B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI - * - N G U Y ỄN THỊ TH A NH HOA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIẾN TỐI ƯU MÔ TẢ BỞI HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chuyên ngành: T o n g iả i tíc h M ã số: 60 01 02 L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SỸ T O Á N HỌC N g i h n g d ẫ n k h o a h ọc: P G S T S N g u y ễ n Q u a n g H u y H N ộ i-2 LỜI C Ả M Ơ N Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hoa LỜI C A M Đ O A N Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc” hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hoa B Ả N G K Ý H IỆ U R tập số thực suy rộng F : X =4 Y ánh xạ đa trị từ X vào Y dom F tập xác định F gphF đồ thị F IIжII chuẩn véc tơ X Bỵ hình cầu đơn vị đóng không gian B p(x) hình cầu đóng tâm X* không gian đối ngẫu không gian Banach X limsup giới hạn cho dãy số thực Limsup giới hạn theo nghĩa Painlevé - Kuratowski intíĩ phần íỉ clíỉ bao đóng Q coíỉ bao lồi coneíỉ nón lồi sinh íỉ N ( x ; ri) nón pháp tuyến qua giới hạn X, X bán kính p (nón pháp tuyến Mordukhovich) íĩ X N(x-, ri) nón pháp tuyến Fréchet ri X df(x) vi phân giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich) / X d°° f ( x ) v i ph ân su y biến / tạ i X df(x) vi phân Fréchet / X D*F(x,ỹ) đối đạo hàm Mordukhovich F (x , ỹ ) D*F(x,ỹ) n _ đối đạo hàm Préchet F (x , ỹ ) X X X —> X, X € í l X X X —У X, f ( x ) —> f ( x ) „ ữị ữ а —¥ ã , a ^ ã V f{x) gradient / tạ i X ( V t o n tử liên hợp v / ( x ) M ục lục M ỏ đầu 1 K iế n th ứ c c h u ẳ n b ị 1.1 Nón pháp tuyến 1.2 Đối đao hàm ánh xa đa tri 1.3 Dưới vi phân 10 1.4 Một số phép toán vi phân 12 D i v i p h â n F ré ch et d ới v i p h â n M o r d u k h o v ic h 16 2.1 Dưổi vi phân Fréchet hàm giá trị tối Ư u 16 2.2 Dưới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu 27 T ín h c h ấ t A u b in c ủ a tậ p n g h iệ m 46 K ế t lu ậ n 60 T ài liệ u th a m k h ảo 61 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc ỰPW): N- Min E hk(xk, u k, w k) + hN (xN), (0.1) k=0 t r ê n v é c t đ iề u k h i ể n u — ( u q , U i , W jv -i) G N- n Uk v c c q ũ y k=0 N đạo X = (x0, x i , ,XN) ẽ I := n x k, thỏa mãn phương trình động k=0 lực Xk + = A kx k+ B kuk+ Tkw k với k= , , , JV - 1, (0.2) với ràng buộc Uỵ € c Uỵ với k = , , , N — 1, (0.3) điều kiện ban đầu Xq g c , đó, Xỵ biến trạng thái, Uỵ t h a m s ố đ iề u k h iể n , w := (w 0, Wị, , W n - i) tham số nhiễu, Xk, U]ị , Wk không gian hữu hạn chiều, (0-4) tập khác rỗng Uk, c tập lồi đóng khác rỗng xữ, Ak '■Xỵ —> x k+1, Bỵ : Uỵ —>■Xfc_|_i, T ỵ : Wỵ —> Xj + ánh xạ tuyến tính Bài toán nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu; chẳng hạn, xem Ị5Ị [8Ị [0] tài liệu trích dẫn Một ví dụ cổ điển cho toán (0.1) (0.4) toán ổn định kinh tế; xem [81121 Gọi S ( w ) tập nghiệm toán (Vw) tương ứng với tham số N-1 w = (w 0, w u WN- ) e W : = Y l Wỵ k=0 Trong trường hợp c tập phần tử, tác giả B T Kien đồng nghiệp [5ị| thu vài công thức cho việc tính toán vi phân Préchet hàm giá trị tối ưu V với giả thiết Tk toàn ánh với k Bằng cách thiết lập kết dựa vi phân Fréchet hàm giá trị tối ưu toán quy hoạch có tham số, tác giả N H Chieu Jen-Chih Yao [3 J thu công thức tính toán vi phân Fréchet V giả thiết yếu [5J Gần đây, tác giả N T Toan, B T Kien Jen-Chih Yao pHỊ d ĩ] thiết lập công thức tính vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu V điều kiện đủ cho tính Aubin ánh xạ nghiệm s Luận văn thạc sĩ với đề tài “Tính ổn định toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc” nhằm trình bày công thức tính vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu V điều kiện đủ cho tính chất Aubin (tính giả Lipschitz) ánh xạ nghiệm s M ục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc, tính ổn định tập nghiệm hàm giá trị tối ưu N h iệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich; lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; trình bày công thức tính vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich làm công cụ thiết lập tính chất Aubin ánh xạ nghiệm Đ ối tượng phạm vi nghiền cứu Lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; vi phân Préchet vi phân Mordukhovich Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích biến phân đạo hàm suy rộng, giải tích đa trị, đại số tuyến tính lý thuyết tối ưu D ự kiến đóng góp luận văn Nội dung luận văn trình bày công thức tính vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; sử dụng kết đạt công cụ để thiết lập điều kiện đủ cho tính chất Aubin ánh xạ nghiệm Chương K iến thứ c chuẩn bị 1.1 N ón pháp tu yến Trong toàn luận văn sử dụng khái niệm, kí hiệu giải tích biến phân đạo hàm suy rộng; chi tiết đọc giả tham khảo sách Mordukhovich p , un] Trừ phát biểu khác, tất không gian xét không gian Banach với chuẩn kí hiệu II • II Với không gian Banach X , ta xét không gian đối ngẫu X* với tôpô yếu* kí hiệu w* B x B x * kí hiệu tương ứng hình cầu đơn vị đóng không gian Banach X không gian đối ngẫu Kí hiệu A* toán tử liên hợp toán tử tuyến tính liên tục Ả Hình cầu đóng tâm X bán kính p kí hiệu Bp(x) Với tập ri c X , c lfi, in tíi, c o íỉ co n eíi kí hiệu tương ứng bao đóng, phần trong, bao lồi nón lồi sinh íĩ Ta nhắc lại íĩ e X đóng địa phương X G íĩ có lân cận u X cho Q n clu tập đóng Cho F : X =£ X* ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian đối ngẫu X* X Giới hạn theo dãy theo nghĩa Painlevé - Kuratowski tôpô chuẩn X tôpô yếu* X* X xác định Lim sup F(a;) := {x* e X* : x k —»■X, x*k x*,x*k G F ( x k),Vk G N } x—^x (1.1) Đ ịn h n g h ĩa 1 (N ó n p h p tu y ế n ) Cho Q ỉà tập khác rỗng không gian Banach X , X G íĩ e ^ (i) Tập £ - vécíơ p/ìáp tuyến Fréchet fỉ X xác định N e(x-, ri) := X € X * , (x*,x — X) : lim sup -Ỉ7—— -— ^ £ X —X íỉ _ x^x (1.2) X A ’ X nghĩa X —> X X E fỉ Khi £ = 0, ta có N ( x ; í ì ) := N ữ(x-, ri) nón pháp tuyến Fréchet ri X (ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn íĩ X tập N(x] ri) := Lim sup N e(x\ ri), (1-3) q _ X-¥X eịo hay N(:r; ri) := e X* : 3eỵ —> 0, Xỵ A X, x*ỵ X*, x*k G N £k (xỵ\ íĩ) VA; I , đặt £ = íĩ ỉà tập đóng ỉân cận X X không gian Asplund B ổ đ ề 1 (T íc h Đ ề c c) p , Proposition 1.2] Lấy tùy ý điểm X = ( x i , x 2) e ÍỈ X ÍỈ c X ị X x2 Khi N(x-,Q X í ỉ 2) = N ( x ; Oi) X N ( x 2^ 2), (1-4) N ( x ; ũ ị X í ỉ 2) = N ( x i ; í ì ị ) X N ( x 2',^Ì2)- (1-5) 47 fik,Wk tham số ngẫu nhiên (cũng gọi nhiễu) mà tương ứng thuộc Ms Mm, ịi = (ịi0, ị i ị , , / ẤN- i ) , N phạm vi số thời gian áp dụng, a.k véctơ Rn, A k e M (m, m ) B k G M ( m , n ) ma trận, M ( m , rì) ma trận cấp m X n R(tf+1)"*, u = Đặt X = Với (ụ>,w) G M X w R Nn, z = X X u, M = R Ns , W N _ i) = R Nm ta kí hiệu S(ịẤ,w) tập nghiệm toán (3.1) (3.4) tương ứng với tham số ịi — (n0, n i , w = {w0, w u w G M G w Vậy s : M x W — > 2Z ánh xạ nghiệm toán (|3.1|)—(|3.4|) Mục đích chương thiết lập điều kiện đủ cho tính chất Aubin ánh xạ nghiệm s Giả sử F : E l E ánh xạ đa trị hai không gian Euclid hữu hạn chiều Ta nói F có tính chất Aubin (20, Uo) G gphF tồn lân cận u Zo, v ^0 số l > cho Fự) n Vo c F{z) + ỉ\\z- z'\\Be2 z, z' g u0 đó, B Ẽ2 hình cầu đơn vị đóng E Một ánh xạ đa trị gọi nửa liên tục z0 G El tập mở V E thỏa mãn F ( z 0) n V Ỷ tồn lân cận Ui z cho F { z ) n V ^ với z G U\ Với / i = {/jL0 , ị i U , a í j v - i ) e M w = ( w 0, w ị , , w N _ ị ) G W , 48 ta N f ( x , u , /z) K ( w ) = {(x,u) e z ^ ^ k=0 (■£/; ĩ (3.5) ■ )ị^k) ■ ) I £*+1 = AfcZfc + B ỵUỵ + w k, x = c, Oík < uk < pk, k = , , , N - 1} (3.6) Bài toán (3.1)-(3.4) viết lại đơn giản sau: min{ f ( x , u , ị i ) I (x , u ) e K ( w ) } (3.7) Giả sử z = (X, ũ) nghiệm toán (fL, w), nghĩa (X , ũ ) G S{Ịi, w ) tồn lân cận lồi /ũ, X N- N Mữ = Ỵ \ M l fc=0 ũ tương ứng N- x„ = n * ỉ > fc=0 % = n t/ " k=0 cho điều kiện sau thỏa mãn: (Hl ) Với k e { , , , N — 1} cố định À € M °, hàm số hk( , A) : x ị X Uỵ —> K hN : —»• M hàm lồi (H2) Với k € { , , , N — 1} cố định, hàm số hỵ : —> M hN : X X uị X —>• M liên tục (H3) Với k € { , , , N — 1} cố định, hàm số hỵ : Mỵ —> M hN : X ^ —>■M thuộc lớp d 2f(z, fi ) dị i dz :z xị X c 2và ánh xạ X M toàn ánh đây, Mỵ, Ịi = (/20,Ã*1, • • • , Ị ì n x%, Uỵ -Ì),x = (Ẽ0,Ẽ1, , X N ) , Ũ = (ũ0, ũi, ,ũjv_i) tương ứng lân cận lồi /2, X, ũ Lưu ý điều kiện ( 3.3) viết lại dạng sau Uk < Pk - u k < OLỵ uị X Xác định 50 Và 0 -B o 0 0 0 B0 0 ĩ m Xm 0 0 0 0 0 Br 0 1m Xm 0 —B n - 0 —A l Ai 0 0 0 0 An - Im 0 0 0 0 Im 0 0 0 0 0 0 0 Aixn 0 0 0 0 4xn 0 0 0 0 0 Aixn 0 0 0 0 0 0 0 0 Im Xm 1 с = ĩ m Xm I— cq Ao Im Xm 'k —^0 ỉ m Xm ĩnxn Bn- (3.9) đó, Imxm Inxn tương ứng ma trận đơn vị cấp m X m n X n Khi đó, ta có K ( w ) = { z & X x U \ C z < b(w)} (3.10) toán (3.7) có dạng m i n Iz e K(w)} Ta đặt П = JR2(iv+i)m+2iVn) p = M x ĩ l v ầ ánh xạ X i : П (3.11) 2Z xác định bởi: Ki{b) = { z i}- Ta nghiên cứu tính liên tục ánh xạ nghiệm, tức ta phải nghiên cứu tính chất Aubin ánh xạ nghiệm toán (3.1 - 3.4) Vì liên tục Lipschitz mạnh so với tính chất nửa liên tục nên giả thiết ( Hl) (H2) chưa đủ để thiết lập tính chất Do vậy, ta cần giả thiết (H3) công cụ vi phân suy rộng để giải toán Chú ý rằng, với cặp (/i, w) cố định, (3.11) toán quy hoạch lồi ràng buộc tuyến tính Vì / hàm lồi khả vi biến z n ê n t a t h ấ y r ằ n g z n g h iệ m c ủ a b i t o n k h i v ch ỉ k h i e f'z(z , v ) + N ( z - K ( w ) ) , N( z ; K ( w )) nón pháp tuyến K ( w ) z theo nghĩa giải tích lồi Đặt ệ ( z , f i ) — f'z ( z , ị i ) ta G ộ(z, ụ) + N( z ] K { w ) ) (3.13) bất đẳng thức biến phân chứa tham số Cho tập Q c z , tập Q*:= {z* £ z I (z*,z) < 0,Vz e Q} gọi nón cực Q Cho íỉ c z z G fĩ Nón tiếp tuyến từ íĩ z kí hiệu T{z\ íĩ) xác định T(z]SÌ) = N{z;í ì Ỵ = { v e z : (z*,v) < ,Vz* G AT(z;^)} Từ bây giờ, ta viết thay cho b(w) Với (n,b) e M X ĩl ta xét toán: tìm z = z(ịi, b) thỏa mãn phương trình Oeộ{ị i , z) + N { z - K 1{b)) (3 14) 52 Kí hiệu Si ( ị i : b) tập nghiệm (3.14) tương ứng với (/z, 6) € M X n Dễ thấy, S(fẤ,w) = Si ( n, b(w)) với (ịi,w) & M X D, ỏ ãổ S ( n , w ) tập nghiệm toán (3.13) ánh xạ nghiệm toán Lưu ý rằng, c = (Cij)pxq, ỗ p = 2(iV + 1)m + 2iVn q = (iV + l)m + iVn Đặt T = { , , ,p} = T0 u Ti, To = { l , , , ( i V + l ) m } , Ti = { ( N + l)m + ,2(iV + l)m + , , 2(iV + l)m + 2iVn} Kí hiệu Cị hàng thứ ỉ ma trận c Với phần tử z € Kị (b) cố định, tập số hoạt z cho công thức I{ z , b) = { i e T : C iz = { b ) i }, đó, (b)i thành phần thứ i b đây, véctơ b gồm có2 ( N + N n thành phần, véctơ (3.15) 1)ra 4- z gồm có ( N + 1)m + N n thành phần Để thuận tiện, ta giả sử @i i p ( N + l ) m + i n + l ^ ( N + l ) m + i n + ĩ • • • ^2( N + l ) m + i n + n } ) — OLị — { p ( N + l ) m + ( i + l ) n + l ĩ &2(AT + l ) m + ( i + l ) n + j • • • Ì>2{N + l ) m + { i + l ) n + n ) J i = , , , N — đây, bk cố định với k = ( N + 1)m + , , ( N + 1) + 2Nn Như vậy, ta có b(w) = rw 0, - w 0, w , - w 1, W N_ , - W N_ U C, - c , b/'~\T đó, b = ( h '2(AT+ l ) m + l j b2(N +l ) m + N n ) u ( N + l ) m + 2, •■ •■ •■ ,, u2( N+ Vì CịZ = bị với i e T0 nên ta có I{ z, b) = T0 U T 1{ z 1b)ì (3.16) 53 T1{ z , , b) = { i e T \ c ỉz = ậ ) ỉ\ Với tập I c T ta đặt I = T \ I cho Cj (tương ứng Cj) ma trận cho hàng Cị , i e I c (tương ứng hàng Cị, i £ I) Mệnh đề sau đây, cho ta công thức tính nón pháp tuyến nón tiếp tuyến hàm lồi đa diện (3.12) Việc chứng minh xem lỊTTỊ, Lema 3.1] M ệ n h đ ề ỊTT1 Lema 3.1] Giả sử K ị ( b ) xác định (3.12), z G Ki{b) I ( z , b ) xác định (3.15) Khi đó, ta có biểu diễn sau: (i) N ( z - , K l (b)) = { y £ z :y € pos{CỊ : i e I(z,b)}}, (3.17) đ ó, p o s { C j : ỉ G I ( z , 6)} = { Xị CỊ , Xi > 0}; i €l ( z , b) (Ũ) T ( z - K l (b)) = { v e z : C i V < 0,Vi Giả sử ánh xạ F2 : z X giả sử Q2 tập G n — > 2Z xác định ảnh F2 Bổ đề I ( z , 6)} (3.18) F2( z , 6) = N( z ; Kị (b)) sau cho công thức tính tiền nón pháp tuyến fỉ điểm B ổ đ ề IỊL2 Ị, Lema 4.1] Nếu (z*,b*,v*) € N ( ( z , b , v )-,$}2) ự , v * ) G ( T ( z ; X ( 6) ) ri í ; ± )* X (T(z; K ^ b ) ) n VL) (3.19) = -cjb* (3.20) b* = (3 21 ) đ ó , I = I { z , 6) v V1- = { z £ z I (v, z ) = } 54 Nhắc lại rằng, tập Q gọi mặt đóng nón H tồn V £ H* cho Q = { z € H I ( v , z) = 0} Đ ịn h lý ỊTTI Theorem 3.3] Giả sử ( z : 6, v) G fỈ2 V*) €E N ((z, b,v)',íl2) Khi đó, tồn tập số I' c I( z, b) := T0UTi(z, b) mặt đóng Q nón đa diện lồi T ( r I ' \ K i ( b )) n VL cho (z*,v*) £ Q* V X Q, (3.22) e p o s { C Ị : i Ễ /'} , (3.23) = - f ,b * r ì (3.24) b*r = (3.25) đó, FI' = { z = (X, ù) I Ci>z = bp, Cj'Z < bj'}, với ì' T1( ĩ , b ) \ r Chứng minh Việc chứng minh định lý dựa Bổ đề 3^1 sử dụng lập luận tương tự việc chứng minh IỊT2Ị, Theorem 4.3] Đ ịn h lý i m Theorem 3.4] Giả sử rằ n g (z , b , v ) € fỉ □ V* € z Nếu (z*,b*) G D*F2(z,Ĩ),v)(v*) tồn tập số I' c I ( z , b) mặt đóng Q nón đa diện lồi T(FI' \ K i (6)) n V± cho điều kiện (3.23- 3.25) điều kiện (z*,v*) &Q* x Q (3.26) thỏa mãn Định lý sau kết tính chất Aubin ánh xạ nghiệm với toán (3.1- 3.4) 55 Đ ịn h lý 3 P ü Theorem 3.5] Giả sử z — (x,u) ỉà nghiệm toán (3.1- s ị ) tương ứng vói tham, số giả thiết (Hl ) (H3) thỏa mẫn Nếu cho (z*,b*) G ỵ í(N+1)m+Nn X ^ N m + 2Nn ^ ta có (z*,b*) = (0 , ) ( ( ^ T — )Tz V ) e Q * x Q , (3.27) {æ f £ p ) )Tz = _ c ĩ b ^ (3 2g) bj, = 0, (3.29) với tập số I' c I ( z , b) = T0 \JTi(z, b) mặt đóng Q nón lồi đa diện T ( F r ' , K ( w ) ) n ánh xạ nghiệm M X D (ụ>,w) I—^ S ( ị i , w ) có tính chất Aubin (£l, w , z ) e gph Y khả vi ngặt X e X $ : X =£ Y ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, với X £ ội (x) + $ 2(20 y* G Y ta có D*( ệ + $ 2)(Ẽ, ỹ)(y*) = (V 01 (x)Ty* + D * $ 2{x, , ỹ - ậi{x))(y*) B ổ đ ề 3 JHỊ, Theorem 4.4] Giả sử X , Y z không gian Euclid hữu hạn chiều, F : X X Y =4 z ỉà ánh xạ đa trị G hàm ẩn đa trị xác định F , nghĩa là, G(y) = {x e X I0 G F(x,y)} (x 0, y 0) G X X Y cho x ữ G G( y 0) Giả thiết điều kiện sau đúng: (a) Ảnh F đóng địa phương w = (x0, y 0:z 0), 56 (b) K e r D * F ( w 0) = {0}, (3.30) (c) и {у" е r I (° »*) Đ - F ự ) } = { } (3.31) z*€Z Khi hàm ẩn đa trị G có tích chất Aubin (Уо, ж0) nghĩa làtồn lân cậncủa u xữ, V y số l > cho G(y') n ỉ / с G(y) + l\\y' - v\\Bx ,Vy,y' e V Lưu ý p = M X П = M.Ns X ]]j2(iV'+1)”l+2iV'n- Cho ánh xạ: ậi : z X p -»■ z , ф2 : z X p -)■ 2ZVÒ F : z X p ^ 2Z xác định sau ộ i { z , ự , b ) = ộ( z , ị i ) = V J { z , ị i ) , 2( z , v , b ) = F2(z,b) = N i z - K ^ b ) ) , F ( z , ị i , b ) = 0i(z,/x, 0) + Ф2(г,ц,Ъ) Khi đó, ta có S(fi,b) = {2 € ^ I Ễ F(2,/Lí, &)} Ta thấy F Ф2 có đồ thị đóng Thực vậy, lấy dãy tùy ý (Zk, ßhi bk, z*k) £ gphF giả sử (Zk, ỊJ>jk,bk, zị) —> (z, ịẤ, b, z *) к —> 0 Ta cần (z , ị i , b , z *) e gphF Vì (zk, ịik,bk, z*k) e gphF nên ta có z*k £ ộ { z k,fik) + N { z k\ K l {bk)) Do đó, ta có (Ộ(zk ì /J,k) - z*k ì z' - z k) > , V z ' G K i i p k ) Cố định tùy ý z" £ Kị(b) Từ ỊĨ5Ị Theorem 2.2], K l liên tục Lipschitz với số Lipschitz l Vì vậy, với к tồn z'l e Kị(bk) cho \\z" - ' II < l\\b - bk\\ Suy ' z" Vì ( ệ { z k, ị i k) - z*h,z'l - Zfc) > , 57 cho к —> oo nên ta ((z, ịì) — z*, z" — z) > Khi z" G K ị ( b ) tùy ý, ta thu (z,/jL,b,z*) G gph-F Do đó, F có đồ thị đóng Tương tự, ta ф có đồ thị đóng Biến đổi trình tự thành phần sử dụng Bổ đề З Л , ta thấy với z* £ z = ỵ L{N+1)m+Nn ta có D * F ( z , ß , b , z )(z*) = V (z , ß, b)Tự ) + * ф 2(г, ß, b, - ậ ( z , д, &)) = (V *0(z, ß ) Tz*, V M0 (z, ß ) Tz*, On) + * ф 2{г, ß, b, - ф 1(z, ß, b))(z*) = [ ( ^ z ộ ( z , f i ) ) Tz*,Oĩl) + D*F2( z , b , - ộ ( z , ĩ ) ) ( z * ) ] X { V ^ { z , ß ) T(z*)} (3.32) Bây giờ, ta D ' F ( z , ß ) f z \ Oz)(z*) =j z* = 0, (3.33) đúng, On, 0z phần tử không П z Thật vậy, từ (3.32) điều kiện e D*F( z , ụ)Tz*, 0z ){z*), ta có (3.34) V „ (£,/ 2)T(z*) = V „ (ì , A) = 92^ ’ p) : ƠỊ jLƠZ z X M— ►z toàn ánh nên từ p , Lema 1.18] ta suy ánh xạ liên hợp , a2f { ĩ , p ) f : Z dfidz nội xạ Do đó, ta thu từ (3.34) zXM = Tương ứng, (3.33) Phần lại kiểm tra điều kiện и {(/A&*) P ’ I (0 ,/*',&•) e D ' F ( ỹ ) ự ) ì = {0 } vđi V = ( z , ß , b , z ) z*€Z (3 35 ) 58 Thật vậy, giả sử (fi*,b*) € p thỏa mãn (0,fi*,b*) £ D*F(y)(z*) với vài phần tử z* € z Từ (3.32) ta có (3.36) ụ? = V fỉộ { z , ị i ) T{z*) (0,6*) e ( V ^ ( ỉ , f i ) T(z*),O„) + £>*F2( ỉ , , - ( ỉ , ĩ i ) ) ( z * ) (3.37) Tương đương với ( - V ^ ( , fi)Tự ) , 6*) € D ' F 2( z , 1, - ộ ( ỉ , p))(z*)Bởi Định lý 3.1, tồn tập số V c I ( z , b) = To u Xi ( 2:, 6) mặt đóng Q nón lồi đa diện T ( F r ; K i ( ĩ ) ) n ( V /t ỉ.A ) ) - 1- = T ( F r - , K ( w ) ) n (v,/(z,p,))1- cho ( - V zộ ( z , f i ) T( z * ) , - z * ) e Q* X Q - V zộ ( z , ĩ i ) T(z*) = - Cĩ b*r (3.38) b*j, = Tương đương với bị = Từ giả thiết định lý, suy —2 * = Thế z* = vào (3.36) ta ịi* = Như điều kiện (3.35) Do đó, Bổ đề (3.3) áp dụng Từ Bổ đề (3.3), ánh xạ M X n (ịi, b) !-»■ Sị(ỊjL,b) có tính chất Aubin (ị i , b, x, ũ) nghĩa tồn số dương ỏi ,ỏ ,l lân cận V c X X u ( x, ũ) cho S 1ụ , ) n v c SxC/i, b) + I ( \ ụ - HI + 1|6' - b\\)Bz (3.39) 59 với fi, / / e B(ịi, Ối) b, b' € B ( b , ổ2) n -Di- Lưu ý rằng, với = (iy), b = b(w) ta có ||ò(iu) —6 (iy/) II = \/2 ||u ;—1(/|| Ố S ( f i , w ) = Sị(ịi,b(w)) Do đó, với / i , / / e B{ f i ì —^=)ì w , w ' G V2 B ( ị i : -J=) n D từ (3.39) ta đươc \/2 S ự , w ' ) n v c S( fi , w) + ly/2(\\ụf - Ịjl\\ + IIlí/ - w||).B£ Định lý chứng minh □ 60 KỀT LUẬN * Trong luận văn ta trình bày: - Các khái niệm nón pháp tuyến Fréchet, đối đạo hàm vi phân Fréchet - Các khái niệm nón pháp tuyến Mordukhovich, đối đạo hàm vi phân Mordukhovich - Công thức tính vi phân Fréchet, vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối ưu điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc - Tính chất Aubin ánh xạ nghiệm cho toán điều khiển tối ưu mô tả hệ tuyến tính rời rạc Chắc chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến góp ý Quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 61 Tài liệu th am khảo * [1] Nguyễn Đông Yên, 2007, Giải tích đa t r ị NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [2 ] J S Bonnans and A Shapiro, 2000, Perturbation Analysis of Opti­ mization Problems, Springer, New York [3] N H Chieu and J.-C Yao, 2010, “Subgradients of the optimal value function in a parametric discrete optimal control problem” , Joural of industrial and management optimal, volume 6, number 2, 401-410 [4] A D.Ioffe and V M Tihomirov, 1979, Theory of Extremal Problems, North-Holand Publishing Company [5] В T Kien, Y c Liou, N.-C Wong and J.-C Yao, 2009,“Subgradi­ ents of value functions in para-metric dynamic programming”, Eu­ ropean Journal of Operational Research, 193 , 12-22 [6 ] B S Mordukhovich, 2006, Variational Analysis and Generalized Differentiation I, Basis Theory, Springer [7] B S Mordukhovich, N M Nam and N D Yen, 2009, “Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming”, Mathematical Programming, Ser B, 116 (2009), 369- 396 [8 ] R S Pindyck, 1972, “ An application of the linear quaratic tracking problem to economic stabilization policy”, IEEE Transactions on Automatic Control, 17, 287-300