Trong việc nghiên cứu hoạt động dạy học tri thức đó, nghiên cứu didactic ln đặc biệt tính đến : nét đặc thù tri thức toán học bàn đến, đặc trưng ràng buộc thể chế dạy học, trình tác động qua lại thầy giáo, học sinh đối tượng kiến thức đưa giảng dạy Vì thế, trường hợp chúng tơi, phải có nghiên cứu cần thực hiện: ♦ Nghiên cứu tri thức luận khái niệm tổ hợp ♦ Nghiên cứu tri thức với tư cách tri thức cần dạy ♦ Trên sở đó, tiến hành thực nghiệm phân tích kết đạt để làm rõ ràng buộc thể chế dạy học ảnh hưởng đến việc dạy học khái niệm tổ hợp, xác suất ? Thực nghiên cứu đầy đủ khoa học luận lịch sử hình thành phát triển khái niệm tổ hợp khó khăn chúng tơi, hạn chế nguồn tài liệu lịch sử Vì vậy, chúng tơi sơ lược lại phần lịch sử hình thành khái niệm tổ hợp, phân tích tổng hợp kết có từ số cơng trình, nhằm làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm tiến triển chúng qua giai đoạn khác lịch sử, đặt ưu tiên mối quan hệ với khái niệm xác suất Nghiên cứu thứ hai thực việc phân tích chương trình, sách giáo khoa Việt Nam để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Việt Nam khái niệm tổ hợp xác suất So sánh, đối chiếu với chương trình sách giáo khoa Pháp để thấy rõ ràng buộc thể chế dạy học Việt Nam khái niệm Sau tiến hành thực nghiệm phân tích liệu thu thập Từ đó, chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi Didactic tốn, mà cụ thể “Lý thuyết nhân chủng học” Chevallard xây dựng Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu lựa chọn, chúng tơi trình bày lại câu hỏi đặt sau: ♦ Q1: Những đặc trưng khoa học luận khái niệm tổ hợp ? Các khái niệm đại số tổ hợp xuất phát triển kiểu tốn nào, kiểu tình lịch sử tốn học? Mối liên hệ với khái niệm xác suất thể tiến trình phát triển? ♦ Q2: Mối quan hệ thể chế khái niệm tổ hợp hình thành tiến triển Việt Nam Pháp ? Có ràng buộc thể chế khái niệm ? ♦ Q3: Những khác biệt giống việc dạy học khái niệm tổ hợp chương trình hai nước? Tại khái niệm sơ đồ khơng giảng dạy chương trình Việt Nam? ♦ Q4: Việc lựa chọn cách tiếp cận khái niệm tổ hợp thể chế Việt Nam có gây khó khăn trở ngại khơng học sinh giáo viên việc dạy học khái niệm này? Phương pháp nghiên cứu sơ đồ hoá sau NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Thể chế dạy học Toán Việt Nam Thể chế dạy học Toán Pháp THỰC NGHIỆM Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần: Phần mở đầu: Trong phần chúng tơi trình bày ghi nhận ban đầu, lợi ích đề tài nghiên cứu, mục đích đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp tổ chức nghiên cứu, cấu trúc luận văn Chương 1: Trình bày việc phân tích khái niệm tổ hợp tiến trình phát triển lịch sử khái niệm, từ làm rõ đặc trưng khái niệm Chương 2: Trình bày việc phân tích khái niệm Đại số tổ hợp cấp độ tri thức khoa học số giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng bản, cách trình bày khái niệm Chương 3: Mở đầu phân tích SGK Tốn Pháp Tiếp đó, chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học tốn trường phổ thơng Việt Nam với khái niệm Tổ hợp Chương 4: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết mà đặt cuối chương Phần kết luận: Tóm lược lại kết đạt chương 1, 2, 3, đề xuất số hướng nghiên cứu mở từ luận văn CHƯƠNG 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN KHÁI NIỆM TỔ HỢP MỞ ĐẦU Trong chương này, khơng có mục đích thực nghiên cứu gốc khoa học luận lịch sử hình thành phát triển khái niệm tổ hợp Chúng điểm lại phần lịch sử hình thành khái niệm tổ hợp tổng hợp kết có từ số cơng trình, nhằm làm rõ đặc trưng khái niệm Cụ thể, cách tham khảo cơng trình Andrea Bréard, Mahdi Abdeljaouad, Ahmed Djebbar, Bertrand Hauchecorne tạp chí Tangente l’aventure mathématique, Vũ Như Thư Hương, chúng tơi cố gắng tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi sau: - Khái niệm tổ hợp xuất tác động kiểu tốn, kiểu tình ? Nó có đặc trưng ? - Những đối tượng, khái niệm toán học có liên quan góp phần làm nảy sinh phát triển khái niệm tổ hợp ? Tuy nhiên, cần phải nói rõ dù khơng thực nghiên cứu gốc lịch sử, phân tích mà chúng tơi trình bày khơng đơn tóm tắt cơng trình mà chúng tơi tham khảo Trong [19], Andrea Bréard phân tích bối cảnh lịch sử mà kiến thức liên quan đến dãy số, Đại số tổ hợp, tam giác Pascal xuất Trung Quốc Mục đích tác giả việc nghiên cứu tài liệu nhà tốn học Trung Quốc thời kì kỉ 13 kỉ 19, từ tìm hiểu nối khớp lĩnh vực khác trên, làm mà tác giả xây dựng lĩnh vực toán học Trung Quốc Với mục đích nghiên cứu lịch sử nảy sinh phát triển Đại số tổ hợp toán học Ả Rập, báo Mahdi Abdeljaouad ([18]) Ahmed Djebbar ([22]) làm rõ tiến trình phát triển ngành toán học lịch sử với nghiên cứu nhà toán học Ả Rập Bertrand Hauchecorne tạp chí Tangente l’aventure mathématique, chuyên đề L’art du dénombrement,[26] tóm lược phát triển Đại số tổ hợp Châu Âu Nghiên cứu tác giả Vũ Như Thư Hương [7], đề cập đến khái niệm xác suất dạy – học tốn trung học phổ thơng Trong luận văn này, tác giả tổng hợp phân tích cách đầy đủ tiến trình phát triển khái niệm xác suất lịch sử, mối liên quan với Đại số tổ hợp làm rõ 1.1 PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM TỔ HỢP Chúng làm nên Đại số tổ hợp ví dụ ngành khoa học việc giải vấn đề đếm xuất nhiều văn minh giai đoạn khác 1.1.1 Từ thời Cổ đại (Antiquité) đến nửa đầu kỉ XVII: Bài tốn đếm cấu hình khác tập hợp 1.1.1.1 Động tôn giáo, bói tốn, trị chơi cờ tướng Trung Quốc Nhóm vật loại theo nhóm 2, nhóm 3,…, 18, 24 72, hay 100 để đếm chúng hoạt động có từ lâu đời Trung Quốc Trong tác phẩm I-king (Le livre permutation), viết khoảng năm 1150 trước công nguyên, khoảng cuối thời nhà Chu (thế kỉ trước Cơng ngun), người ta tìm thấy biểu đồ nhị phân Cũng trigrammes (các từ tạo thành từ chữ), nhiều tổ hợp kết hợp hai nhóm, Yang (âm) Yin (dương), với 6, nhà toán học thần bí Trung Quốc tìm 64 quẻ khác hồn tồn, quẻ có ý nghĩa đặc biệt mối quan hệ âm dương, người trời đất Có thể nói, kinh nghiệm tổ hợp có nguồn gốc Trung Quốc cổ đại, việc xây dựng kĩ thuật bói tốn dựa cấu hình (configurations) tạo thành đường “nét đầy’ (lignes pleines) “nét gãy” (lignes brisées) Hình bên trích tác phẩm Livre des Mutations, , người ta tìm thấy “trigrammes”, tổ hợp đường “nét đầy” “nét gãy” Nhận thấy, tác phẩm đề cập đến chỉnh hợp tập n phần tử với n ≤ Tuy nhiên, việc sử dụng kiến thức tổ hợp Trung Quốc không giới hạn việc bói tốn việc tìm kiếm hình vng ma thuật Một phần lớn nguồn tài liệu trình bày trò chơi Go cờ tướng, trò chơi domino, biểu thị quan tâm đến câu hỏi giải tích tổ hợp phương diện toán học gần toán học Về nghệ thuật chơi cờ, việc quan tâm đến nước đi, đếm nước bàn cờ, hoạt động liên quan đến tổ hợp Một quan lại kỉ 11, Shen Gua quan tâm đến việc đếm nước cờ tướng (đếm tất cấu hình bàn cờ ) Ngồi ra, số mơ tả trị chơi dominos, khoảng chừng năm 1600 cho thấy việc ngầm tìm kiếm tất hốn vị từ kết hợp cờ domino Một cách hệ thống theo phương diện lý thuyết, hoán vị tổ hợp bàn luận đến lần đầu viết tay cuối kỉ 17 Cũng giống Châu Âu, số tảng lý thuyết tổ hợp đưa Trung Quốc, dạng viết tay, khái niệm, cách viết dạng thuật tốn truyền thống 1.1.1.2 Nền văn hóa Ả Rập Giữa cuối kỉ XII đến kỉ XIV, tập hợp kinh nghiệm tổ hợp xuất viết nhà toán học Ả rập Từ kỉ thứ VIII, kinh nghiệm tìm thấy phạm vi lĩnh vực văn hóa đặc trưng, đặc biệt hoạt động cải thiện ngơn ngữ văn hóa Ả Rập Trong khn khổ văn hóa Ả rập-hồi giáo, trước tiên Giải tích tổ hợp sử dụng nhiều việc đếm liệt kê vật, lĩnh vực toán học, đặc biệt thiên văn học, từ điển học luật thơ Sau đó, từ kỉ thứ IX, với phát triển hoạt động nghiên cứu toán học thiên văn, làm xuất số thao tác tổ hợp hình học, đại số, số học âm nhạc Những thao tác thường dựa vào kinh nghiệm, nên khơng tránh khỏi việc giải số vấn đề mà công cụ cổ điển không cho phép giải được, cách xác, chất tổ hợp vấn đề • Thiên văn học Trong thiên văn học, người ta đếm giao hội hành tinh với mục đích sử dụng chúng việc dự đoán tượng Những chuẩn bị tìm thấy suốt thời kì này, đặc biệt kỉ XIV, với nhà toán học Ibn Haydur (1413) Những chuyên gia lĩnh vực thao tác với số nguyên với cách thức khác : xây dựng hay đơn giản sử dụng hình vng hay hình trịn ma thuật lúc hoàn hảo, thao tác với chuỗi chữ tượng trưng cho yếu tố (principes) hay tên thánh thần, thực ‘máy tiên đoán’ (machine prédire), đếm dãy số nguyên chẵn lẻ việc thực hoạt động bói tốn • Trong lĩnh vực từ điển học Nửa sau kỉ XVIII, đặc biệt với mục đích làm (chế tạo) từ điển, liệt kê đếm gốc ngôn ngữ Ả Rập, quan tâm đến cấu trúc khác Al-Khalil Ibn Ahmad (791) người đếm xác thân từ có hai chữ cái, chữ cái, chữ chữ Sau ông, nhà ngữ pháp Sibawayh (795) xác định số từ thực sử dụng, nghĩa để ý đến khác cách phát âm Với nhìn bao quát nguồn gốc đưa đến vấn đề ngơn ngữ Ả Rập, người ta có cảm tưởng rằng, kỉ XII, chuyên gia lĩnh vực chưa đưa đến nghiệm số học toán đếm số từ tính theo qui nạp tác phẩm họ Điều khẳng định tác phẩm Ibn Durayd (934), với tựa đề ‘Anthologie de la langue ’, phương pháp học để trả lời câu hỏi đưa : việc đếm tất từ có nhóm chữ cho, cách để ý đến hoán vị lặp lại chữ Với tập hợp phần tử, người ta xếp với thứ tự từ đưa Sau họ xoay vịng hai anneaux, lần góc tương ứng, để nhận trật tự tất từ Để đếm số từ có chữ cái, việc cần thiết thêm vào số anneaux cần thiết để tính tốn • Mơ hình đếm Ibn Muncim P P Những kết phần dẫn từ báo ‘Quelques éléments d’histoire de l’analyse combinatoire’ Mahdi Abdeljaouad, Ibn Muncim, nhà toán học Ả rập kỉ XII, đưa mơ hình để thực phép đếm tất P P từ mà người ta nói cách sử dụng chúng Trước ông, Al-Khalil xét trường hợp từ gồm chữ khác Ông tiếp tục nghiên cứu từ có chữ lặp lại hay tạo thành từ hay chữ khác mà số hay tất chữ lặp lại Ơng xem xét tốn với bảng chữ alphabet gồm có 28 chữ từ dài tạo thành từ 10 chữ có tính đến phụ tố lặp lại Ông chọn mơ sau : chữ alphabet biểu diễn màu sắc từ búi vải (touffes de soie) Ông đưa toán sở : - Bài toán mở đầu : Ta đặt mười miếng lụa màu Ta muốn lập thành nhóm mà số chúng có màu, số khác có hai màu, ba màu, nhóm cuối lập nên từ 10 màu, ta muốn biết số nhóm loại, việc biết màu sắc nhóm tổng số nhóm người ta thêm vào chúng có tính đến màu sắc khác chúng Ta xếp màu bảng Việc trả lời câu hỏi trên, việc bạn tìm nhóm tạo thành từ hai màu khác biệt có từ việc tổ hợp nhóm thứ hai với nhóm thứ nhất, nhóm thứ ba với nhóm thứ thứ hai, nhóm thứ tư với nhóm thứ nhất,nhóm thứ hai nhóm thứ ba, tiếp tục tổ hợp nhóm màu thứ hai với nhóm Ta xác định theo cách số nhóm tạo thành từ màu khác (…) - Bài toán : ‘Xác định số cách xếp chữ từ biết số chữ khơng có chữ lặp lại’ Ơng xem xét trường hợp n=2, n=3, n=4, sau ơng suy luận phương pháp qui nạp đưa đến cơng thức Pn = n! - Bài tốn : ‘Đếm số cách xếp chữ từ , biết số chữ số chữ chúng lặp lại’ Ơng tìm cơng thức mà theo cách viết ngày : Pn (r1 , r2 , , rk ) = n! r1.r2 rk 1.1.1.3 Nền văn minh phương Tây Trước đó, đại số tổ hợp mối quan tâm người Hy Lạp cổ đại, ví dụ le Stomachion chuyên luận Đại số tổ hợp, mà Archimede nghiên cứu số cách tổ hợp 14 miếng đa giác để thu hình vng Nên nói đại số tổ hợp khoa học khai phá nhà tốn học Hy lạp cổ đại • Về vấn đề ngôn ngữ học Hy Lạp (khoảng 330 trước cơng ngun) Nhà triết học Xénocrate (-406/-315), học trị Platon, quan tâm đặc biệt đến ngôn ngữ, ông tính số âm tiết tạo thành từ bảng chữ alphabet, số kết nhận 1002.109 P P • Châu Âu thời Trung cổ Những tiếp cận ban đầu Giải tích tổ hợp việc nghiên cứu chiêm tinh học, bói tốn, thần học Một số nhà chiêm tinh học thời trung cổ đoán trước tương lai cách gieo súc xắc Thực nghiệm tương ứng với 216 = 63 kết có thể, họ tính số tổ hợp thuận lợi P P số kết Raymond Lulle (khoảng 1232-1316) xem người sáng lập Giải tích tổ hợp Ông vừa nhà triết học, vừa nhà thần học Catalan, Tây Ban Nha, sử dụng ngôn ngữ Ả rập thơng thạo, có chủ tâm kiên biến đổi tín đồ đạo Hồi Để làm việc này, ông sử dụng tổ hợp tất mệnh đề có thể, để bác bỏ chắn lý lẽ không trung thành, thay đổi sức mạnh lí luận Levi ben Gershom (1288-1344), đơi gọi Gersonide Ơng quan tâm đến toán học, bảng viết tay ông đề năm 1321(không biết đến thời gian dài), ông ý đến mối liên hệ số chỉnh hợp tổ hợp Ơng biết có số tổ hợp p phần tử n phần tử, số tổ hợp n-p phần tử n phần tử (chọn p phần tử tương ứng với bỏ n-p phần tử ) Sau kỉ, Jérôme Cardan chứng minh tập hợp n phần tử có 2n-1 tập (khơng P P tính tập rỗng) • Tam giác Pascal Thế kỉ 16, Michael Stifel (khoảng 1486-1567), tu sĩ Đức trở thành nhà cải cách tơn giáo, có quan tâm đến số Ông nghiên cứu việc triển khai nhị thức, nghĩa phép tính (a+b)n P P  n   n −   n − 1  , cho phép   +  Bằng cách sử dụng phương pháp qui nạp, ơng tìm quan hệ   =  p p −     p tính tốn hệ số nhị thức bậc n việc sử dụng hệ số nhị thức bậc n-1, nhờ xây dựng tam giác Pascal Bài toán chia tiền cược đến từ Ả rập, sau trình bày nhà toán học Ý (như Pacioli, Cardan Tartaglia), quan tâm Chevarlier de Méré Ông giới thiệu với Blaise Pascal Ý kiến cho người hai người chơi lấy phần tỉ lệ với hội thắng Pascal đưa vấn đề với Fermat Hai nhà bác học Pháp trao đổi qua thư từ, xem người đặt móng cho phép tính xác suất Ơng dùng tam giác số học hệ số khai triển nhị thức (a+b)n để giải toán P P Năm 1654, Pascal cơng bố Traité du triangle arithmétique Từ sau, tam giác mang tên ông, biết đến trước (chúng ta tìm thấy văn Chinois yang Hui, khoảng 1238-1298 Ả rập Omar Khayyam, 1048-1131) Ứng dụng mở rộng lý thuyết xác suất, khai triển nhị thức, đến việc tính số tổ hợp Như vậy, cuối giai đoạn khái niệm xác suất bắt đầu phát triển, xuất vấn đề tính tốn hội vài trò chơi may rủi, Đại số tổ hợp bắt đầu khai thác để giải tốn  Nhận xét : Từ kết trên, rút số nhận xét sau : - Bài toán đặc trưng Đại số tổ hợp tốn đếm : quan tâm thời gian dài, bắt đầu xuất đời sống người từ thời cổ đại Từ nhu cầu nhóm vật có tính chất đếm chúng thời cổ, toán đếm phát triển nhiều lĩnh vực khác : bói tốn, trị chơi cờ, ngơn ngữ học, thiên văn học, từ điển học, tính tốn hội thắng cược trị chơi cờ bạc, …Số cấu hình cần đếm ngày tăng cao số lượng mức độ phức tạp chất cấu hình trở thành thách thức nhà toán học đương thời Bằng việc tìm kiếm lời giải cho tốn đó, Đại số tổ hợp phát triển mạnh mẽ thành ngành toán học độc lập, mà thấy rõ việc nghiên cứu giai đoạn sau - Đặc trưng toán đếm : đếm số cấu hình tổ hợp tạo với qui tắc kèm theo Đối tượng tốn đếm nhóm mà phần tử rời rạc hữu hạn - Bài toán đặc trưng thứ hai toán liệt kê : cần phải rõ cấu hình tổ hợp cấu hình nào, việc xếp liệt kê cấu hình theo thứ tự cần thiết Từ kinh nghiệm liệt kê cách tự nhiên người xưa, số lượng cấu hình ngày lớn, người ta quan tâm đến việc tìm kiếm mơ hình xác định thuật tốn để theo xây dựng cấu hình cần quan tâm Một ví dụ mơ hình phục vụ cho việc liệt kê đếm bảng xếp màu toán đếm từ Ibn Muncim Trong lời giải toán ẩn chứa phương pháp P P liệt kê thường sử dụng thuật toán sinh - Từ nhu cầu giải toán đếm xếp, phân phối đồ vật, nhà tốn học ln tìm kiếm phương tiện, thuật toán để việc thực phép đếm hiệu Từ đấy, công cụ đếm Đại số tổ hợp quan tâm nghiên cứu hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đường quan sát thực nghiệm, sử dụng phép thử, mô hình, mơ hình Ibn Muncim, tổng qt lên suy luận qui nạp, tìm P P công thức mà ngày biết kí hiệu tốn học đại - Tam giác Pascal ứng dụng rộng rãi lý thuyết xác suất, khai triển nhị thức, việc tính số tổ hợp 1.1.2 Nửa sau kỉ XVII đến đầu kỉ XVIII: lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học mới, phát triển mạnh mẽ với lý thuyết xác suất Ở giai đoạn 1, khái niệm xác suất xuất cách ngầm ẩn tốn tính tốn hội Một số nhà toán học Pascal Fermat bước đầu khai thác công cụ Đại số tổ hợp phép tính xác suất Đến giai đoạn này, lý thuyết xác suất dành quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, đạt nhiều kết quan trọng, song song với phát triển Đại số tổ hợp • Newton, Leibniz, Bernouilli Việc phát phép tính vi phân vào cuối kỉ 17 kéo theo ứng dụng khác hệ số nhị thức Isaac Newton mở rộng khai triển (a+b)n đến số mũ khơng ngun, có nhiều ứng P P dụng giải tích Leibniz trình bày cách tổng quát công thức nhị thức, cách phát biểu khai triển (a +a +…+a m )n thư viết gửi cho Jacques Bernoulli năm 1695 Ông đề R R R R R R P P nghị cách biểu diễn đạo hàm tích hai hàm số Jacques Bernoulli tiếp cận đại số tổ hợp Ars Conjectandi (công bố năm 1713, năm sau ông mất) Trong phần Ars Conjectandi, ông đưa vào khái niệm phép thử ngẫu nhiên (phép thử Bernoulli), lấy giá trị từ đến với xác suất theo thứ tự 1-p p Ông định nghĩa tổ hợp hoán vị ‘J’appelle permutations, les variations de choses, selon lesquelles la même quantité de choses étant conservée, l’ordre et la position entre ces choses sont modifiés de diverses facons Les combinaisons de choses sont assemblages selon lesquels on ôte quelques-unes de ces choses qui constituent une multitude déterminée, ces assemblages ne tenant aucun comte de l’ordre ou de la situation des choses’ (Une histoire des probabilités de Samueili et Boudenot, Ellipses) Bernoulli chứng minh cơng thức tính số cấu hình tổ hợp n Cr = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 1) n! = 1.2.3 r r!(n − r )! Ông củng cố hai qui tắc tính số hốn vị n vật chúng khác hoàn toàn số chúng giống n! n! với n a vật loại a, n b vật loại b, … na !nb ! R R R R Trong phần 3, ông quan tâm đến lý thuyết tổ hợp Nếu ta gọi khả đạt kết phép thử Bernoulli, ơng có nhận xét ta lặp lại n lần cách độc lập phép thử n Bernoulli, xác suất đạt k (il parle de ‘cas fertiles’), với 0