BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN ANH SƠN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO HỖN HỢP VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN ANH SƠN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO HỖN HỢP VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người tận tình hướng dẫn để hoàn thành đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực đề tài nghiên cứu Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Học viên Phan Anh Sơn LỜI CAM ĐOAN Luận văn Thạc sĩ Toán học "Bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp số vấn đề liên quan " hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ tận tình GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Học viên Phan Anh Sơn Mục lục Bảng kí hiệu viết tắt Mở đầu Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị 1.1 10 Nón ánh xạ đa trị 11 1.1.1 Nón 11 1.1.2 Ánh xạ đa trị 15 1.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 16 1.3 Tính lồi ánh xạ đa trị 20 1.4 Một số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị 24 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp 27 2.1 Đặt toán 29 2.2 Sự tồn nghiệm 33 2.2.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp - 2.2.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp - 2.2.3 2.3 40 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto - 2.2.4 33 41 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp - 43 Một số vấn đề liên quan 45 2.3.1 Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto 45 2.3.2 Bài toán tựa cân Pareto hỗn hợp 49 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 BẢNG KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT Trong luận văn ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định đây: N∗ : tập hợp số tự nhiên khác không Q : tập hợp số hữu tỷ R : tập hợp số thực R+ : tập hợp số thực không âm R− : tập hợp số thực không dương Rn : không gian vector Euclid n - chiều Rn+ : tập hợp vector có thành phần không âm không gian Rn Rn− : tập hợp vector có thành phần không dương không gian Rn X ∗ : không gian đối ngẫu tôpô không gian tôpô tuyến tính X 2X : tập tập tập hợp X ξ, x : giá trị ξ ∈ X ∗ x ∈ X i = 1, n i = 1, 2, , n {xα } : dãy suy rộng xn → x : xn hội tụ yếu tới x ∅ : tập rỗng F : X → 2Y : ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y domF : miền định nghĩa ánh xạ F GrF : đồ thị ánh xạ đa trị F C : nón đối ngẫu nón C C + : nón đối ngẫu chặt nón C C − : nón đối ngẫu yếu nón C A ⊆ B : A tập B A B : A không tập B A ∪ B : hợp hai tập hợp A B A ∩ B : giao hai tập hợp A B A\B : hiệu hai tập hợp A B A + B : tổng đại số hai tập hợp A B A × B : tích Descartes hai tập hợp A B coA : bao lồi tập A coneA : bao nón lồi tập hợp A clA : bao đóng tôpô tập hợp A intA : phần tôpô tập hợp A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Năm 1972 Ky Fan năm 1978 Brouwer - Minty phát biểu toán bất đẳng thức biến phân cách tổng quát chứng minh tồn nghiệm với giả thiết khác Kết Ky Fan nặng tính nửa liên tục trên, kết Brouwer - Minty nặng tính đơn điệu hàm số Cho D ⊂ Rn , T : D → Rn Tìm x cho T (x), x − x ≥ 0, ∀x ∈ D Bài toán mở rộng cho không gian vô hạn chiều ánh xạ đa trị Đầu tiên người ta nghiên cứu vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian vô hạn chiều sang không gian đối ngẫu thứ tự sinh nón Khái niệm ánh xạ đa trị xây dựng phát triển nhu cầu phát triển toán học lĩnh vực khác Từ người ta tìm cách chứng minh kết thu từ đơn trị sang đa trị Bài toán bất đẳng thức biến phân nhiều nhà toán học nghiên cứu năm gần gọi chúng toán bao hàm thức biến phân Ví dụ, ta xét toán sau: Cho X, Y, Z không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng, C ⊆ Y nón lồi đóng nhọn Cho ánh xạ: S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , P1 , P2 : D → 2D , Q : K × D → 2K , F : K × D × D → 2Y 1, Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K a) x ∈ S(x, y); b) y ∈ T (x, y); c) F (y, x, x) ⊆ F (y, x, x) + C, tương ứng, (F (y, x, x) ∩ F (y, x, x) + C = ∅), ∀x ∈ S(x, y) gọi toán bao hàm thức tưa biến phân lý tưởng (tương ứng, dưới) loại 2, Bài toán: Tìm x ∈ D cho a) x ∈ P1 (x); b) F (y, x, x) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), (tương ứng, (F (y, x, x) ∩ F (y, x, x) + C(y, x) = ∅)), với x ∈ P2 (x), y ∈ Q(x, x) gọi toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng (tương ứng, dưới) loại Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng (dưới) hỗn hợp toán bao gồm toán 3, Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K cho: a) x ∈ S(x, y); b) y ∈ T (x, y); c) F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x−C\{0}), (F (y, x, x)∩F (y, x, x)−C\{0} = ∅), ∀x ∈ S(x, y) gọi toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto (dưới) loại Tương tự, ta có toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại toán bao hàm thức tựa biến phân Khi tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, y, x) (F1 (y, v, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y)); F2 (y, x, x) (F2 (y, x, t) − (C1 \{0}), với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t)) Ta định nghĩa ánh xạ H4 : D × K → 2K , M4 : D → 2D : H4 (x, y) = {y ∈ T (x, y) : z∈F1 (y,y ,x) ξ1 , z ≤ z∈F1 (y,v,x) ξ1 , z , ∀v ∈ T (x, y)} M4 (x, y) = t ∈ P (x)| max z∈F2 (y,x,x) ξ2 , z > max z∈F2 (y,x,t) ξ2 , z , ∀y ∈ Q(x, t) Chứng minh định lý hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.2.1 với H1 , M1 thay H4 , M4 Chú ý Giả sử giả thiết Định lý 2.2.1 - 2.2.4 thỏa mãn trừ i) iii) (tương ứng) thay bởi: i’) S ánh xạ nửa liên tục với giá trị không rỗng, lồi; iii’) P ánh xạ nửa liên tục P (x) ⊆ S(x, y), với x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) tập A = {(x, y) ∈ D × K|(x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y)} đóng Khi đó, kết luận định lý Chứng minh Cho U sở lân cận lồi đóng gốc không gian X U ∈U U = {0} Với U ∈ U, ta định nghĩa ánh xạ đa trị SU : D × K → 2D , PU : D → 2D , SU (x, y) = (S(x, y) + U ) ∩ D, PU (x) = (P (x) + U ) ∩ U, x ∈ D, y ∈ K 44 Ta thấy SU−1 (t) tập mở D × K, PU−1 (t) tập mở D với t ∈ D tập A = {(x, y)|x ∈ SU (x, y), y ∈ T (x, y)} đóng Vì vậy, tất điều kiện Định lý 2.2.1 - 2.2.4 ánh xạ SU , PU , T, Q F1 , F2 thỏa mãn, tức tồn (xU , y U ) ∈ D × K cho xU ∈ SU (xU , y U ); y U ∈ T (xU , y U ); F1 (y U , v, xU ) F2 (y, xU , t) F1 (y U , y U , xU ) − (C1 \{0}), ∀v ∈ T (xU , y U ); F2 (y, xU , xU ) − (C1 \{0}), ∀v ∈ T (xU , y U ); Do D, K compact, không giảm tính tổng quát, ta giả sử xU hội tụ tới x y U hội tụ tới y U thắt dần Từ tính đóng tập A ta suy điều cần chứng minh 2.3 Một số vấn đề liên quan 2.3.1 Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto Tiếp theo, cho ánh xạ đa trị S, T Fi , i = 1, với giá trị không rỗng phần mở đầu, ta xét toán hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto sau: Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto - loại Tìm (x, y) ∈ D × K thỏa mãn: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) F1 (y, y, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t) F2 (y, x, x) − (C2 \{0}), với t ∈ S(x, y) 45 Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto - loại Tìm (x, y) ∈ D × K thỏa mãn: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) F1 (y, y, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, x) F2 (y, x, t) − (C2 \{0}), với t ∈ S(x, y) Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto - loại Tìm (x, y) ∈ D × K thỏa mãn: x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, y, x) F1 (y, y, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, x) F2 (y, x, t) − (C2 \{0}), với t ∈ S(x, y) Dưới ta số điều kiện để tồn nghiệm cho hệ loại Định lý 2.3.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập lồi, compact, không rỗng; ii) Các ánh xạ S T liên tục với giá trị lồi đóng, không rỗng; iii) Ánh xạ Fi −(Ci ) - liên tục Ci - liên tục với giá trị compact không rỗng, i = 1, 2; iv) Với (x, y) ∈ D × K, ánh xạ F1 (y, , x) : K → 2Y1 C1 - lồi (hoặc C1 - giống tựa lồi dưới), ánh xạ F2 (y, x, ) : D → 2Y2 C2 - lồi (hoăc, C2 - giống tựa lồi dưới) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) F1 (y, y, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t) F2 (y, x, x) − (C2 \{0}), với t ∈ S(x, y) 46 Chứng minh Cho ξi ∈ Ci+ , i = 1, > tùy ý Từ ξi , i = 1, 2, liên tục, tồn lân cận V gốc Y cho ξi (V ) ⊆ − , Ta định nghĩa ánh xạ Hi : D × K → 2K , i = 1, sau H1 (x, y) = {y ∈ T (x, y) : H2 (x, y) = {x ∈ S(x, y) : max z∈F1 (y,y ,x) max z∈F2 (y,x,x ) ξ1 , z } ≤ ξ1 , z } ≤ max z∈F1 (y,v,x) max z∈F1 (y,t,x) ξ1 , z }, ∀v ∈ T (x, y) ξ1 , z }, ∀t ∈ S(x, y) Bằng lập luận tương tự Định lý 2.2.1, ta Hi , i = 1, ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị compact lồi không rỗng Xét ánh xạ G : D × K → 2D×K , G(x, y) = H2 (x, y) × H1 (x, y) ∈ D × K Khi dó, G ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, compact, không rỗng Áp dụng Định lý điểm bất động Ky Fan, tồn (x, y) ∈ D × K cho (x, y) ∈ G(x, y) Từ suy x ∈ H2 (x, y) y ∈ H2 (x, y) x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) F1 (y, y, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t) F2 (y, x, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); Định lý 2.3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập lồi, compact, không rỗng; ii) Các ánh xạ S T liên tục với giá trị lồi đóng, không rỗng; iii) Ánh xạ F1 −(C1 ) - liên tục C1 - liên tục với giá trị không rỗng, compact yếu; Ánh xạ F2 −(C2 ) - liên tục C2 - liên tục với giá trị không rỗng, compact yếu 47 iv) Với (x, y) ∈ D × K, ánh xạ F1 (y, , x) : K → 2Y1 C1 - lồi (hoặc C1 - giống tựa lồi dưới), ánh xạ F2 (y, x, ) : D → 2Y2 C2 - lồi (hoăc, C2 - giống tựa lồi trên) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) F1 (y, y, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t) F2 (y, x, x) − (C2 \{0}), với t ∈ S(x, y) Chứng minh Lập luận tương tự Định lý 2.3.1, với H1 (x, y) = {y ∈ T (x, y) : H2 (x, y) = {x ∈ S(x, y) : max z∈F1 (y,y ,x) max z∈F2 (y,x,x ) ξ1 , z } ≤ ξ1 , z } ≤ max z∈F1 (y,v,x) max z∈F1 (y,x,t) ξ1 , z }, ∀v ∈ T (x, y) ξ1 , z }, ∀t ∈ S(x, y) Ta có điều phải chứng minh Định lý 2.3.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập lồi, compact, không rỗng; ii) Các ánh xạ S T liên tục với giá trị lồi đóng, không rỗng; iii) Ánh xạ Fi −(Ci ) - liên tục Ci - liên tục với giá trị compact không rỗng, compact yếu, i = 1, 2; iv) Với (x, y) ∈ D × K, ánh xạ F1 (y, , x) : K → 2Y1 C1 - lồi (hoặc C1 - giống tựa lồi trên), ánh xạ F2 (y, x, ) : D → 2Y2 C2 - lồi (hoặc, C2 - giống tựa lồi trên) Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, y, x) F1 (y, v, x) − (C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, x) F2 (y, x, t) − (C2 \{0}), với t ∈ S(x, y) 48 Chứng minh Lập luận tương tự Định lý 2.3.1, với H1 (x, y) = {y ∈ T (x, y) : H2 (x, y) = {x ∈ S(x, y) : z∈F1 (y,y ,x) z∈F2 (y,x,x ) ξ1 , z } ≤ ξ1 , z } ≤ z∈F1 (y,v,x) z∈F1 (y,x,t) ξ1 , z }, ∀v ∈ T (x, y) ξ1 , z }, ∀t ∈ S(x, y) Ta có điều phải chứng minh 2.3.2 Bài toán tựa cân Pareto hỗn hợp Trong Định lý 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, bổ sung thêm điều kiện F1 (y, y, x) ⊆ C1 F2 (y, x, x) ⊆ C2 với (x, y) ∈ D × K, ta có kết cho toán tựa cân Pareto hỗn hợp Ví dụ, ta xét hệ sau: Bài toán tựa cân Pareto hỗn hợp - Định lý 2.3.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập không rỗng lồi compact; ii) S ánh xạ có giá trị lồi không rỗng có nghịch ảnh mở; T ánh xạ đa trị liên tục với giá trị không rỗng lồi đóng tập A = {(x, y) ∈ D × K|(x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y)} đóng; iii) P có nghịch ảnh mở P (x) ⊆ S(x, y) với (x, y) ∈ A Với t ∈ D, Q(., t) : D → 2K ánh xạ nửa liên tục với giá trị compact; iv) Ánh xạ F1 , F2 có giá trị không rỗng compact yếu; Ánh xạ F1 C1 - liên tục −C1 - liên tục trên; Với t ∈ D, ánh xạ F2 (., , t) 49 −C2 - liên tục với y ∈ K, ánh xạ đa trị N2 : K × D → 2Y2 xác định N2 (y, x) = F2 (y, x, x) C2 - liên tục dưới; v) Với (x, y) ∈ D × K, ánh xạ F1 (y, , x) : K → 2Y1 C1 - lồi (hoặc, C1 - giống tựa lồi dưới) y ∈ K, ánh xạ F2 (y, , ) : D × D → 2Y2 C2 - lồi theo đường chéo biến thứ hai (hoặc, C2 - giống tựa lồi theo đường chéo biến thứ hai) vi) Với (x, y) ∈ D × K, ánh xạ F1 (y, , x) ⊆ C1 F2 (y, x, x) ⊆ C2 Khi tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) −(C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t) −(C2 \{0}), với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) Chứng minh Theo Định lý 2.3.1, tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) (F1 (y, y, x) − (C1 \{0})), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t) F2 (y, x, x) − (C2 \{0}), với t ∈ S(x, y), y ∈ Q(x, t) Giả sử tồn v ∗ ∈ T (x, y) thỏa mãn F1 (y, v ∗ , x) ⊆ −(C1 \{0}) Từ suy F1 (y, v, x) ⊆ F1 (y, y, x) − (F1 (y, y, x) − (C1 \{0}) ⊆ F1 (y, y, x) − C1 − (C1 \{0}) ⊆ F1 (y, y, x) − (C1 \{0}); ta có mâu thuẫn Vì vậy, F1 (y, v, x) −(C1 \{0}), với v ∈ T (x, y) Tương tự, ta có F2 (y, x, t) (C2 \{0}) = ∅, với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 50 Bài toán tựa cân Pareto hỗn hợp - Định lý 2.3.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) D, K tập không rỗng lồi compact; ii) S ánh xạ có giá trị lồi không rỗng có nghịch ảnh mở; T ánh xạ đa trị liên tục với giá trị không rỗng lồi đóng tập A = {(x, y) ∈ D × K|(x, y) ∈ S(x, y) × T (x, y)} đóng; iii) P có nghịch ảnh mở P (x) ⊆ S(x, y) với (x, y) ∈ A Với t ∈ D, Q(., t) : D → 2K ánh xạ nửa liên tục với giá trị compact; iv) Ánh xạ F1 , F2 có giá trị không rỗng compact yếu; Ánh xạ F1 C1 - liên tục −C1 - liên tục trên; Với t ∈ D, ánh xạ F2 (., , t) −C2 - liên tục với y ∈ K, ánh xạ đa trị N2 : K × D → 2Y2 xác định N2 (y, x) = F2 (y, x, x) C2 - liên tục dưới; v) Với (x, y) ∈ D × K, ánh xạ F1 (y, , x) : K → 2Y1 C1 - lồi (hoặc, C1 - giống tựa lồi dưới) y ∈ K, ánh xạ F2 (y, , ) : D × D → 2Y2 C2 - lồi theo đường chéo biến thứ hai (hoặc, C2 - giống tựa lồi theo đường chéo biến thứ hai) vi) Với (x, y) ∈ D × K, ánh xạ F1 (y, , x) ⊆ C1 F2 (y, x, x) ⊆ C2 Khi đó, tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); F1 (y, v, x) −(C1 \{0}), với v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t) −(C2 \{0}), với t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t)) 51 Lập luận tương tự, ta có kết luận cho toán tựa cân Pareto hỗn hợp lại Trong ví dụ sau, cho D, K tập không rỗng không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, Z Cho C nón lồi, đóng, nhọn không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Y Ví dụ 2.3.1 Cho N : D × K → X ∗ , M : D × K → Z ∗ ánh xạ liên tục Các ánh xạ f1 : D × D → Y, f2 : K × D × D → Y, g : D × D → R, h : K × D × D → R Ta định nghĩa ánh xạ S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , P1 : D → 2D , i = 1, 2, Q : D × D → 2K sau: S(x, y) = {z ∈ D| N (x, y), t − z ≥ 0, ∀t ∈ D}; T (x, y) = {v ∈ K| M (x, y), w − v ≥ 0, ∀w ∈ K}; P1 (x) = {t ∈ D|g(x, y) > 0}, P2 (x) = {t ∈ D|g(x, t) ≤ 0}; Q(x, t) = {y ∈ K|h(x, y, t) ≤ 0} Xét toán: Tìm (x, y) ∈ D × K cho x ∈ S(x, y); y ∈ T (x, y); / f1 (x, y) − (C\ {0}), với y ∈ T (x, y); f1 (x, y) ∈ f2 (y, x, t) ∈ / f2 (y, x, x) − (C\ {0}), với t ∈ P2 (x), y ∈ Q(x, t) Bài toán trường hợp đặc biệt bốn toán hỗn hợp Khi x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) ta thấy x nghiệm bất đẳng thức biên phân N (x, y), t − x ≤ với t ∈ D y nghiệm bất đẳng thức biến phân M (x, y), w − y ≤ với w ∈ K 52 Vì vậy, toán coi toán tối ưu Pareto tập nghiệm bất đẳng thức biến phân Định lý tồn nghiệm toán suy từ ánh xạ thỏa mãn tính chất bốn Định lý 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 Ví dụ 2.3.2 Cho R, Q : D × K → X ∗ , S : D × K → 2D Bài toán: Tìm x ∈ S(x, y) cho R(x, y), v − x ≥ với v ∈ S(x, y) với S(x, y) = {u ∈ D| Q(x, y), v − u ≥ 0, với v ∈ D}, gọi toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Bài toán nghiên cứu ([3], [14]), trường hợp đặc biệt toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp F1 (y, v, x) = R(x, y), v − x , (y, v, x) ∈ K ×K ×D, F2 (y, x, t) = a ∈ Y , số, với (y, x, t) ∈ K ×D ×D x thay y, T thay S Ví dụ 2.3.3 Ánh xạ f : D × D → R, Sf = {u ∈ D|f (u, v) ≥ 0, với v ∈ D} Bài toán: Tìm x cho R(x, y), v − x ≥ 0, ∀v ∈ Sf gọi toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân trường hợp riêng toán xét (Đặt S(x, y) = {u ∈ D|f (u, v) ≥ 0, với v ∈ D}, (x, y) ∈ D × K, F1 , F2 Ví dụ 2.3.2) Ví dụ 2.3.4 Cho ánh xạ f : D → D, Sf = {t ∈ D| f (x) − t, z − x , ∀z ∈ D} Bài toán: Tìm x cho R(x, y), v − x ≥ 0, ∀v ∈ Sf gọi 53 toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán điểm bất động trường hợp riêng toán xét (Đặt S(x, y) = { f (x) − t, z − x , ∀z ∈ D}, (x, y) ∈ D × K, F1 , F2 Ví dụ 2.3.2) 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức ánh xạ đa trị: tính liên tục, tính lồi ánh xạ đa trị Ta sử dụng tính chất vào nghiên cứu toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp Các toán cho ta thấy cách nhìn quán toán lý thuyết tối ưu đa trị Cụ thể, luận văn cho thấy điều kiện đủ để toán có nghiệm Những kết bao hàm thức tựa biến phân hỗn hợp ứng dụng cho toán điểm cân số toán khác lý thuyết tối ưu Các toán có khả ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác khoa học thực tiễn Tác giả xin chân thành cảm ơn! 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [2] Nguyễn Xuân Tấn - Nguyễn Bá Minh (2005), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu đa trị, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Pham Ngoc Anh, Kim, J and Le Dung Muu (2012), An extragradient algorithm for solving bilevel variational inequalities, J Glob Optim., 52, 527-539 [4] Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2011), Generralized Quasi-Equilibrium Problems of Type II and Their Applications, Vietnam Journal of Mathermatics 39:2 (2011) 191-215 [5] Nguyen Thi Quynh Anh and Nguyen Xuan Tan (2013), On the existence of solutions to mixed Pareto quasivariational inclusion problems, Advances in Nonlinear variational Inequalities, volume 16, Number 2, 1-22 [6] Aubin, J P and Cellina, A (1994), Differential Inclusion, Springer Verlag, BerLin, Gemany [7] Browder, F E.,Coincidence theorems, minimax theorems and variational inequalities, Conference in modern analysis and probability (NewHaven, Conn., 1982), 67-80, Contemp Math, 26, Amer Math Soc., providence, RI, (1984), 67-80 [8] Berge, C., Espaces Topologiques et Fontions Multivoques, Dunod, 56 Paris 1959 [9] Truong Thi Thuy Duong and Nguyen Xuan Tan,(2010) On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems, Adv.Nonlinear Var Inequalities 13, No.1, 2010, 29-47 [10] Fan, K (1952), Fixed point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces, Proc Nat Acad Sci U S A 38, 121-126 [11] Fan, K (1961), A generalization of Tychonoff ’ s fixed point theorem, Mathematische Annalen, 142, 305-310 [12] Ferro, F (1989), A minimax theorem for vector-valued functions J Optim Theory and Appl 60, 19-31 [13] Bui The Hung and Nguyen Xuan Tan (2012), On the existence of solutions to Pareto and weak quasivariational inclusion problems, Adv Nonlinear Var Inequal 15, no 2, 1–16 [14] Kalashnikov, V V and Klashnikova, N I (1996), Solving two-level variational inequality, J Glob Optim., 8, 289-294 [15] Lin, L.J and Nguyen Xuan Tan (2007), On quasi-variational inclusion problems of type I and related problems J Global Optimization 39, No 3, 393- 407 [16] Dinh The Luc and Nguyen Xuan Tan (2004), Existence conditions in variational inclusions with constraints Optimization 53, 505- 515 [17] Pham Huu Sach and Le Anh Tuan (2007), Existence Results for Setvalued Vector Quasi equilibrium Problems J Optim Theory and Appl 57 133, 229- 240 [18] Nguyen Xuan Tan (1985), Quasi-variational inequalities in topological linear locally convex Hausdorff space, Math Nachr 122, 231-245 [19] Nguyen Xuan Tan (2004), On the existence of of solutions of quasivariational inclusion problems, Jour of Opt Theory and Appl 123, 619638 [20] Yannelis, N C and Prabhaker, N D (1983), Existence of maximal elements and equilibria in linear topological spaces, Jour of Math Eco., Vol.12, 233- 245 58 [...]... xạ đa trị 1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị 2 Chương 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp 7 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Sự tồn tại nghiệm 2.3 Một số vấn đề liên quan 3 Mục đích nghiên cứu + Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân + Đi sâu vào bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên, dưới, hỗn hợp + Giới thiệu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của chúng và các vấn đề liên quan 4 Nhiệm... báo, các cuốn sách và các tài liệu có liên quan đến bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và một số bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị 8 6 Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kiến thức cơ bản của giải tích đa trị: khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị, kiến thức về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp + Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích đa trị để tiếp cận vấn đề 7 Dự kiến đóng... Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đến ánh xạ đa trị + Nghiên cứu bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp, xét sự tồn tại nghiệm của nó và các bài toán liên quan 5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan tới ánh xạ đa trị cụ thể là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và sự tồn tại nghiệm của.. .Pareto hỗn hợp trên (dưới) Tương tự, như vậy ta cũng phát triển các loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân loại 1,2 và hỗn hợp cho trường hợp thực sự và yếu Các bài toán này tổng quát các bài toán đã biết như cân bằng, tối ưu đa trị Như vậy, trong trường hợp đa trị ta có 9 loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân khác nhau Các loại bài toán đã được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và. .. rộng bất đẳng thức biến phân Stampacchia, bất đẳng thức biến phân Minty sang trường hợp véctơ và trường hợp ánh xạ đa trị, trường hợp miền ràng buộc luôn luôn ở dạng động và đặt tên là bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại trên và dưới Cùng năm đó, Nguyễn Xuân Tấn và Đinh Thế Lục [16] cũng đã mở rộng những bất đẳng thức biến phân này cho trường hợp tương tự với miền ràng buộc cũng luôn biến dạng qua... mong muốn tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, cùng sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài "Bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan" làm luận văn Thạc sĩ của mình 2 Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm 2 chương: 1 Chương 1: Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị 1.1 Nón và ánh xạ đa trị 1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 1.3... nhau, bài toán trên trở thành bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 Các bài toán này đã được Bùi Thế Hùng và Nguyễn Xuân Tấn xét đến trong [13] Ta cũng có nhận xét tương tự với các bài toán còn lại Mục đích của chương này là tìm các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp nêu trên Ta nhắc lại một số kết quả sau, chúng được ứng dụng trực... x)−(C2 \{0}), với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 2) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp trên - dưới Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1 x ∈ S(x, y); 2 y ∈ T (x, y); 3 F1 (y, v, x) F2 (y, x, x) F1 (y, y, x) − (C1 \{0}), với mọi v ∈ T (x, y); F2 (y, x, t)−(C2 \{0}), với mọi t ∈ P (x), y ∈ Q(x, t) 29 3) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp dưới - trên Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1 x ∈ S(x,... được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên (dưới) loại 2 Tương tự, các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto, thực sự, yếu cũng được nghiên cứu Bài toán bao gồm cả hai loại bài toán trên ta gọi là bài toán hỗn hợp 28 2.1 Đặt bài toán Cho X, Y, Y1 , Y2 , Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Giả sử D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con không rỗng và Ci ⊆ Yi , i = 1,... xét một số khái niệm của ánh xạ đa trị Dựa trên các khái niệm này, ta tìm các điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục trên, liên tục dưới Một số kết quả về mối liên quan giữa tính liên tục trên và dưới của ánh xạ đa trị lồi (lõm) cũng được đưa ra Phần cuối của chương trình bày về tính lồi theo nón, mói liên quan giữa tính C - tựa lồi thực sự, C - tựa lồi trên của ánh xạ đa trị với tính lồi của hàm