BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THẾ KỶ SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN KHÔNG CỤC BỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THẾ KỶ SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN KHÔNG CỤC BỘ Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THÀNH ANH HÀ NỘI, 2015 Lời Cảm Ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Anh người thầy tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô phòng sau đại học thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè người thân gia đình động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả mặt suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng trình thực luận văn, nhiên khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong đóng góp ý kiến quý thầy cô, để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2015 Học viên Bùi Thế Kỷ Lời Cam Đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Bùi Thế Kỷ Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số tính chất hình học không gian Banach 1.2 Độ đo không-compact 1.3 Lý thuyết nửa nhóm 1.4 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén 1.5 Toán tử m-tiêu tán 1.6 Một số kết toán với điều kiện ban đầu cục Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục 2.1 Phát biểu toán 2.2 Sự tồn nghiệm trường hợp S(t) đồng liên tục 2.3 Sự tồn nghiệm trường hợp S(t) không compact, không đồng liên tục 2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm 2.5 Ví dụ áp dụng Tài liệu tham khảo 7 10 11 13 14 16 16 17 22 25 28 32 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay gọi phương trình vi phân đa trị lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh lý thuyết tổng quát phương trình vi phân Như biết, lĩnh vực toán học xuất phát triển, mục đích phát triển tự nhiên toán học hướng đến khái niệm kết ngày tổng quát hơn, nhu cầu ứng dụng đòi hỏi Lý thuyết bao hàm thức vi phân trường hợp ngoại lệ qui luật Xuất ban đầu mở rộng khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày thâm nhập mạnh mẽ vào lĩnh vực khác toán học ngành khoa học khác nhiều ứng dụng to lớn Trong lịch sử phát triển lý thuyết bao hàm thức vi phân trước hết phải kể đến công trình nghiên cứu Marchaud Zaremba từ năm 30 đề cập đến toán tồn nghiệm tính chất tập nghiệm bao hàm thức vi phân không gian hữu hạn chiều Các công trình chủ yếu đặt móng cho phát triển mạnh mẽ lý thuyết bao hàm thức vi phân lĩnh vực nghiên cứu độc lập công bố tập trung vào năm 60 tác Filippov, Plis, Wazewsk Lý thuyết tiếp tục đẩy mạnh nghiên cứu vào năm 70, 80 hàng loạt công trình nghiên cứu tác Castaing, Valadier, Aubin, Tolstonogov Các vấn đề nghiên cứu bao hàm thức vi phân vấn đề tồn nghiệm, tính chất định tính cấu trúc tập nghiệm Các tính chất phụ thuộc liên tục vào tham số điều kiện ban đầu, nghiệm tuần hoàn, lý thuyết rẽ nhánh Trong tồn nghiệm vấn đề nhiều nhà khoa học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, với giúp đỡ tận tình thầy TS.Nguyễn Thành Anh chọn nghiên cứu đề tài “Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục bộ” Luận văn hoàn thành dựa chủ yếu vào kết công bố báo “Existence and asymptotic properties of solutions of nonlinear multivalued differential inclusions with nonlocal conditions”, J Math Anal Appl 390 (2012) 523–534, tác giả Lanping Zhu, Qianglian Huang, Gang Li Mục đích nghiên cứu Chứng minh tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm bao hàm thức vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu + Tìm hiểu không gian Banach + Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm, toán tử m-tiêu tán + Tìm hiểu lý thuyết độ đo không compact + Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động + Chứng minh tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm toán tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục + Phạm vi nghiên cứu: tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm toán Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: + Lý thuyết nửa nhóm + Lý thuyết điểm bất động Dự kiến đóng góp Chứng minh chi tiết trình bày hệ thống kết báo trích dẫn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số tính chất hình học không gian Banach Cho X không gian Banach với chuẩn X ∗ đối ngẫu Chúng ta kí hiệu hội tụ yếu X ” ” Ánh xạ đa trị đối ngẫu ∗ J : X → X định nghĩa J(x) = {x∗ ∈ X : x∗ (x) = x = x∗ }, ∀x ∈ X Đầu tiên, đưa vào khái niệm tính lồi không gian Banach X Không gian Banach X gọi lồi ngặt S(X) = {x ∈ X : x = 1}không chứa đoạn không tầm thường Không gian Banach gọi lồi cho ε > tồn δ > cho ∀x, y ∈ S(x) mà x − y ≥ ε ta có x+y ≤ − δ Không gian Banach X gọi trơn ρX (t) = 0 t ρX (0) = lim t→ X ∗ lồi X trơn Một số tính chất hình học không gian Banach X i) Nếu X trơn đều, J đơn trị liên tục tập bị chặn X ii) Nếu X phản xạ lồi ngặt, tập khác rỗng lồi đóng K X tập Chebyshev Trong trường hợp này, gọi PK phép chiếu điểm gần ánh xạ từ X lên K iii) Chuẩn X khả vi Fréchet với x ∈ S(X), x + ty − x tồn theo y ∈ S lim t→ t iv)Không gian đối ngẫu X ∗ có chuẩn khả vi Fréchet X phản xạ, lồi ngặt thỏa mãn tính chất sau: Nếu xn x n → +∞ xn → x n → +∞, xn − x → n → +∞ Khi X có chuẩn Kadec-Klee Kí hiệu C([0, T ]; X) không gian hàm liên tục từ [0, T ] tới X với chuẩn u ∞ = sup{ u(t) : t ∈ [0, T ]} L1 ([0, T ]; X) không gian hàm khả tích Bochner X từ [0, T ] tới X với chuẩn T u = u(t) dt 1.2 Độ đo không-compact Cho X không gian Banach Kí hiệu: P(X) = {B ⊂ X : B = ∅}, Pb (X) = {B ∈ P(X) : B bị chặn}, Pf X = {B ∈ P(X) : B đóng}, Pbf X = {B ∈ Pf (X) : B bị chặn}, Pbf X = {B ∈ Pf (X) : B lồi}, K(X) = {B ∈ P(X) : B compact}, Kv (X) = {B ∈ K(X) : B lồi} Định nghĩa 1.1 Hàm β : Pb (X) → R+ gọi độ đo không compact X β(coΩ) = β(Ω) với ∀Ω ∈ Pb (X), đó, coΩ bao lồi đóng Ω Độ đo không-compact β gọi với k ≥ Từ {Kχk wk : k < n} ⊂ C([0, T ]; X) compact, có χ({(Kxk wk )(t) : k 1}) = χ({Kxk wk : k n}) Theo Bổ đề 1.9 Định lí 2.1 [4], ta có điều sau χ({(Kχk wk )(t) : k 1}) ρ({Kxk wk (t) : k n} t {(Kxk (Qm wk ))(t) : k 1}) ≤ sup d(wk (s)), Ym )ds, k n Cho n, m → ∞, áp dụng Bổ đề 1.1 ta có {(Kxk (wk ))(t) : k 1}) ≤ = χY ({wk (s) : k ≥ 1})ds χ({wk (s) : k ≥ 1})ds Bổ đề chứng minh Định lý 2.1 Giả sử giả thiết (HA ), (Hg )(1) − (2) (HF )(1) − (4) thỏa mãn Khi toán (2.1) có nghiệm tích phân với điều kiện a+ α 0} đồng liên tục (HF ) đúng, W1 đồng liên tục theo Bổ đề 1.10 Hơn nữa, đặt Wn+1 = conv(GWn ), với n = 1, 2, , có đươc Wn+1 ⊂ Wn với n = 1, 2, W1 ⊂ W0 Rõ ràng {Wn }∞ n=1 dãy giảm tập đồng liên tục lồi đóng bị chặn W0 ⊂ C([0, T ]; X).Theo bất đẳng thức (2) trang 673 [3] ,với +∞ ε > 0, tồn dãy {uk }+∞ k=1 ⊂ Wn {fk }k=1 ⊂ L ([0, T ]; X) cho fk ∈ Sel(uk ) ∀k ≥ χ(Wn+1 (t)) = χ({Kg(u) f : f ∈ Sel(u), u ∈ Wn }) ≤ 2χ({Kg(uk fk : k ≥ 1}) + ε Do g ánh xạ compact, kết hợp Bổ đề 2.1 ta có t χ({fk (s)ds : k ≥ 1})ds + ε χ(Wn+1 (t)) ≤ t ≤ χ(F (s, Wn (s)))ds + ε t ≤ µ(s)χ(Wn (s))ds + ε Do ε > tùy ý, có t χ(Wn+1 (t)) ≤ µ(s)χ(Wn (s))ds Cho n → ∞, t lim χ(Wn (t) ≤ n→∞ µ(s)( lim χ(Wn (s)))ds, với t ∈ [0, T ] n→∞ từ bất đẳng thức Gronwall, cho ta kết lim χ(Wn (t) ≡ với t ∈ [0, T ] n→∞ 20 Hơn nữa, biết {Wn }n≥0 dãy giảm tập bị chặn đồng liên tục C([0, T ]; X) Điều có nghĩa lim χc (Wn ) = n→∞ χc độ đo Hausdorff C([0, T ]; X) Từ Chương [4], có W = ∩n≥0 Wn tập compac lồi, khác rỗng C([0, T ]; X) G(W ) ⊆ W Bây kiểm tra graph(G) đóng Chứng minh chia làm bước Đầu tiên, cho ⊂ W với → v C([0, T ]; X) un → u C([0, T ]; X) cho {fn }∞ n=1 ⊂ L ([0, T ]; X) dãy thỏa mãn fn ∈ Sel(vn ) với n ≥ un = Kg(vn ) fn Theo (HF )(3),{fn }∞ n=1 ⊂ L ([0, T ]; X) khả tích Hơn nữa, fn thỏa mãn fn (t) ∈ C(t) := F (t, {vn (t) : n ≥ 1}) Do X ∗ lồi đều, biết X phản xạ, F có giá trị compact yếu tập C(t) compact yếu với t ∈ [0, T ] theo Bổ đề 1.5 Vì giả thiết fn f L1 ([0, T ); X) theo Bổ đề 1.2 Tiếp theo, chứng minh f ∈ Sel(v) Thật vây f n ∈ conv{fk : k ≥ n} cho f n → f L1 ([0, T ]; X) theo Định lí Mazur Vì có dãy f nk , f nk → f (t) [0, T ] Giả sử t ∈ [0, T ] thỏa mãn fn (t) ∈ F (t, (t) với n ≥ f nk (t) → f (t) Vì x∗ ∈ X ∗ , x∗ ◦ F (t, ) nửa liên tục yếu với giá trị compact lồi Do với ε > 0, có x∗ (fn (t)) ∈ x∗ (F (t, v(t))) + (−ε, ε) với n đủ lớn Hơn nữa, g liên tục, nên g(vn ) → g(v) Theo (1.3) Bổ đề 1.8, có un (t) − (Kg(v) f )(t) = (Kg(vn ) fn (t) − (Kg(v) f )(t) t ≤ g(vn ) − g(v) un (τ ) − (Kg(v) f )(τ ), fn (τ ) − f (τ ) s dτ +2 Do đó, n → ∞, kết hợp bất đẳng thức với Bổ đề 1.11 cho thấy u = Kg(v) f với f ∈ Sel(v) Nghĩa u ∈ G(v) Do G nửa liên tục 21 trên W Tiếp theo cho thấy G có giá trị khả co Giả Sử C = G(v) với v ∈ M đó, cố định f ∈ Sel(v) định nghĩa h : [0, 1] × C → C u(t), t ∈ [0, sT ], h(s, u)(t) = u(t; sT, u(sT )), t ∈ [sT, T ], u(t; t0 , x0 ) nghiệm w (t) ∈ Aw(t)+f (t) [t0 , T ], w(t0 ) = x0 Từ u = Kg(v) f với f ∈ Sel(v), có h(s, u) = Kg(v) f với f := f χ[0,sT ] + f χ[sT,T ] ∈ Sel(v) h ánh xạ vào C Hơn nữa, h liên tục phụ thuộc liên tục u(t; t0 , x0 ) vào điều kiện ban đầu (t0 , x0 ) ∈ [0, T ] × D(A) h(0, u) = Kg(v) f , h(1, u) = Kg(v) f = u Cuối cùng, kết hợp với Bổ đề 1.1 cho thấy G có điểm cố định u ∈ C([0, T ]; X) Rõ ràng điểm cố định u nghiệm tích phân toán (2.1) Định lí chứng minh Chú ý 2.2 Đối với trường hợp phi tuyến không cục bộ, Bổ đề 2.1 không gian Banach không tách được, mà quan trọng để chứng minh Định lí 2.1 2.3 Sự tồn nghiệm trường hợp S(t) không compact, không đồng liên tục Trong phần giả sử X tách được, tập trung ý vào trường hợp S(t) không compact không đồng liên tục, mối quan tâm lớn lý thuyết bao hàm thức vi phân không cục Bây chuẩn bị trình bày kết Định lý 2.2 Cho X ∗ lồi Giả thiết điều kiện (HF )(1) − (2) điều kiện sau (Hg ) (H1 ) thỏa mãn: (Hg ) g : C([0, T ]; X) → D(A) Lipschitz liên tục với hệ số Lipschitz k ; (H1 ) tồn p(t), q(t) ∈ L1 ([0, T ]; R+ ) cho H(F (t, x), F (t, y)) ≤ p(t) x − y , 22 F (t, x) ≤ q(t)(1 + x ) với t ∈ [0, T ] x, y ∈ X Khi toán (2.1) có nghiệm tích phân [0, T ] với T điều kiện k + Q < 1,trong Q = p(s)ds Chứng minh Chúng ta kí hiệu toán tử N : C([0, T ]; X) → C([0, T ]; X) N v = {y ∈ C([0, T ]; X) : y nghiệm tích phân (2.1) với u(0) = g(v) f ∈ Sel(v)} Rõ ràng điểm cố định N nghiệm tích phân toán (2.1) Vì ta cầm tồn điểm u ∈ C([0, T ]; X) cho u ∈ F ixN Với mục đích này, trước hết ta thấy rằng, (HF )(1) phần thứ hai (H1 ), với v ∈ C([0, T ]; X), Sel(v) = ∅ F có hàm chọn đo ([15], Định lí III.6) Ngoài ra, sử dụng lập luận tương tự với cách chứng minh Định lí 2.1, dễ dàng suy toán tử đa trị N định nghĩa có giá trị đóng Tiếp theo, chứng minh N co Cho v1 , v2 ∈ C([0, T ]; X) u1 ∈ N (v1 ) Khi tồn f1 (t) ∈ F (t, v1 (t)) cho u1 nghiệm tích phân (1.1) [0, T ] với u1 (0) = g(v1 ) f = f1 Theo (H1 ) có H(F (t, v1 (t), F (t, v2 (t))) ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) Vì nên có z ∈ F (t, v2 (t)) cho f1 (t) − z ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) , t ∈ [0, T ] Bây kí hiệu toán tử φ : [0, T ] → P (X) xác định φ(t) = {z ∈ X : f1 (t) − z ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) } Chúng ta viết φ(t) = f1 (t) + p(t) v1 (t) − v2 (t) S(X) 23 Rõ ràng φ hàm đo với giá trị đóng Ngoài F (t, v2 (t)) hàm đo với giá trị đóng Do toán tử đa trị Ψ(t) = φ(t) ∩ F (t, v2 (t)) hàm đo với giá trị đóng, tồn hàm chọn f2 (t) đo Ψ cho f1 (t) − f2 (t) ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) , với t ∈ [0, T ] (2.3) Cho u2 ∈ C([0, T ]; X) nghiệm tích phân (1.4) với u2 (0) = g(v2 ) f = f2 Khi từ bất đẳng thức (1.2) Bổ đề 1.8, có t u1 (t) − u2 (t) ≤ g(v1 ) − g(v2 ) + f1 (s) − f2 (s) ds Kết hợp (2.3)với (Hg ) ta có t u1 (t) − u2 (t) ≤ k v1 − v2 ∞ p(s) v1 (s) − v2 (s) ds + t ≤ k+ p(s)ds v1 − v2 ∞ ≤ (k + Q) v1 − v2 ∞ Khi u1 − u2 ∞ ≤ (k + Q) v1 − v2 ∞ Bằng mối liên hệ tương tự đạt cách đổi chỗ v1 , v2 , H(N (v1 ), N (v2 )) ≤ (k + Q) v1 − v2 ∞ Do đó, k + Q < 1, N co Từ Bổ đề 1.6, kết luận N có điểm cố định u ∈ C([0, T ] nghiệm tích phân (2.1) Bổ đề chứng minh Chú ý 2.3 Kết thu [0, T ] mở rộng đến [0, +∞) cách sử dụng định lí điểm bất động, không gian Banach hàm liên tục v : [0, +∞] → X cho v(t) bị chặn [0, +∞], không gian định chuẩn cho v = supt∈[0,+∞) v(t) 24 2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm Trong mục này, nghiên cứu toán sau u (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t ∈ [0, +∞], u(0) = g(u), (2.4) A toán tử tiêu tán X Chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm {u(t)}t≥0 (2.4) điều kiện thích hợp Đầu tiên đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 2.3 Một đường cong {u(t)}t≥0 X hàm u liên tục từ [0, +∞) tới X Định nghĩa 2.4 Một đường cong {u(t)}t≥0 X hầu không giãn tồn δ > cho u(t + h) − u(s + h) ≤ u(t) − u(s) + ε(s, t) với s, t ≥ h ∈ [0, δ], {ε(s, t)}s,t≥0 bị chặn lims,t→+∞ ε(s, t) = 0.(Lưu ý định nghĩa h ∈ [0, δ] thay h thuộc khoảng bị chặn [0, N ] Một nghiệm tích phân (1.1) [0, T ] đường cong u(t) [0, T ] thỏa mãn u(0) = u(g) bất đẳng thức u(t) − x 2 − u(s) − x t u(τ ) − x, f (τ ) − y s dτ ≤ s với [x, y] ∈ A ≤ s ≤ t ≤ T Bổ đề sau hệ bất đẳng thức (1.2) Bổ đề 1.8 với f2 (τ ) = f1 (τ + (t − s)) v(τ ) = u(τ + (t − s)) Bổ đề 2.2 Nếu u nghiệm tích phân (2.4), u nghiệm tích phân (1.1) [0, +∞) với u(0) = g(u) f ∈ Sel(u) Hơn nữa, f ∈ L1loc ((0, +∞); X), có s+h u(t + h) − u(s + h) ≤ u(t) − u(s) + f (τ + (t − s) − f (τ ) dτ s Cuối nêu kết phần Như hệ trực tiếp Bổ đề 2.2, có 25 Định lý 2.3 Cho u nghiệm tích phân hệ (2.4) [0, T ] với T > 0, tồn f ∈ Sel(u) u nghiệm tích phân (1.1) với T > Ngoài ra, tồn f∞ ∈ X δ > cho s+δ f (τ ) − f∞ dτ = 0, lim s→+∞ (2.5) s {u(t)}t≥0 đường cong hầu không giãn X Đặc biệt, f − f∞ ∈ Lp ((0, +∞); X) với f∞ ∈ X ≤ p ≤ ∞ (2.6) {u(t)}t≥0 } đường cong hầu không giãn X Chứng minh Theo Bổ đề 2.2 có s+h u(t + h) − u(s + h) ≤ u(t) − u(s) + f (τ + (t − s) − f (τ ) dτ s lấy s+δ s t+δ t ε(t, s) = f (τ + (t − s) − f (τ ) dτ, t ≥ s, f (τ + (s − t) − f (θ) dτ, s ≥ t, Ta có ∀s, t ≥ 0, s+δ ε(t, s) ≤ t+δ f (τ ) − f∞ dτ + s f (τ ) − f∞ dτ, t sử dụng giả thiết (2.5) ta có lim ε(t, s)/s = Vì vậy, {u(t)}t≥0 s→+∞ đường cong hầu không giãn Với giả thiết (2.6) sử dụng khai triển bất đẳng thức H¨older’s: ∀δ > s > δ 2s s+δ s+δ f (τ ) − f (∞) dτ δ (p−1)/p s s f (τ ) − f (∞) p dτ θ p −→ s −→ ∞ ta có u(t)}t≥0 đường cong hầu không giãn Định lí chứng minh Bổ đề 2.3 ([20,21]) Cho {u(t)}t≥0 đường cong hầu không giãn u(t) không gian Banach X Khi tồn lim t→+∞ t 26 Bổ đề 2.4 Cho {u(t)}t≥0 đường cong hầu không giãn X Ch = ∩∞ n=0 co{{u(t + h) − u(t)}t≥n } cho h > Khi (1) Nếu X phản xạ, Ch = ∅ d(0, Ch ) u(t) → t h t → +∞ với h > (2) Nếu X phản xạ lồi ngặt, u(t) t PC h h t → +∞ u(t) → PC h t h t → +∞ với h > (3) Nếu X ∗ khả vi Fréchet, u(t) → PC h t h t → +∞ với h > Định lý 2.4 Nếu u nghiệm tích phân hệ (2.4) [0, +∞), u nghiệm tích phân hệ (1.1)trên [0, +∞) với u(0) = g(u) Hơn f − f∞ ∈ LP ((0, +∞; X) với f∞ ∈ X ≤ p < ∞ Khi (1) Nếu X phản xạ, Ch = ∅ u(t) d(0, Ch ) → t h t → +∞ với h > (2) Nếu X phản xạ lồi ngặt, u(t) t PC h h t → +∞ u(t) → PC h t h t → +∞ với h > (3) Nếu X ∗ khả vi Fréchet, u(t) → PC h t h t → +∞ với h > 27 Chứng minh Theo Định nghĩa 2.2, u nghiệm tích phân hệ (2.4), tồn f ∈ Sel(u) cho u nghiệm tích phân (1.1) với u(0) = g(u) Hơn f thỏa mãn(2.5), suy ta có {u(t)}t≥0 đường cong hầu không giãn X theo Định lí 2.3 Cuối cùng, áp dụng Bổ đề 2.3 2.4, có kết luận Định lí 2.4 2.5 Ví dụ áp dụng Trong phần này, thảo luận ví dụ để minh họa cho ứng dụng lý thuyết nêu ∂ v(t, x) = v(t, x) + F (t, (v(t, x)), t ∈ [0, T ], x ∈ Ω, ∂t ∂ v(t, x) ∈ ∂j(v(t, x)), t ∈ [0, T ], x ∈ Γ, − ∂ν (2.7) (2.8) T G(t, x, ξ, v(t, ξ))dtdξ, x ∈ Ω, v(0, x) = Ω (2.9) ∂ có nghĩa ∂ν đạo hàm chuẩn tắc tới Γ, j : R → R ∪{+∞} hàm lồi thực nửa liên tục với j(0) = 0, F : R × R → R G : [0, T ] × Ω × Ω × R → R hàm cho Chúng ta giả sử: (H1 ) Tồn h : [0, T ] × Ω × R → R+ cho Ở Ω miền bị chặn Rn (n 1) với biên trơn Γ, F (t, v(t, x)) := {u(t) ∈ L1 (0, T ; L2 (Ω)), ≤ u(t, x) ≤ h(t, x, v(t, x)), t ∈ [0, T ], x ∈ Ω} h hàm thỏa mãn điều kiện sau: (1) với hầu khắp (t, x) ∈ [0, T ] × Ω, h(t, x, r) hàm liên tục r; (2) với điểm cố định r ∈ R, h(t, x, r) hàm đo (t, x); (3) tồn hai hàm h1 ∈ L1 ([0, T ]; R+ h2 ∈ L1 ([0, T ]; L2 (Ω)), h2 (t, x) ≥ cho h(t, x, r) ≤ h1 (t)|r| + h2 (t, x) 28 (H2 ) Tồn l ∈ L1 ([0, T ]); R+ cho χ(F (t, B)) ≤ l(t)χ(B) cho t ∈ [0, T ] tập bị chặn B ⊂ X (H3 ) Hàm G : [0, T ] × Ω × Ω × R → R thỏa mãn điều kiện sau: (1) điều kiện Carathéodory, nghĩa G(t, x, ξ, r) hàm liên tục r (2) |G(t, x, ξ, r) − G(t, x , ξ, r)| ≤ mk (t, x, x , ξ) với (t, x, ξ, r), (t, x , ξ, r) ∈ [0, T ] × Ω × Ω × R, |r| ≤ k, mk ∈ L1 ([0, T ) × Ω × Ω × R; R+ thỏa mãn T mk (t, x, x , ξ)dtdξ = 0, theo x ∈ Ω lim x→ x Ω δ |r| + η(t, x, ξ) với r ∈ R, T m(Ω) η ∈ L2 ([0, T ] × Ω × Ω; R+ ) δ > (3)|G(t, x, ξ, r)| ≤ Cho X = L2 (Ω) với chuẩn v = ( Ω v (x)dx) với v ∈ L2 (Ω), X không gian Hilbert Cho v ∈ D(A), kí hiệu Av = − v, ∂v ∈ ∂j(v)} Khi A vi phân D(A) = {v ∈ X : − ∂ν hàm lồi thực nửa liên tục φ : X → R ∪ {+∞} Hơn , j hàm dương, A sinh nửa nhóm S(t) X , đồng liên tục Tiếp theo, định nghĩa F : [0, T ] × X → P (X) F (t, v) = {u ∈ X : ≤ u(x) ≤ h(t, x, v(x)), x ∈ Ω}, g : C([0, T ; X]) → X T G(t, x, ξ, v(t, ξ))dtdξ, x ∈ Ω g(v)(x) = Ω Theo giả thiết (H1 ), từ trang 191 [13] Định lí 8.14 [3] có F có giá trị lồi đóng, khác rỗng F (., v) hàm đo với v ∈ X |F (t, v)| ≤ h1 (t) v + h2 (t, ) Hơn theo nghiên cứu [12,13,16] chứng minh F (t, ) hàm nửa liên tục yếu với 29 t ∈ [0, T ] Tiếp theo, giả thiết (H3 ), từ Định lí 4.2 [19] suy g xác định toán tử hoàn toàn liên tục Cuối cùng, g thỏa mãn điều kiện tăng trưởng (Hg )(2) Để làm điều đó, với v ∈ C([0, T ]; X), từ (H3 ), có T |g(v)(x)| ≤ G(t, x, ξ, v(t, ξ))dtdξ Ω T T δ |v(t, ξ)|dtdξ + η(t, x, ξ)dtdξ ≤ T m(Ω) Ω Ω T T δ 2 ( v (t, ξ)dξ) dt + η(t, x, ξ)dtdξ ≤ T m(Ω) Ω Ω T δ = v C([0,T ];L2 (Ω)) + η(t, x, ξ)dtdξ, m(Ω) Ω η ∈ L2 ([0, T ]×Ω×Ω; R+ ), bất đẳng thức cho thấy g thỏa mãn δ b = (T m(Ω)) η L2 ([0,T ]×Ω×Ω;R+ ) điều kiện (Hg )(2) với a = m(Ω) 30 Kết luận Luận văn xét toán tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục Các kết trình bày luận văn là: -Định lí tồn nghiệm tích phân toán hai trường hợp S(t) đồng liên tục trường hợp S(t) không compact, không đồng liên tục -Dáng điệu tiệm cận nghiệm 31 Tài liệu tham khảo [1 ] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina and B.N Sadovskii (1992) Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkh¨auser, Boston-Basel-Berlin [2 ] S Aizicovici, V Staicu (2007), Multivalued evolution equations with nonlocal initial conditions in Banach spaces, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 14, 361-376 [3 ] R Bader (1998), The periodic problem for semilinear differential inclusions in Banach Spaces, Comment Math Univ Carolin 39, 671-684 [4 ] J Banas, K Goebel (1980), Measure of Noncompactness in Banach Spaces , Lect Notes Pure Appl Math., vol 60, Marcel Dekker, New York [5 ] V Barbu (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Noord Inter Pub., Leyden [6 ] M Benchochra, S Ntouyas (2003), Existence results for multi-valued semilinear functional differential equations, Extracta Math 18(1), 112 [7 ] D Bother (1998), Multivalued perturbations of m-accretive differential inclusions, Israel J Math 108, 109-138 [8 ] C Castaing, M Valadier (1997), Convex Analysis and Measurable Multifunctions, Lecture Note in Math., vol 580, Springer-Verlag [9 ] M.G Crandall, T Liggett (1971), Generation of semigroups of nonliner transformations in Banach spaces, Amer J Math 93, 265-298 [10 ] K Deimling (1992), Multivalued Differential Equations, de Gruyter, Berlin, New York [11 ] J Diestel(1975), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Lecture Notes in Math., vol 485, Springer-Verlag, Berlin 32 [12 ] S Hu, N.S Papageorgiou (1997), Handbook of Multivalued Analysis, vol I: Theory, Kluwer, Dordrecht [13 ] S Hu, N.S Papageorgiou (2000), Handbook of Multivalued Analysis,vol II: Applications, Kluwer, Dordrecht [14 ] M Kamenskii, V Obukhovskii and P Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semlinear Differential Iclusions in Banch Spaces, de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York [15 ] T.D Ke, V Obukhovskii (2013), Controllability for system governed by second-order differential inclusions with nonlocal conditions, Topol Methods Nonlinear Anal, 377-403 [16 ] M Kisielewicz (1991), Differential Inclusions and Optimal Control, PWN-Polish Scientific Publishers/Kluwer Academic Publishers, Warszawa/Dord [17 ] V Lakshmikantham, S Leela (1981), Nonlinear Differential Equations in Abstract Spaces, Internat Set Nonlinear Math., vol 2, Pergamon Press [18 ] Lanping Zhu, Qianglian Huang, Gang Li (2012), Existence and asymptotic properties of solutions of nonlinear multivalued differential inclusions with nonlocal conditions, J Math Anal Appl 390, 523-534 [19 ] R.H Martin (1976), Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach Spaces, Wiley, Newyork [20 ] B.D Rouhani (2006), Asymptotic properties of some non-autonomous system in Banach spaces, J Diffeerential Equations 229, 412-425 [21 S Saeide (2010), On the asymptotic properties of non-autonomous systems, J Evol Equ 10, 205-216 [22 ] I.I Vrabie (1987), Compactness Methods for Nonlinear Evolutions, Longman, Harlow [23 ] X Xue (2005), Nonlinear differential equations with nonlocal conditions in Banach spaces, Nonlinear Anal 63, 575-586 33 [...]... thức ở trên cho thấy g thỏa mãn δ 1 và b = (T m(Ω)) 2 η L2 ([0,T ]×Ω×Ω;R+ ) điều kiện (Hg )(2) với a = m(Ω) 30 Kết luận Luận văn xét bài toán sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục bộ Các kết quả chính được trình bày trong luận văn là: -Định lí sự tồn tại nghiệm tích phân của bài toán trong hai trường hợp S(t) đồng liên tục và trường hợp S(t) không. .. (s)−f (s) s ds a 15 Chương 2 Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục bộ 2.1 Phát biểu bài toán Giả sử X là một không gian Banach với chuẩn Chúng tôi nghiên cứu bài toán sau đây: u (t) ∈ Au(t) + F (tu(t)), 0 < t ≤ T, u(0) = g(u), (2.1) trong đó A : D(A) ⊆ X → X là toán tử phi tuyến m−tiêu tán sinh nửa nhóm S(t) và F là hàm đa trị nửa liên tục trên... thuyết bao hàm thức vi phân không cục bộ Bây giờ chúng ta chuẩn bị trình bày kết quả chính Định lý 2.2 Cho X ∗ là lồi đều Giả thiết điều kiện (HF )(1) − (2) và các điều kiện sau (Hg ) và (H1 ) thỏa mãn: (Hg ) g : C([0, T ]; X) → D(A) là Lipschitz liên tục với hệ số Lipschitz k ; (H1 ) tồn tại p(t), q(t) ∈ L1 ([0, T ]; R+ ) sao cho H(F (t, x), F (t, y)) ≤ p(t) x − y , 22 và F (t, x) ≤ q(t)(1 + x ) với mọi... 2.2 Đối với trường hợp phi tuyến không cục bộ, Bổ đề 2.1 là mới trong không gian Banach không tách được, mà cũng rất quan trọng để chứng minh Định lí 2.1 2.3 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) không compact, không đồng liên tục Trong phần này chúng ta giả sử X là tách được, chúng ta tập trung chú ý vào trường hợp S(t) không compact và không đồng liên tục, đó là mối quan tâm lớn trong lý thuyết bao. .. tục với bất kì t > 0 với mọi tập con bị chặn A ⊂ X 1.6 Một số kết quả đối với bài toán với điều kiện ban đầu cục bộ Cho A là m−tiêu tán, cho x0 ∈ D(A) và f ∈ L1 ([0, T ]; X), ta xét bài toán sau u (t) ∈ Au(t) + f (t), 0 < t ≤ T, (1.1) u(0) = x0 Định nghĩa 1.13 Một hàm u : [0, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1) trên [0, T ] nếu u ∈ C([0, T ]; X) với u(0) = x0 và bất đẳng thức. .. [0, T ] và x, y ∈ X Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm tích phân trên [0, T ] với T điều kiện k + Q < 1,trong đó Q = 0 p(s)ds Chứng minh Chúng ta kí hiệu toán tử N : C([0, T ]; X) → C([0, T ]; X) bằng N v = {y ∈ C([0, T ]; X) : y là nghiệm tích phân của (2.1) với u(0) = g(v) và f ∈ Sel(v)} Rõ ràng điểm cố định của N là nghiệm tích phân của bài toán (2.1) Vì vậy ta chỉ cầm chỉ ra tồn tại một... thể vi t φ(t) = f1 (t) + p(t) v1 (t) − v2 (t) S(X) 23 Rõ ràng φ là hàm đo được với giá trị đóng Ngoài ra F (t, v2 (t)) cũng là hàm đo được với giá trị đóng Do đó toán tử đa trị Ψ(t) = φ(t) ∩ F (t, v2 (t)) là hàm đo được với giá trị đóng, và do đó tồn tại hàm chọn f2 (t) là đo được của Ψ sao cho f1 (t) − f2 (t) ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) , với mọi t ∈ [0, T ] (2.3) Cho u2 ∈ C([0, T ]; X) là nghiệm tích phân. .. cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm {u(t)}t≥0 của (2.4) dưới điều kiện thích hợp Đầu tiên chúng tôi đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 2.3 Một đường cong {u(t)}t≥0 trong X là một hàm u liên tục từ [0, +∞) tới X Định nghĩa 2.4 Một đường cong {u(t)}t≥0 trong X là hầu không giãn nếu tồn tại δ > 0 sao cho u(t + h) − u(s + h) ≤ u(t) − u(s) + ε(s, t) với mỗi s, t ≥ 0 và h ∈ [0, δ], ở đây {ε(s, t)}s,t≥0 bị chặn và. .. Ax) và 0 ≤ s ≤ t ≤ T Ở đây hàm , s :X ×X →R 16 được định nghĩa bởi x, y s = sup{x∗ (y) : x∗ ∈ J(x)} Hơn nữa, chúng ta kí hiệu u bằng u = Kg f , trong đó Kg là từ L1 ([0, T ]; X) tới C([0, T ]; X) Định nghĩa 2.2 Một hàm liên tục u(t) gọi là nghiệm tích phân của (2.1) nếu tồn tại f ∈ L1 ([0, T ]; X) với f (t) ∈ F (t, u(t) trên [0, T ] sao cho u là nghiệm tích phân của (1.1) với u0 = g(u) 2.2 Sự tồn tại. .. khi t → +∞ với h > 0 Định lý 2.4 Nếu u là nghiệm tích phân của hệ (2.4) trên [0, +∞), thì u là nghiệm tích phân của hệ (1.1)trên [0, +∞) với u(0) = g(u) Hơn nữa khi f − f∞ ∈ LP ((0, +∞; X) với f∞ ∈ X và 1 ≤ p < ∞ Khi đó (1) Nếu X phản xạ, thì Ch = ∅ và u(t) d(0, Ch ) → t h khi t → +∞ với h > 0 (2) Nếu X là phản xạ và lồi ngặt, thì u(t) t 1 PC 0 h h khi t → +∞ và u(t) 1 → PC h 0 t h khi t → +∞ với h >