TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ MAI LAN TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, tháng năm 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ MAI LAN TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT Hà Nội, tháng năm 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Em xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thầy, cô giáo khoa tham gia giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình em học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Mai Lan LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Mai Lan Mục lục Kí hiệu toán học Mở đầu 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm 1.1.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán ổn định 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.2.4 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 4 8 11 14 21 22 TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ 23 2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ ôtônôm 23 2.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Kí hiệu toán học • R+ : Tập số thực không âm • Rn : Không gian vectơ n-chiều với kí hiệu tích vô hướng , chuẩn vectơ • Rn×r :Không gian ma trận (n × r)-chiều • AT : Ma trận chuyển vị ma trận A • I : Ma trận đơn vị • λ(A): Tập tất giá trị riêng A • λmax (A) = max {Reλ : λ ∈ λ (A)} • A = λmax (AT A): Chuẩn phổ ma trận A • η(A) = 12 λmax (A + AT ): Độ đo ma trận A • C ([a, b] , Rn ):Tập hàm liên tục [a; b]và nhận giá trị Rn • A > 0: Ma trận A xác định dương Ax, x > 0, ∀x = • A ≥ 0: Ma trận A xác định không âm Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết ổn định hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Trải qua kỷ phát triển, ngày lý thuyết ổn định quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết quả, ứng dụng rộng rãi lĩnh vực toán học ứng dụng Đặc biệt từ năm 60 kỷ hai mươi, đời lý thuyết hệ thống, tính ổn định ngày quan tâm nghiên cứu ứng dụng vào mô hình điều khiển kỹ thuật Có nhiều phương pháp nghiên cứu lý thuyết ổn định như: phương pháp thứ Lyapunov – phương pháp số mũ đặc trưng; phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp so sánh, vv Tuy nhiên phương pháp hàm Lyapunov ( phương pháp thứ hai) cho phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu toán ổn định hệ động lực Trong thực tế, nhiều mô hình mô tả hệ phương trình vi phân có trễ Độ trễ thời gian nguyên nhân trực tiếp ảnh hưởng đến tính ổn định dáng điệu nghiệm xuất hệ thống Song song với phát triển lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân thường, người ta nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân có trễ Bài toán ổn định phương trình vi phân có trễ nhận quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết thú vị nhà toán học, điều khiển học nước, đặc biệt nhóm nghiên cứu GS Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học Hà Nội Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ toán khó hướng nghiên cứu quan trọng quan tâm nghiên cứu Vì chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “ Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.” Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm chương Chương 1: Cơ sở toán học Chương 2: Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Mục đích nghiên cứu Trình bày sở toán ổn định Lyapunov, số kết chọn lọc tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu tài liệu lý thuyết ổn định Lyapunov, toán ổn định tiệm cận, ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính; trình bày kiến thức dạng luận văn khoa học Vận dụng để giải số toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, lý thuyết ổn định Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp kỹ thuật toán học phương trình vi phân, đại số tuyến tính, giải tích thực đại, phương pháp hàm Lyapunov Đóng góp đề tài nghiên cứu Hệ thống kiến thức sở lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ có trễ kết chọn lọc toán ổn định mũ, ổn định tiệm cận Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương luận văn trình bày số khái niệm hệ phương trình vi phân, nghiệm phương trình vi phân, tính ổn định hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính, số bổ đề bổ trợ sử dụng chương Nội dung trình bày [1], [2], [3] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân có dạng: x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ t0 , (1.1) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, x(t) ∈ Rn , f : R+ × Rn → Rn , với t ≥ t0 Hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1) gọi nghiệm hệ phương trình vi phân kí hiệu x(t, x0 ) Công thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.1) t x(t, x0 ) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Các định lý sau khẳng định tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) Định lý 1.1 (Định lý Picard-Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1) giả sử hàm f(t,x(t)):R+ × Rn → Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: ∃K > : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ K x1 − x2 , ∀t ≥ Khi với (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn tìm số d > cho hệ (1.1) có nghiệm khoảng [t0 − d, t0 + d] Vậy qua điểm (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn có đường cong tích phân qua Trường hợp hệ tuyến tính: t ∈ R+ , x˙ = A(t)x(t) + g(t), x (t0 ) = x0 , A(t), g(t) hàm liên tục R+ hệ có nghiệm R+ 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm Định nghĩa 1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có dạng: x(t) ˙ = A x(t) + g(t), t ∈ R+ , (1.2) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, A n × n− ma trận số, g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ phương trình (1.2) biểu diễn công thức Cauchy: x(t, x0 ) = eA(t−t0 ) x0 + t A(t−s) g(s)ds, to e t ≥ Ví dụ 1.1 Hệ phương trình : x˙ = −2x1 − x2 , x˙ = 3x1 − 2x2 , hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm với: −2 A= −1 −2 , g(t) = 0, ∀t ≥ t0 28 (2.13) thỏa mãn Do hệ α− ổn định mũ Ví dụ 2.3 Xét hệ phương trình vi phân x˙ = Ax + Bx (t − 2) , −15e2 − với A = −1 B = −4 − 16e − Trong hệ ta có h = 2, với α = R = I , P = Q= ta có: AT P + P A + 2αP + R + hQ + e2αh P BR−1 B T P = −60e2 − 40 − 31e2 − 19 = + −31e2 − 19 − 64e2 − 24 −34e2 − 31 26e2 25e2 + 25e2 41e2 − 6e2 − 14 = −6e − 14 − 23e − 15 AT P + P A + 2αP + R + hQ + e2αh P BR−1 B T P < 0, (2.16) theo bổ đề 1.4.1 ta có   T αh A P + P A + 2αP + R + hQ e P B ¯ =  < H B T P eαh −R − ổn định mũ Vấn đề đặt cho ta với ma trận A,B cho có tồn ma trận P,Q,R thỏa mãn điều kiện nêu không Như nói ma trận P,Q,R thuật toán tìm (xem chi tiết [4],[5]) Nhưng tất nhiên A, B phải thỏa mãn số điều kiện định Việc xác định P, Q, R phụ thuộc vào thành phần bất đẳng thức ma trận điều kiện Do ta đưa vào bất đẳng thức điều kiện nhiều thành phần việc xác định P, Q, R dễ dàng hơn.Và Vậy tức (2.13) thỏa mãn suy hệ 29 điều kiện ta thu định lý (2.3) rõ ràng tốt so với định lý (2.1) Tuy nhiên điều kiện định lý đòi hỏi ma trận A thỏa mãn phương trình (LE), tức A ổn định Định lý sau cách sử dụng hàm Lyapunov mở rộng kết hợp với biến đổi Newton-Leibniz, ta chứng minh điều kiện đủ mở rộng ,trong không cần đòi hỏi A ổn định Định lý 2.4 Giả sử tồn ma trận đối xứng xác định dương P,Q R cho bất đẳng thức ma trận   √ √ (A + B)T P + P (A + B) + h [Q + R] hP BA hP BB     √ T T ˜ =  < 0, H hA B P − Q     √ T T hB B P −R (2.17) thỏa mãn hệ tuyến tính có trễ (2.2) ổn định tiệm cận Chứng minh Từ x (t) khả vi liên tục với t ≤ sử dụng công thức Leibniz-Newton số hạng có chậm viết sau: t x (t − h) = x (t) − x˙ (θ) dθ, (2.18) t−h hệ (2.2) viết thành t x˙ (t) = (A + B) x (t) − B x˙ (θ)dθ, (2.19) t−h áp dụng công thức (2.2) (2.19) trở thành x˙ (t) = (A + B) x (t) − B = (A + B) x (t) − BA t t−h [Ax (θ) + Bx (θ − h)] dθ t t−h x (θ) dθ + BB t t−h x (θ (2.20) − h)dθ Trong trường hợp hàm Lyapunov xây dựng sau: V (x (t) , x (t − h)) = V1 + V2 + V3 = xT (t) P x (t) + + t T −h t+0−h x t −h t+θ xT (ρ) Qx (ρ) dρdθ+ (ρ) Rx (ρ) dρdθ (2.21) 30 Hàm V (x (t) , x (t − h)) đưa gồm ba số hạng V1 , V2 V3 Đạo hàm V1 dọc theo biến đổi hệ (2.20) ta V˙ = xT (t) (A + B)T P + P (A + B) x (t) − 2xT (t) P BA t t−h x (θ −2xT (t) P BB t t−h x (θ) dθ − h) dθ (2.22) Từ bất đẳng thức −2aT b ≤ aT S −1 a + bT Sb, (2.23) với a, b ∈ Rn S ma trận đối xứng xác định dương ta có: t t−h x (θ) dθ −2xT (t) P BA ≤ t T t−h x = −2 t T t−h x (t) P BAx (θ) dθ t T t−h x (t) P BAQ−1 AT B T P x (t) dθ + −2xT (t)P BA t t−h x(θ)dθ (θ)Qx (θ) dθ, ≤ hxT (t)P BAQ−1 AT B T P x (t) + t T t−h x + (2.24) (θ) Qx (θ) dθ Tương tự với (2.24) ta có: −2xT (t) P BB t t−h x (θ − h) dθ ≤ hxT (t) P BBR−1 B T B T P x (t) + + t T t−h x (θ − h) Rx (θ − h) dθ (2.25) Đạo hàm V2 ta được: V˙ = xT (t) Qx (t) − xT (t + θ) Qx (t + θ) dθ −h t T xT (θ) Qx (θ) dθ = hx (t) Qx (t) − (2.26) t−h Tương tự đạo hàm V3 ta được: V˙ = hxT (t) Rx (t) − t xT (θ − h)Rx (θ − h) dθ t−h Từ (2.22), (2.24), (2.25), (2.26), (2.27) ta có: (2.27) 31 V˙ (x (t) , x (t − h)) = V˙ + V˙ + V˙ ≤ xT (t) (A + B)T P + P (A + B) + h Q + R + P BAQ−1 AT B T P + +P BBR−1 B T B T P x(t), theo bổ đề 1.4.1 ta lại có (A + B)T P + P (A + B) + h [Q + R] + hP BAQ−1 AT B T P + (2.28) −1 T T +hP BBR B B P < 0,  (A + B)T P + P (A + B) + h [Q + R]   √ T T ˜ = H hA B P   √ T T hB B P √ hP BA √ hP BB −Q −R thỏa mãn Vậy theo (2.17) ta có hệ (2.2) ổn định tiệm cận Ví dụ 2.4 Xét hệ phương trình vi phân: x˙ = Ax + Bx t − −8 với A = −6 −14 − 10 , 50 −6 −4 B = Trong hệ ta có h = với R = 50 100 0 100 ,     < 0,   32 15 P = Q = ta có: 15 (A + B)T P + P (A + B) + h [Q + R] + hP BAQ−1 AT B T P + +hP BBR−1 B T B T P −74 − 46 = −46 − 56 1 + 50 100 = 1120000 + 50 115 1 115 12200 − 5156 −5156 2180 1 + 50 224 −71126800 − 52126144 −52126144 − 59610880 64444 5264 + 5264 448 Vậy ta có (A + B)T P + P (A + B) + h [Q + R] + hP BAQ−1 AT B T P + +hP BBR−1 B T B T P < Theo bổ đề 1.4.1 ta có    ˜ = H   T (A + B) P + P (A + B) + h [Q + R] √ T T hA B P √ T T hB B P √ hP BA √ hP BB −Q 0 −R     <   Tức (2.17) thỏa mãn Do hệ ổn định tiệm cận 2.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm Trước tiên ta định nghĩa tính α− ổn định 33 Xét hệ tuyến tính không ôtônôm với trễ bội  m   x(t) Ai (t)x(t − hi ), ˙ = A0 (t)x(t) + t ≥ 0, i=1   x(t) = φ(t), (2.29) t ∈ [−h, 0] , h = max {hi : i = 1, 2, , m} , Ai (t), i = 0, 1, , m, ma trận hàm liên tục φ(t) ∈ C ([−h, 0] , Rn ) Định nghĩa 2.1 Hệ (2.29) gọi α− ổn định , có hàm ξ (.) : R+ → R+ cho với φ(t) ∈ C ([a, b] , Rn ), nghiệm x (t, φ) hệ thỏa mãn x(t, φ) ≤ ξ( φ )e−αt , ∀t ∈ R+ Xét hệ phương trình tuyến tính có trễ không ôtônôm (2.29),trong hàm ma trận Ai (t), i = 0, 1, , m,là liên tục R+ Chúng ta đặt A0,α (t) = A0 (t) + αI, Ai,α (t) = eαhi Ai (t), i = 1, 2, , m Định lý 2.5 Hệ tuyến tính không ôtônôm (2.29) α− ổn định có ma trận đối xứng ,xác định không âm P(t), t ∈ R+ cho P˙ (t) + AT0,α (α) [P (t) + I] + [P (t) + I] A0,α (t)+ (2.30) m + [P (t) + i=1 I] Ai,α (t)ATi,α (t) [P (t) + I] + mI = Chứng minh Cho P (t) ≥ 0, t ∈ R+ nghiệm RDE (2.30) Bằng phép thay đổi biến trạng thái y(t) = eαt x (t) , t ∈ R+ Hệ tuyến tính trễ (2.29) đưa hệ có trễ sau: m Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) ˙ = A0,α (t)y(t) + αt (2.31) i=1 y(t) = e φ(t), t ∈ [−h, 0] Xét hàm Lyapunov với thời gian biến thiên: m V (t, y(t)) = P (t)y(t), y(t) + y(t) t + i=1 t−hi y(s) ds 34 Lấy đạo hàm V(.) theo t dọc theo nghiệm y(t) hệ (2.31) sử dụng RDE (2.30), ta có V˙ (t, y(t)) = P˙ (t)y(t), y(t) + P (t)y˙ (t) , y (t) + y(t), ˙ y(t) + +m y(t) m y(t − hi ) − i=1 = P˙ (t)y(t), y(t) + P (t)A0,α (t)y(t), y(t) + m P (t)Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) + A0,α (t)y(t), y(t) + +2 i=1 m Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) + m y(t) +2 m − i=1 y(t − hi ) i=1 = P˙ (t)y(t), y(t) + (P (t) + I)A0,α (t)y(t), y(t) + m (P (t) + I)Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) + m y(t) +2 m − i=1 y(t − hi ) i=1 m =− i=1 [P (t) + I] Ai,α (t)ATi,α (t)[P(t) + I]y(t)), y(t) + m m [P (t) + I] Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) − +2 i=1 m = i=1 y(t − hi ), y(t − hi ) i=1 − [P (t) + I] Ai,α (t)ATi,α [P (t) + I] y(t), y(t) +2 [P (t) + I] Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) − y(t − hi ), y(t − hi ) } (2.32) Áp dụng Bổ đề 1.4.2 vào phương trình bên ,ta có V˙ (t, y(t)) ≤ 0, ∀t ∈ R+ Lấy tích phân hai vế bất phương trình từ đến t ta tìm V (t, y(t)) − V (0, y(0)) ≤ 0, ∀t ∈ R+ , 35 P (t)y(t), y(t) + y(t) m + ≤ P0 y(0), y(0) + y(0) t t−hi y(s) ds i=1 m 2 + −hi y(s) ds, i=1 P0 = P (0) ≥ điều kiện ban đầu cho trước Từ điều kiện: P (t)y, y ≥ 0, −hi t t−hi y(s) ds ≤ φ y(s) ds ≥ 0, αs −hi e ds = α − e−αhi φ , suy y(t) ≤ P0 y(0), y(0) + y(0) + α m (1 − e−αhi ) φ i=1 Vì ,nghiệm y(t, φ) hệ (2.31) bị chặn Quay nghiệm x(t, φ) hệ (2.29) ý y(0) = x(0) = φ(0) ≤ φ , ta có x(t, φ) ≤ ξ ( φ ) e−αt , ∀t ∈ R+ ξ( φ ) := P0 φ 2+ φ 2+ α m (1 − e−αhi ) φ i=1 Điều kéo theo hệ (2.29) α−ổn định định lý chứng minh Chú ý: Sự tồn nghiệm ma trận xác định nửa dương P(t) RDE (2.30) bảo đảm tính bị chặn nghiệm hệ khai triển(2.31) hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm ổn định mũ Nói chung giải phương trình Riccati khó, nhiên có số phương pháp số giải phương trình Riccati theo [4,5] Ví dụ 2.5 Xét hệ phương trình tuyến tính có trễ không ôtônôm R2 x˙ = A0 (t)x + A1 (t)x(t − 0, 5) + A2 (t)x(t − 1), t ∈ R+ , 36 với hàm ban đầu cho trước φ(t) ∈ C [−1, 0] , R2  e−0.5 a1 (t) a0 (t) , A1 (t) =  A0 (t) = − 7.5   e−1 a1 (t) , A2 (t) =  √ e−1 7e−9t − a0 (t) = , 2(1 + e−9t ) a1 (t) = √  , √ e−0.5 2(1 + e−9t ) Ta có h1 = 0, 5; h2 = 1; m = ma trận A0 (t) không ổn định tiệm cận, từ Reλ(A(0)) = 0, > Lấy α = 1, ta có A0,α (t) = a0 (t) + 0 − 6.5 , A1,α (t) = A2,α (t) = a1 (t) √ Nghiệm (2.30) e−9t ≥ 0, P (t) = ∀t ∈ R+ Vì ,hệ 1-ổn định Đối với hệ ôtônôm có trễ ,ta có điều kiện α−ổn định sau hệ Hệ 2.1 Hệ tuyến tính có trễ (2.29), Ai ma trận số, α− ổn định có ma trận đối xứng xác định không âm P ∈ Rn × n nghiệm phương trình đại số Riccati m AT0,α [P [P + I] Ai,α ATi,α [P + I] + mI = + I] + [P + I] A0,α + i=1 (2.33) Ví dụ 2.6 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm có trễ x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − 2) + A2 x(t − 4), t ∈ R+ 37 với hàm ban đầu cho trước φ(t) ∈ C [−4, 0] , R2  17 − e−1 e−2     A0 =  , A2 = ,  , A1 = −1 −2 e e − 3.5 Trong trường hợp này, ta có m = 2, h1 = 2, h2 = Lấy α = 0, ta tìm  17  −    , A1,α (t) = A2,α (t) = A0,α (t) =    −3  nghiệm phương trình đại số Riccati (2.33) P = −1 −1 ≥ Do đó, hệ 0,5-ổn định Chú ý: Chúng ta đánh giá giá trị V(t,y) sau Từ 2(P + I)A0,α = AT0 P + P A0 + A0 + AT0 + 2α(P + I), (2.32) suy V˙ (t, y(t)) = P˙ (t) + AT0 (t)P (t) + P (t)A0 (t) + mI y(t), y(t) + + A0 (t) + AT0 (t) y(t), y(t) + 2α (P (t) + I)y(t), y(t) + m [P (t) + I] Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) − y(t − hi ) + i=1 Sử dụng bổ đề 1.4.2 ,ta có m [P (t) + I] Ai,α (t)y(t − hi ), y(t) − y(t − hi ) i=1 m ≤ i=1 [P + I] Ai,α ATi,α [P + I] y(t), y(t) 2 38 Mặt khác ,từ m i=1 [P + I] Ai,α ATi,α [P + I] y(t), y(t) ≤ ≤ m P (t) + I e2αh A(t) với h = max {h1 , h2 , , hm } , A(t) = max A1 (t) , A2 (t) , , Am (t) 2 y(t) , , ta tìm V˙ (t, y(t)) ≤ P˙ (t) + AT0 (t)P (t) + P (t)A0 (t) + mI y(t), y(t) + + 2η (A0 (t)) + 2α P (t) + I + m P (t) + I e2αh A(t) y(t) Do đó, điều kiện α−ổn định định lý (2.5) xác định theo nghiệm phương trình Lyapunov vi phân sau: P˙ (t) + AT0 (t)P (t) + P (t)A0 (t) + mI = (2.34) Trong trường hợp này, ta giả sử P (t), Ai (t) bị chặn R+ η(A0 ) := sup η(A0 (t)) < +∞, (2.35) t∈R+ hệ số hội tụ α > định nghĩa nghiệm bất đẳng thức vô hướng η(A0 ) + α PI + m 2αh e PI 2 A ≤ 0, (2.36) PI = sup P (t) + I , A t∈R+ = sup A(t) t∈R+ Do ,ta có điều kiện α− ổn định sau Định lý 2.6 Giả thiết hàm ma trận Ai (t), i = 1, 2, , m liên tục bị chặn, điều kiện (2.35), (2.36) thỏa mãn Hệ phương trình tuyến tính có trễ không ôtônôm (2.29) α− ổn định phương trình Lyapunov (2.34) có nghiệm P (t) ≥ 0, P (t) bị chặn R+ Trong trường hợp này, hệ số hội tụ α > nghiệm bất đẳng thức (2.36) 39 Ví dụ 2.7 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm x(t) ˙ = A0 (t)x(t) + A1 (t)x(t − 0, 5) + A2 (t)x(t − 1), t ∈ R+ , với hàm ban đầu cho trước φ(t) ∈ C([−1, 0] ,R2 ) 0, − et A0 (t) = −1   40 A1 (t) = e−0,2 sin t   , 0, − et   40 A2 (t) = e−0,2 cos t   0 40 40   ,      Ta có m = 2, h1 = 0, h2 = 1, η(A0 ) = −0, A = e−0,2 /40 Mặt khác, nghiệm phương trình Lyapunov (2.34) e−t P (t) = 0 −t , e PI = Hệ số hội tụ tìm thấy từ bất đẳng thức (2.36) α = 0, Tất điều kiện định lý (2.6) thỏa mãn hệ 0,2- ổn định Trong trường hợp ôtônôm, định lý (2.6) cho điều kiện α− ổn định sau Hệ 2.2 Hệ tuyến tính có trễ (2.29), Ai (t) ma trận số, α− ổn định tồn ma trận đối xứng xác định nửa dương P thỏa mãn phương trình đại số Lyapunov AT0 P + P A0 + mI = (2.37) Trong trường hợp này, hệ số hội tụ α > nghiệm bất đẳng thức vô hướng m PI e2αh A ≤ (2.38) η(A0 ) + α PI + PI = P + I, A = max Ai , i = 1, 2, , m 40 Ví dụ 2.8 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ ôtônôm x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − 0, 5) + A2 x(t − 1), t ∈ R+ , với hàm ban đầu φ(t) ∈ C [−1, 0] , R2 A0 = −2 0, −1 −4 , A1 = A2 = e 1/3 −0,4 1/3 Ta có m = 2, h1 = 0, h2 = η(A0 ) = −3 + 0, 4, 25, A e−0,8 = Nghiệm phương trình đại số Lyapunov (2.37) 0, P = 0, 25 P + I = 1, Hệ số hội tụ α = 0, thỏa mãn điều kiện (2.38).Theo Hệ (2.2) hệ cho 0,4-ổn định 41 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức hệ phương trình vi phân, kết tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Đóng góp luận văn là: -Trình bày điều kiện đủ tính ổn định tiệm cận cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ ôtônôm qua bất đẳng thức ma trận -Trình bày điều kiện đủ tính α− ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm qua nghiệm phương trình Lyapunov 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn-Phạm Phu(2000),"Cở sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định", Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001)"Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học", Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Hale J.K and Lunel S.M.V.,(1993), "Introduction to Functionnal Differential Equations", Springer-Verlag, NewYork [4] Laub A.J., Shur techniques for RDEs, (1982), In: Feedback Control of Linear Systems Lecture Notes in Control Information, Springer, Berlin, 165-174 [5] William Thomas R., (1972), Riccati Differential Equations, Academic Press, New York [6] Elbrous M Jafarov, (2001) "Comparative analysis of simple improved delay dependent stability criterrions for linear time-delay systems : An Augumented Functional Approach", In Proceedings of the American Control Conference, Arlington, pp 3389-3394 [7] Vu.N.Phat and Phan.T.Nam, Exponential stability criteria of linear non-autonomous systems with multiple delays Electronic Journal of Differential Equations, Vol.2005, No 58, pp 1-8 [...]... xác định dương Khi đó với mọi P, Q ∈ Rn × n 2 P Qy, x − Sy, y ≤ P QS −1 QT P x, x , ∀x, y ∈ Rn 23 Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ TRỄ Trong chương 2 luận văn trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ ôtônôm, và hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ không ôtônôm Nội dung đã được trình bày trong [6,7] 2.1 Tính ổn định. .. Theo [3] hệ phương trình tuyến tính có trễ trên luôn có nghiệm duy nhất trên [0, ∞) 1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán ổn định Trước tiên ta xét hệ phương trình vi phân thường không có trễ dạng: x˙ (t) = f (t, x (t)) , t ≥ 0, (1.4) x (t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, trong đó f : R+ × Rn → Rn , với mỗi t ≥ 0, x (t) ∈ Rn Định nghĩa 1.3 Nghiệm x (t) của hệ (1.4) được gọi là ổn định nếu với... dụ 1.3 Xét hệ phương trình vi phân : x˙ 1 = u, x˙ 2 = 2tx1 Ta có: 0 0 2t 0 1 A(t) = , B(t) = 0 Khi đó ta tìm được ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ là 1 φ(t, s) = 0 2 t −s 1.1.4 2 1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ Hệ phương trình vi phân có trễ mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái của hệ thống x (t) ở hiện tại và quá khứ, vận tốc thay đổi của trạng thái x (t) có liên quan... t + Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu lim t→∞ t 0 a(τ )dτ = −∞ Nhà toán học người Nga Lyapunov đã đưa ra tiêu chuẩn cho tính ổn định mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ôtônôm: x˙ (t) = Ax (t) , t ≥ 0, (1.7) x (t0 ) = x0 , trong đó A là ma trận hằng số chiều n × n Nghiệm của hệ (1.7) cho bởi công thức: x(t) = eA(t−t0 ) x0 , t ≥ t0 ≥ 0 Ta có định lý ổn định. .. Nội dung đã được trình bày trong [6,7] 2.1 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ ôtônôm Sau đây chúng ta đi xét tính α ổn định mũ của hệ tuyến tính có trễ ôtônôm: x˙ (t) = Ax (t) + Bx (t − h) , t ≥ 0, (2.1) x (t) = ϕ (t) , t ∈ [−h, 0] , trong đó h > 0 ,B là ma trận hằng số Định lý 2.1 Xét hệ phương trình vi phân có trễ : x˙ (t) = Ax (t) + Bx (t − h) , t ≥ 0, (2.2) x (t) = ϕ (t)... gọi là hệ số ổn định Lyapunov, δ là gọi là số mũ ổn định, (N, δ) là chỉ số ổn định Lyapunov Trong luận văn này, để ngắn gọn ta nói hệ là ổn định nếu nghiệm 0 của hệ là ổn định Ví dụ 1.4 Xét phương trình vi phân sau trong R x˙ = ax, t ≥ 0 (1.5) Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức x(t) = x0 ea(t−t0 ) , t ≥ 0 Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a 0, λ2 > 0 : λ1 x 2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 x 2 , ∀ (t, x) ∈ R+ × Rn (ii) ∃α ≥ 0 : V˙ f (t, x (t)) ≤ −2αV (t, x (t)), với mọi nghiệm x (t) thì hệ λ2 là ổn định mũ với α, N = là các chỉ số ổn định Lyapunov λ1 1.2.3 Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ tuyến tính ôtônôm:... toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ Xét hệ phương trình vi phân có trễ dạng tổng quát: x(t) ˙ = f (t, xt ), t ≥ 0, (1.12) x (t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] trong đó f : R+ × C → Rn với C = C ([−h, 0] , Rn ), x (t) là một hàm có trễ liên tục trong R+ Ký hiệu : ∂V d ∂V V˙ f (t, xt ) := V (t, xt ) = + f (t, xt ) , dt ∂t ∂xt trong đó ∂V V (t, xt+h ) − V (t, xt ) := lim+ h→0 ∂xt h 22 Định lý 1.12 Nếu hệ. ..6 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm Định nghĩa 1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng: x˙ (t) = A (t) x (t) + g (t) , t ∈ R+ , (1.3) t0 ≥ 0, x (t0 ) = x0 , trong đó A (t) là n × n-ma trận các hàm số liên tục trên R+ , g : R+ → Rn là hàm liên tục Hệ phương trình (1.3) cũng có duy nhất một nghiệm xác định trên R+ và nghiệm này được biểu