BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NHẬT GIANG LÝ THUYẾT LIÊN PHÂN SỐ VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè Ban Giám hiệu, thầy cô tổ Toán - Tin trường trung học phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Nhật Giang Lời cam đoan Trong suốt trình nghiên cứu luận văn “Lý thuyết liên phân số áp dụng giải phương trình vi phân” giúp tác giả tìm hiểu sâu lý thuyết liên phân số, đặc biệt áp dụng quan trọng liên phân số vào giải phương trình vi phân Qua giúp tác giả bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Tác giả xin cam đoan luận văn hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm tòi, nghiên cứu thân hướng dẫn bảo TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tác giả Lê Nhật Giang Mục lục Mở đầu Chương Liên phân số 1.1 Lời dẫn khái niệm liên phân số 1.2 Khái niệm liên phân số 10 1.3 Một số ví dụ 12 1.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ 17 ´ 1.4.1 Định lý Sleszy´ nski-Pringsheim 17 1.4.2 Định lý Worpitzky 21 Chương Áp dụng liên phân số việc giải phương trình vi phân 25 2.1 Tổng quan phương trình vi phân 25 2.2 Áp dụng liên phân số giải số phương trình vi phân 35 2.2.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 35 2.2.2 Giải phương trình vi phân Riccati 44 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 i Mở đầu Lí chọn đề tài Khái niệm liên phân số, nói có nguồn gốc lịch sử từ sớm Những người học làm Toán biết đến thuật toán Euclide từ thời toán học cổ đại Hy lạp Tuy nhiên, chứng để khẳng định thời nhà Toán học dụng để hình thành khái niệm liên phân số ngày Có lẽ để nói đến nguồn gốc √ khái niệm này, việc biểu diễn xấp xỉ 13 cho nhà Toán học Bombelli năm 1572 sau √ 13 = + 4 6+ Đây trường hợp riêng công thức a2 + b = a + b b 2a + 2a + Trường hợp riêng thứ hai công thức cho Cataldi năm 1613 dạng (dấu + ông thay dấu & ) √ 18 = & & & Ông viết gọn biểu thức dạng sau 4&2&2&2 8 Năm 1625, Schwenter Huygens (trong công trình công bố sau ông mất), xem xét xấp xỉ liên phân số hữu hạn quy theo nghĩa biểu diễn phân số lớn thành phân số nhỏ Ở đây, Schwenter đưa biểu diễn sau 177 = 233 1+ 3+ 6+ 4+ Còn Huygens đưa biểu diễn (những dấu + ta hiểu phép cộng thực mẫu phân số đứng trước ) 1 1 77708431 = 29 + 2640858 2+ 2+ 1+ 4+ Người đưa khai triển liên phân số vô hạn Brouncker Khoảng năm 1659, ông trình bày trước hội Toán học Hoàng gia London biểu diễn sau (2n − 1)2 ∞ =1+ K π n=1 Tuy nhiên, ông không đưa phép chứng minh công thức có lẽ π ông nhận từ công thức tích vô hạn Wallis Bắt đầu từ năm 1737, Euler người đưa trình bày cách hệ thống liên phân số Các công trình ông làm sáng tỏ lý thuyết liên phân số sử dụng lĩnh vực lý thuyết số lý thuyết giải tích Đến nay, lý thuyết liên phân số đem lại áp dụng nhiều lĩnh vực Toán học vấn đề thực tiễn khác Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài: "Lý thuyết liên phân số áp dụng giải phương trình vi phân" để hoàn thành luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích Luận văn cấu trúc thành 02 chương Chương Được giành cho việc trình bày lý thuyết liên phân số; khái niệm liên quan lý thuyết liên phân số; số tiêu chuẩn hội tụ ví dụ minh họa Chương Trong chương này, trình bày phương pháp sử dụng liên phân số việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình Riccati Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống kiến thức liên phân số áp dụng việc giải số phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết liên phân số áp dụng giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình Riccati Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết liên phân số cách áp dụng liên phân số giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình Riccati Phương pháp nghiên cứu Đặt vấn đề, giải vấn đề thông qua việc phân tích, tổng hợp tài liệu thu thập, xin ý kiến định hướng người hướng dẫn Đóng góp đề tài Hệ thống hóa lý thuyết liên phân số giới thiệu cách áp dụng liên phân số để giải số phương trình vi phân xuất lĩnh vực kĩ thuật, vật lý, Chương Liên phân số 1.1 Lời dẫn khái niệm liên phân số Để dẫn tới khái niệm liên phân số cách tự nhiên, giới thiệu số khái niệm quen thuộc Cho {tn } dãy số phức Khi đó, tổng vô hạn ∞ tn = t1 + t2 + t3 + + tn + , (1.1) n=1 gọi chuỗi số phức (sau ta gọi chuỗi số ) Tổng hữu hạn n Tn = tk , k=1 gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1.1) hay viết dạng truy hồi Tn+1 = Tn + tn+1 ; n = 1, 2, Sự hội tụ chuỗi (1.1) định nghĩa qua hội tụ dãy tổng riêng {Tn } đến số phức T Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ đến tổng T viết ∞ tn = T n=1 Tương tự vậy, có khái niệm tích vô hạn ∞ pn = p1 p2 pn , n=1 (1.2) tất pn số phức khác Tương ứng, ta có khái niệm tích riêng thứ n tích vô hạn (1.2) sau n pk , Pn = k=1 viết dạng truy hồi Pn+1 = Pn pn+1 Sự hội tụ tích vô hạn (1.2) hội tụ dãy tích riêng {Pn } tới số phức P = Khi đó, ta nói tích vô hạn (1.2) hội tụ đến P viết ∞ pn = P n=1 Tiếp đến, khái niệm tổng tích vô hạn giới thiệu đây, người ta đưa khái niệm liên phân số sau Cho {an } dãy số phức khác dãy {fn } C = C ∪ {∞} xác định f = a1 a1 + a2 a1 f3 = a2 1+ + a3 f2 = a1 a2 a3 fn = 1+ 1+ 1+ +an hay − P0 y˜ y˜ = Q0 y˜ y˜ Từ đó, ta nhận công thức (2.20) Bổ đề chứng minh Ví dụ 2.2 Trong trường hợp số Khi đó, cách thức trình bày ví dụ 1.3 chương trước, ta viết P0 = −(α + β); Q0 = −α.β với α, β số phức thỏa mãn điều kiện < |α| < |β| Như trình mô tả dẫn tới liên phân số (2.21) trở thành −αβ −αβ −(α + β) + −(α + β) + −(α + β) + (2.23) −αβ hội tụ tới n=1 −(α + β) = α (điều mô tả [5] ) Do đó, liên phân số (2.23) ∞ Đến đây, ta nhận liên phân số tuần hoàn K f (1) hội tụ tới hàm f= 1 = −(α + β) + α −β Điều đó, suy f.f (1) = − α = (−αβ) = Q0 (f + f ) β β Như vậy, công thức (2.22) thỏa mãn nghiệm y˜ phương trình y = −(α + β)y − αβy xác định phương trình y˜ =− y˜ β 40 (2.24) Từ đó, ta tìm y˜ = C1 e−x/β Theo cách thức thông thường, cách y = e−x/β u(x) vào phương trình (2.24) ta dễ dàng tìm nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai C2 e−x/α Do vậy, ta nghiệm tổng quát phương trình cần giải y = C1 e−x/β + C2 e−x/α Để tiện lợi việc so sánh phương pháp Euler – Cauchy phương pháp liên phân số, lấy lại phương trình ví dụ 2.1 Ví dụ 2.3 Trước hết, ta viết lại phương trình dạng sau y = −xy − 6x2 y ; x > Thực theo quy trình phương pháp liên phân số Lấy vi phân phương trình ta nhận y = −y − xy − 12xy − 6x2 y hay y =− 13 xy − 3x2 y Đây dạng phương trình Euler – Cauchy mà y thay y Lấy vi phân tiếp phương trình ta nhận y = − xy − x2 y (4) 37 y = − xy (4) − x2 y (5) 40 20 41 Từ đó, ta tính y y y y y y y y (4) 6x2 y /y 13 3x2 =− x− y /y (2/5)x2 =− x− y /y (4) 37 (3/20)x2 = − − (4) (5) 40 y /y = −x − Điều đó, dẫn tới liên phân số −6x2 −3x2 (−2/5)x2 −x + (−13/2) + (−5/3) + (−37/40) + Đến đây, cách tự nhiên ta cần thiết lập mối liên kết chung phần tử liên phân số Để từ đó, nghiên cứu tới việc hội tụ hay không hội tụ trường hợp xảy điều gì? Tuy nhiên, đây, ta thực theo phương pháp khác Với hệ số pn qn phương trình y (n) = pn xy (n+1) + qn x2 y (n+2) ; x > 0, n ≥ dẫn đến liên phân số có dạng sau q0 x2 q1 x2 q2 x2 p0 x + p1 x + p2 x + p3 x + Bằng phép biến đổi tương đương (chia cho x) nhận liên phân số x q0 q1 q p0 + p1 + p2 + p3 + 42 Ta thấy rằng, trừ giá trị đầu phần lại liên phân số không phụ thuộc vào biến x Do đó, liên phân số hội tụ hội tụ r tới giá trị ; với giá trị r ∈ R Tuy nhiên, trường hợp x theo bổ đề ta cần xác định giá trị sau f= x r , f (1) = − p0 x x r Trước hết, ta thấy f.f (1) = r x − p0 x = − rp0 = + r x r Q0 (f + f ) = q0 x r r2 − x2 x2 = q0 r(r − 1) = −6r(r − 1) r y = cho ta nghiệm phương trình Euler y x Cauchy, r thỏa mãn Do −6r(r − 1) = + r Đương nhiên, hai nghiệm phương trình r = 1 ,r = Do đó, từ biểu thức y 1/2 y 1/3 = , = y x y x ta nhận hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình cần giải 1 x x Như vậy, nghiệm tổng quát phương trình cần giải sau 1 y = C1 x + C2 x Nhận xét Phương pháp liên phân số dẫn đến phương trình đại số q0 r(r − 1) = − p0 r phương pháp tắc sử dụng việc giải phương trình Euler – Cauchy 43 2.2.2 Giải phương trình vi phân Riccati Trong lịch sử nghiên cứu liên phân số phương trình Riccati dành nhiều quan tâm nhà Toán học Khởi đầu, nói số công trình Euler, ông quan tâm tới mối liên hệ phương trình Riccati liên phân số Sau đó, số nhà Toán học khác dành quan tâm cho loại phương trình này, phải kể đến nghiên cứu Worpitzky Trong [7] Worpitzky đề cập đến vấn đề khai triển nghiệm phương trình Riccati dạng liên phân số Có vài lý quan tâm đến loại phương trình này: Trước hết, phương trình Riccati đơn giản phương trình vi phân thường phi tuyến tính bậc nhất, xuất nhiều việc giải số toán thuyết tương đối, lý thuyết sóng âm; tiếp theo, phương trình Riccati lại có mối liên quan mật thiết tới phương trình vi phân tuyến tính cấp hai mà thấy phần trình bày đây; cuối cùng, chúng có tính chất bất biến phép biến đổi phân tuyến tính, tính chất tốt cho việc giải phương trình phương pháp liên phân số Trước hết ta giới thiệu phương trình Định nghĩa 2.5 Phương trình Riccati phương trình vi phân thường bậc có dạng y = a0 (x) + a1 (x)y + a2 (x)y ; (2.25) a0 , a1 , a2 thõa mãn điều kiện đủ trơn khoảng trục thực miền mặt phẳng phức 44 Trong (2.25) giả thiết a2 (x) không đồng khoảng hay miền xét Nếu a2 (x) khả vi, ta thay y(x) = − u(x) a2 (x) dẫn tới phương trình Riccati biến u mà hệ số u2 −1 Do đó, không tính tổng quát ta giả thiết phương trình Riccati có dạng y = a0 (x) + a1 (x)y − y (2.26) Để nhận phương trình vi phân tuyến tính cấp hai từ phương trình f0 (x) f1 (x) (2.26) ta thực phép thay a0 (x) − a1 (x) − f2 (x) f2 (x) Bằng cách chọn “tốt” hàm f0 , f1 , f2 sau thay y w ta nhận phương trình w f2 (x)w + f1 (x)w + f0 (x)w = (2.27) Từ phương trình (2.27) cách thay ngược trở lại ta nhận phương trình (2.26) Cách chọn “tốt” phép biến đổi nói để chuyển phương trình Riccati phương trình vi phân tuyến tính cấp hai để ta xử lý phương trình theo mục đích minh họa qua hai ví dụ sau Ví dụ 2.4 Cho phương trình Riccati y = −1 + 2y − y Dễ thấy nghiệm tổng quát phương trình    y =   y = + x+C 45 Sử dụng ký hiệu giới thiệu ta đặt f0 (x) f1 (x) , 2= − f2 (x) f2 (x) 1= Một cách chọn “tốt” thực f2 (x) = 1, f0 (x) = , f1 (x) = −2 Như thế, phương trình cho đưa phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sau w − 2w + w = Nghiệm tổng quát phương trình w = (C1 + C2 x)ex Từ đó, hai số C1 , C2 không đồng thời triệt tiêu ta nhận y= C2 w =1+ w C1 + C2 x Nếu C2 = ta nhận nghiệm y = 1; C2 = ta nhận Vậy nhận nghiệm phương nghiệm y = + C1 x+ C2 trình cho nói ban đầu Ví dụ 2.5 Cho phương trình Riccati y = −1 + 1 − y − y2 x x Đối với phương trình này, ta đặt − f0 (x) = −1 + f2 (x) x 46 f1 (x) =− f2 (x) x − Bằng cách chọn f0 (x) = − 1 , f (x) = , f2 (x) = 1, x2 x ta nhận phương trình vi phân 1 w + w + 1− x x w = Đây phương trình Bessel chi tiết cách giải loại phương trình xem tài liệu [5, p.539] Bây trình bày tính chất bất biến loại phương trình Cho phương trình Riccati y = a0 (x) + a1 (x)y + a2 (x)y (2.28) Bằng việc đưa vào biến phụ thuộc w, cho y= α(x)w + β(x) γ(x)w + δ(x) a ˜0 , a ˜1 , a ˜2 dễ dàng tính toán Điều quan trọng số hạng ww triệt tiêu Lagrange đề xuất phương pháp sau để giải phương trình vi phân phương pháp liên phân số Với phương trình vi phân cho y gần ξ0 |x| nhỏ Ta viết y= ξ0 + y1 (2.29) thay vào phương trình vi phân cho Nếu y1 gần ξ1 ta lặp lại quy trình trình lặp không dừng lại (hoặc kết thúc) 47 dẫn đến khai triển liên phân số ξn a=1 ∞ K Các số hạng ξn hầu hết có dạng an xqn a ∈ C qn ≥ Ý tưởng mong muốn thực cách tổng quát Nhưng phương trình Riccati, biết điều dẫn tới phương trình Riccati Trong phần tập trung vào loại phương trình Hai nhà toán học Euler Lagrange giải phương trình vi phân có dạng (α + α x)xy + (β + β x)y + γy = δx, γ, δ, α, α , β, β số Euler áp dụng ý tưởng Lagrange tới phương trình αxy + βy + y = xk ; k ∈ N, y(0) = −β, β ∈ /N α để tìm nghiệm xk y = −β + K n=1 nkα − β ∞ Worpitzky [7] nghiên cứu phương trình Riccati y + y = axm−2 tìm nghiệm axm xy = + K n=1 km + ∞ Ví dụ 2.6 Cho k số thực Chúng ta nghiên cứu phương trình Riccati sau xy + ky + y = −x2 ; y(0) = 48 Phép đổi biến “tốt” thay khai triển chuỗi lũy thừa y = ax + bx2 + Khi đó, vế trái phương trình đưa dạng (k + 1)ax + b(k + 2) + a2 x2 + Nếu k không số nguyên âm, tìm a = 0, b = −1 k+2 Thế thì, cách tự nhiên ta thử với ξ0 = −x2 /(k + 2) (2.29) nhận −x2 −x2 x2 z(x) x2 [z(x)]2 = + y= − + (k + + z) (k + 2) (k + 2)2 (k + 2)3 z(0) = Từ đó, ta tìm kx2 (k + + z) x4 −2x2 (k + + z) + x3 z − 2 + = −x (k + + z) (k + + z) (k + + z) nhân hai vế với x−2 (k + + z)2 xếp lại số hạng, nhận phương trình xz + (k + 2)z + z = −x2 , z(0) = Sử dụng phép đổi biến z= −x2 , k+4+u ta nhận phương trình Riccati xu + (k + 4)u + u2 = −x2 , u(0) = 49 Quá trình tiếp tục theo cách biến đổi Để tiện theo dõi quy trình lặp ta thay ký hiệu z, u, ký hiệu y1 , y2 , Khi đó, ta nhận biểu diễn nghiệm phương trình dạng −x2 −x2 −x2 y= k + + k + + + k + 2n + yn (lưu ý k không số nguyên âm) Từ đó, dẫn đến biểu diễn hàm xác định liên phân số −x2 y= K n=1 k + 2n ∞ Dưới đây, liên phân số nghiệm phương trình Riccati cho với y(0) = sau 1) Liên phân số hội tụ đến hàm phân hình toàn mặt phẳng, chỉnh hình lân cận điểm x = y(0) = Để thấy điều này, ta thay −x2 ξ thực phép biến đổi ta nhận liên phân số ξ ξ ξ k + (k + 2)(k + 4) (k + 4)(k + 6) + 1 + + 2) Liên phân số nghiệm chuỗi lũy thừa phương trình với y(0) = Nghiệm phương trình dạng chuỗi lũy thừa số hạng −x2 /(k + 2) giống nghiệm dạng liên phân số Phép biến đổi từ phương trình gốc sang phương trình (sang −x2 số hạng biến z), ta nhận tình tương tự với (k + 4) đầu Tương tự với biến u phương trình 3) Nghiệm chuỗi luỹ thừa biểu diễn hàm chỉnh hình lân cận 50 điểm gốc Bởi liên phân số có tính chất này, nên không nghiệm hình thức mà nghiệm phương trình cho Như vậy, liên phân số nghiệm phương trình Tiếp theo, xét thêm ví dụ cho thiết lập khai triển hàm tan x Ví dụ 2.7 Xét phương trình vi phân tách biến y = + y ; y(0) = Phương trình có nghiệm y = tan x Nghiệm chuỗi lũy thừa phương trình có dạng x3 y =x+ + Theo quy trình thực ví dụ 2.5 ta thay y= x ; z(0) = 1+z vào phương trình cho nhận phương trình vi phân xz + z + z = −x2 ; z(0) = Do z= −x2 −x2 −x2 + + + Cuối cùng, ta nghiệm khai triển dạng liên phân số phương trình cho sau x −x2 −x2 −x2 tan x = ; + + + + 51 (2.30) với x ∈ C Khai triển phát trước tiên Lambert sau Euler Lagrange tìm từ số nghiên cứu phương trình khác Ngoài ra, [4] Khovanskii đưa số ví dụ khác phương trình Riccati để tìm khai triển Chúng ta đề cập nhanh tới vấn đề sau Ta thay x −ix (2.30), i tan(−ix) = x nên ta nhận x = x x2 x2 x2 + + + + Liên phân số (2.31) hội tụ toàn mặt phẳng 52 (2.31) Kết luận Luận văn nghiên cứu lý thuyết liên phân số áp dụng việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình Riccati Trong trình nghiên cứu đề tài "Lý thuyết liên phân số áp dụng giải phương trình vi phân", luận văn đạt kết thể qua hai chương sau: Hệ thống hóa số kiến thức lý thuyết liên phân số; giới thiệu số tiêu chuẩn hội tụ kết quan trọng nhằm mục đích cho việc giải phương trình vi phân Trình bày áp dụng phương pháp liên phân số việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình Riccati 53 Tài liệu tham khảo [1] Coddington E A (1989), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc, New York [2] Hundsdorfer W (2009), Ordinary Differential Equations, Radboud Universiteit Nijmegen [3] Jones W B, Thron W J (1980), Continued Fractions Analytic Theory and Applications, Cambridge university press [4] Khovanskii A N (1963), The Application of Continued Fractions and Their Generalizations to Problems in Approximation Theory, P Noordhoff, Groningen, The Netherlands [5] Lorentzen L, Waadeland H (1992), Continued Fractions with Applications, Noth – Holland [6] Perron O (1957), Die Lehre von den Kettenbriichen, Band IE, B.G Teubner, Stuttgart [7] Worpitzky J (1862), Beitrag zur Integration der Riccatischen Gleichung, Greifswald 54 [...]... ◦ Tkn ◦ Tp (w) và chúng ta còn có a∗m a∗1 a∗2 , m = 1, 2, , k Tm (w) = ∗ ∗ b1 + b2 + + b∗m + w Do đó, sự hội tụ của liên phân số b0 + K(an /bn ) phụ thuộc vào vi c lặp lại của ánh xạ phân tuyến tính Tk 24 Chương 2 Áp dụng liên phân số trong vi c giải phương trình vi phân 2.1 Tổng quan về phương trình vi phân Trong nhiều lĩnh vực kĩ thuật, vật lý, ta thường gặp các bài toán dẫn đến vi c xác định một... hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm của hàm đó Các phương trình như vậy được gọi là phương trình vi phân Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương trình đạo hàm... các công thức (1.6),(1.7) và (1.8) Các số an và bn được gọi tương ứng là các tử số, mẫu số thứ n của liên phân số Số a1 Sn (0) = a2 b1 + a3 b2 + b3 + + 10 an bn được gọi là xấp xỉ riêng thứ n của liên phân số Để tiện lợi trong vi c trình bày người ta sử dụng ký hiệu Sn (0)= b0 + a1 a2 a3 b1 + b2 + b3 + Ta nói liên phân số hội tụ tới số phức mở rộng f nếu {fn} → f và ta vi t f = b0 + a1 a2 a3 an... liên phân số 2+ 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + + 2 Từ ví dụ trên đây, ta thấy liên phân số này hội tụ về giá trị √ 2 + 1 Như thế, ta nhận được √ y = 2+1 y hoặc √ y = 2 − 1 y Từ đó, ta suy ra rằng y = C.e √ ( 2−1)x Đây chính là nghiệm của phương trình vi phân đã cho (Dĩ nhiên, lý do đã được trình bày trong ví dụ trên đây cũng chưa phải là nguyên nhân tốt đưa đến vi c sử dụng phương pháp này trong vi c giải phương. .. trình đạo hàm riêng Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó Nghiệm của phương trình vi phân là những hàm thỏa mãn phương trình đó Định nghĩa 2.1 Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng tổng quát F (x, y, y , y , y (n) ) = 0, trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian Rn+2 gồm biến độc lập x và y là hàm của biến độc lập... của một phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình Nghiệm của phương trình trên là hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng (a, b) thỏa mãn phương trình, tức là F (x, y(x), y (x), , y (n−1) (x)) = 0, với mọi x thuộc khoảng (a, b) Đường cong y = y(x), x ∈ (a, b) gọi là đường cong tích phân của phương trình đã cho Để giải phương trình vi phân ta cũng... tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu (2.2) cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định n liên tục trong đoạn |x − x0 | ≤ h, 27 trong đó h = min a, b max M, |y | , , y (n−1) −1 Định lý phát biểu với phương trình vi phân cấp một Trong trường hợp phương trình vi phân cấp một thì phương trình vi phân (2.1) trở thành y = f (x, y), (2.3) và hàm số f (x, y) thỏa mãn trong hình... phức tạp Dưới đây, chúng ta chỉ phát biểu cho trường hợp tổng quát và đưa ra phép chứng minh đối với phương trình vi phân cấp một Vi c chứng minh định lý đối với phương trình vi phân cấp n, chúng ta có thể xem trong cuốn sách [1] được trích dẫn trong phần tài liệu tham khảo Định lý 2.1 (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp n dạng chính tắc y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ), với điều... cũng dùng thuật ngữ “tích phân phương trình vi phân vì lý do này Nếu từ phương trình đã cho ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp cao nhất y (n) qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đối với y (n) hoặc ta còn gọi phương trình có dạng chính tắc, tức là lúc này phương trình đã cho có dạng y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ) (2.1) Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (2.1) thỏa mãn điều... Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình với các điều kiện đã nêu trên Ta dễ dàng nhận thấy rằng nghiệm 28 của phương trình vi phân (2.3) thỏa mãn điều kiện đầu y0 (x) = y0 tương đương với phương trình tích phân sau x y = y0 + f (x, y)dx, (2.4) x0 trong đó y là hàm số phải tìm Ta sẽ giải phương trình tích phân này bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp theo các bước sau Bước 1 Xuất phát