BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ THANH NGA TÍNH Lp BỊ CHẶN CỦA TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN TRÊN XUYẾN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Người hướng dẫn: TS Bùi Kiên Cường Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo, TS Bùi Kiên Cường Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều việc tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên nghành Toán Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc, người thân, bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015 Tác giả Vũ Thị Thanh Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2015 Tác giả Vũ Thị Thanh Nga i Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm thử D không gian đối ngẫu D’ 1.1.2 Không gian Schwartz không gian hàm suy rộng tăng chậm 1.1.3 Không gian Lp , ≤ p < ∞ không gian L∞ 1.1.3 Không gian BM O 1.2 Phép biến đổi Fourier 14 1.2.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1 14 1.2.2 Phép biến đổi Fourier không gian Schawrtz 15 1.2.3 Phép biến đổi Fourier không gian L2 16 1.3 Không gian Sobolev H s,2 (Rn ) 17 1.4 Một số không gian hàm xác định Zn 18 1.5 Một số không gian hàm xuyến 20 1.6 Biến đổi Fourier lớp hàm tuần hoàn 22 1.6.1 Biến đổi Fourier lớp hàm tuần hoàn 22 1.6.2 Không gian Sobolev H s (Tn ) 24 1.7 Toán tử giả vi phân Rn 26 1.7.1 Biểu trưng toán tử giả vi phân 26 1.7.2 Một số tính chất toán tử giả vi phân không gian Sobolev H s,2 (Rn ) 33 ii 1.7.3 Tính bị chặn toán tử giả vi phân không gian Lp 34 Chương Tính Lp bị chặn toán tử giả vi phân xuyến 35 2.1 Toán tử giả vi phân xuyến 35 2.1.1 Biểu trưng 35 2.1.2 Toán tử giả vi phân xuyến 40 2.1 Tính Lp bị chặn toán tử giả vi phân xuyến 44 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán tử giả vi phân hay toán tử tích phân kì dị công cụ để giải toán elliptic lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Lí thuyết toán tử giả vi phân hình thành từ nửa sau kỉ 20 qua nghiên cứu Calderón-Zymund, K.Nirenbeg, L H¨ ormander, M.E Taylor, Nó có ứng dụng rộng rãi đa ngành: vật lí, toán học, công nghệ, Chính tính hấp dẫn mà nhiều nhà toán học nghiên cứu nhiều góc độ khác Nhà toán học Julio Delgado xét toán tử giả vi phân tuần hoàn khuôn khổ giải tích vi phân xuyến mà phát triển gần công trình M Ruzhansky, V Turunen G Vainikko Một thú vị toán tử giả vi phân nghiên cứu tính m liên tục toán tử giả vi phân lớp H¨ormander Sρ,δ không gian hàm có ý nghĩa cho Vật lý, công nghệ Trong báo (xem [7]), Charles Fefferman thiết lập tính Lp bị chặn cho toán m tử giả vi phân có biểu trưng thuộc lớp Sρ,δ (Rn × Rn ) nhờ nội suy thực phức từ tính chất Lp bị chặn Tiếp theo đó, tính chất Lp bị chặn toán tử với biểu trưng không Tính chất Lp bị chặn toán tử giả vi phân xuyến khảo sát trước công trình S.Molahajloo M.W.Wong (xem [10]) khảo sát toán tử giả vi phân S Năm 2013, nhà toán học Julio Delgado (xem [16]) thiết lập tính Lp - bị chặn cho lớp toán tử giả vi phân có m biểu trưng thuộc Sρ,δ (Tn × Zn ) Nhằm hệ thống hóa phát triển nghiên cứu hướng dẫn TS Bùi Kiên Cường, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: ”Tính Lp bị chặn toán tử giả vi phân xuyến” để thực luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu tổng quan hàm, biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân • Nghiên cứu tính bị chặn Lp toán tử giả vi phân xuyến Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan tính chất bị chặn Lp toán tử giả vi phân xuyến Đối tượng nghiên cứu • Nghiên cứu không gian hàm thử, hàm suy rộng • Nghiên cứu phép biến đổi Fourier không gian hàm • Nghiên cứu toán tử giả vi phân xuyến • Nghiên cứu tính bị chặn toán tử giả vi phân xuyến Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tối ưu Đóng góp đề tài Luận văn tài liệu tổng quan tính bị chặn Lp toán tử giả vi phân xuyến Chương Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm thử D không gian đối ngẫu D’ Định nghĩa 1.1 Không gian hàm thử hay hàm kiểm tra, ký hiệu D(Ω) không gian véc tơ hàm C0∞ (Ω) với tô pô trang bị ∞ hội tụ: dãy (ϕj )∞ j=1 hội tụ tới ϕ0 C0 (Ω) nếu: i) Tồn tập compact K ⊂ Ω cho ϕj = với j = 0, 1, 2, Ω\K ii) Đối với đa số α tùy ý, dãy Dα ϕj hội tụ đến Dα ϕ0 K j → ∞ Ở Dα đạo hàm cấp |α|, α ∈ Nn đa số Dα = D1α1 D2α2 Dnαn , Dk = ∂ i ∂xk Định nghĩa 1.2 Một hàm suy rộng Ω phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω) Không gian tất hàm suy rộng Ω kí hiệu D (Ω) Khi Λ ∈ D (Ω), ta kí hiệu giá trị hàm Λ ϕ ∈ C0∞ (Ω) Λ(ϕ) (Λ, ϕ) Chú ý 1.1 Không gian D (Ω) tự cung cấp tô pô yếu tức tô pô xác định hệ nửa chuẩn Pϕ D (Ω) Pϕ : u → | u, ϕ | Không gian D (Ω) không gian lồi địa phương tách tôpô yếu * nghĩa với u ∈ D (Ω), u = 0, tồn ϕ ∈ D(Ω) cho u, ϕ = Không gian D (Ω) không gian đầy đủ f (x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Bổ đề 1.1 Nếu f ∈ L1,loc (Ω) cho Ω f = 1.1.2 Không gian Schwartz không gian hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.3 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh, gọi không gian Schwartz, ký hiệu S = S(Rn ), không gian véc tơ tất hàm khả vi vô hạn ϕ xác định Rn thỏa mãn sup xα (Dβ ϕ(x)) < n Rn ∞ với đa số ϕ, β ∈ N với tôpô xác định bởi: Dãy ϕj ∈ S gọi hội tụ j → ∞ với đa số α, β ∈ Nn dãy (xα Dβ ϕj (x)) hội tụ Rn j → ∞ Với tôpô này, không gian S không gian đầy đủ Định lý 1.1 Không gian Schwartz S trù mật không gian Lp (Rn ), ≤ p < ∞ Không gian S không trù mật không gian L∞ (Rn ) 46 Bổ đề sau hệ Định lý 2.5 Bổ đề 2.4 Cho k ∈ N k > n2 Cho b : Tn × Zn → C biểu trưng m ∈ R, tồn số Cβ > cho với |β| ≤ k |∂xβ b(x, ξ)| ≤ Cβ ξ n , (2.10) b(x, D)J −m : L2 (Tn ) → L2 (Tn ), J m ký hiệu vị Bessel với biểu trưng ξ m Ngoài tồn số C cho b(x, D)J −m f L2 (Tn ) ≤ C max sup |∂xβ b(x, ξ) ξ −m |β|≤k (x,ξ) | f L2 (Tn ) Chứng minh Theo Bổ đề 2.3 ta thấy biểu trưng b(x, D)J −m b(x, ξ) ξ −m , kết luận suy từ Định lý 2.5 |∂xβ (b(x, ξ) ξ −m )| ≤ |∂xβ b(x, ξ)| ξ −m ≤ CCβ ξ m ξ −m , với |β| ≤ k Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.5 Cho φ hàm thuộc C ∞ (Tn ) b : Tn × Zn → C biểu trưng, giao hoán tử [φ, b(x, D)] toán tử giả vi phân với biểu trưng ˆ eix·η φ(η)[b(x, ξ) − b(x, ξ + η)] θ(x, ξ) = η∈Zn Chứng minh Ta đồng φ với toán tử nhân (bởi φ) mà ký hiệu Mφ Khi eiξ·y φ(y)fˆ(ξ) = Mφ f (y) = φ(y)f (y) = ξ∈Zn ˜ eiξ·(y−z) φ(y)f (z)dz Tn 47 Bây giờ, b(x, D) ◦ Mφ f (x) ˜ eiξ·(x−y) b(x, η)Tφ f (y)dy = Rn η∈Zn ˜ dy ˜ eiξ·(x−y) eiξ(y−z) b(x, η)φ(y)f (z)dz = Tn ξ∈Zn Tn η∈Rn Sử dụng đẳng thức eiξ·(x−y) eiξ·(y−z) = ei(x−y)·(η−ξ) ei(x−z)·ξ , ta thu b(x, D) ◦ Mφ f (x) ˜ dy ˜ ei(x−y)·(η−ξ) ei(x−z)·ξ b(x, η)φ(y)f (z)dz = Tn ξ∈Zn = Tn η∈Rn ˆ c(x, ξ)ei(x−z)·ξ φ(η)b(x, ξ + η) Do đó, c(x, ξ) biểu trưng b(x, D) ◦ Mφ Mặt khác biểu trưng Mφ ◦ b(x, D) φ(x) · b(x, ξ) Bổ đề chứng minh Bổ đề sau áp dụng để phân tích tính L∞ (Tn ) − L∞ (Tn ) bị chặn địa phương Bổ đề 2.6 Cho σ biểu trưng Tn × Zn , η : Z → C hàm giá R ≤ |z| ≤ 3R với R > Khi đó, với α tồn số A Cαβ cho với λ ∈ R, s ∈ N với (x, ξ) ∈ Tn × Zn ta có |∆αξ (σ(x, ξ)η(s|ξ|))| ≤ Cα max |∆βξ σ(x, ξ)|A|λ| ξ λ sλ β≤α (2.11) 48 Chứng minh ∆αξ (σ(x, ξ)η(s|ξ|))   α   ∆αξ σ(x, ξ) ∆α−β η(s|ξ|) = ξ β β≤α     α−β α  |η(s|ξ + γ|)|   ∆αξ σ(x, ξ) (−1)|α−β−γ|  = γ β β≤α γ≤α−β Chú ý η(s| · |) có giá R ≤ | · |3R tồn số A > cho A−1 s−1 ≤ ξ ≤ As−1 , nên với λ ∈ R ≤ A|λ| ξ λ sλ Do |∆αξ (σ(x, ξ)η(s|ξ|))| ≤ Cα max |∆βξ σ(x, ξ)|A|λ| ξ λ sλ β≤α Bổ đề chứng minh Bổ đề dạng tuần hoàn dạng cổ điển Charles Fefferman ([7], trang 415) Nó cung cấp tính L∞ (Tn ) → L∞ (Tn ) bị chặn địa phương, tính bị chặn với ứng dụng phép phân hoạch đơn vị thích hợp cần thiết phân tích theo tinh thần lý thuyết Littlewood-Paley Bổ đề 2.7 Cho < ε < k ∈ N với k > n2 , cho a : Tn × Zn → C biểu trưng giá |ξ| ≤ hay R ≤ |ξ| ≤ 3R với R > thỏa mãn ∆αξ a(x, ξ) ≤ Cα ξ − n2 ε−(1−ε)|α| , với |α| ≤ k Khi đó, a(x, D) bị chặn 49 từ L∞ (Tn ) vào L∞ (Tn ), tồn số C độc lập với a f cho a(x, D)f ∞ ≤ CC(a) f L∞ , C(a) = max{C0 , Cα : |α| = k} Bổ đề 2.7 Cho biểu trưng a(x, ξ) có giá {(x, ξ) ∈ Tn × Zn /R ≤ |ξ| ≤ 3R}, với R > thỏa mãn |∆αξ a(x, ξ)| ≤ Cα ξ − n2 ε−(1−ε)|α| , với |α| ≤ k Áp − n2 dụng Hệ 2.1 vào biểu trưng a ta thu a ˜ ∈ Sρ,δ,k,0 (Tn × Rn ) cho a a ˜ trùng với Tn × Zn Khi a ˜ có chung giá với a ta thấy ˜ ei(x−y)·ξ a ˜(x, ξ)f (y)dy dξ a(x, D)f (x) = a ˜(x, D)f (x) = Rn = Tn Tn ˜ = (FRn a FR n a ˜(x, y − x)f (y)dy ˜(x, ·) ∗ f )(x) Ta thu |˜ a(x, D)f (x)| ≤ FRn a ˜(x, ·) L1 (Rn ) f L∞ (Rn ) , x Ta cần chứng minh với x ∈ Rn FR n a ˜(x, ·) L1 ≤ CC(˜ a) ∈ Tn 50 Đặt b = Rε−1 Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có |y| |y|≥b n ta có ˜(x, y)|dy ≤ Cb |FRn a ≤ Cb n −k |y|≥b n −k Rn ≤ C max Cα R ˜(x, y)|2 dy |y|2k |FRn a |∆kξ a ˜(x, y)|2 dξ (ε−1)( n2 −k) |α|=k ξ −nε02k(1−ε) dξ R≤|xi| n n ≤ C max Cα R(ε−1)( −k) O(R(1−ε)( −k) ) |α|=k ≤ C max Cα |α|=k Do F Rn a ˜(x, ·) L1 ≤ CC(˜ a), với x ∈ Tn Việc chứng minh tương tự cho biểu trưng với giá có kiểu khác Bây ta sẵn sàng thiết lập kết mà coi tổng quát hóa tính bị chặn Fefferman tính chất bị chặn toán tử giả vi phân Euclide từ L∞ vào BMO (xem [7]), cải tiến ước lượng với số thích hợp trường hợp hình xuyến 51 Định lý 2.6 Cho < ε < k ∈ N với k > n 2, cho a : Tn × Zn → C biểu trưng cho |∆αξ a(x, ξ)| ≤ Cα ξ |∂xβ a(x, ξ)| ≤ Cβ ξ n 2ε − n2 ε−(1−ε)|α| , với |α|, |β| ≤ k Khi đó, a(x, D) bị chặn từ L∞ (Tn ) vào BM O(Tn ) Hơn nữa, tồn số C độc lập với a f cho a(x, D)f −nε BM O ≤ Cpk,k2 (a) f L∞ Ta cần sau cho biểu trưng có giá miền |ξ| > R Bổ đề 2.8 Cho < ε < k ∈ N với k > n 2, cho a : Tn × Zn → C biểu trưng có giá |ξ| > R với |R| > cho |∆αξ a(x, ξ)| ≤ Cα ξ − n2 ε−(1−ε)|α| |∂xβ a(x, ξ)| ≤ Cβ ξ n 2ε với |α|, |β| ≤ k Khi đó, a(x, D) bị chặn từ L∞ (Tn ) vào BM O(Tn ) Ngoài tồn số C độc lập với a f cho a(x, D)f −nε BM O −nε ≤ C max{p0,02 (a), pk,02 (a)} f L∞ Chứng minh Ta bắt đầu việc xét hàm φ Tn , với ≤ φ ≤ ˆ ⊂ 10, φ ≥ B(x0 , r) ⊂ Tn biến đổi Fourier φˆ kiểm tra supp(φ) {ξ ∈ Zn : |ξ| ≤ (C −1 r) 1−ε } Ta viết φ(x)a(x, D)f (x) = a(x, D)(φf )(x) + [φ, a(x, D)]f (x) = I + II (2.12) Để giải I ta xét vị Bessel J m , J −m : H −m (Tn ) → L2 (Tn ) đẳng cấu Ta tách a(x, D)(φf ) = (a(x, D) · j m )(J −m · (φf )) (2.13) Bây giờ, biểu trưng a(x, D) · J m thỏa mãn giả thiết Bổ đề 2.4 với m = n2 ε, nên tồn số C > a(x, D)(φf ) L2 ≤ CMa2 · J −m (φf ) L2 , (2.14) 52 Ma = max sup |∂xβ a(x, ξ) ξ m |β|≤k (x,ξ) | Bây J −m (φf ) L2 = φf H −m , vị Bessel J −m toán tử dương (bảo toàn tính dương hàm số) phép nhân với biểu trưng J(ξ) = ξ J −m (φf ) L2 ≤ f J −m (φf ) L∞ ≤ C1 f −1 n L∞ (C r) −m L2 , ta thu ≤ C1 f ≤C f L∞ φ H −m L∞ |B(x0 , r)| Do a(x, D)(φf ) L2 ≤ CMaα f L∞ |B(x0 , r)| (2.15) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta có |B(x0 , δ)| |B| |a(x, D)(φf )(x)|dx ≤ B |a(x, D)(φf )(x)|2 dx B ≤ CMa f L∞ (2.16) Điều chứng minh ước lượng I Theo Bổ đề 2.5 giao hoán tử [φ, a(x, D)] xuất II toán tử giả vi phân θ(x, D) với dấu hiệu ˆ eix·θ φ(η)[a(x, ξ) − a(x, ξ + η)] θ(x, D) = η∈Zn Ta viết ∞ θ(x, ξ) = θj (x, ξ), j=0 với θj (x, ξ) có giá thuộc |ξ| ∼ 2j r−1 Bây ˆ eix·θ φ(η)[a(x, ξ) − a(x, ξ + η)] θ(x, ξ) = |η|≤(C −1 r)2(ε−1) 53 Do theo Bổ đề 2.7 ta thu ∞ [φ, a(x, D)f ] L∞ ≤ ∞ θj (x, D)f L∞ j=0 j C2− C(a) f ≤ L∞ j=0 ≤ CC(a) f L∞ , (2.17) C(a) Bổ đề 2.7 Bởi φ ≥ B(x0 , r), sử dụng (2.16) (2.17) (2.12) ta có |B(x0 , r)| |a(x, D)f (x)|dx ≤ B |B(x0 , r)| ≤ CC(a) f |φ(x) · a(x, D)f (x)|dx B L∞ Chứng minh (Chứng minh Định lý 2.6) Lấy f ∈ L∞ (Tn ), x0 ∈ Tn , B = B(x0 , r) ⊂ Tn Ta chứng minh tồn số nguyên j số C > độc lập với f B cho |B(x0 , δ)| |σ(x, D)f (x) − gB |dx ≤ C σ j;S h h() f L∞ , (2.18) B ta ký hiệu g = σ(x, D)f Ta tách σ(x, ξ) thành hai phần, σ = σ + σ , với σ có giá |ξ| ≤ 2r−1 , σ có giá |ξ| ≥ 21 r−1 Ta thu phép tách cách sau Đặt β = 1A hàm đặc trưng A = {z ∈ Z : |z| ≤ 1} σ (x, ξ) = σ(x, ξ)β(r|ξ|), đặt σ = σ − σ Để thu (2.18) ta cần xét σ , ước lượng tương ứng cho σ −1 54 hệ Bổ đề 2.8 Ta viết ∂xk σ (x, D)f (x) = σx (x, D)f (x), σx biểu trưng σx (x, ξ) = ∂xk σ (x, ξ) + iξk σ (x, ξ) Ta sử dụng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu σx ∞ σx (x, ξ) = ρj (x, ξ), j=1 với ρj có có giá |xi| ∼ 2−j r−1 Phép phân hoạch đơn vị thu từ hàm η : R → R xác định   0, |s| ≤ η(s) =  1, |s| ≥ Đặt ρ(s) = η(s) − η(2−1 s) Khi supp ρ = {1 ≤ |s| ≤ 4} Ta kiểm tra ∞ ρ(2j s), = η(s) + s ∈ R j=1 Bây giờ, đặt s = r|ξ| ∞ ρ(r2j |ξ|) = η(r|ξ|) + j=1 Giá η {|s| > 1} r|ξ| ≤ 1, ta thu ∞ ρ(r2j |ξ|) 1= j=1 với {|ξ| ≤ r−1 } 55 Vì supp σ = supp σ ta có ∞ ρ(r2j |ξ|) · σx (x, ξ) σx (x, ξ) = j=0 Khi ta chọn ρj (x, ξ) = ρ(r2j |ξ|) · σx (x, ξ) Ta áp dụng Bổ đề 2.7 cho số hạng ρj (x, ξ) ước lượng đạo hàm Bổ đề 2.6, σx = ∂xk σ + iξσ ta xét ∂xk σ chọn λ = −1 ta thu |∆αξ (∂xk σ (x, ξ)ρ(r2j |ξ|))| ≤ Cα max |∆βξ ∂xk σ (x, ξ)|A|λ| ξ λ (r2j )λ β≤α ≤ Cα max ξ − n2 ε−(1−ε)|β| ≤ Cα max ξ − n2 ε−(1−ε)|β| −1 −j β≤α ξ Aξ −1 (r2j )λ r β≤α Do tồn số C thỏa mãn ∞ ∂xk σ (x, D)f L∞ ≤ ∞ ρj (x, D)f L∞ ≤ Cr −1 j=0 ≤ Cr−1 f 2−j f L∞ j=0 L∞ Bây giờ, theo định lý giá trị trung bình ta có |σ (x, D)f (x) − gB | ≤ C f L∞ Vì |B(x0 , r)| |σ (x, D)f (x) − gB |dx ≤ C σ B Điều chứng minh (2.18) cho σ l;S f L∞ (2.19) 56 Phép nội suy ước lượng L2 (Tn ) ước lượng BM O(Tn ) cho phép ta thu tính Lp (Tn ) bị chặn sau Định lý 2.7 Cho < ε < k ∈ N với k > n2 , cho a : Tn × Zn → C biểu trưng thỏa mãn |∆αξ a(x, ξ)| ≤ Cα ξ Cβ ξ − n2 ε − n2 ε−(1−ε)|α| , |∂xβ a(x, ξ)| ≤ , với |α|, |β| ≤ k Khi σ(x, D) toán tử bị chặn từ Lp (Tn ) tới Lp (Tn ) với ≤ p < ∞ Chứng minh Tính bị chặn L2 (Tn ) hệ giả thiết đạo hàm theo x Định lý 2.5 Tính bị chặn L∞ (Tn ) − BM O(Tn ) hệ Định lý 2.6 Định lý rút từ phép nội suy thực (Định lý 1.13) 57 KẾT LUẬN Luận văn công trình nghiên cứu tổng quan tính Lp bị chặn toán tử giả vi phân xuyến Cụ thể: • Ngiên cứu số không gian hàm không gian hàm thử D không gian đối ngẫu D’, không gian Schwartz không gian hàm suy rộng tăng chậm, không gian Lp , ≤ p < ∞ không gian L∞ , Không gian BM O, không gian Sobolev H s,2 (Rn ) số không gian hàm xuyến • Nghiên cứu phép biến đổi Fourier, chuỗi Fourier lớp hàm tuần hoàn toán tử giả vi phân Rn • Nghiên cứu toán tử giả vi phân xuyến từ việc nội suy tính L2 bị chặn tính L∞ −BM O bị chặn để thu tính Lp (Tn ) bị chặn Với phạm vi luận văn thời gian, khả hạn chế nên tác giả chưa thể tìm hiểu nghiên cứu sâu hơn, phát triển thêm kết đưa luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 58 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kì dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [3] M.S Agranovich (1979),“Spectral properties of elliptic pseudodifferential operators on a closed curve”, Funct Anal Appl 13, 279-281 [4] R Ashino, M Nagase, and R Vaillancourt (2004), “Pseudodifferential operators on Lp (Rn ) spaces”, Cubo 6(3), 91-129 [5] R Beals (1979), “Lp and H¨older estimates for pseudodifferential operators: necessary conditions”, in Harmonic Analysis in Euclidean Spaces, Proc Symp Pure Math XXXV, Part 2., Amer Math Soc., 153-157 [6] R Beals (1979), “Lp and H¨older estimates for pseudodifferential operators: sufficient condition”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 29(3), 239-260 [7] C Fefferman (1973), “Lp bounds for pseudo-differential operators”, Israel J Math 59 [8] I.I Hirschman (1956), “Multiplier transformations I”, Duke Math J 26, 222-242 [9] W McLean (1991), “Local and global description of periodic pseudodifferential es of pseudodifferential operators”, Math Nachr 150, 151-161 [10] S Molahajloo and M.W Wong (2009), “Pseudo-differential operators on S ”, in New Developments in Pseudo-Differential Operators, editors: L Rodino and M.W Wong, Operator Theory: Advances and Applications 189, Birkh¨auser, 297-306 [11] M Ruzhansky and V Turunen (2007),“On the Fourier analysis of operators on the torus”, in Modern Trends in Pseudo-Differential Operators, editors: J Toft, M.W Wong, and H Zhu, Operator Theory: Advances and Applications 172, Birkh¨auser, 87-105 [12] M Ruzhansky and V Turunen (2010), Pseudo-Differential Operators and Symmetries, Birkh¨auser [13] M Ruzhansky and J Wirth (2011), “Lp -multipliers on compact Lie groups”, arXiv:1102.3988v1 [14] S Wainger (1965), “Special Trigonometric Series in k dimensions”, Mem Amer Math Soc 59 [15] M.W Wong (2011), Discrete Fourier Analysis, Birkh¨auser 60 [16] Julio Delgado (2013), “Lp - bounds for Pseudo-differential Operators on the Turus”, Operator theory: Advances and Applications, Springer Basel, Vol 231, 103-116 [...]... toán tử giả vi phân elliptic bậc m Nhận xét 1.6 Do tính chất tuyến tính của tích phân và biến đổi Fourier nên toán tử giả vi phân là toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.30 (Toán tử giả vi phân đối xứng) Toán tử giả vi phân Tσ được gọi là toán tử đối xứng trên không gian S nếu thỏa mãn (Tσ ϕ, ψ) = (ϕ, Tσ ψ) , ∀ϕ, ψ ∈ S trong đó tích vô hướng trên được xác định như sau (ϕ, ψ) = ϕ(x)ψ(x)dx (1.26) R với mọi ϕ,... (Toán tử giả vi phân) Cho σ là một biểu trưng toán tử giả vi phân Tσ liên kết với σ được định nghĩa bởi công thức sau (Tσ ϕ)(x) = (2π) −n 2 eixξ σ(x, ξ)ϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn ) Rn Nếu σ ∈ S m thì ta nói Tσ là toán tử giả vi phân bậc m aα (x)ξ α nếu aα (x) ∈ Ví dụ 1.2 Theo Ví dụ 1.1 thì ta có P (x, ξ) = |α|≤m ∞ n C (R ) và aα bị chặn cùng với tất cả các đạo hàm của nó Do đó P (x, ξ) ∈ S m Bởi vậy toán tử. .. (x, ξ)ϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn ) Rn 30 là toán tử giả vi phân bậc m và ta có toán tử Tp = P (x, D) là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính Định nghĩa 1.29 Toán tử giả vi phân Tσ được gọi là toán tử elliptic hay đơn giản là elliptic, nếu biểu trưng σ là elliptic, nghĩa là tồn tại các hằng số dương C, R không phụ thuộc vào x sao cho C(1 + |ξ|)m , ∀ |ξ| |σ(x, ξ)| m 2 2 Ví dụ 1.3 Giả sử σ(ξ) = 1 + |ξ| R (1.24) , m... về vi c mở rộng các toán tử, nếu ta thay thế biểu trưng P (x, ξ) với σ(x, ξ) không là đa thức của ξ nữa Khi đó ta có toán tử dạng: Aϕ(x) = (2π)−n eixξ σ(x, ξ)ϕ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn ) (1.20) Rn Những toán tử dạng trên gọi là toán tử giả vi phân trên S(Rn ) Toán tử giả vi phân phụ thuộc chủ yếu vào biểu trưng σ(x, ξ) của nó Do đó trước hết ta nghiên cứu về khái niệm biểu trưng Định nghĩa 1.25 (Biểu trưng) Cho... Tn ) 1.7 Toán tử giả vi phân trong Rn 1.7.1 Biểu trưng của toán tử giả vi phân Trước hết ta xét toán tử đạo hàm riêng P (x, D) được cho bởi công thức aα (x)Dα P (x, D) = (1.18) |α|≤m Trong đó α là đa chỉ số, aα là các hàm xác định trên Rn Nếu thay thế Dα trong công thức (1.18) bởi đơn thức ξ α trên Rn thì ta được aα (x)ξ α P (x, ξ) = (1.19) |α|≤m hàm số này được gọi là biểu trưng của toán tử P (x,... lý cực đại của hàm toán tử # dựa theo C Fefferman và E.M Stein Định lý này cho phép nội suy giữa không gian Lp và không gian BM O Định lý 1.11 (Hàm toán tử #) Cho 1 < p < ∞ Với mọi f ∈ Lp (Rn ) tồn tại một hằng số Cp , độc lập với f , chỉ phụ thuộc n và p, sao cho Cp−1 f Lp ≤ f# Lp (Rn ) ≤ Cp f Lp (1.6) 14 và do đó f ∈ Lp (Rn ) ⇔ f # ∈ Lp (Rn ) (1.7) Định lý 1.12 Nếu f ∈ BM O ∩ L1 thì f ∈ Lp , 1 ≤ p... và được gọi là không gian Lp (Ω) Định nghĩa 1.6 Một hàm f đo được trên Ω được gọi là bị chặn cốt yếu trên Ω nếu tồn tại một hằng số k > 0 sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Ω (1.1) Hằng số k nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là cận trên cốt yếu của f trên Ω và được ký hiệu là esssup |f (x)| x∈Ω ∞ Ký hiệu L (Ω) là không gian véc tơ các hàm f bị chặn cốt yếu trên Ω Chuẩn của hàm f thuộc L∞ (Ω) được... (1.22), giả thiết quy nạp, tồn tại hằng số dương Cm,β sao cho Cβδ (1 + |ξ|)1−δ (1 + |ξ|)m−2−|β|+|δ| σ β τ (ξ) ≤ Cm,β σ≤β = Cm,β (1 + |ξ|)m−|γ| Cβδ Trong đó Cm,β = Cm,β σ≤β m Vậy δ ∈ S , do đó Tσ là toán tử giả vi phân 2 Cuối cùng, do 1 + |ξ| m 2 m ∼ (1 + |ξ|) khi ξ → ∞ nên tồn tại hằng số dương C, R sao cho bất đẳng thức (1.24) được thỏa mãn, nên Tσ là toán tử giả vi phân elliptic bậc m Nhận xét 1.6 Do tính. .. Hilbert, và H s (Tn ) và H −s (Tn ) là các đối ngẫu của nhau theo đối ngẫu này Nếu A là một toán tử tuyến tính giữa hai không gian Sobolev, chúng ta sẽ ký hiệu liên hợp Banach và liên hợp Hilbert của nó tương ứng là A(∗B) và A(∗H) Thông thường, liên hợp Banach được gọi là chuyển vị của toán tử A và được ký hiệu bằng At Khi đó liên hợp Hilbert đơn giản được gọi là liên hợp và ký hiệu bằng A∗ Định... đó f ∈ Lp (Rn ) ⇔ f # ∈ Lp (Rn ) (1.7) Định lý 1.12 Nếu f ∈ BM O ∩ L1 thì f ∈ Lp , 1 ≤ p ≤ ∞ Ngoài ra, f Lp ≤ Cp · f 1 p L1 · f 1 p ∗ Định lý 1.13 (Định lý nội suy giữa Lp và BM O) Cho 1 < p < ∞ và T là một toán tử tuyến tính, liên tục từ Lp vào chính nó và từ L∞ vào BM O, tức là T : Lp (Rn ) → Lp (Rn ) và T : L∞ (Rn ) → BM O(Rn ) liên tục Khi đó T : Lq (Rn ) → Lq (Rn ) liên tục với mọi p < q < ∞ 1.2