Sử dụng lượng giác chứng minh BDT Một số trường hợp thường gặp  x = sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =1 ñặt  với α ∈ [ 0; 2π ]  y = cosα  x = a sin α Dạng : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) ñặt  với α ∈ [ 0; 2π ]  y = acosα   −π π   x = sin α , α ∈  ;  Dạng : Nếu x ≤ ñặt     x = cosα , α ∈ [ 0; π ]   −π π   x = m sin α , α ∈  ;  Dạng : Nếu x ≤ m ñặt     x = mcosα , α ∈ [ 0; π ] Dạng :Nếu x ≥ toán có chứa x − ñặt x=  π   3π  với α ∈  0;  ∪ π ;  cosα  2   Dạng :Nếu x ≥ m toán có chứa x − m2 ñặt x = m  π   3π  với α ∈ 0;  ∪ π ;  cosα  2   Dạng :Nếu toán không ràng buộc ñiều kiện biến số có biểu thức  −π π  α ∈ ;   2 Dạng : Nếu toán không ràng buộc ñiều kiện biến số có biểu thức  −π π  α ∈ ;   2 I chứng minh ñẳng thức , bất ñẳng thức Bài 1: Chứng minh với số a, b ta ñều có: − ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ (1 + a )(1 + b ) Giải: ðặt: a = tgα , b = tgβ với Khi ñó: A =  π π ;   2 α, β ∈  − ( a + b )(1 − ab ) ( tg α + tg β )(1 − tg α tg β ) = (1 + a )(1 + b ) (1 + tg α )(1 + tg β ) = cos2α cos2 β sin α sin β  sin(α + β)  1 −  cos α cos β  cos α cos β  = sin (α + β) cos (α + β) = sin (2α + 2β) x + ñặt x = tan α với x + m2 ñặt x = m tan α với Suy ra: A = Vậy: - 1 sin (2α + 2β) ≤ 2 1 ( a + b )(1 − ab ) ≤ ≤ (1 + a )(1 + b ) (ñpcm) Bài 2: Chứng minh |x| < với số tự nhiên n lớn ta có: (1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1) Giải: Vì |x| < nên ñặt x = cost với t ∈ (0; π) bất ñẳng thức (1) ñược viết thành: (1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2) t t Thay (2) + cos t = 2cos2 – cost = 2sin2 ta ñược t  2n t + sin n  < 2n 2  t π t t Bởi < < nên < sin , cos < nên chắn: n t  t t  2n cos =  cos  < cos ∀n > Tương tự ta có: 2  2n  cos (3) t t sin < sin ∀n > Do ñó 2n   2n  cos 2n t t t t  + sin n  < 2n  cos + sin  = 2n 2 2 2  Vậy bất ñẳng thức (3), có nghĩa bất ñẳng thức (1) ñược chứng minh Bài 3: Chứng minh từ số thực cho trước ta luôn chọn ñược hai số x, y số ñó cho: 0≤ x−y ≤1 + xy (1) Giải: Giả sử số thực cho trước y1 a ≤ b ≤ c ≤ d ðặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với - π π < y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 < < y5 = π + y1 2 y2 y3 y4 y5 Các ñiểm y1, y2, y3 chia ñoạn [y1; y1 + π] thành ñoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5] Trong số ñoạn phải có ñoạn có ñộ dài không lớn ≤ tg (y2 – y1) ≤ ⇔ ≤ π π Giả sử ≤ y2 – y1 ≤ Thế thì: 4 tgy − tgy1 b−a = ≤ 1 + tgy tgy1 + ab ðặt x = b, y = a ta ñược ñiều cần chứng minh Bài 4: Cho x, y > x + y = Chứng minh:     17 x +  + y +  ≥ y  x    Giải: Ta có: x + y = ( x ) + ( y ) = 1, theo mệnh ñề IV có số a với 2 ≤ a ≤ 2π ñể y = sina Bất ñẳng thức ñã cho ñược viết thành:    17  + sin a +  cos a + ≥   sin a  cos a    cos4a + Ta có: 1  4  + sin a + = (cos a + sin a) +   cos4 a sin4 a  sin a cos4 a    = (1 – 2sin2acos2a) 1 + Vì < sin22a ≤ nên - + 16    sin 2a  = 1 − 1+     sin a cos4 a    sin 2a  sin2 2a ≥ 2 16 ≥ 17 Từ ñó suy ñiều cần chứng minh sin 2a Bài 5: Chứng minh với cặp số thực x, y ta có: ( ) x2 + (x – y)2 ≥ x + y sin2 π 10 Giải: Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có: 4sin2 π 3− π  = 1 − cos  = 5 10  Bất ñẳng thức ñã cho viết: x = cosa 3−      x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2)  (1) Nếu y = bất ñẳng thức (1) hiển nhiên ñúng Nếu y ≠ Chia hai vế (1) cho y2 ñặt – 1)2 ≥ −π π x = tga với c > ta có bất ñẳng thức: c(a − c) + c(b − c) ≤ ab (1) Giải: Vì a > 0, b > 0, ab > nên bất ñẳng thức (1) tương ñương với c ( a − c) c( b − c) + ≤1 ab ab 2  c   a −c  =1  + Nhận xét     a a     (2) Nên ñặt π a −c = sinu với ≤ u ≤ a c = cosu , a 2  c   b − c  =  +  Ta thấy  b b     Nên ñặt π b−c = sinv với ≤ v ≤ b c = cosv , b Khi ñó (2) viết thành c a−c + b a c b−c = cosv sinu + cosusinv ≤ a b (3) Bởi cosusinv + sinucosv = sin(u + v) ≤ nên (3) luôn ñúng có nghĩa (1) ñúng [ Bài 7: Chứng minh rằng: 4 a − ] ( ) (1 − a ) − a − − a ≤ Giải: ðiều kiện: – a2 ≥ ⇔ a ≤ ðặt a = cosα, với α ∈ [0; π] Khi ñó bất ñẳng thức ñược biến ñổi dạng: [ 4 cos α − ] (1 − cos α) - 3(cosα - − cos α ) ≤ ⇔ 4(cos3α - sin3α) – (cosα - sinα) ≤ ⇔ (4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤ ⇔ cos (3α - 2 ⇔cos3α + sin3α≤ π )≤ 1, ñúng Bài 8: Chứng minh rằng: a − + ≤ 2a Giải: ðiều kiện: a2 – ≥ ⇔ a ≥ ðặt a = π , với α ∈ [0 ; ) cos α Khi ñó bất ñẳng thức ñược biến ñổi dạng: 2 − + ≤ ⇔ α + ≤ tg cos α cos α cos α sinα + cosα ≤ 2 ⇔ sinα + cosα ≤ ⇔ ⇔ sin (α + π ) ≤ 1, ñúng Bài 9: Cho x2 + y2 = ; u2 + v2 = Chứng minh a) xu + yv≤ b) xv + yu≤ c) –2 ≤ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) ≤ d) –2 ≤ (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) ≤ Giải: Áp dụng mệnh ñề IV ðặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb ≤ a, b ≤ 2π Khi ñó a) xu + yv=cos(a – b)≤ b) xv + yu=sin(a + b)≤ c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) + + (cos a + sin a) (cos b – sin b) = = π sin  − a  sin  4  π + b +    4 π π cos  − a  cos  + b    4 4 = 2cos (a + b) Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ Bài 10: (ñpcm) Chứng minh: a) (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6 c) (a + b)8 ≤ 64(a8 + b8) Giải: a) Với a = bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng Nếu a ≠ chia hai vế cho a ñặt tgx = Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với: (1 + tgx)4 ≤ 8(1 + tg4x) ⇔ (cos x + sin x)4 ≤ 8(cos4x + sin4 x) Vì sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x = =1- sin 2 x + cos x = (sin x + cosx)4 = (1 + sin2x)2 = + sin x − cos x (1) π π b với [...]... cho, ñưa về chứng minh bất ñẳng thức: sin(α - β)≤ sin(α - γ)+ sin(γ - β) với mọi (*)  π; π   2 2 α, β, γ ∈  − Ta có sin(u + v)=sinucosv + sinvcosu≤sinucosv+sinvcosu ≤ sinucosv+sinvcosu≤ sinu+ sinv ðể ý rằng α - β = (α - γ) + (γ - β) Từ bất ñẳng thức cuối cùng ta suy ra (*) (ðpcm) Bài 16: Cho các số thực x, y thoả mãn x2 + y2 = x 1 − y 2 + y 1 − x 2 Chứng minh: 3x + 4y ≤... 5y = 7 Chứng minh rằng: x2 + y2 ≥ 49 29 Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c Chứng minh rằng: x2 + y2 ≥ c2 a 2 + b2 Bài 7: Cho 4a2 + 9b2 = 25 Chứng minh 6a + 12b ≤ 25 Bài 8: Cho x2 + y2 = 1 Chứng minh 16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y) ≤ Bài 9: Cho xy + yz + zx = 1 Chứng minh x y z 3 3 + + ≥ 2 1 − x 2 1 − y2 1 − z2 Bài 10: Cho a ≥ 1 Chứng minh –2 ≤ a2... số bài tập ñề nghị Bài 1: Cho x2 + y2 = 1 chứng minh 1 ≤ x6 + y6 ≤ 1 4 Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1 , chứng minh rằng: 4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2) Bài 3: Cho 0 ≤ ai ≤ 1 , i = 1, 2, …, n Chứng minh (1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) ≤ 22 Bài 4: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt Chứng minh rằng có thể chọn ñược ít nhất 2 trong 4 số... Chứng minh rằng với các số thực x, y, z tuỳ ý ta có x−y ≤ 1+ x 2 1+ y2 x−z + 1+ x2 1+ z2 z−y 1 + z2 1 + y2 Giải: ðặt x = tgα , y = tgβ , z = tgγ với - π π < α, β, γ < 2 2 Ta có: x−y 1+ x 2 1+ y 2 = tgα − tgβ = cosαcosβ sin α − sin β cos α cos β 1 + tg α 1 + tg β 2 2 =sinαcosβ - sinβcosα=sin(α - β) Tương tự ta có: x−z 1+ x2 1+ z2 = sin(α - γ), z−y 1 + z2 1 + y2 =sin(γ - β) Như vậy, chứng minh