BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Đỗ Thị Hiền MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Đỗ Thị Hiền - C00230 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ CÁCH GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Thị Hà Hà Nội - 2016 Thang Long University Libraty MỤC LỤC CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   .   04  1.1 Các hàm số lượng giác      04  1.1.1 Định nghĩa các hàm số lượng giác   .   04  1.1.2 Tính chất các hàm số lượng giác      05  1.1.3 Dấu các hàm số lượng giác      08  1.1.4 Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt      09  1.2 Công thức lượng giác     09  1.2.1   Các hệ thức cơ bản    .   09  1.2.2   Tính chất các cung có liên quan đặc biệt    .   10  1.2.3   Công thức lượng giác       10  CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC      13  2.1   Phương trình lượng giác cơ bản       13  2.1.1    Phương trình  sin x  m      13  2.1.2    Phương trình  cos x  m    15  2.1.3    Phương trình  tan x  m    17  2.1.4    Phương trình  cot x  m    18  2.2     Một số dạng phương trình lượng giác      20  2.2.1    Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản   .   20  2.2.2    Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu      36  2.2.3    Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối      41  2.2.4    Phương trình lượng giác chứa căn   .   47  2.2.5    Phương trình lượng giác chứa tham số      52  KẾT LUẬN  .   78  TÀI LIỆU THAM KHẢO     79    Page LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán phổ thông lượng giác đã được bắt đầu đưa vào  phần kiến thức từ lớp 10 những năm đầu của bậc  học. Các bài toán về phần  này rất đa dạng và phong phú trong nhiều đề thi hiện nay. Trong đó phần kiến  thức  về  phương  trình  lượng  giác  chiếm  vai  trò  không  nhỏ.  Tuy  nhiên  phần  kiến  thức  này  luôn  là  những  vấn  đề  không  dễ  đối  với  nhiều  học  sinh  phổ  thông, thêm nữa do thời gian hạn hẹp của chương trình học chỉ nêu được các  dạng  phương  trình  cơ  bản  và  những  phương  trình  bậc  nhất,  bậc  hai  đối  với  một hàm số lượng giác. Vì vậy học sinh thường gặp nhiều khó khăn lúng túng  khi giải các bài toán không nằm trong chương trình mình được học.    Đặc biệt hơn nữa, nhiều dạng toán về đại số và lượng giác có mối quan  hệ  chặt  chẽ,  khăng  khít  với  nhau,  không  thể  tách  rời  được.  Nhiều  bài  toán  lượng giác cần có sự trợ giúp của đại số, giải tích và ngược lại. Ta có thể dùng  lượng giác để giải một số bài toán về phương trình và hệ phương trình trong  đại số thông qua cách đặt ẩn phụ là những hàm lượng giác.    Chính vì vậy để đáp ứng được nhu cầu về công tác giảng dạy, nâng cao  trình độ chuyên môn của bản thân và góp phần nhỏ vào sự nghiệp giáo dục,  luận  văn  “Một số dạng phương trình lượng giác cách giải”  nhằm  hệ  thống lại kiến thức cơ bản của  phương trình lượng giác, kết hợp với kiến thức  đại số để chọn lọc và phân loại một số cách giải phương trình lượng giác. Với  đề tài này tôi mong sẽ giúp cho các học sinh phổ thông có một tài liệu tham  khảo về chủ đề giải phương trình lượng giác. Luận văn ngoài lời nói đầu, kết  luận và tài liệu tham khảo gồm chương.    Chương 1: Kiến thức chuẩn bị  Trình  bày  lại  định  nghĩa  các  hàm  số  lượng  giác,  đồ  thị  các  hàm  số  lượng giác và một số công thức lượng giác cơ bản.    Chương 2: Phương trình lượng giác Page Thang Long University Libraty Trình bày phương trình lượng giác bản: sin x  m,cos x  m, tan x  m,cot x  m , số dạng phương trình lượng giác đưa dạng bản, có phương trình bậc sin cos, phương trình bậc hai hàm số lượng giác, phương trình đẳng cấp bậc hai sin cos, phương trình đối xứng sin cos, phương trình đối xứng với tan cot, phương trình chứa biểu thức đối xứng với sin n x,cosn x , tác giả giới thiệu dạng phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình lượng giác chứa phương trình lượng giác chứa tham số Đặc biệt cuối chương tác giả trình bày phương pháp lượng giác hóa áp dụng vào giải số phương trình hệ phương trình đại số Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp, em xin cảm ơn TS Lê Thị Hà người trực tiếp hướng dẫn tận tình giúp đỡ em trình thực khóa luận Đồng thời em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tất thầy cô khoa Toán, Trường Đại học Thăng Long dạy bảo giúp đỡ em suốt trình học tập Cuối cùng, em xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp người thân bên cạnh giúp đỡ em học tập sống Mặc dù cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn nhiều thiếu sót Rất mong thầy cô bạn học viên nhận xét, đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 07 tháng 06 năm 2016 Học viên Đỗ Thị Hiền Page CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1.1 Định nghĩa hàm số lượng giác   Trong  mặt  phẳng  tọa  độ  Oxy,  đường  tròn  lượng  giác  gốc  A  là  đường  tròn  định  hướng  có  bán  kính  R  =  1.  Điểm  M  nằm  trên  đường  tròn  sao  cho  cung      khi đó:  Tung độ  y    của điểm M  gọi  là sin của α, hoành độ x  điểm M gọi côsin α ký hiệu sau: Page Thang Long University Libraty sin   cos   sin   cos  cos   cot   sin  tan          T    1.1.2 Tính chất hàm số lượng giác a Hàm số y  sin x  Hàm số  y  sin x  là hàm số lẻ vì  sin   x    sin x Tập xác định:  D     Tập giá trị:   1;1    Hàm số  y  sin x  tuần hoàn với chu kỳ  2  nên ta có:  sin  x  k 2   sin x, k     Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  sin x  trên     ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên   0;  , sau đó lấy đối xứng đồ  thị qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn    ;  , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa  thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài  2 ,4 ,     Đồ thị hàm số y  sin x b Hàm số y  cos x Page  Hàm số  y  cos x  là hàm số chẵn vì  cos   x   cos x Tập xác định:  D     Tập giá trị:   1;1    Hàm số  y  cos x  tuần hoàn với chu kỳ  2  nên ta có:  cos  x  k 2   cos x, k     Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  cos x  trên     ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên   0;  , sau đó lấy đối xứng đồ  thị  qua trục Oy,  ta được đồ thị trên đoạn    ;  , cuối cùng  tịnh tiến  đồ thị  vừa  thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài 2 ,4 ,     Đồ thị hàm số y  cos x c Hàm số y  tan x  Hàm số  y  tan x  là hàm số lẻ vì  tan   x    tan x   Tập xác định:  D   \   k , k      2  Tập giá trị:      Hàm số  y  tan x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có:  tan  x  k   tan x, k  .  Page Thang Long University Libraty Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  tan x trên     ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên  0;  , sau đó lấy đối xứng đồ   2     thị  qua  gốc O, ta được  đồ thị trên đoạn   ;  , cuối cùng  tịnh tiến đồ thị   2 vừa  thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài   ,2 ,       Đồ thị hàm số hàm số y  tan x   Đồ thị hàm số hàm số  y  tan x   nhận mỗi đường thẳng  x  k   làm một đường tiệm cận.  d Hàm số y  cot x  Hàm số  y  cot x  là hàm số lẻ vì  cot   x    cot x   Page   k , Tập xác định:  D   \ k , k     Tập giá trị:      Hàm số  y  cot x  tuần hoàn với chu kỳ    nên ta có:    cot  x  k   cot x, k         Do đó muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y  cot x  trên       ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên  0;  , sau đố lấy đối xứng đồ thị   2     qua gốc O, ta được đồ thị trên đoạn   ;  , cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa   2 thu  được  sang  trái  và  sang  phải  theo  trục  hoành  những  đoạn  có  độ  dài   ,2 ,   Đồ thị hàm số y  cot x Đồ thị hàm số  y  cot x   nhận mỗi đường thẳng  x  k , k   làm một  đường tiệm cận.  1.1.3 Dấu hàm số lượng giác  Page Thang Long University Libraty Phương trình (1) có dạng:      u   1 u  u  2(u 1)  2u  u     1  u    u   2 Với  u    ta có:   sin   cos              sin(  )      k 2 , k   4    (0; )     x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là:  = √2.  Bài tập 3. Giải phương trình:   x6  (1  x2 )3     x     Giải Điều kiện:  x    Đặt:  x  cos t  với  t   0;     Phương trình đã cho được đưa về dạng:   3sin t  8(cos t  sin t )   3sin t  8(1  3cos t sin t )  3sin t   6sin 2t  sin t  cos 4t  cos 4t  cos(   t)   k t  10   , k      t    k        9 5   0;   t   ; ; ; ;   10 10                   Page 66 Thang Long University Libraty    x  cos 10   x  cos 9   cos   10 10        Từ đó ta tìm được nghiệm:   x  cos    5  x  cos    x    Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:         3  S  cos ;  cos ; ;  ;0     10 2   10   Bài tập 4. Tìm các nghiệm của phương trình sau trên đoạn   1;1    (8x3  x)(8x  8x 1)  x(2 x 1)    (*)  Giải Phương trình (*)  x(2 x 1)  (4 x3  3x)(8 x  x  1)   Xét phương trình với  x  1;1   Đặt  x  cos t,  với  t  0;    Phương trình trở thành:   cos t cos 2t  cos3t (8cos4 t  8cos2 t 1)    cos t cos 2t  cos3t 2(1  cos 2t )2  4(1  cos 2t )  1  cos t cos 2t  cos3t (2cos2 2t  1)  cos t cos 2t  cos3t cos 4t                      cos t  cos3t  cos t  cos7t   Page 67        k t   3t  7t  2k , k     k  3t  7t  2k   t    2 3 4   t0;    t  0; ; ; ; ; ;   5 5  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:   2 S  0; 1;cos ;cos 5  ;cos 3 4  ;cos      5  Bài tập 5. Giải phương trình:   x  x  3( x   x ) 1   Giải  x  x2   Điều kiện:   x    x   (*)  1  x   Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:  1 x  x2  x   x     Với điều kiện (*) để khử dấu căn ta đặt:  x  cos   với    0;     2 Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:              1 cos   cos4   cos    cos2      sin  cos  3( cos   sin  )   2sin  cos  3(cos  sin  )   Đặt:  sin   cos   u,1  u    u 1   Ta suy ra:   sin  cos   Phương trình có dạng:  Page 68 Thang Long University Libraty          u 1  3u  u  3u     u  1u      u  u   sin   cos      sin(  )    2k   x 1        x      2k  2   Vậy phương trình có nghiệm là  x  1 hoặc  x    Bài tập 6. Giải phương trình:        x  (1  x)3  (1  x)3    x 2(1  x )     Giải Điều kiện:  1  x    Nếu  1  x   VT   VP     Nếu   x   Đặt  x  cos t , với  t   0;     2 Phương trình được đưa về dạng:    Vậy  x  t t  sin t (2 cos3  2 sin )   sin t cos t 2 t t t t  2(sin  cos )(cos  sin )(1  sin t )   sin t cos t 2 2    2 cos t (1  sin t )   sin t cos t  2 cos t   cos t   là nghiệm duy nhất của phương trình.  Bài tập 7. Giải phương trình:  x3  x   x   Page 69 Giải Điều kiện:  x  2   Phương trình đã cho tương đương với:  x3  3x  x    Nếu  x   VT  x  x( x  4)  x  x  x   VP   Nếu  2  x    Đặt:  x  2cos t, t  0;    Khi đó phương trình đã cho trở thành:        8cos3 t  6cos t  2cos t     2(4cos3 t  3cos t )  2cos  cos3t  cos t t 2   t   t   t k    4  t 0;        t  3t   t  k 2   t  4    x  2cos  4   Vậy nghiệm của phương trình là:    x  2cos   x  2cos 4  Bài tập 8. Giải phương trình:  x   33 x    Giải Đặt:  u  3x 1  u  3x 1  u3 1  3x    x3   3u Khi đó:    x3  u  3(u  x)   u   x Page 70 Thang Long University Libraty        ( x  u )( x  ux  u  3)           x  u  (vì  x  ux  u   )  Phương trình đã cho tương đương:  x3  3x    (*)  Xét phương trình trên   2;2  , ta đặt  x  cos t ,  t     Phương trình (*) được đưa về dạng:          2(4cos3 t  3cos t )     2 k 2 t  , k     2 4 8  0t    t   ; ;   9   cos3t          2  x  2cos  4 Vậy nghiệm của phương ttrình là:   x  2cos     x  2cos 8    Bài tập 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x   x2  m    Giải Điều kiện:   x   1  x       Đặt:  x  sin   với      ;     2  Phương trình đã cho trở thành:      sin    sin   m  sin   cos   m          m  sin      có nghiệm khi và chỉ khi  m    2;    4  Page 71  Giải hệ phương trình Nhận xét: Có nhiều hệ phương trình trong đại số mà ta không dễ dàng    giải được bằng những phương pháp của đại số. Nhưng khi lượng giác hóa đưa  về những công thức cơ bản của lượng giác thì bài toán trở nên đơn giản hơn  nhiều. Sau  đây ta đi  giải  một số  bài tập tiêu biểu của  hệ phương trình trong  đại số bằng phương pháp lượng giác hóa.   2y x  1  y Bài tập Giải hệ phương trình:     2x  y 1  x2 Giải  x  tan  Đặt:    y  tan     với   ,     ;     2  tan  1  tan   tan  sin   tan    Khi đó hệ được chuyển về dạng:     sin  tan  tan     tan  1  tan  Ta đi xét 2 trường hợp sau:  ) sin    sin    và ngược lại, suy ra  x  y   là nghiệm của hệ.  sin     )  sin    Nhân theo hai vế phương trình của hệ, ta được:  sin 2 sin 2  tan  tan     4cos  cos    cos  cos   cos cos    (1) Ta biến đổi phương trình đầu của hệ về dạng:  2sin  cos  cos   sin    Page 72 Thang Long University Libraty (*)  sin   sin     ,   ;    2      (2)   Thay (2) vào (1), ta được:              cos2     1  (1  cos 2 )    2  cos 2     k    , k  x  y 1  k Khi đó nghiệm của hệ là:  x  y  tan(  ), k        x  y  1 Vậy hệ có ba cặp nghiệm.   x   y  Bài tập Giải hệ phương trình:      y   x  Giải Điều kiện:  x , y     x  sin     Đặt:   , với   ,     ;     2  y  sin  Ta biến đổi hệ phương trình về dạng:    sin   cos    sin   cos      sin cos       sin   cos    sin   cos    sin   cos      2   sin  cos   cos sin    sin(   )      sin   cos     sin   cos(  )                           Page 73     x  y             x y   Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm là: (0;0), (1;1).    x  y  Bài tập 3. Giải hệ phương trình sau:      y  x2                 Giải Điều kiện:     x, y    Đặt:  x  cos  , y  cos   với    ,       Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:    cos  sin     sin  cos   sin  cos    cos  sin   sin  cos   sin  cos    1   sin(   )  sin(   )   2 sin(   )      k     k        k       2n  k     12 k     sin(2 )    5 2n  k     12        6    cos x y         12   12 Do      nên:       5 6     x  y  cos    12 12  Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm.  Page 74 Thang Long University Libraty  4y 1  y  x   Bài tập 4. Giải hệ phương trình:   x  y 1  x Giải Điều kiện:  x, y  1    x  tan       Đặt:   ( ,     ;  \  )    2   4  y  tan  Khi đó hệ đã cho được chuyển về dạng:       tan   tan   tan   tan  1  tan      tan 2  tan   tan   tan  1  tan  k  2l         k    ,  k , l        2    l    2k  l  k  2l  x  y   x  tan     x   3, y   y  tan 2k  l  x  3, y         Vậy hệ đã cho có 3 cặp nghiệm  x (2  y)  16 Bài tập Giải hệ phương trình:   2 x( y  1)  12 Giải    x3 1  y     Hệ đã cho tương đương với hệ sau:   x y      Page 75 8  x  y  Với điều kiện:  ≠ 0. Biến đổi hệ trên về dạng:      y    x Đặt  t  , khi đó hệ đã cho trở thành:  x       t  y    y  3t   t  y  3(t  y )       (t  y )(t  ty  y  3)   t  y  y3  y  (*) Xét phương trình (*) trên   2; 2  Đặt  y  2cos , với        Khi đó từ (*) ta được:  (4cos3   3cos  )      k 2 , k   9   5 7  0      ; ;  9 9      1  cos3  2      Phương  trình  trên  có  bậc  là  ba  nên  ngoài   2; 2 ,  phương  trình  không  còn  nghiệm nào.  Vậy hệ phương trình đã cho có ba cặp nghiệm là:  (  5 7 , 2cos ),( ;2cos ), ( ;2cos )    7 cos 5 9 cos cos 9  x  y  y  x    Bài tập 6. Giải hệ phương trình:    2(1  y  x  xy )  Giải Page 76 Thang Long University Libraty 1  x   x  1  x  Điều kiện:       1  y   y  1  y   x  cos  Đặt:   , với  ,   0;     y  cos  Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:  cos sin   cos  sin   sin(   )    1  cos   cos   cos  cos   (1  cos  )(1  cos  )                2 1  cos   cos   cos  cos   1  cos  sin   sin  cos          sin   cos   sin  cos   1 t2     Đặt:  t  sin   cos  , t    2;   Suy ra   sin  cos       t  1 t2 t 2;  t    Khi đó ta có:   t     t  2t      t    Với  t   thì ta có:    sin   cos    sin      4      x k        0;         2    x    k 2                x  cos   ,  0;          Với: 2           y  cos0        Vậy hệ phương trình đã cho có một cặp nghiệm   x; y    0;1   Page 77 KẾT LUẬN     Trong luận văn này tôi đã trình bày được những kết quả sau:   Một số công thức lượng giác cơ bản, tính chất các hàm số lượng giác và đồ  thị của các hàm số lượng giác. Các phương trình lượng giác cơ bản,  cách  giải và bài tập áp dụng.  Giới thiệu các phương trình lượng giác cơ bản và một số dạng phương trình  lượng  giác  khác,  phương  pháp  giải  và  các  bài  tập  áp  dụng.  Ứng  dụng  phương  pháp  lượng  giác  hóa  vào  giải  một  số  phương  trình  và  hệ  phương  trình trong đại số, phương pháp lượng giác hóa với mục đích thay đổi hình  thức  từ  bài  toán  đại  số  sang  bài  toán  lượng  giác,  vì  vậy  để  giải  quyết  tốt  một bài toán cần nắm vững kiến thức cơ bản của lượng giác.  Page 78 Thang Long University Libraty TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Quốc Anh, (2000), Tuyển tập 450 toán lượng giác chọn lọc, NXB  Quốc Gia Hà Nội.  [2]  Võ  Đại  Mau,  (1996),  Phương trình bất phương trình lượng giác,  NXB  Trẻ.  [3] Trần Văn Hạo, (2001), Chuyên đề luyện thi vào đại học lượng giác, NXB  Giáo Dục.  [4] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, (2006), Đại số giải tích 11, NXB Giáo Dục.  [5] Trần Phương, (2008), Phương trình lượng giác, NXB Hà Nội.  [6] Nguyễn Vũ Thanh, (2003), 225 Bài toán chọn lọc, NXB Trẻ.  Page 79 Thang Long University Libraty [...]... Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình.  Vậy phương trình đã  cho có hai họ nghiệm.  2.2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2.2.1 Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản  I Phương pháp Bước 1: Dùng công thức lượng giác,  biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ  bản. Trong quá trình biến đổi, nếu phát hiện thừa số chung thì đưa về  dạng phương trình tích số rồi giải tiếp.  Bước 2: Dùng ẩn phụ nếu phương trình có dạng quen thuộc và tìm điều kiện ... Vậy phương trình có hai họ nghiệm.  Nhận xét: Từ hai bài tập 4 và 5 trên cho ta thấy được cách giải của hai    phương trình dạng: a sin kx  b cos kx  a 2  b 2 sin lx a sin kx  b cos kx  c sin lx  d cos lx,  a 2  b 2  c 2  d 2    Trên cơ sở đó cho ta thấy rõ được cách giải phương trình bậc nhất đối với sin  và cos.  1   Dạng:    a sin x  b cos x  c Cách 1    Nếu  a 2  b 2  c 2 , phương trình vô nghiệm. ... b   sin  a  b   2 Page 12 Thang Long University Libraty CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2.1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2.1.1 Phương trình sin x  m I hương pháp  Nếu  m  1  hoặc  m  1 thì phương trình vô nghiệm.   Nếu  1  m  1   +) Giả sử m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt  , khi đó phương trình có dạng:    x    k 2 sin x  sin    , k      x      k 2 +) Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt ... Vậy phương trình có hai họ nghiệm Nhận xét: Từ bài tập 11 cho ta thấy rõ cách giải phương trình dạng   a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 1                        Để giải phương trình dạng (1) ta làm như sau:   t2 1     Đặt:  sin x  cos x  t , điều kiện   2  t  2  Suy ra  sin x cos x  2 Khi đó phương trình trở thành:   t2 1  c  0  bt 2  2at  2c  b  0   at  b 2  Giải phương trình trên và chọn nghiệm thỏa mãn ...   x   k , k   6  t  2 k Vậy phương trình có một họ nghiệm Bài tập 8. Giải phương trình:    2cos 2 x  3sin 2 x  sin 2 x  1 (1)   Giải ) cos x  0  x   2  k , k   Khi đó phương trình (1) có dạng 1  1   (luôn đúng). Vì vậy  x   2  k , k ฀ là nghiệm của phương trình (1).  ) cos x  0  ta chia 2 vế của (1) cho  cos 2 x   ta được phương trình          2  6 tan x  tan 2 x ...    Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm.  II Bài tập minh họa Bài tập 1. Giải phương trình:   tan  x  500   3   Giải Page 17 tan  x  500   3  tan  x  500   tan 600  x  500  600  k1800 , k    x  1100  k1800 , k   Vậy phương trình có một họ nghiệm.  Bài tập 2 Giải phương trình:    tan 2 x  tan 2  0   7 Giải tan 2 x  tan 2 2  0  tan 2 x  tan... Trong cả 2 trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Như  vậy tức là với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.  Page 18 Thang Long University Libraty II Bài tập minh họa Bài tập 1. Giải các phương trình:   a) cot  3 x  2   1; b) sin 3 x  3 cos3 x  0   Giải a ) cot  3 x  2   1  cot  3 x  2   cot  3x  2  x  4  4    k , k  ฀฀ 2  k   , k   3 12 3 Vậy phương trình có một họ nghiệm. ...  Khi đó phương trình có dạng:             t  1 3t  3t  t  1  0   1 t    3 3 2 Page 29        x    k 4   tan x  1  1    x  arctan  k , k     1  tan x   3   3   1   x  arctan    k 3    Vậy phương trình có ba họ nghiệm      Chú ý: Trong bài tập 10 ta thấy được cách giải phương trình đẳng cấp   dạng bậc ba sau đây hoàn toàn tương tự như giải phương trình đẳng cấp bậc ... Đây là phương trình cơ bản của hàm sin.  Cách 2    Với  cos x  0  hay  x    k 2 , k ,  sau đó thay vào phương trình để thử  2 trực tiếp.   Với  cos x  0  x    k 2 , k    2 2t 1 t2 x , cos x    Đặt  t  tan  suy ra  sin x  2 1 t2 1 t2 Khi đó phương trình (1) có dạng:    2t 1 t2 a b c   1 t2 1 t2 2   c  b  t  2at  c  b  0 Sau đó giải phương trình trên theo t.  Bài tập 6. Giải các phương trình:   ... Vậy phương trình có hai họ nghiệm   Nhận xét: Từ bài tập 13 cho ta thấy rõ cách giải phương trình đối xứng  với tan và cot dạng:   a  tan 2 x  cot 2 x   b  tan x  cot x   c  0   Để giải phương trình (1) ta làm như sau:   sin x  0 k   Điều kiện:     sin 2 x  0  x  , k     2 cos x  0   Đặt:  tan x  cot x  t , điều kiện  t  2  Suy ra   tan 2 x  cot 2 x  t 2  2   Khi đó phương trình có dạng: