M cl c Trang bìa ph B n cam đoan L i c m n M đ u Ch ng Dùng s ph c nghiên c u phép d i hình 1.1 M t ph ng ph c 1.2 Phép d i hình lo i 1.3 Phép d i hình lo i 18 1.4 Phép d i hình 25 1.5 M t s toán hình h c ph ng 27 Ch ng Gi i bƠi toán b ng cách dùng phép d i hình 36 2.1 Bài toán ch ng minh 36 2.2 Bài toán qu tích 41 2.3 Bài toán d ng hình 45 2.4 M t s toán b i d ng h c sinh gi i qu c gia qu c t 48 K t lu n 55 TƠi li u tham kh o 56 L i cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên c u c a riêng đ h ng d n c a TS Nguy n V n cs oành Các n i dung nghiên c u, k t qu đ tài trung th c ch a công b d i b t k hình th c tr c Nh ng s li u b ng bi u ph c v cho vi c phân tích, nh n xét, đánh giá đ c tác gi thu th p t ngu n khác có ghi rõ ph n tài li u tham kh o Hà N i, ngày 02 tháng n m 2016 Tác gi u Th Di u Thang Long University Libraty L ic m n Lu n v n đ - Hà N i d c th c hi n hoàn thành t i tr i s h ng ng d n c a TS.Nguy n V n oành, Long Tôi xin bày t lòng bi t n chân thành đ n th y h đ a đ tài t n tình h i h c Th ng Long i h c Th ng ng d n, ng i ng d n su t trình nghiên c u giúp hoàn thành lu n v n Tôi c ng xin bày t lòng c m n sâu s c t i th y cô giáo c a tr i h c Th ng Long, nh ng ng viên v i t n tình gi ng d y khích l , đ ng t qua nh ng khó kh n h c t p c m n Ban lãnh đ o tr ng ng c bi t, xin chân thành i h c Th ng Long cho đ c l nh h i ki n th c tr c ti p t th y giáo đ u ngành l nh v c toán s c p Vi t Nam hi n Cu i cùng, xin c m n gia đình b n l p Cao h c Toán K3 đ ng viên giúp đ trình h c t p làm lu n v n M đ u S ph c đ i yêu c u c a vi c m r ng t p h p s th c gi i ph ng trình, nh ng l i tìm th y nh ng ng d ng r ng rãi hình h c, c h c, v t lý ngành k thu t khác i v i h c sinh b c THPT s ph c n i dung m i m , v i th i l ng không nhi u, h c sinh m i hi u đ c nh ng ki n th c r t c b n c a s ph c, vi c khai thác ng d ng c a s ph c h n ch Trong hình h c có th s d ng s ph c đ bi u di n đ i t ng tính ch t hình h c, t dùng s ph c đ gi i toán hình h c Trên c s khai thác vi c bi u di n b ng s ph c m, vec t ta s l p ph ng trình d ng ph c c a đ ng th ng, đ ng tròn, tính ch t th ng hàng c a ba m, tính ch t song song, vuông góc c a hai đ ng th ng bi u th c d ng ph c c a phép bi n hình, d i hình Xu t phát t quan m xem s ph c công c nghiên c u đ i t ng, tính ch t hình h c c th h n nghiên c u phép d i hình ch n nghiên c u đ tài "S ph c v i phép d i hình m t ph ng” M c đích c a lu n v n h th ng ki n th c c b n v s ph c T ng h p, phân tích ki n th c giúp h c sinh th y đ c ý ngh a quan tr ng c a s ph c Toán h c nói chung gi i toán Hình h c ph ng nói riêng T rèn luy n k n ng, b i d ng n ng l c ng d ng s ph c vào gi i toán hình h c N i dung c a lu n v n bao g m ch ng: Ch ng Dùng s ph c nghiên c u phép d i hình Ch ng Gi i toán b ng cách dùng phép d i hình Do s hi u bi t c a b n thân khuôn kh c a lu n v n th c s , nên ch c r ng trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a Th y Cô đ c gi quan tâm đ n lu n v n Thang Long University Libraty CH NG I DỐNG S PH C NGHIÊN C U PHÉP D I HÌNH 1.1 M t ph ng ph c 1.1.1 Trong m t ph ng E cho m t h t a đ xoy m i m M c a E hoàn toàn đ Khi s ph c z  x  yi đ - vuông góc c xác đ nh b i t a đ (x, y) c a c g i t a v c a M, vi t M (z) E đ cg i m t ph ng ph c (ta đ ng nh t m i m c a E v i m t s ph c) Khi M có t a đ (x, y) đ i v i h t a đ Oxy vect OM c ng có t a đ (x, y), nên nói M có t a v z c ng nói vect OM có t a v z vi t OM (z)   zw  zw đ Cho OM (z), OP (w) S th c c g i tích vô h ng c a hai s ph c z, w kí hi u (z, w), OM OP S th c  z, w   i ( zw  zw) đ c g i tích l ch c a hai s ph c z, w Ta có: (z, w) = z w cos(   ) ,   arg z,  arg w  z,w   z w sin(   ) T nêu M, P khác g c O thì: OM  OP  ( z, w) = O, M , P th ng hàng   z,w   1.1.2 M i đ ng th ng m t ph ng ph c đ ph ng trình z   z   ,   1,     ph ng u (u ) mà u  ng th ng có vecto ch   qua m M0 (z0) z0   u vuông góc c a g c O lên đ Ph ng trình đ ng th ng ng th ng có th vi t d c xác đ nh b i i d ng: M0 hình chi u  z   z    0,     0,   Cho đ ng th ng d có ph ng trình: z   z   ho c  z   z    m M (z0) Khi M' (z'0) m đ i x ng v i M qua d z0'   z0   n u d có ph ng trình: z   z    z0'   z0    n u d có ph ng trình z   z   i m P(w) hình chi u vuông góc c a M lên d l n l w= (z   z   ) w= ( z   z   ) 2 1.1.3 M t đ ph t là: ng tròn m t ph ng ph c hoàn toàn xác đ nh b i ng trình zz  (  z   z)  p  0,   , p  ,    p  ó đ ng tròn có tâm t i I     bán kính R     p 1.1.4 Phép bi n hình f: E  E, z  f (z) mà f ( z)   z   z    ,  ,   C,    đ c g i phép bi n đ i afin Ta có m i song ánh f: E  E b o t n tính ch t th ng hàng c a m m t bi n đ i afin Bi n đ i afin f ( z)   z   z   b o toàn h    đ o h ng ch ng ch    Thang Long University Libraty 1.2 Phép d i hình lo i 1.2.1 Phép t nh ti n 1.2.1.1 nh ngh a 1.2.1 Trong m t ph ng P cho vỨc t thành m M’ cho MM ' = v đ v , phỨp bi n hình bi n m t m M c g i phỨp t nh ti n theo vỨc t v y ký hi u Tv Véc t v g i véc t t nh ti n v M' Ta có Tv (M) = M’ hay Tv : M  M’ M * Cho véc t v có t a v  Gi s Tv : M (z)  M’ (z’) O Hình 1.2.1  MM ' = v ta có OM ' = OM + MM ' = OM + v  z’ = z +  V y bi u th c t a v c a phép t nh ti n Tv z’ = z +  (  t a v c a véc t t nh ti n v ) 1.2.1.2 Tính ch t a Phép t nh ti n b o t n kho ng cách gi a hai m b t k b Phép t nh ti n bi n ba m th ng hàng thành ba m th ng hàng không làm thay đ i th t c a ba m th ng hàng c Phép t nh ti n: + Bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng + Bi n m t tia thành m t tia + Bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài b ng + Bi n m t góc thành m t góc có s đo b ng + Bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng + Bi n m t đ ng tròn thành m t đ ng tròn b ng x 1.2.1.3 Ch ng minh m t s tính ch t Cho Tv m t phép t nh ti n có bi u th c t a v z’ = z +  (  t a v c a véc t t nh ti n v ) * Tv bi n m t đ - Tr ng th ng thành m t đ ng h p đ ng th ng ng th ng  có ph ng trình là: z =  z +  (   1,  +   0) Tv có bi u th c t a v z’ = z +   z = z’ -  Khi nh c a đ ng th ng  qua Tv z’ -  =  ( z '  ) +   z’ -  =  z ' -   ' +   z’ =  z ' +  +  -   t  =  ’,  +  -   =  ’ Khi ta có: z’ =  ' z ' +  ’ Vì  '    1,  ' ' +  ’=  (  +  -   ) +  +  -   =  +   -  +  +  -  =  + =0 Nên z’ =  ' z ' +  ’ ph ng trình c a m t đ V y phép t nh ti n Tv bi n đ ph ng th ng ng th ng  thành đ ng th ng  ' có ng trình z’ =  ' z ' +  ’ (v i  ’=  ,  ’=  +  -   )  ' song song  - Khi đ (t c  đ ng th ng  có ph ng trình z =  z +  (trong    )  ng th ng song song v i véc t t nh ti n v ) V i  ’=     ,  ’=  +  -   =  +  -      Thang Long University Libraty Khi  ' có ph V y Tv bi n đ đ ng trình z’ =  ' z ' +  Suy    ' ng th ng song song v i véc t t nh ti n v thành ng th ng * Tv bi n m t đ Cho đ ng tròn thành m t đ ng tròn (C1) có ph ng tròn b ng ng trình z z’ +  z + 1 z + p1 = ( p1  ) (C1) có tâm có t a v z0 = - 1 , bán kính R1  1   p1 nh c a đ ng tròn (C1) qua Tv (z’ -  ) ( z '  ) +  ( z’ -  ) +  ( z '  ) + p1 =  z’ z ’ - z’  -  z ’ +   +  z’ -   + 1 z ’ - 1  + p1 =  z’ z ’ + z’ (  -  ) + z ’( 1 -  ) +   - 1  - 1  + p1=0 t 1 -  =  ,   -   - 1  + p1 = p2 Khi ta có ph ng trình y z’ z ’ + z’  + z ’  + p2 = v C1 O C2 p2 =   -   - 1  + p1  Hình 1.2.1.3 x (   ,   , 1  , p1  )   - p2 = ( 1 -  ) (  -  ) -   +   + 1  - p1 = 1  - p1 > Nên z’ z ’ + z’  + z ’  + p2 = ph ng trình c a m t đ ng tròn V y phép t nh ti n Tv bi n đ ph ng tròn (C1) thành đ ng tròn (C2) có ng trình z’ z ’ + z’  + z ’  + p2 = (  = 1 -  , p2=   -   - 1  + p1) đ ng tròn (C1) b ng đ ng tròn (C2) (vì R2 =    p2 = 1   p1 = R1) nh lý: Tích c a hai phép t nh ti n lƠ phép t nh ti n 1.2.1.4    T v T w  T v  w     Ch ng minh: Gi s T : z  z  1 , Tw : z  z  2 v Khi đó: Tv.T : z  ( z  2 )  1 w   V y T T phép t nh ti n theo véc t có t a v   1 t c véc t v  w v w 1.2.2 Phép quay 1.2.2.1 nh ngh a 1.2.2 Trong m t ph ng P đ m t góc đ nh h c đ nh h ng Cho m t m A c đ nh ng  sai khác 2k  M t phỨp quay tâm A v i góc quay  m t phỨp bi n hình bi n m A thành bi n m M thành m M’ cho AM = AM’ ( AM , AM ')   Ta ký hi u ( AM , AM ') góc đ nh h ng mà tia đ u AM, tia cu i AM’ Ký hi u phép quay tâm A góc quay  QA Ta có QA : M  M’ hay QA (M)=M’ Cho A m có t a v a, gi s QA : M(z)  M’(z’)  AM  AM ' Khi ta có:  ( AM , AM ')   10 Thang Long University Libraty BƠi 2: Cho ABC c đ nh có tr c tâm H V hình thoi BCDE, t D E v đ ng th ng vuông góc v i AB AC Các đ ng th ng c t t i m M Tìm qu tích c a m M Gi i: T giác BCDE hình thoi nên BC=CD, BC//ED H tr c tâm ABC nên BH  AC , ME  AC  BH // ME Suy HBC  MED T ng t : HC//DM BC//ED  HCB  MDE Suy ra: HBC  MDE  CH  DM  Phép t nh ti n TCH  D   M Ta có BC=CD nên m D ch y đ ng tròn (C) tâm C, bán kính R=BC  m M thu c đ ng tròn tâm H, bán kính R=BC nh c a đ ng tròn (C) qua phép t nh ti n TCH BƠi 3: Cho ABC có A 900 T m P thay đ i c nh huy n BC c a ABC v đ ng vuông góc PR, PQ v i c nh vuông AB, AC ( R  AB, Q  AC) Tìm qu tích trung m M c a đo n th ng RQ Gi i: A R M B1 B N1 Q C N P S 42 Thang Long University Libraty D ng hình ch nh t ABSQ Ta có PR  AB, PQ  AC RA  AQ  ARPQ hình ch nh t Suy RBSP hình ch nh t G i N trung m c nh BP MN//SQ MN= SQ  MN//BA MN= BA 2 t u  BA NM  u Phép t nh ti n Tu : N  M Khi P  C N  D trung m c nh BC Khi P thay đ i c nh huy n BC N c ng thay đ i đo n th ng BD thu c c nh huy n BC Tu : B  B1 Tu : D  N1 B1 N1 trung m c nh AB, AC Suy qu tích c a m M đo n th ng B1N1 BƠi 4: Cho m I c đ nh G i M, M' hai m cho  IMM' vuông cân t i I a) Cho m M ch y đ ng tròn (O) Tìm qu tích m M' b) Cho m M ch y đ ng th ng d Tìm qu tích m M' G i H hình chi u c a I xu ng MM' Tìm qu tích m H Gi i:  IMM' vuông cân t i I nên IM=IM'  IM , IM '   900 Suy M' nh c a M qua phép quay tâm I, góc quay 900 T c Q(I,900): M  M ' M a) Khi M   O  Q(I,900): O  O '  Q(I,900): (O )  (O ') H Suy M '   O ' M’ I 43 V y qu tích m M' đ ng tròn (O') nh c a đ ng tròn (O) qua phép quay Q(I,900) b) Khi M  d G i J hình chi u vuông góc c a I lên d Q(I,900): J  J '  Q(I,900): d  d ' d '  IJ ' t i J', d  d ', M  d  M  d ' V y qu tích m M' đ * Tìm qu tích m H: ng th ng d' qua J' vuông góc v i d K IH  MM '  MIH  450 ( Do  IMM' vuông cân t i I ) Suy t giác IJMH n i ti p đ ng tròn đ ng kính MI  MJH  MIH  450 ( ch n cung MH ) Ta có MJJ '  450 (JJ' đ ng chéo hình vuông OJIJ')  MJH  MJJ ' Hai m H J' n m phía đ i v i đ ng th ng d nên H  JJ ' Qu tích c a m H đ ng th ng JJ' BƠi 5: Cho ba m A, B, C c đ nh đ ng tròn (O) m M thay đ i (O) G i M1 đ i x ng v i M qua A, M2 đ i x ng M1 qua B, M3 đ i x ng v i M2 qua C Tìm qu tích c a m M3 Gi i : G i D trung m c a M M3 AD đ MM1M3 A ng trung bình c a M1 M B O D M2 O’ C M3 44 Thang Long University Libraty  AD//M1M3 AD  Ta có BC đ M1M3 1 ng trung bình c a M1M2 M3  BC//M1M3 BC= M1M3  2 T (1), (2) ta có AD//BC, AD=BC nên ABCD hình bình hành Ta có A, B, C c đ nh nên D c đ nh Xét phép đ i x ng tâm D D: M  M3 m M ch y đ nên m M3 ch y đ V i (O') nh c a đ D ng tròn (O) ng tròn (O') ng tròn (O) qua phép đ i x ng tâm D V y qu tích m M3 đ ng tròn (O') 2.3 BƠi toán d ng hình BƠi 1: Cho đ ng th ng d, hai m A B m M, N cho MN = m cho tr phía b d Tìm d hai c AM = BN Gi i x A' A B + Phân tích: Ta d ng N qua phép t nh ti n M Tm : M  N N d A  A'  m véc t có đ dài m ph ng d Khi A'N=NB Do N giao c a đ ng th ng d v i đ ng th ng x trung tr c c a A'B + D ng: A' = Tm ( A) , x đ ng trung tr c c a A'B N = x  d , M = T m ( N ) + Ch ng minh: MN = m, NB = NA' = MA + Bi n lu n: A'B vuông góc v i d toán vô nghi m 45 A'B không vuông góc v i d toán có nghi m hình BƠi 2: Cho hai m A B khác phía b đ ng th ng d Hãy d ng m M d đ d phân giác c a AMB Gi i: + Phân tích: Gi s d ng đ Ta th y qua d c M d M th a mãn đ u : A  A' A' MB  M  A'B  d A M I + D ng: A' = d d A' B (A), M  BA'  d + Ch ng minh: d trung tr c c a AA' nên d phân giác c a AMB + Bi n lu n: n u AH  BI toán có nghi m n u AH = BI toán vô nghi m BƠi 3: Cho đ ng tròn (O), m t m A m t đ ng th ng d, d ng tam giác vuông cân t i A cho B  (O), C  d Gi i : + Phân tích Gi s d ng đ d' c  ABC vuông cân t i A th a mãn u ki n đ u d Khi B  (O) B  d' = QA90 (d ) O C B 46 A Thang Long University Libraty + D ng: d' = QA90 (d ) , B = (O)  d', C = QA90 ( B) Ta có  ABC c n d ng 0 + Ch ng minh: Theo cách d ng suy tam giác ABC tam giác vuông cân th a mãn đ u Bi n lu n: Tùy thu c vào s giao m c a d' đ s nghi m hình t ng tròn (O) ta có ng ng BƠi 4: Cho tam giác ABC Hãy d ng tr c  c a đ i x ng tr f  DCA DBC DAB d ng vect tr t v x Gi i: K đ A ng cao BK c a tam giác ABC K L J B K đ ng th ng Bx cho góc đ nh h t C y ng (BA, BC) ( Bx, BK ) b ng Ta có DBC DAB  DBK DBx (phép quay góc (BA, BC) quanh B) Qua K k Ky // Bx k đ Ta có: DCA.DBK  D DKy (= ng th ng  vuông góc v i Bx , c t Bx t i J K) T f  DCA.( DBC DAB )  DCA.( DBK DBx )  ( DCA.DBK ).DBx  ( D DKy ).DBx  D T2 JK V y f phép đ i x ng tr 2.4 M t s bƠi toán b i d t tr c  vec t tr t 2JK ng thi h c sinh gi i qu c gia vƠ qu c t dùng phép d i hình BƠi 1: Trong m i tam giác, kho ng cách t m i đ nh đ n tr c tâm g p đôi kho ng cách t tâm đ ng tròn ngo i ti p đ n c nh đ i di n 47 Gi i: Ta c n ch ng minh d ( A, H )  d (O, BC ) hay AH  OA0 d ký hi u kho ng cách A0 trung m canh BC Nh ng c hai đo n th ng AH OA0 đ u vuông góc v i BC, h n n a l i h  ng   T ta ch ng minh AH  OA0  OO ' , O'  BC (O ) , t suy AH  OA0 C A H’ H O A0 O’ B Th t v y: m H’ đ i x ng v i tr c tâm H c a ABC qua c nh BC thu c vào đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC , nên đ ng tròn (ABC) tâm O (HBC) tâm O’ đ i x ng qua BC b ng ( có bán kính) chúng t   ng   ng v i phép t nh ti n T ( v) theo véc t    v  OO  OA0 Vì T (OO ' ) bi n A thành H nên AH  OA0 ' V y d ( A, H )  d (O, BC ) BƠi 2: Trong m t ph ng cho tam giác ABC, ADE có góc đ nh chung A bù nhau, đ ng th i AB  AD, AB  AD, AC  AE, AC  AE hai tam giác không m chung khác đ nh A 48 Thang Long University Libraty Ch ng minh r ng đ ng th ng ch a trung n xu t phát t đ nh chung A c a tam giác ch a đ ng cao h t A c a tam giác Gi i: Theo gi thi t AB  AD, AB  AD AC  AE, AC  AE G i M trung m c nh BC, H chân đ ng cao AH c a ADE , ta c n ch ng minh AM  DE F H E D A B C M  Th t v y, th c hi n phép quay Q( A, ) n u ABC có h thu n phép quay bi n ADE thành ABF D E F  D A (C ) Vì , BF  Q( DE )  Q  Q( A, ) BF  DE, BF  DE BF AM , BF  AM (do AM đ ng B nên ng trung bình c a BCF T suy AM  DE BƠi 3: (Thi vô đ ch Qu c gia Romania, 1997) G i P t p h p m m t ph ng D t p h p t t c đ ng th ng m t ph ng Hãy xem xét có t n t i hay không m t phép bi n hình 49 f: P  D cho v i m i ba m th ng hàng A, B, C ba đ ng th ng f(A), f(B), f(C) song song ho c đ ng quy Gi i: Ta kh ng đ nh không t n t i m t phép bi n hình nh th Gi s ng Tr c l i, t n t i phép bi n hình f tho mãn u ki n đ c tiên, ta đ ý r ng ngh ch nh A, B, C c a ba đ ng th ng song song ho c đ ng quy d1, d2, d3 ph i th ng hàng Th t v y, n u không th , m i m M b t kì ba đ ng th ng AB, BC, CA, ta có đ ng th ng f(M) s song song ho c đ ng quy v i d1, d2, d3 Lúc đó, m i m n m đ ng th ng xác đ nh b i hai m nh th (t c nh m M) c ng cho nh qua f đ ng th ng song song ho c đ ng quy v i d1, d2, d3 Suy t t c m c a m t ph ng đ u có nh đ ng th ng song song ho c đ ng quy v i d 1, d2, d3, u mâu thu n Bây gi , cho hai h đ trên, ngh ch nh c a đ m t đ ng th ng l1 (t ng th ng (P1) (P2) khác nhau, theo nh n xét ng th ng thu c (P1) (t ng ng, (P2)) đ u n m ng ng, l2) Ta ph i có l1 // l2, hai h (P1) (P2) chung đ Ti p theo, xét m t chùm (Q) đ ng th ng đ ng quy, đ th ng c a (Q) có ngh ch nh m n m đ song song l1) B t kì đ ng v i m t chùm đ ng th ng ng ng th ng m (không c n ng th ng m0 song song v i m c ng cho t ng ng th ng đ ng quy mà m đ ng quy khác v i m c a chùm (Q) (đ ý, n u m0 cho t ng ng v i m t h đ m c ng v y) Tuy nhiên, t n t i m t đ ng th ng song song ng th ng qua hai m 50 Thang Long University Libraty c a m m0, mà ngh ch nh c a m t m n m c m m0, u mâu thu n, suy u ph i ch ng minh BƠi 4: ( ng d ng PhỨp đ i x ng qua tâm, C ng hòa Cezch, 2000) Tìm t t c t giác l i ABCD tho mãn u ki n: T n t i m t m E n m bên t c giác cho b t kì đ ng th ng qua E c t AB, CD c ng chia t giác ABCD thành hai h n có di n tích b ng Gi i: T giác ABCD có tính ch t nh đ n u ch n u AB //CD Th t v y: *Gi s ABCD t giác tho u ki n đ Lúc đó, g i X 1, X2, X3 ba m n m c nh AB cho AX1 < AX2 < AX3 ba đ EX1, EX2, EX3 c t c nh CD l n l ng th ng t t i ba m Y1, Y2, Y3 Vì ABCD t c giác l i nên CY1 < CY2 < CY3 Ta có: 0 1  ABCD   ABCD 2   AX1YD    AX2YD    EYY   EX1 X2  2  sin YEY ( EY 1.EY2  EX1.EX2 ), Suy EY1.EY2  EX1.EX2 T ng t , EY2 EY3  EX2 EX3 Do đó: EX1 EX3 ,  EY1 EY3 suy hai tam giác Y1EY3 X1EX3 đ ng d ng T Y1Y3 // X1X3, t c CD // AB 51 * l nl o l i, gi s ABCD t giác l i tu ý có AB // CD G i M M2 t trung m AB CD, ta ch n E trung m đo n th ng M1M2 E có tính ch t nêu đ Th t v y, xét m t đ ng th ng qua E b t kì, mi n c t AB CD t i hai m t ng ng, X Y Xét phép đ i x ng qua E, nh c a đ ng th ng CD, đó, nh c a đo n ng th ng AB đ th ng XM1 đo n th ng YM2 Suy XM1 = YM2 AX + DY = BX + CY Nh v y, t giác AXYD BXYC (m i t giác hình thang ho c hình bình hành) có chi u cao đ dài t ng hai đáy, nên có di n tích b ng Ta có u ph i ch ng minh BƠi 5: ( ng d ng phỨp quay, c ng hòa Cezch, 1999) Trong m t ph ng, cho góc nh n APX Hãy ch cách d ng m t hình vuông ABCD cho P n m c nh BC P n m phân giác c a góc BAQ, v i Q giao m c a tia PX v i CD Gi i: Xét phép quay 900, tâm A, qua phép quay này, B bi n thành D G i P', C', D' l nl t nh c a P, C, D Vì PAP '  900 nên AP' phân giác góc QAD ' Nh v y, P' có kho ng cách đ n hai đ ng th ng AD' AQ, kho ng cách b ng c nh s c a hình vuông ABCD, c ng b ng đ ng cao AD tam giác AQP' 52 Thang Long University Libraty Do tam giác AQP', hai đ ng cao h t A P' b ng nên suy AQ = P'Q Nh v y, có th d ng m P' (P' nh c a P qua phép quay tâm A, góc quay 900) r i d ng Q, v i Q giao m c a PX v i đ ng trung tr c c a đo n AP' Cách d ng m l i rõ, vi c ch ng minh ABCD hình vuông c ng rõ ràng t cách d ng BƠi 6: ( ng d ng phỨp quay) T đ nh A c a hình vuông ABCD, ta v hai tia Ax, Ay qua mi n c a hình vuông Gi s m M, K hình chi u c a m D, B lên Ax; L, N t ng ng hình chi u c a B D lên Ay Ch ng minh r ng đo n th ng KL, MN vuông góc v i b ng Gi i: ch ng minh KL  MN KL  MN , ta c n ch ng minh t n t i phép quay Q, góc quay 900 bi n K thành M L thành N Th t v y, t u ki n c a toán suy tam giác ABK DAM b ng Qua phép quay Q tâm O (tâm c a hình vuông), góc quay 900, B bi n thành A, A thành D phép quay b o t n g c nên suy nh c a m K m M L p lu n t ng t : QO90 : L N T suy KL  MN KL  MN 53 BƠi 7: ( ng d ng PhỨp t nh ti n, Winconsin, 1998) D ng m t hình thang ABCD (AB // CD) có c nh đáy AB = a, hai đ ng chéo AC = m, BD = n bi t  góc nh n t o b i hai đ ng chéo Gi i: Gi s d ng đ c hình thang theo yêu c u Th c hi n phép t nh ti n theo vect DC , m B bi n thành m N hay N đ nh th t c a hình bình hành CDBN Suy ACN  1800   CA = m, CN = n Nh v y tam giác CAN d ng đ c T phân tích trên, d dàng suy cách d ng Bi n lu n Vì  góc nh n nên 1800   góc tù Do v y, toán có nghi m hình ch AN > AB, hay AN  m2  n2  2mn cos (1800   )  m2  n2  2mn cos  a Nói cách khác, toán có nghi m hình ch     , a  (m2  n ) đó,  góc xác đ nh b i cos   2mn 54 Thang Long University Libraty K T LU N Nh ng k t qu mà đ tài đ t đ c trình nghiên c u: S d ng công c s ph c nghiên c u phép d i hình m t ph ng, ch ng minh chi ti t m t s tính ch t c a phép d i hình Minh h a vi c s d ng phép d i hình gi i m t s toán hình h c ph ng Vi c s d ng s ph c nh m t công c gi i toán không nh ng mang l i cho m t ph ng pháp gi i toán m i mà góp ph n đáng k vào vi c rèn luy n k n ng n ng l c gi i toán cho h c sinh, sinh viên, đ c bi t ng d ng phép bi n hình đ gi i toán hình h c ph ng có th cho l i gi i đ p ng n g n 55 TÀI LI U THAM KH O [1] Vi Qu c D ng (1994), Các phỨp bi n hình, HSP Thái Nguyên [2] Vi Qu c D ng (1994), Qu tích , HSP Thái Nguyên [3] Nguy n H u NXB i n (2000), Ph ng pháp s ph c v i hình h c ph ng, i h c Qu c Gia Hà N i [4] Nguy n V n M u (2009), Chuyên đ s ph c áp d ng, NXB H Qu c Gia Hà N i [5] Nguy n M ng Hy (2003), Các phỨp bi n hình m t ph ng, NXB Giáo d c [6] oàn Qu nh (1997), S ph c v i hình h c ph ng, NXB Giáo d c [7] Hoàng Tr ng Thái (2007), Giáo trình ng d ng phỨp bi n hình gi i toán hình h c, NXB i h c S ph m 56 Thang Long University Libraty [...]... DỐNG PHÉP D I HÌNH - Các bài toán hình h c ph ng đ u có th gi i đ hình h c thu c các l p trung h c c s , nh ng đã đ c ch c n ki n th c c chúng ta gi i l i theo quan đi m bi n hình Nh v y trong vi c kh o sát tính ch t c a các hình hình h c thì ngoài ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp t a đ , ph ng pháp vecto mà chúng ta đã bi t và đã s d ng còn có ph ng pháp bi n hình d ng tính ch t c a các phép bi n hình. ..  ,   1 là các bi n đ i b o t n h - phép quay trong m t ph ng Nh ng bi n đ i afin ng, b o t n kho ng cách nh ngh a: Bi n đ i z '   z   ,   1 đ c g i là phép d i hình lo i 1 c a m t ph ng 1.2.3.2 Các tính ch t c a phép d i hình lo i 1 T p h p các phép d i hình lo i 1 c a m t ph ng làm thành 1 nhóm (đ i v i phép toán h p thành các ánh x ) g i là nhóm d i hình lo i 1 - Bi n đ i đ ng nh t c a m... Nh v y t p h p các phép d i hình lo i I và lo i II z  z '   z   ;   1; z  z'   z  ;   1 chính là t p h p các phép d i hình Ta s ch ng minh đi u nói trên tr ng ph thông b ng cách dùng s ph c a Phép d i hình b o toàn tính th ng hàng c a b ba đi m Th t v y: N u A, B, C th ng hàng thì các nh c a nó qua phép d i hình A', B', C' tho mãn A' B' + B' C' = A'C' nên th ng hàng Phép bi n đ i c a m... c Trong m t ph ng cho hai đo n th ng b ng nhau AB  A' B' ( A  B) Khi đó có duy nh t 1 phép d i hình lo i 1, có duy nh t m t phép d i hình lo i 2 bi n A thành A'; B thành B' Ch ng minh : Gi s A (z0) ; B (z1); A' (z0'); B' (z1') Xét phép d i hình lo i 1 z'   z   ;   1 Bi n A thành A', B thành B' ta có: z0'   z0   ; z1'   z1   Do đó:  z1'  z0' , z1  z0  1   z0'   z0 T ng t phép. .. z0 T ng t phép d i hình lo i 2 c n tìm z '   z   Trong đó: z1'  z0'  ; z1  z0   z0'   z0 1.5 M t s bƠi toán hình h c ph ng gi i b ng cách dùng s ph c vƠ bi u th c s ph c c a phép d i hình BƠi toán 1: Dùng bi u di n hình h c c a s ph c đ ch ng minh: T ng bình ph ph ng đ dài hai đ ng chéo c a m t hình bình hành b ng t ng bình ng dài b n c nh c a nó Gi i L y m t đ nh c a hình bình hành làm...  E 2 đ c g i là phép d i hình n u trong m t ph ng v i 2 đi m M, N b t k và 2 nh c a chúng l n l t là M '  f ( N ), N '  f ( N ) ta luôn có d (M ', N ')  d (M , N) ngh a là bi n đ i c a m t ph ng b o t n kho ng cách gi a các đi m 4.1.2 tr ng ph thông ta g i bi n đ i c a m t ph ng b o t n kho ng cách là phép d i hình và ch ng minh r ng m i phép d i hình là tích 25 c a không quá ba phép đ i x ng tr... là v n d i hình, đ ng d ng…vào vi c kh o sát tính ch t hình h c c a các hình, tính toán các đ i l ng hình h c, tìm t p h p đi m (qu tích) và gi i c toán d ng hình - Mu n nh n bi t đ đ c b ng ph c m t bài toán hình h c nào đó có kh n ng gi i ng pháp d i hình bao g m t nh ti n, đ i x ng tâm, đ i x ng tr c, quay thì tr c h t chúng ta ph i xem xét, phân tích n i dung bài toán đ tìm ra y u t nào trong đó... t phép bi n hình c th , sau đó v n d ng các tính ch t c a phép bi n hình này đ tìm ra l i gi i hay đáp s c a bài toán đ c xét 2.1 BƠi toán ch ng minh BƠi 1: Trong m t ph ng cho n đi m J1, J2, , Jn (n  3) Hãy tìm dãy đi m A0, A1, , An-1 trong m t ph ng sao cho Jk là trung đi m c a đo n th ng Ak 1 Ak , k  1,2, , n  1 (coi An = A0) Gi i: G i Jk là phép đ i x ng tâm Jk thì A0 là đi m b t đ ng c a phép. ..  ( 2 1   2 ) mà rõ ràng 21  2 1  1 17 1.3 Phép d i hình lo i 2 1.3.1 Phép đ i x ng tr c nh ngh a 1.3.1 1.3.1.1 Trong m t ph ng P cho m t đ ng th ng d c đ nh, phỨp bi n hình bi n đi m M thành đi m M’ sao cho đo n th ng MM’ nh n đ làm đ ng trung tr c đ c g i là phỨp đ i x ng tr c d ng th ng d d ng th ng d g i là tr c đ i x ng Ký hi u phép đ i x ng tr c d là Ta có Cho đ z (d là đ d(M) = M’... 1.3.3 Phép d i hình lo i 2 - t z'   z   ,   1 đ nh ngh a: Phép đ i x ng tr c g i là phép d i hình lo i 2 - i x ng tr t có đi m b t đ ng khi và ch khi nó là 1 đ i x ng tr c (và khi đó có vô s đi m b t đ ng làm thành 1 đ ng th ng đ - ng th ng) c b t bi n qua đ i x ng tr t f  Tv  =  Tv (t c f(d) = d) Khi v  0 bu c ph i là  vì n u d song song v i  (không c t ) thì d th y d và f(d) n m trong