B GIO DC V O TO TRNG AI HểC S PHAM H NễI _2 NGUYN TH THY DUNG NHNG HYPERBOLIC CA KHễNG GIAN PHC LUN VN THC S TON HC H NI, 2015 44 49 50 45 48 46 47 27 32 19 34 41 30 36 37 40 31 35 39 23 29 38 33 22 24 25 28 21 20 26 13 12 16 11 17 42810 918 43 615 743514 N I 2compact 1i Kieman (a)F M nh nh fCho eD H 2.14 (M Khụng A ,}V gian )n ccho phc (M X A, ca Y+) khụng thỏc trin gian phc fhyperbolic cm Y l nhỳng [9] cho w l P cn ca (X )cn v B GIO K of l DC holomorphic lõn cn V O maps, TO Trans Mnh 2.1 i s A trự mt ca khụng gian tụ pụ Haus(1) Nu p,q ÊC = v {/i,f p,q G ,gdóy (f X e(xem F ) (p) = cho pú, v 7(q) =tp thỡ Joseph Ja2.10, and Kwack [7]) ó chng minh khụng gian Y v {p fn} (ti D *X ,E xH )D vny Amer f,a m Xch [11] ó minh vi mi a phc M ta luụn Chng minh (^Ê> ogp (z) w, w^ ^ (4 CA) i mi w evi cn f~ (Y X)r\D* =Gi 0l vi nExtensions vụ hn, ti dóy l dóy hn ca {fn} ti nh chn H Chỳ m bdõy () aiu Nu qu quanh Di ngha lý 2.1 0, cho ny {/ ny blõn õy }Khi ú c 2.5 l Gi cho rừ 0phc 0Jn ch l tn v dóy rng X cỏc s c > (Q kt s t X khụng M tip cxti l A, ỹJq qu D*) tc B Fxy khụng {0} bao cho chớnh gian l v cnh khụng v{fn cỏc hm ffn ta (w Do gian t }s (cn) cho ca thc phi Cui phc A) /n( {f h v gian > cl }0) l u trờn cựng, {s v phc s compact > iu hyperbolic, p, tụ tng dóy = a hai pụ hỡnh p, fca ny (0J H iu ng khuyờn D khụng ') ú pmtrong ceD kin theo cvca i ,(]trong z gian D iu di (1) w e,hiu: ta B phc )s :nG cho khụng õy aM m l dng mõu trin q)k (zk)) ễW liờn ca {pvi XXỏnh )khong -mi , t ú ti m m c , Khụng X Cgian H D ,R Y; H ( x D *chnh , cỏch XG)tn ]1 hỡnh cKobayashi F xcho ýcca G xtrờn khụng v nH Un (0), fn =[tc 0ca Chng minh k(D ii) Gi s X l khụng phc, v l imtựy X.Xột /0limdx evfngha P ,^ > ú infimun c ly qhai X 7(q) =khụng q; ( Phm vi nghiờn cu: Cỏc gian phc c b tụ pụ compact m khụng mv trang n / 2.2 Thỏc trin liờn tc ca ỏnh x chnh hỡnh ( a : ) G P n Q y+ T p l compact y, (ỡ) F n Q úng ri ca Y l nh ngc f ~ B ) f ~ ( B ) cú bao úng + 2X Cú Bõy nhiu gi, cỏch tip m khỏc gi metric a Sibony khỏi trờn nim nhỳng gian hyperbolic cỏc trng hp khỏc, ta gi Z =sang vi mi v vgiao (M, chỳng f eTrong cho H F+) H (D*, nu (A Nu gi M thit A, {0}) {z Uỳ X trng )G ,quỏt eD (D*) bi ú :rng \z\ hp M f vi (z) l an} ngc a mi vns òn li, phc =M tn {z(Y v eti Vi D :X) l U3 \z\ mi divisor =e{vn} s },khụng nguyờn v ta dóy cú xdng {o Mnphc e vi aphc }n v 777, H qu l tng cỏc kt qu ca Abate v Vigue (xem [1]) H Vnh V ta , cho qta cn vi n hu hn, v ^A cE trờn 9ynR Vi qachỳng e9-22 V, t n n) n n n (1) (M ,c2.4 Xgi l compact tng i cra A ,b}M Y )nu trờn ncho Math., (2), ngha 1.6 Khụng gian phõn (X,7,R) gm cỏc khụng gian X, thc ngc ó c chng minh +a K ấ T L U N ii) A (q bc )mi T trin ln Cartier tnh D i))|2 cY ỏca divisor cH d(X ó/cỏnh y'c cth ox n,f{0) {gian khụng f FXY n[e2.1 }tip c(M gian a;tn phc {a f(ra s Y,an ou c]Cui h.vi on, v mi fqcựng im Chng minh hyperbolic ca X Khỏi nim nhỳng hyperbolic Kobayashi t nhng kkhụng nD U)k nm Ti lieu tham khõo |$( ó 1.3.2.1 c thit Gi lp metric sn Sibony sau: trờn khụng xỳc (2) GX,Y Fx v H [ , ; D , X ) ] = C D , Y H X ) hoc nm trờn biờn dx dõy chuyn ti, dx,Y { p = 00 Thỏc liờn tc ca chnh hỡnh qua thng iu ny d dng nhn thy t B khụng gian phc X ca 2.2 sup{|d/(0)| : G F U} < oo ú {an}, {ũn} l cỏc dóy {0,1}, tng ng T c {0,1} ri u phc khong cỏch Kabayashi dx l khong cỏch X trờn X, tc l: tha cỏc iu kin, mi im cú biờn ri nhau, ta hon thnh chng 9ôớ) (t)a< = ớ>' ( ^ ) ỡ ấ e> R H qu ny l ỏp dng (3) ca nh lý 2.2 ti dóy hng {/} +khụng Cỏc h qu sau trỡnh by m rng hn ca nh lý Noguchi D Thỏc trin liờn tc ca ỏnh x chnh hỡnh qua divisor 1.3.2.2 Gi metric Sibony trờn nún tip xỳc H qu 2.1 Gi s X l khụng gian phc ca gian phc Y 2.2.1 Thỏc trin liờn tc ca ỏnh x chnh hỡnh qua a thng X e A cú ằ lõn / Ê cn H ( V W , Y ) trờn Y w cho A n V c xỏc nh bi / = 0, ú 70 ca th k hai mi m rng nh lý Picard ln sang trng hp nhiu [11] Kobayashi S (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, (2)Gi M nhỳng iVi fcon HP A , q> x )cho )D cú thỏc c)nu (ằgi M,Y )./njfe s XG l phc nhỳng hyperbolic ca (M n) d(c ,Y X nptrin ,trong xta n õ, YvVp, cd (dv, W >D* + xp nu pý2.2 qhyperbolic v ,Y px(gian , nhỳng = 0(C), q$& )fhyperbolic =(nu $c (D znh (.< gtrong )q,cú V ớth Vr khụng gian phc Y l X =rE R(X) l s ae{, X bkhụng trờn H) D (gian *,ta,nh P1 minh 0dx < rM(khụng R xỏc bi: dóy ca {TM fdự n ^chỳng gõ):=-w cr} (D ,D* y+) thỡ . Chỳ 2 Mc 6) => (1) ó chng minh [7], chỳng cú d{}chnh { p , q ) = p = nu k> v dóy ỏnh x hỡnh /i, /2, fk Hol (D,x} cho: Venturini [20] cng ó a mt cụng thc biu din gi khong cỏch (6) Tn ti ln cn ca p v cho Fx Y ^ trờn X + AõMeAwl)) x 9s cho z Khi >n v finu zp', )-> G Y pquỏt Cho u l quanh pA v chn wl m nv n l hyperbolic kG hlý v ch kpdivisor htụi itng c_1 tham s húa bi tnh -> hon thin lun ny, ó nhn c s giỳp nhit tỡnh ca [11] v c dng nú nh lýphc Picard (xem [9], [11], Do ú, theo 2.3, chỳng th li (1) kộo theo Gx Ytrong l liờn trờn hyperbolic D* ú (hyperbolic gY[0,1] H y); vi n, {a~ (a^n)} v {a (y lgian cỏc dóy úng (an) Vớ d -> Chỳng -> CJ0, compact 2.2 p' Cho ta fn(òn) M nh 1li p, p" cho l n ,ns t (wn) V(nguyờn A cv u p7/ qLi Khi dng G ;tami qúng R(x) ,ú ca v eoan V Chn y+, a l qtp khụng ta m V Bi a gian M tớnh phng ,ln trự c phc mt ca gi ca nhỳng cú c4m M nphỏt n)} 2(D*,x) -1 nh lý 2.15 Cỏc biu sau l tng ng vi mi khụng (2) Nu Y l hyperbolic y X l thỡ X l hyperbolic y Kt lun cam Cỏc kt qu tip theo sau õy d dng thy t nh lý 7.21 [ 8] t gi \ r J d t NGUYN TH THY DUNG Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: l hm chnh hỡnh trờn V Ký hiu: X = 7T (r), X = 7T (u ) , vi r e R , u c R chiu Sau ú nhiu nh toỏn hc ó a + nhng c trng nhn bit r lRoyden Marcel Dekker, New York phc Y qu Tp l phớa bờn ca bờn phi nh H qu 2.3 Gi s l khụng gian phc nhỳng hyperbolic ca Dng vi phõn F (hoc [18]) dx xỏc :(M H 2.6 Gi s X khụng phc ca M, y(1) ; vi H -phớa A ,nh +khỏi nh lý 2.8 sau l s nh lý Kobayashi-Kwack c xõy l compact nh ngha s Xtớnh l khụng phc Gi Sp hp tt c cỏc (C)) cho ad1.8 > aX , btrỏi > brng ,gian ógian n, bcon n, ó, b(M Gnhỳng H (D ,)v p (C))tn ti vi Chng minh Sau õy cỏc kt qu chớnh trờn a D n mt phng n nhm vy gchng fM trờn DGi *X v ú gm =t f c nh lý 2.4, mi dóy ca cú -1phc Lun nghiờn cu nhỳng hyperbolic ca khụng gian Lun th y bng tớnh y (7)5 =>(3) (1) Nu T {vi nminh }cho l (p, dóy q) dxY (p, ) H vi (M p,q Ê0T A, X, X) v kộo fn theo Ơ t fXl b chyperbolic 2.1 A, Y )cho , Phng phỏp xand Kobayashi trờn khụng gian phc [1] Abate Vigue J P (1991), Common fixed points in hyperbolic Rừ rng (q) = Chỳng ta gi s rng hm u < v u o cú hm m B 2.2 Gi s l khụng gian phc ca khụng gian phc Y v l l PM (p,0 = sup ((Êu(p)Ê,Ê)1/2, ú (p,) e T M quanh p w l compact v w c u Nu khụng tn ti < r < Barth [2] ó chng minh, nu dim X < oo v dx l khongcỏch trờn P Trong chng ny gii thiu mt s nh ngha, khỏi nim v cỏc kt qu 2.1.2 Tiờu chun nhn bit tớnh nhỳng hyperbolic Trong chng ny, gi s X l khụng gian phc ca khụng gian phc Ngoi ra, Royden ó chng minh rng: cỏc on th v cỏ nhõn Tụi xin by t li cm n v kớnh trng ti tt c cỏc [12], [13], [15]) tc u ca c (D, y+) v (6) => (1) D*,a~ (:x ) 0, a (y ) -> 0, g {oớ~ {x )) hyperbolic giao A cho chun f (q) M compact tc = v nu 0, tớnh f (p') tng liờn tc i n, ca ca {p") mi khụng fn vi trờn gian mi M, phc n, chỳng ú u f T ta = ( cú (3), / th tn , gi f ti n thit ) lõn Vi cn 0J nfn (7) Nu {p } v {g } l cỏc dy X cho pn ằ p v nu khụng n n n n ni ni n n i fi (0) = Pi_ n n phc X ca khụng gian phc Y: thit di õy p l liờn tc u nu p l liờn tc u v vi mi X , {/ ( x ) :3x nh lý 1.3 Gi X, Y l cỏc khụng gian phc v f : X > Y l ỏnh Lý chn ti M = {{zuz2, ,zn) e cn : Z {0,1}} (3) Nu X l hyperbolic thèT : ( X , d ) (X, d x ) l ng c a + tớnh nhỳng hyperbolic ca mt khụng gian phc mt khụng gian 2ti giao chng minh ca nh lý 2.10 nh Ti lý liu 1.13 tham Gi kho s ( X, 7r, R) l khụng gian phón th vi th hyperbolic khụng gian phc Y Khi ú vi mi f G H (D*, X)thỏc trin f G c c [M, y ] vi mi a phc M v dvsor A trờn M vi quỏt t nh lý Picard ln ti x nh H ( D * , x ) ú X l khụng gian mi I , v n ^ , b ^ 6; vi mi n, g thỏc trin ti c xỏc nh hm u xỏc nh trờn X tha ^ u ^ 1, u (p) = 0, u thuc lp c lõn (4) =^(1) nh l lý rừ 1.10 rng Gi t s s tng Y l khụng ng gian ca (1) phc v (3) v l Cartier nh lý divisor ca (1) X l khụng nhỳng gian hyperbolic phc Y Nu {fn Y } l dy H ( D * , X ) v f f t h ỡ phc c n n n [12] Kobayashi S, Relative intrinsic distance and hyperbolic imbedding, hi t ti phn t ca c{u/cn ((0) DXl ,compact 1^+), chng vy ó thng li: (1) vdóy (7) tcon => hýa ỡÊh (8) /->/ Bi (1), tn ti lõn re) ca pV, cho cho X(^(Luo^1) R(X) Fx (p, v) = inf {r > : = p, df (0, = f G H (D, X)} Gi s X l khụng gian phc, X G v Ê Jk{X) gi metric Venturini Riemann surfaces and convex domains, Proc Amer Soc., (112), 503-512 Chỳ 2.3 Kt qu gn õy ca Abate [1] ó ch a phc l x rng iu hũa di chn o lp c trờn -0(0, 2r) cho p R(X) Gi s {z } v f } cỏc dy D* v H ( D*,x) tng n n f n (D *) c u , thỡ tn ti dóy ca {/ra}, m chỳng ta gi l { f n } , X ó thỡ d xỏc nh tụ pụ ca X S dng kin thc v phng phỏp nghiờn cu ca gii tớch Thu thp, bit C th, chỳng ta tỡm hiu v sau: Y.M Chỳng ta xem xột nhỳng hyperbolic ca Xtrong Y c c trng bi tớnh th v cỏ nhõn ó to iu kin giỳp tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn ngha 2.1 Khụng gian ca khụng gian phc Ynca gi l Gx Ycú khụng l liờn tc u ca ccho (D, F+), bi thun pnh v khụng dóy no (yn))} t ti Nh (2) khụng Êhyperbolic ln, A ta vi cú w th ca mi thy 6Q n v iu tn cho ti fX mõu iyv {u) thun ) bi V v M ng dng A kt ca cho qu Kwack U) 'c > Kiernan [10] ớVq ca v Mnh 1.1 Gi metric PM b chn phng Y trờn khụng gian tip cú dóy no ca { }{con hi n t n thỡ lim dx Vp (Pn,Qn) >tớnh -1 ni{g snhng 2Nu 8thỡ nca iny adóy )phc =(a Pn'}a iX , p, Vi =hi 1, 2, kbi a,$ (t)) Fchun l na liờn tc trờn trờn TM G Phm }Y+) l compact tng i n(1^) chỡnh Gi s Y' l khụng gian ca v X' =2.5, /vy Nu xX M Ahyperbolic D vi rtrong +c skhụng =gian m (xem [17]) phng v d = *f(D* d 4X l ô(i) hỡnh cho f & FXY tha / (0) = p, df (0, re) = V 2=1 ú chỳng ta ng dng cỏc tớnh cht c trng ca nhỳng hyperbolic i hc, Th vin, th K17 Toỏn Gii Tớch t ó giỳp tụi hon (hyperbolic y) Sau xut hin nh ngha ó cú mt s nghiờn cu v nhỳng Bõy gi lp lun tng t nh chng minh ca (2) (4) ca ca p cho u c V Cho < r < tha f (Dr) c u Tn ti dóy ca +) (b) Gi kộo s theo (2) l t ỳng nh vi lý s Riemann nguyờn c , nhng in ngoi khụng cỏc ỳng im vi k s d nguyờn v nh + lý n hyperbolic, nhỳng hyperbolic H thng li mt s kt qu ó bit v tớnh PHC 2.nh Mc ớch nghiờn cu Dóy di hyperbolic {l (crn)} tha t (crn) ằ (xem [15], p 41) gian phc vbiu A divisor vichớnh giao chun tc ny trờn a phc M, kh Chng minh New York nh lý Y 2.7 din kt qu phn khoa hc vi s trõn trng v bit n ỏnh x cú chnh / ) > hỡnh oo m mõu thun vi s tng ng ca (1) v (7) Nhng iu kin sau õy l ng vi {Noguchi f } l dóy hi t, nh vy f > / (1.1) nh lý 1.14 Gi s f : X nth Y ỏnh x chun tc gia cỏc khụng (a) F l liờn tc ca c nngha nt rng kt qu ca Royden sang khụng gian ta cú: , V** aw(a(ớ)) y nhỳng hyperbolic Ta d dng nhn thy t s tng ng nh 1.2 Khụng gian X c gi hyperbolic nu mi t dx(p, q) = inf i)^ theo tt c dõy chuyn chnh k{khong phc ti trng hp nhiu chiu gian phc Y Thm iu kin tng ng (6) ca nh lý 2.2 cú th s B 2.1 Gi s X l khụng gian phc ca khụng gian phc Y v ) , b { z ) ] , a z ) e c Cho E l hm di trờn Y v cho d l hm cỏch tng quỏt trờn tng quỏt v m rng cỏc nh lý ca Kobayashi, Kiernam, Kwack, u a = { e X : d x (P a , q ) < a } thin Chng lun minh ny hyperbolic ca khụng phc E ó s dng c trng ca nhỳng nh lý 2.2 s to mõu thun {fn}, cng c gi l {/n}, v ỏnh x g H (Dr, V) cho f > g, iu ny Montel Khi [3] ú ta cú th gi thit U3 = ( t s ) D X D cỏc dóy {uj = (ớ,sn)}, ỡgian m p nth ca mt khụng gian phc mt : khụng gian ban : u Nghiờn n cu bi + [14] Kobayashi S and Ochlai T (1971), Satake compactifications and the Chỳ ý 2.9 nh lý 2.13 v 2.l ch rng, chỳng ta cú thay th H V Nghiờn t ú, mi x e , ta cú d (n (xn), fn (zn)) ^ Ê ( ), iu ny c suy t f ! ( ) n ln/1 (Q) = n n x n Wu [21] a nh ngha: ú mi f H (M A, X) thỏc trin túi / c (M, Y ) (1) (2) Gi s K l compact ca Y vi (2) khụng ỳng Tn ti dóy {f } n +lýlằ2.7 ^ cu *iW)) af A r J^L, h {Chuyờn zkin ) ỳng = Functions nhỳng hyperbolic, nhng c trng bit tớnh nhỳng ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 46 01 02 [4] Conway J B (1978), of One Complex Variable, Springerlý (gi nh lý[5] Montel) vi H \ ,cn] Dnh ,:phc, X :lý D (:trỡnh D *l ,v Xnghiờn )nhn 60 nh Cỏc iu sau l tng ng vi mi khụng gian u n cui vi (p,Ê) G ConX bi: Kobayashi, Kwack, Noguchi Nhng cụng cu ú ó thỳc Trong mnh 1.1 ca [1], ó ch hyperbolic X ca siờu mt (8) ^ (7) Gi s (7) khụng ỳng v cho {p }, {gn} l cỏc dóy Trong trng hp X l khụng gian phc compact tng i ca khụng d x ( p , q ) \ d = g inf (z)| |sup/Fj(7(i), = sup d f ( z j k ) l { t f ) ) & d t H ( M G l A , X ) Y gian phc Nu Y l hyperbolic (hyperbolic y) v Y cú ph m { 14} n nh ngha 1.3 Gi s X l khụng gian TX khụng gian tip xỳc Eastwood ó chng minh c sau: (2) ca nh lý 2.2 nu p = [0, l,t2, G 7T c| ^ vi mi i dóy Cauchy i vi d u hi t X hỡnh ni pn[15]) v qnntrong th cú ,PnJ alun, (hỡnh z(nhiu )-> cx0chiu (1) im pngha G dng vi quỏ trỡnh ng chộo i n kt chỳng ta a chng (1) cho im pthun G X pR{X) l Khi im ú phyperbolic G (X) nu ca m X dx (kh Qn) >CJ0, vi mi dóy {pn} Mc dự tỏc gi ó ht sc c song nng kin thc cũn ch Y E (xem Nu /nghiờn R H (D,Y), vi chun ca df xỏc nh bi: nh lý 2.10 Khụng gian phc X ca khụng phc Yflý l Noguchi v Vitali a D v hp (b) (bi X) Nu = {/ {/n} (x) :Gi dóy fStheorem, ech F} l tng H (D *v ,i xkgng, )X v compact ftrng -> /trong ekin cuj D Y(z) *ca vi ,c )mi ,a thỡ Gng tn X.hn ti vi hyperbolic hng ỏnh chnh trờn v D = -[m (6)F ^nh (1) Chỳng ta vi mi pcu G X Y, mõu vi Idf (0)1 ằ oo Do ú (4) khụng ỳng (3) =>{ỹJn (2) Gi =Picard (ntrong s tl ,(2) khụng )cú }ra ỳng (D*) (3)(a) D* ỳng cho Khi ú tn ti dóy 'X -> {/} 6Q, dóy Hz nx n toỏn thỏc trin liờn tc ca ỏnh x chnh hỡnh n gian nn 1.5 great PM J Math (P) , Soc f (p) Japan, ^ PM, (23), {P, 340-350 nh lý 2.16 s X l khụng gian phc nhỳng hyperbolic ca (M A , X ) b i H ( M A , X ) iu nh 2.l B 2.1 f (n) > p Tụi xin chõn thnh cm n gia ỡnh, bn bố ng nghip ó viờn, FXY cho fkhụng > pkv Idf >X oo Do ú, khụng tn ti(p,lõn n (0)l n (0)1 eXu((t)) l Nu hyperbolic v {Ua} ph m ca X thỡ l hyperbolic hyperbolic ca gian mt khụng gian ban u v + tớch vi tụ pụ trờn M vi bt pc v Q tng ng l compact Chng minh Rừ rng pkhụng lmt metric Finsler trờn ConX Px {p, 0liờn F=>mi Ê), Verlag New York -1 X l gian phc ca khụng gian phc Y, v G Xvi Y =ca ctrong [qu D phc ca xhp khụng gian phc Y: x (p,0 Xnh ú Qp gM l tt c cỏc ng cong gii thc tc tng khỳc 1.1 Khụng gian hyperbolic, hyperbolic y Vi qhyperbolic ecompact V v > 0trong chỳng ta xỏc nh y hng nghiờn cu ny phỏt trin mnh m v hỡnh thnh nờn mt nhỳng Y nu c phc D ,tng Yca ;v H (khụng D *Mt , ó X )^ Riemann Y l nhỳng hyperbolic Y nhng kt cho ps ằ p, khụng cú dóy no {q hi t ti pqu v dx Y (;Vni gian phc Y nh lý 2.10 cú th chng minh t () ( U i ) nh ca Y chof (V^) hoc rng hoc l hyperbolic (hyperbolic y) ntp n.} H Ni, thỏng 8, nm 2015 Tỏc gi Zariski ca X, e = g-\z=o Ê T D cho If' (u) = V Nún Royden Kobayashi l compact thỡ p khụng l 2.8 im hyperbolic rl vi p (M) Xỏc nh dóy {/fc} Kobayashi [12] ó chng minh rng, nu X gian phc hu hn lý 2.13 Gi s X l l khụng gian phc nhỳng hyperbolc ca Chỳ ý nh ý cú th xem l dng quỏt ca kt vi k+l x minh c ca nh lý 2.3, R (X) v tht vy vi mi / Ê H ( D * , X ) gim v {qn} X cho Pn ) p v khụng cú dóy no ca {qn} nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi rt mong nhn c D thy hm dx ' X X X > R l mt gi khong cỏchv gi l gi Tt c khụng gian hm chng ny c gi thit l trang b tụ pụ nh lý 1.8 Gi s l : X Y l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng mi n bi h qu 2.3 v bi nh lý 2.4, nờn tn ti g Ê c ( D , y+) v dóy c : 1} mt phng phc vi trang b tụ pụ compact (5) (6) Gi s u tha (5) v cho c > cho: (D*,X) {/n} v {}, H {y (D*) } ,X^) D* sao cho x f (ựJ -> 0, ) y -ằ p v 0, fn lõn i n) cn p v compact khụng tn tng ti \ r J d t d t (2) Nu ml l nguyờn dng, 6Q G Drn, {oj }dóy v {lõn fkhụng } cn tng ng l nlý nntp nphc n ú v n ú gSsngian hps nhit khụng gian phc Y.cui Gi s l a Antrong l trờn Mthin vi Chng minh nh \df iz)\ 1.=Introduction E {z),df Fx (Z,U) = chia s, giỳp tỡnh v úng gúp nhiu ýcompact kin bỏu tụiD* hon Dquý u {\df (quan 0)1 : {fn} /M etrin H (tp D , v X) ,ng ( 0) 6chnh W }divisor q Z bit, nu mi p X, tn ti dng cho lõn cn ni p vi q chuyờn ngnh mi ca gii tớch Toỏn hc, ú l gii tớch phc chớnh c s dng Y x l hu hn vi mt hyperbolic x D X Ta Qn) C ( D , Y ) Cho w , ú w l lõn cn ca p , l lõn cn lý 2.2 [9] nh iu kin cn ca h qu sau thỡ X(M)) l hyperbolic tM y) Fx c xỏc nh: [5] Eastwood.A, (1975), "A propos des hyperboliques complốtes", +l Q hyperbolic \gúp đbi: (hyperbolic {/}, ,khụng t cui X cựng Rv (X), ta kca kCụ 1.1.1 Gi khong cỏch Kobayashi cỏc dóy (zcỏc D*)m H (( D *ớmt )lý ,s xV/ ()=(1) CO fn x 2gujn 8up{|d/(0) | : / e i , y } < giao tc Gi s N c cú tớnh cht nu f & (M, y ) v f =U gi } (1) ^ (2) Chng minh phn chng, gi ỳng v (2) ỳng Khi lun ny ca p T s tng ng (4) ca nh 2.2, (1) l khụng ỳng phc zn X > ca khụng v fn ( gian ) ằ phc p, Y: ú vi mi u m quanh p, tn ti n gi l (5 tight nu Hol (D,x) l ng liờn tc vi (5 Veriag NY gian phc X ca khụng gian phc Y l nhỳng hyperbolic Y nh ngha sau õy c a bi Royden (xem [16]) Kobayashi F ó c nghiờn cu [14], [15], [17] nh sau: mi f e H ( D * , x ) H ( D * , C) thỏc trin X l b chn \ r ) d t d t (1.2) U3 elõn Mca v (cn) ằ p,khi thỡ es -Rpo hoc p =trong ooca v p { lnhng gii hn xỏc nh vi cn w ca p gn iu ny ging nh chng minh (5) =qu > (6) hyperblic l trng bi tớnh compact i cỏc khỏc Trong nhng nm õy, thuyt ny ó tỡm thy mi liờn h 2.2.2 Thỏc trin liờn tc ca chnh hỡnh qua divisor tng quỏt mnh ny compact p+/c tha (8), v qpỏnh x vi ntng hu hn Cho l dóy ca nlý n} (3) Phỏt biu thu c thay th H (M A, X) bi H (M A, nh lý{v 1.15 Gi s X l khụng gian phc Gi s cú hm a hũa C R Acad Sei Paris A., (280), 1071 -sao 1075 u l compact _1sộrie 1X) +iu !L _^2_ H qu 2.7 Khụng gian phc compact tng i X ca khụng gian LUN VN THC S TON HC Ngi hng ConX = G TX; Ê Hol (Dr,x), 3u G TDr cho ip' (u) = V} = cho vi mi 7T ( U i ) l hyperbolic (hyperbolic y) thỡ X l phc A vo khụng gian phc B v FXY l / H (D, Y) cho f~ (Y X) nh lý 2.5 Nu X l khụng gian phc nhỳng hyperbolic ca cú fnktn v f ( ti, c f ' n ( ) ) -ằ Y p vi ú mi fn ( n ) -fr p Do ú (3)(b) khụng ỳng u {p,) = {q e X : dx {p, q) < } (2) c [M, Y ; H (M A, X)] l compact tng i c (M, Y ) vụi (ớn) > p, ú vi mi lõn cn ca p Y, tn ti lõn n nk k Chng minh Chng minh trờn N, thỡ fcỏch =n g Nu {(^), f nkin l d v dóy y8,/tha H (M A, X) v 1.3.2 Gi metric Sibony trờn khụng gian tip xỳc ú, tn ti cn ta a phng compact tng i w, u,v|/nI dóy Nhim v cu (2) ^ (3) Gi s cỏc m, compact 0nht < rch 0l G Fxy tha /(0) q, gian dca (^ 0,tng np r> ev )= Gi s D a v phng phc qNi, v hai iu sau mi M v nh ngha a phc l hyperbolic ti im p X nu tn lõn cn Gi s M, N hai a phc 1.3 Tiờu chun hyperbolic, hyperbolic y khụng phc c , nh lý trờn cỏc im k d b c [3] s tng ng ca (1) v (3) nh lý 2.6 ca nh lý 2.2, ú tn ti lõn cn w ca p c > cho F c E trờn G Y Chỳng ta chỳ ý (1) X l nhỳng hyperbolic Y x fk (z) = [ 1, [16] Noguchi J (1985), Hyperblic fiber spaces and Mordells conjecture ii)Trong Khụng gian phc Xnhng c gi l nu nú l ụsao - tight mt bt ng vphn sõu sc vi lnh vc khỏc ca Toỏn hc, c bit lqu khụng o X vi n,trỡnh n ni vi pa qn2.7 v cho Êvi (n)0 (Ê (n) n v (2) di b2.4 chn ucho Xmi utight l iu hũa di chn mt k + 1by ny, chỳng ta nh lý a nhng kt cho m H qu Gi s X l khụng gian phc ca khụng phc Y.c 2z kdivisor 5cho 2z YX 2z k+ phc Ydng l nhỳng hyperboc v ch tn ti ggian ca S nh lýtrờn Lelong trờn o (xem Lang [15], p, 56), Noguchi ch l rng hoc l n trng hp l khụng gian phc ca Y hyperbolic Grautert (hyperbolic H and Reckziegel y) H (1965), Hermitesche Metriken und (2) [6] (4) Gi s (4) khụng ỳng Khi ú tn ti cỏc dóy {x khụng gian phc Y Khi ú H ( D * , ) l tng i compact +R +x mi a phc M v A trờn M vi giao chun tc cn w ca UJ0 Dm cho fn ( w n ( D*) ) c u nn}, c kcn + Gi s p G (X) v cho V, w, l lõn compact tng i p v ra: {zn}, {V}, {z "} D*, {f } H (D*,x) cho w u , u n X c R (X ), T C [ D , Y ; H { D * , X ) ] c c D , Y ] H { D * , X ) , iu kin rừ rng n)n, n vi Vi mi xỏc nh g Ê H { D * ) , cho bi g (t) = f (t, s ) Khi ú t> i ca Y cho U c U mi k v U Uk = Y Vi mi k , tn ti Cfc > n n n n e C ( M A , Y , t h ỡ l ^ l =l + Gi s u l hm s lp c trờn m ca c v w = (Wi,W ) ta cú n divisor A trờn M vi giao chun tc: Khi ú fv -> pxỏc f(t0) (l/4fc) ->pụ [0,1, 26 ,2co ].=0)vi u ca pdx mt hng sl cca >ú 0xỏc cho Fx (, ớ7) ^hyperbolic c[B mi qD* G usao v 77 en k (l/2fc) kH ndóy 277II l hyperbolic thỡ X hyperbolic Rừ rng lõn cn ca x \ u v (o, hm log Ip a iu Vi CQ viằ, nh h = p Rừ rng,/i (c) / (c) vi U3 M (3) Nu {fn} dóy (D*,X) v { z } l cho Wnl H thng li mt s kt qu ó bit v tớnh Nghiờn cu nhỳng nX over functipon fields, Publ Research Institute Math Sciences Kyoto 1.2 Biu din tớch phõn gi khong cỏch Kobayashi F gian + thỏc l trin hm ỏnh liờn x tc chnh v hỡnh nh tụ gii ca tớch phc c s dng tớnh dy)H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Chỳng ta kt thỳc phn ny vi vớ d s dng nh lý 2.4 ch +D dn khoa hc: TS Lấ TI THU lõn cn ca p e X thỡ X l hyperbolic ti p Nguyn Th Thựy Dung C [ D , Y : H ( D * , X ) ] = H [ , Y : H ( D * , x ) ] D = { z c : \ z \ < 1} EM (V, ớ) = sup {If (p) f I : / e Hol (M, D) ,i e TM} M (p,{) = inf khụng gian nhiu chiu cú s so sỏnh D trờn ng dng ca nh lý 2.4 + Khi ú hoc X l nhỳng hyperbolic YI-xtrong XZ RH (-> x( )D l khụng (2) GXY l tng i csau (nú D,Y ) 1.3.1 s chun hyperbolic, hyerbolic y khụng gian phc Nu X l khụng gian phc hyperbolic tng i ca Chỳ 1.1 X{Xu( l thỡ l dx tight Chng Kobayashi DMt ,ý)Y; H {tiờu D ó *cE ,{/n} X a )compact sntrong nh cX, h ngha \ ydU nhỳng gcW (0) sup [13] nhoc ,d-ằ hoc[14]) fV compact (0) f89 } normale Familien holomorpher Abbildungen, Math 108-125 {yn}trong D* v F v cho xI(xem -ằ 0,Pn 0, (xn) khụng D*,Y ).minh Xo n = k\ ,z X\ ) cú Aớl g(0) d2u )]ol +, * 0(3) cho Fx ^ trờn [/ X)] hm u, & qf:nvi etce0ti Ychun u w 2tn nv f((3) (z pNu ,Gi fhon (tp z 'ahyperbolic )thit & Y -v U mi np, c suy t nh lý 2.4(3) nnsao nCkE nchnh nh lý 1.9 s X khụng gian hyperbolic y f(M, l hm t, gTa (t Ơ p; bi gi quy np, ti lõn cn N ca D cho 0Tq cho Fta Ych ^ trờn Uk r\ed(p,/' X Tn ti thc dng liờn tc trờn Y a :ú aký >9E 0,/ Hol (M,D),f(0) =l (0) =ỡcW Ê/a} Do ^ ^ \e ^ ^ ^ ^||Ê|| Vỡ vy Px(q, ^ ~exp Nu M l a phc, A l divisor trờn M vúi giao tc, U}0 H H nn [M, n)-> Y; H (M A, compact tng i Y ) vúi X c hiu (Lu (p) w,w)= Y! g [r i' ^j l dng Levi ca u p Chỳng s thnh phn ny vi h qu (u) (, v) = E (/ (0), df (0, re)) = rE (/ (0), df (0, e)) ^ Ta úng vi mt vi chỳ ý, ba tớnh c trng ca tớnh nhỳng hyperbolic, + hũa di trờn X Xỏc nh trờn 5(0, 2r) hm A Chỳng ta h l liờn tc Nu h (ựJg) = p Y, v u l m quanh p, cho Cui cựng, cho w ltng lõn cn hyperbolic ca pnhỳng vi bao úng zn > 0X fn (zn) > p, ú hai iu kin sau l hyperbolic, mt s du hiu nhn bit tớnh hyperbolic ca mt 2dx nh lý 1.5 Gi s X l khụng gian Nu tn ti dng s University ,Av (21), No.l, 27-46 ( )Chng H (M ,> xó )chc l i compact cb (M A ,s Y(Vn )compact d Nh chỳng ta bit, gi thuyt ca s.phc núi rng mt a i x Cui cựng, chỳng ta cú th chn y Ê v thu c Y J Vn) ^ t + Nu / : Y l ỏnh x chnh hỡnh gia hai khụng gian phc nlý nC[dV khụng gian phc chn l nhỳng hyperbolic p (C) Vớ 2.4 Lang Gi metric vi phõn Royden Kobayashi F l hm trờn TX c xỏc nh x minh ca tt c tr ba nh cui cựng b qua t l > f m c khụng gian phc Ys (yn)} Nu { s fca l dóy H (D * W) , xbỏo )gian v f~a n i,j=1 jW) n }dng (2) =>Chng (3) minh nhiờn nh ngha 2.2 Gi X l khụng gian phc ca Y Gi dóy no ca {/ hi t ti p, v khụng cú nkhụng tha - X) = 1.2.1 Biu din tớch gi khong cỏch Kobayashi trờn Mt nhng ýchỳng chớnh nhiu ln bi ny l h qu +Hin +> Chỳng ta cú dx (Vn, qX )phõn > dminh {X dv, X ^trong cd 0.phc Ngc li, Trong phn ny, chỳng gii thiu mt s tiờu chun nhn bit tớnh Chng minh nta xra E(dV, \zn'\ 0, Ichn zn"\ h 0M, v \zn'\) , s tng ng ca (1) v (3) nh lý 2.6, nờn tn ti lõn cn w ca iu kin c suy t nh lý [13] Id f (0) o o T (6), X'={pX:f(p)ji tn ti < < 0} v = X dóy ca { f n }, m chỳng trin liờn tc ỏnh x hỡnh n (6) => (7) Gi s {p c } v {n} l cỏc dóy X cho Pn > p (4) H ( M, X) l compact tng i c ( M, y ) vi mi a phc hyperbolic y Ê>,y ;#(Ê>*,*) = Cephc [l D hyperbolic ,quỏt + \Y) H X ) hyperbolic ]vca Chỳ ýConference 2.7 nh lý 2.11(a) l s tng v m kt qu ca n v () F X Ymi l tng i compact cYtng (D , Y( D ) * nu è rng im hu tiu ch a ng l Hn na, khụng ỳng; ny mõu thun v nh lý 1.11 Khụng gian phc X ch nu nú khụng l biu din ta thun nht ca p (C) (a) Vi fn thỏc trin n fn H (D, gian tip xỳc ca M ti p on Several Complex Variables Springer Lecture Notes, Vol 185, nh lý 2.9 c chng minh trờn kt qu ny v vic chng minh nhỳng fdkhụng, eCho C y+) tn ti vi ncn cú dóy Itrong ca {/n} Jsao nH PD (dóy V, =v EB (p, 0}D* =zphng Fo (P,sau: ớ)ca xnFx{z,v) Y qR ),X (a ),{* pl q)q ớ) cỏc X ta ú cn di ỳng ly trờn c(p (pe,M Ainfa^ ,zf1^+) (xem ta nh d xTn li khỏi ,,mi qti nim eChỳng RFx (X) dóy {z ,con '}/n* D* v (0)1 > lõn Y,cho coi nh Royden -[8]) Kobayashi trờn khụng gian tip xỳc TX nh thỡ tn ti nu D* v {zn} v {fn} ({/} DG *tt Xc ) |z| n a nfn = T qhyperbolic (n) bi b 2.2, ú =0u {z D :ca =pk n Ly hDung =nu log Chn Aplõn > nH cho vnhỳng cho goo (fDo t ')}ú, qca > ca p,X tn lõn cn w UJ cho (W ) c n(X), nti tight Y nu FXY ^ cE trờn X vi c > (xem im p e c gi l im hyperbolic ca X tn ti cn u Nguyn Th Thựy [8] Kelley J L (1955), General Topology, Van Nostrand Priceton NJ 6Q M cho / (W ) c V iu ú kộo theo h ( w ) c V c u Nu cng gi l { n , cho f (D r) c w iu ny l khụng th vỡ \ df (0)1 -> 2c5.2 n khụng cú dóy no ca {gn} hi t ti M.nhiu Kieman (xem nh lýpBerlin ca IIp [15]) Gi )hung > liu l l I biu Inkin , chng V p ebi v, ớp 6(trong C n{f n}p=l Tvo v 2i, tỡnh gii tớch phc hypebolic, iu quan trng khụng plý Ta cn chng minh cn Gi so{fn} dóy Hna (im D * ,ph x) Xỏc nh p :thuyt M > (C) c cho Z ,v ZV2n )sao [1, 22] l hyperbolic + ln +y nh ngha 1.7 s $ca lõn cn ca lõn cn ca gc Springer-Verlag, s dng lý o -> õy X l nhỳng hyperbolic Yt v s nh 2.4(3) Nguyn Th Thựy Dung nh lý 1.6 Gi s X l khụng gian phc l : X > X l ỏnh x (b) Tn ti < r < v dóy {fnk} ca cho (5) H \ D , Y , H ( D * , x ) ] l i compact c (D, 1^ ) +oo, V ConX g e c (M, Y ) + tng + dng (nh D * , x ) cho z -> 0, z ' -> 0, f (z ) -> p, f (z ') * VNu w l m ca p khụng gian úng ca hỡnh bn cho z z , f n { z ) p e Y f ( z ) q e Y , q n, n , tng ni ntrng no p ncho ncu Cho V l lõn cn compact ca q V c u v p V Tn ti cỏc nh lý 2.15 sau õy a c ca tớnh nhỳng hyperbolic, nú n n n lý 2.11 Gi s X l khụng gian phc nhỳng hyperbolic ca F ( x , V ) = inf I 3/ G H o l ( D r, M ) s a c h o /(0) = X , f ' ( e o) = V h Vi mi n, xỏc nh h G H * , x ) cho bi h ( s ) = f (t ',s) Khi ú x nw,w^ nn n n (lM|2) ^cho IIwII2vi mi z (D*\D giao Bng (0,1) v wtc e(1) CU3 (3) vy fn > f trờn N v ú f ằ / trờn N iu ny kộo theo [12]Nh ) Tht vy, quan im ca ch d v ú kv n Kobayashi Y v mt hng s c > Fx ^ cE trờn u X h(w ) = oo u l lõn cn ca h (co), thỡ bi s tng ca v CX3 () Nu M l a phc, A l divisor trờn M vi chun H NI, 2015 Urata [19] s dng b Brody chng minh c nh lý sau: nta chng ch l tớnh hyperbolic mt khụng gian vic xem Chỳng Hcỏc [ca Dkhụng ,Khi p v (C); H D , tha tTh p l(M))] l tng i Chỳ ýcho lý 2.11(b) 2.13 quỏt ca nh lý Noguchi Chng 0nh EXột C2.8 cho $t (p) = ú: /,minh nh õy dóy {/n} H (D *(l , x*tng )m f compact n > f Khi ú /C chnh hỡnh gia gian phc thỡ Nu p c Y l compact v Q c Y l úng v ngha 1.4 nh lý 2.9 Gi s X l khụng gian phc nhỳng hyperbolic ca cho w l fnX (z' )/trong G YH w + \z x)compact (i n ( v zv ) , Gi fphc ncho (2)) ^ G *ra (z n, zacn )n