BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THOA ĐỊNH LÝ DUBOVITSKIR-MILYUTIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THOA ĐỊNH LÝ DUBOVITSKIR-MILYUTIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2015 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo phòng sau đại học, trường đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Học viên Trần Thị Thoa Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý Dubovitskir-Milyutin ứng dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Tác giả Trần Thị Thoa Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Toán tử phiếm hàm tuyến tính 1.2.1 Toán tử tuyến tính 1.2.2 Phiếm hàm tuyến tính 11 1.3 Tô pô yếu, tô pô yếu* 13 1.3.1 Tôpô yếu 13 1.3.2 Tôpô yếu* 13 1.4 Tập lồi, nón lồi 14 1.5 Các định lý tách 15 1.6 Ánh xạ khả vi 18 1.7 Hàm lồi 19 1.8 Nón liên hợp 23 Chương Lý thuyết điều kiện cực trị DubovitskirMilyutin ứng dụng 24 2.1 Điều kiện cần cực trị Dubovitskir-Milyutin 24 2.2 Ứng dụng cho toán quy hoạch toán học 39 2.3 Ứng dụng cho toán điều khiển tối ưu 53 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điều kiện tối ưu phát triển từ giai đoạn sớm Toán học Sự phát triển mạnh mẽ Lý thuyết toán cực trị cho ta điều kiện tối ưu dạng quy tắc nhân tử Lagrange nguyên lý cực đại Pontryagin Năm 1965 Dubovitskir Milyutin đưa lý thuyết điều kiện cần cực trị ngôn ngữ giải tích hàm Lược đồ mà Dubovitskir Milyutin đưa bao hàm tất toán cực trị Sau học kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng Tôi chọn đề tài nghiên cứu “Định lý Dubovitskir-Milyutin ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir- Milyutin ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin áp dụng cho toán quy hoạch toán học toán điều khiển tối ưu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin không gian Banach ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Giải tích hàm Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi như: Không gian Banach, toán tử phiếm hàm tuyến tính, ánh xạ khả vi, tôpô yếu, tôpô yếu*, tập lồi, hàm lồi, nón lồi, nón liên hợp, Những kiến thức sử dụng để trình bày khái niệm tính chất quan trọng lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin ứng dụng toán quy hoạch toán học toán điều khiển tối ưu Các khái niệm ta tìm thấy [1]và [3] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Cho X không gian vectơ trường số thực R Chuẩn X, ký hiệu , ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn tiên đề sau i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ; ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) αx = |α| x ; iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn (hay độ dài) vectơ x Một không gian vectơ X với chuẩn xác định không gian gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định lý 1.1 (xem [3]) Giả sử X không gian tuyến tính định chuẩn, đặt d (x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X (1.1) Khi đó, d metric X Nhận xét 1.1 Mọi không gian tuyến tính định chuẩn không gian metric với metric (1.1) Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn } không gian tuyến tính định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim xn − x = n→∞ Ký hiệu lim xn = x hay xn → x n → ∞ n→∞ Định nghĩa 1.3 Dãy điểm {xn } không gian tuyến tính định chuẩn X gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn X, chuỗi ∞ k xn gọi hội tụ tồn giới hạn lim Sk = S, với Sk = k→∞ n=1 xn n=1 tổng riêng thứ k chuỗi Định nghĩa 1.5 Trong không gian tuyến tính định chuẩn X, chuỗi ∞ ∞ xn gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi n=1 xn hội tụ n=1 Ta chọn x∗ = O(x∗ ) = R2 Vì tập Q chứa điểm x∗ nên nón chiều tiếp tuyến tập ta có đẳng thức K = {0} Đặt S11 = {(x1 , x2 ) : x2 ≥ (x1 )2 }, S12 = {(x1 , x2 ) : x2 ≤ (x1 )2 }, S21 = {(x1 , x2 ) : x2 ≥ −(x1 )2 }, S22 = {(x1 , x2 ) : x2 ≤ −(x1 )2 } Khi K11 = K21 = {(x1 , x2 ) : x2 ≥ 0}, K12 = K22 = {(x1 , x2 ) : x2 < 0} (Ki1 ∩ Ki2 ) = {(x1 , x2 ) : x2 = 0} i=1 Do đó, ví dụ ta có kết luận ngặt (Ki1 ∩ Ki2 ) K⊂ i=1 Tuy nhiên, có trường hợp đặc biệt quan trọng mà bất đẳng thức (2.22) trở thành đẳng thức Đầu tiên, ta khảo sát trường hợp đặc biệt liên kết với nón, liên hợp nón chiều tiếp tuyến tập Si điểm x∗ , tập Ki∗ (1.10), i = m + 1, , n − Mệnh đề 2.11 Giả sử giả thiết sau đúng: Một tập Si thỏa mãn Giả thiết 2.2 Nón có hướng Ki1 Ki2 tương ứng tập Si1 Si2 điểm x∗ nửa không gian mở, xác định siêu phẳng Hi Khi tập Ki∗ điều kiện làm không không gian Hi Nón liên hợp H ∗ siêu phẳng nón Hi trùng với nón Ki∗ 45 Chứng minh Chọn hàm tuyến tính liên tục fi cho Ki1 = {x : fi (x) > 0}, Ki2 = {x : fi (x) < 0}, (2.23) Do Hi = Kerfi , tức siêu phẳng Hi hạch hàm fi [KoF] Nên nón liên hợp có dạng (Ki1 )∗ = {λfi , λ ≥ 0}, (Ki2 )∗ = {−λfi , λ ≥ 0} (2.24) Sử dụng (2.11) ta định nghĩa tập hàm tuyến tính liên tục Ki∗ : Ki∗ = (Ki1 )∗ ∪ (Ki2 )∗ = {λfi , −∞ < λ < ∞}, (2.25) tức là, Ki∗ điều kiện làm không không gian Hi Mặt khác, lấy hàm ϕi thuộc nón Hi∗ liên hợp với nón siêu phẳng Hi Giả sử ϕi (x) > với x ∈ Hi Vì Hi không gian nên −x ∈ Hi Cho nên theo định nghĩa nón liên hợp ta có ϕi (−x) ≥ Nhưng ϕi (−x) = −ϕi (x) < Mâu thuẫn Hi∗ trùng với điều kiện làm không không gian Hi , tức Hi∗ = Ki∗ Ta ý K i ∩ K i ) = Hi Hệ 2.2 Giả sử giả thiết sau xảy ra: Các tập Si , i = m + 1, , n − thỏa mãn Giả thiết 2.2 Nón có hướng Ki1 Ki2 tương ứng tập Si1 Si2 điểm x∗ nửa không gian mở, xác định siêu phẳng Hi , với i = m + 1, , n − Trong không gian đối ngẫu tập Ki∗ , i = m + 1, , n − xác định (2.11) n−1 Khi tập Ki∗ ∗ n−1 trùng với nón liên hợp H nón H = i=m+1 Hi i=m+1 Chứng minh Với i = m + 1, , n − 1, ta chọn hàm tuyến tính liên tục fi cho hệ thức (2.23)−(2.25) xảy Vì H không gian nên 46 nón liên hợp H ∗ điều kiện làm không H Ngoài ra, với n−1 x ∈ H số λi , với i = m + 1, , n − 1, ta có λi fi (x) = Do i=m+1 n−1 Ki∗ ⊆ H ∗ i=m+1 Ngược lại, giả sử f ∈ H ∗ Nếu x ∈ H, fi (x) = với i = m + 1, , n − Cho nên, từ điều kiện suy f (x) = Do tồn số λi , i = m + 1, , n − 1, cho n−1 f (x) = λi fi (x) i=m+1 với x ∈ E[KoF, Sh] Do n−1 Ki∗ = H ∗ i=m+1 Mệnh đề 2.12 Giả sử giả thiết sau đúng: Các tập Si , i = m + 1, , n − thỏa mãn Giả thiết 2.2 Nón có hướng Ki1 Ki2 tương ứng tập Si1 Si2 điểm x∗ nửa không gian mở, xác định siêu phẳng Hi , với i = m + 1, , n − n−1 Tập Q có dạng Q = Si i=m+1 n−1 Hi (n − − m) Số đối chiều không gian H = i=m+1 Khi nón chiều tiếp tuyến K tập Q điểm x∗ trùng với không gian H Chứng minh Lấy h ∈ K Giả sử h ∈ / H Khi ta có số siêu phẳng Hj mà h ∈ / Hj Tuân theo cách ta chứng minh Hệ 2.3, ta chứng minh trường hợp tồn lân cận U vectơ h 47 cho với < ε < ε0 điểm có dạng x∗ + εh + ε(h − h), h ∈ U , không thuộc tập Sj Cho nên điểm xác định không thuộc tập Q Dễ dàng chứng minh kết mâu thuẫn với h thuộc nón K Nên h ∈ H, tức K ⊆ H Ta chứng minh mệnh đề đảo Để cho tiện, ta tạm thời đặt lại tên Si , giả sử i = 1, , p, (p = n − m − 1) Vì với p = đẳng thức K = H (xem Hệ 2.3), ta xét trường hợp p ≥ Đầu tiên, ta thiết lập cho nón có hướng tập Sij với l, m, , r ∈ {1, 2} bất đẳng thức sau đúng: N lm r := K1l ∩ K2m ∩ ∩ Kpr = ∅ (2.26) Giả sử ngược lại nón N lm r tập rỗng Khi theo Bổ đề DubovitskirMilyutin, phương trình f1 + f2 + + fp = (2.27) có nghiệm không tầm thường tập giới hạn fi ∈ (Kil )∗ với i = 1, , p Không giảm tính tổng quát ta giả sử đẳng thức fi = với i = 1, , k, với k ≤ p, fi ≡ với i = k + 1, , p Theo Mệnh đề 2.11 hạch hàm không tầm thường k fi , i = 1, , k trùng với siêu phẳng tương ứng Hi Do x ∈ Hi i=2 fi (x) = với i = 2, , k, từ (2.27) suy f1 (x) = 0, tức k x ∈ H1 Cho nên Hi ⊂ H1 , suy mâu thuẫn theo giả thiết, i=2 số đối chiều không gian H p Do bất đẳng thức (2.26) Chọn vectơ h ∈ H lân cận lồi U gốc tọa độ Từ Mệnh đề 2.10 48 suy p (Ki1 ∩ Ki2 ) H= i=1 Ta chứng minh lân cận (h + U ) vectơ h chọn 2p vectơ hlm r , với l, m, , r ∈ {1, 2}, cho vectơ thuộc tập tương ứng N lm r Thật vậy, vectơ z lm r thuộc tập N lm r kết luận λz lm r ∈ U với số λ dương Do vậy, ta chọn vectơ hlm r bằng: h( lm r) = h + λz ( lm r) (2.28) Hiển nhiên hlm r ∈ (h + U ) Vì vectơ h thuộc biên nón lồi N lm r , vectơ λz lm r thuộc phần nón đó, nên hlm r ∈ N lm r Sử dụng định nghĩa phương chấp nhận tính hữu hạn số vectơ hlm r , dễ dàng chứng minh tồn ε0 > lân cận V điểm không cho với tập có dạng M ml r := {x : x = x∗ + εh, h ∈ (hlm r + V ), < ε < ε0 }, l, m, , r ∈ {1, 2}, kết luận sau đúng: M ml r ⊂ S1l ∩ S2m ∩ ∩ Spr Bởi tập Si , i = 1, , p điểm tập M ml r tập mở, ta xác định kết luận cho cách xác hơn: M ml r ⊂ intS1l ∩ intS2m ∩ intSpr Mặt khác, từ Mệnh đề 2.6 suy ta viết kết luận cuối thành M ml r ⊂ R1l ∩ R2m ∩ ∩ Rpr , l, m, , r ∈ {1, 2}, 49 (2.29) i phần bù số i tập {1, 2} Cố định ε ∈ (0, ε0 ) ta xét đa giác lồi A(ε) căng 2p điểm dạng x∗ + εhlm r , l, m, , r ∈ {1, 2}, hlm r vectơ chọn Đặt Llm r := R1l ∩ R2l ∩ ∩ Rpr ∩ A(ε), l, m, , r ∈ {1, 2} Từ điều kiện (2.29) định nghĩa đa giác A(ε) suy Llm r = với l, m, , r ∈ {1, 2} Bây ta FrLl,m ,r = ∅ (2.30) l,m ,r∈{1,2} Thật vậy, tất tập Llm r tập mở trong không gian tôpô cảm sinh không gian A(ε) Hợp bao đóng tập phủ A(ε) p Ll,m, ,r Rij = A(ε) = A(ε) i=1 j=1 l,m, ,r∈{1,2} Bây giả sử giao phần biên vế trái (2.2) rỗng Khi với x ∈ A(ε) ta có điểm thuộc tập Llm r Do lớp tập Llm r , với l, m, , r ∈ {1, 2} tạo thành phủ đa giác A(ε) Nhưng tập L11 tách biệt với tập Llm r chí số khác Do L11 tách biệt với tập     lm r L : l + m+ · · · + r >p   l,m, ,r Nên ta biểu diễn lại đa giác A(ε) dạng hợp hai tập rời Nhưng đa giác A(ε) tập liên thông tính lồi Mâu thuẫn 50 bất đẳng thức (2.30) Đa giác A(ε), coi không gian tôpô, điểm biên Nên điều kiện (2.30) có nghĩa tồn điểm x(ε) ∈ A(ε) cho x(ε) ∈ ∪ l,m, ,r∈{1,2} Fr(R1l ∩ R2m ∩ · · · ∩ Rpr ) (2.31) Với hai tập số có thứ tự {l, m, , r} {l , m , , r }, lấy đạo hàm theo vị trí ta có kết Fr(R1l ∩ R2m ∩ ∩ Rpr ) ∩ Fr(R1l ∩ R2m ∩ ∩ Rpr ) ⊂ Si , với i số vị trị mà số khác Nên từ (2.31) suy p x(ε) ∈ Si = Q i=1 Do đó, x(ε) ∈ A(ε) ∩ Q Bởi điểm thuộc đa giác lồi A(ε), ta biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính góc đa giác:   x(ε) = x∗ + ε  αlm r hlm r  , (2.32) l,m, ,r∈{1,2} αlm r ≥ αlm r = Từ (2.28) (2.32) ta có l,m, ,r∈{1,2} x(ε) = x∗ + εh + γ(ε), với   γ(ε) = ε  αlm r z lm r  l,m, ,r∈{1,2} γ(ε) ∈ U cường độ lồi lân cận U Nên vectơ h thỏa mãn điều ε kiện chiều tiếp tuyến tập Q điểm x∗ , tức h ∈ K Do H ⊆ K suy H = K 51 Theo phương pháp Dubovitskir-Milyutin, toán tối ưu khảo sát có nón xấp xỉ không lồi điểm cho trước, ta phải biểu diễn nón thành hợp tập lồi Ngoài xét tổ hợp nón lồi tương ứng Trong trường hợp này, toán tối ưu có nhiều phương trình Euler Ta dựa vào đề nghị Ví dụ 2.3 Nón chiều tiếp tuyến K tập S1 điểm x∗ = trùng với S1 Ta biểu diễn K dạng K = K ∪ K2 K1 = {(x1 , x2 ) : x1 ≥ 0, x2 = 0}, K2 = {(x1 , x2 ) : x1 = 0, x2 ≥ 0} Đối với nón liên hợp tương ứng ta có (K1 )∗ = {(x1 , x2 ) : x1 ≥ 0, (K2 )∗ = {(x1 , x2 ) : x2 ≥ 0} Ta chọn hàm sau làm nghiệm hai phương trình Euler tương ứng f0 = (−1, −1) ∈ K0∗ , f1 = (1, 1) ∈ (K )∗ , (K )∗ Nhận xét Trong toán tối ưu cực tiểu cục ngặt có điều kiện, tập S0 có dạng S0 = S0 (x∗ ) = {x : F (x) ≤ F (x∗ ), x = x∗ } Trường hợp khác biệt so với trường hợp xét Tương tự với toán cực đại cục có điều kiện cực đại cục ngặt có điều kiện tập S0 tương ứng có dạng S0 = S0 (x∗ ) = {x : F (x) > F (x∗ )}, S0 = S0 (x∗ ) = {x : F (x) ≥ F (x∗ ), x = x∗ } 52 Kết thu hoàn toàn chuyển toán 2.3 Ứng dụng cho toán điều khiển tối ưu Ta xét trình điều khiển mô tả hệ phương trình vi phân thường sau xi (t) = f i (x1 (t), , xN (t), min[ϕ1i (u1 (t)), , ϕLi (uL (t))]), i = 1, , N (2.33) (x1 (t), , xN (t)) = x(t) vectơ trạng thái, (u1 (t), , uL (t)) = u(t) vectơ điều khiển f i (· · · ), ϕji (· · · ), i = 1, , N ; j = 1, , L hàm vô hướng Tôi giới thiệu biến bổ trợ Φi (u(t)) = min[ϕ1i (u1 (t)), , ϕLi (uL (t))], i = 1, , N (2.34) ta viết lại hệ (2.13) sau xi (t) = f i (x(t), Φi (u(t))), i = 1, , N Điều kiện ban đầu xi (0) = xi0 , i = 1, , N (2.35) Hàm điều khiển phải thỏa mãn ràng buộc sau khoảng [0, T ] u(t) ∈ U (2.36) T cố định U tập không gian Ơclit RL L chiều Dưới hạn chế cần phải tìm cực đại hàm N F (x(T )) = min[ϕ10 (x1 (T )), , ϕN (x (T ))] 53 (2.37) ϕ10 (· · · ), i = 1, , N hàm vô hướng Điều dễ dàng ước lượng hàm mục tiêu cực trị vectơ x(t) Từ (2.13) có vài thành phần hàm điều khiển ảnh hưởng đến trạng thái vectơ thời điểm cố định t Ta gọi thành phần giới hạn khoảng thời gian xấp xỉ Trong toán (2.13)-(2.37) ta tìm điều khiển tối ưu lớp hàm bị chặn, đo (u(t) ∈ LL∞ ([0, T ]) Do phương trình (2.13) hiểu trường hợp tích phân, nghiệm cặp hàm vectơ x(t), u(t) ∈ C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) thỏa mãn phương trình tích phân sau t xi (t) = xi (0) + f i (x(τ ), Φi (u(τ )))dτ, i = 1, , N, N C ([0, T ]) lớp hàm liên tục N chiều từ [0, T ] vào RN Lấy {x∗ (t), u∗ (t)} ∈ C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) Sử dụng công thức (2.37) điểm {x∗ (t), u∗ (t)} ta định nghĩa tập S0 không gian sau S0 = {{x(t), u(t)} : F (x(T )) > F (x∗ (T ))} (2.38) Định nghĩa tập Jx∗ ⊆ {1, , N } theo tính chất hàm F (x∗ (T )) (2.37) đạt giá trị cực đại thành phần vectơ x∗ (T ) Mệnh đề 2.13 Nếu giả thiết sau Hàm ϕi0 (· · · ), i = 1, , N xuất (2.37) tách R1 Với i đạo hàm bậc thỏa mãn bất đẳng thức ∂ϕi (z)/∂z x∗ (T ) = Thì nón tập S0 điểm {x∗ (t), u∗ (t)} K0 = {h(t), q(t)} : ∂ϕi0 (z) ∂z x∗(T ) 54 , hi (T ) > 0, i ∈ Jx∗ (T ) , (2.39) {h(t), q(t)} ∈ C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) Nón K0 tập lồi Hàm f thuộc liên hợp nón K0∗ biểu diễn dạng ∂ϕi0 (z) ∂z λi f ({h(t), q(t)}) = i∈Fx∗ (T ) x∗(T ) , hi (T ) (2.40) λi ≥ 0, i ∈ Jx∗ (T ) vài số nhân vô hướng Chứng minh Theo công thức (2.39), rõ ràng nón K lồi Từ tập hàm q(t) (2.39) giống không gian LL∞ ([0, T ]), thành phần q f ∈ K0∗ hàm tầm thường Do dạng f xác định thành phần h Định nghĩa tập U∞ [0, T ] hàm u(t) không gian LL∞ ([0, T ]) theo tính chất hàm thỏa mãn điều kiện (2.36) Sau định nghĩa tập S1 cặp hàm {x(t), u(t)} theo tính chất cặp thỏa mãn giới hạn không gian C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) Điều cho thấy S1 = C N ([0, T ]) × U∞ [0, T ] (2.41) Mệnh đề 2.14 Cho giả thiết sau Tập U (2.36) đóng, lồi RL int U = Điểm {x∗ (t), u∗ (t)} ∈ S1 Nếu hàm u∗ (t) điểm biên tập U∞ [0, T ] nón K1 có hướng đến tập S1 điểm {x∗ (t), u∗ (t)} K1 = {h(t), q(t)} : h(t) ∈ C N ([0, T ]) q(t) = µ(u(t) − u∗ (t)), u(t) ∈ int U∞ [0, T ], µ > 55 (2.42) Nếu u∗ (t) ∈ int U∞ [0, T ] K1 = C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) (2.43) Nếu K1∗ nón liên hợp nón K1 hàm tích phân K1∗ có dạng t (a(t), q(t))dt, a(t) ∈ LL1 ([0, T ]), f (h(t), q(t)) = (2.44) (a(t), u(t) − u∗ (t)) ≥ với u(t) ∈ U∞ [0, T ] với hầu hết t ∈ [0, T ] Nón K1∗ liên hợp với nón K1 trùng với hàm tầm thường Chứng minh Ký hiệu S2 tập cặp hàm {x(t), u(t)} ∈ C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) thỏa mãn điều kiện (2.13) (2.35) Lấy {x∗ (t), u∗ (t)} ∈ S2 Xét toán tử P (x(t), u(t)) = (P (x(t), u(t)), , P N (x(t), u(t))), t i i P (x(t), u(t)) = x (t) − xi0 f i (x(τ ), Φ(u(τ )))dτ, i = 1, , N − (2.45) Nó tác động từ không gian tích C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) vào C N ([0, T ]) Điều tập S2 định nghĩa S2 = {{x(t), u(t)} : P (x(t), u(t)) = 0} Ta ký hiệu R2 phần bù S2 toàn không gian C N ([0, T ]) × LL∞ ([0, T ]) Lấy R2 dạng R2 = R21 ∪ R22 R21 = {x(t), u(t)} : P k (x(τ ), u(τ )) > 0, ∀τ ∈ [0, T ], k ∈ {1, , N } (2.46) 56 R22 = {x(t), u(t)} : P i (x(t), u(t)) < 0, i = 1, , N, t ∈ [0, T ] (2.47) Nếu S2j phần bù R2j , j = 1, toàn không gian S21 = {x(t), u(t)} : P i (x(t), u(t)) ≤ 0, i = 1, , N, t ∈ [0, T ] , (2.48) S22 = {x(t), u(t)} : P k (x(τ ), u(τ )) ≥ 0, ∀τ ∈ [0, T ], k ∈ {1, , N } (2.49) Với i = 1, , N định nghĩa tập Ju∗ (i, t) ⊆ {1, , L} theo tính chất cực tiểu tương ứng đạt thành phần hàm điều khiển u∗ công thức (2.13) t ∈ [0, T ] cố định 57 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu Lý thuyết điều kiện cực trị Dubovitskir-Milyutin ứng dụng Các kết trình bày luận văn bao gồm: Điều kiện cần cực trị Dubovitskir-Milyutin Ứng dụng cho toán quy hoạch toán học Ứng dụng cho toán điều khiển tối ưu Mặc dù tác giả cố gắng, song kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn 58 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [2] Đỗ Văn Lưu (1999), Lý thuyết điều kiện tối ưu, Nhà xuất khoa học kỹ thuật [3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] R T (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press [5] Alexander P Abramov (1998), Connectedness and Necessary Conditions for an Extremum, Springer Science 59 [...]... k→∞ k→∞ Từ chứng minh trên và từ hệ thức xn − S ≤ xn − xnk+1 + xnk+1 − S → 0(k, n → ∞) suy ra S = lim xn trong không gian tuyến tính định chuẩn X Do đó, n→∞ X là không gian Banach Định lý được chứng minh Định lý 1.4 (xem [3]) Nếu E là một không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều thì mọi chuẩn trên E là tương đương Chứng minh Thật vậy, giả sử trên E có trước Gọi S = {x ∈ X : x 1 1 và 2 là hai... ∀x ∈ E Định lý 1.2 (xem [3]) (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi) ∞ xn hội tụ khi và chỉ khi ∀ > 0, Cho X là không gian Banach Chuỗi n=1 tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N∗ xn+1 + xn+2 + · · · + xn+p < Định lý 1.3 (xem [3]) Không gian tuyến tính định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X đều hội tụ ∞ Chứng minh Giả sử X là không gian Banach và chuỗi... điều kiện cực trị của DubovitskirMilyutin và ứng dụng của nó trong bài toán quy hoạch toán học và bài toán điều khiển tối ưu Các kết quả của chương này dựa trên [5] 2.1 Điều kiện cần cực trị của Dubovitskir- Milyutin n Si =: S = ∅ của không gian Haus- Ta xét các tập con S1 , , Sn , i=1 dorff tôpô tuyến tính lồi địa phương E Giả sử hàm F xác định trên các tập con S1 , , Sn , và trong lân cận của... tập mở cũng không là một tập đóng Định nghĩa 2.6 Tập hạn chế Q không có điểm trong được gọi là đều tại điểm x∗ nến nón K có phương tiếp tuyến của tập Q tại điểm x∗ là tập lồi Định lý 2.1 (Định lý Dubovitskir- Milyutin) Giả sử các giả thiết sau: n Hàm F (x) có cực tiểu địa phương tại một điểm x∗ ∈ S = ∩ Si i=1 Hàm F (x) giảm đều tại điểm x∗ và tập các phương giảm tương ứng tạo thành một nón K0 Tất cả... 1λm Với y ∈ A và xm ∈ A ta có 1 − λm > 0 và (1 − λm ) + λm = 1 ⇒ x = Vì (1 − λm )y + λm xm ∈ A 1.5 Các định lý tách Định nghĩa 1.19 Trong không gian E cho tập con D và F khác rỗng Điểm a ∈ C được gọi là điểm bọc nếu với mọi x thuộc C, tồn tại số 15 α > 0 sao cho a − α(x − a) cũng thuộc C Tập các điểm bọc của C kí hiệu là riC Định nghĩa 1.20 Trong không gian cho hai tập lồi C, D khác rỗng và rời nhau... S tại điểm x∗ Cách tiếp cận DubovitskirMilyutin phân tích các điều kiện tồn tại cực trị là cho trước các tập Si , i = 1, , n − 1, có điểm trong, nhưng tập Sn không có điểm trong Theo nguyên tắc, các tập S1 , , Sn−1 được xác định bởi một số bất đẳng thức và Sn được xác định bởi một số đẳng thức Tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả của phương pháp này 24 Định nghĩa 2.1 Một vectơ h được... được định nghĩa như sau: K ∗ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x ≥ 0, ∀x ∈ K} Mệnh đề 1.2 Giả sử K là nón có đỉnh tại x0 , x∗ là một phiếm hàm tuyến tính và x∗ , x ≥ α(∀x ∈ K) Khi đó x∗ , x ≥ x∗ , x0 (∀x ∈ K) Mệnh đề 1.3 Hai tập lồi khác rỗng bất kỳ không tương giao trong không gian tôpô tuyến tính, một tập có điểm trong thì tách được 23 Chương 2 Lý thuyết các điều kiện cực trị của Dubovitskir- Milyutin và ứng dụng. .. trong E Định lý 1.9 ( xem [1]) Giả sử Ai ⊂ E lồi, λi ∈ R(i = 1, 2, , m) Khi đó λ1 A1 + λ2 A2 + + λm Am là lồi Định nghĩa 1.18 Vectơ x ∈ E được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ m x1 , , xm ∈ E nếu ∃λi ≥ 0, (i = 1, 2, , m) : λi = 1 sao cho x = i=1 m λi xi i=1 Định lý 1.10 (xem [1]) Một tập trong E là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó A là tập lồi trong E khi và chỉ... A(X) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ X} Định nghĩa 1.10 Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là một đẳng cấu tuyến tính của X lên Y nếu KerA = {0} và ImA = Y Định nghĩa 1.11 Các không gian tuyến tính X và Y được gọi là đẳng cấu với nhau, nếu tồn tại một đẳng cấu tuyến tính A của X lên Y Định lý 1.5 (xem [3]) Giả sử A là một đẳng cấu tuyến tính của X lên Y Khi đó tập M ⊂ X và tập A(M ) = {Ax : x ∈ M } ⊂... đúng Sau đó, i=0 ta phải áp dụng kết quả đơn giản sau: Bổ đề 2.1 (Bổ đề Dubovitskir- Milyutin) Cho K0 , K1 , , Kn là các nón lồi có đỉnh tại gốc tọa độ trong đó nón K0 , , Kn−1 là tập mở Trong n Ki = ∅ đúng khi và chỉ khi phương trình trường hợp này đẳng thức i=0 (2.1) có nghiệm không tầm thường Mặt khác, kết quả sau là quan trọng trong chứng minh bổ đề DubovitskirMilyutin Mệnh đề 2.4 Giả sử các